2026届高考数学（全国Ⅰ卷） 临门一脚冲刺卷2

**基本信息** 聚焦高考冲刺，覆盖集合、函数、概率等核心知识，通过社交网络传播模型、触屏感应灯等真实情境，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合运算（1题）、统计回归（2题）、复数几何意义（9题）|结合触屏感应灯状态变化（6题）考查排列组合，体现创新应用| |填空题|3/15|正四棱台体积（12题）、杨辉三角数列（14题）|以空间几何体与经典数列为载体，强化空间观念与数学抽象| |解答题|5/77|概率模型（17题）、双曲线综合（18题）、函数单调性与证明（37题）|社交网络消费传播模型（17题）融合概率与实际应用，凸显数学建模与数据意识|

2026年高考数学（全国Ⅰ卷） 临门一脚冲刺卷2 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合A＝{x|3x2﹣4x﹣4＜0}，，则A∩B＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别化简集合A，B，再根据交集的概念求解． 【解答】解：由A＝{x|3x2﹣4x﹣4＜0}＝{x|}， 所以， 函数y＝tanx在上的值域为，即， 所以． 故选：B． 2．现有10个样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x10，y10），可得经验回归方程为，且，若去掉一个数据点（1，13）后，可以得到新的经验回归方程为，则实数的值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据经验回归方程的性质即可求解． 【解答】解：根据题意可知，经验回归方程为，且， 根据回归直线过样本中心点，代入得： ，所以原10个样本的y值总和为：， 去掉（1，13）后，剩余9个样本的x值总和为：10×1﹣1＝9，y值总和为：40﹣13＝27 因此新的样本中心点为：（1，3）， 因为新的经验回归方程为，回归直线必过新的样本中心点（1，3），代入得： ，解得：． 故选：A． 3．已知均为非零向量，其夹角为θ，则“cosθ＝﹣1”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据向量的模长以及向量共线的性质判断充分性和必要性，进而求解结论． 【解答】解：因为cosθ＝﹣1，所以θ＝π， 若，则，反向共线，则θ＝π，此时cosθ＝﹣1，即必要性成立， 若θ＝π时，则反向共线，则，则充分性不成立， 所以“cosθ＝﹣1”是“”的必要不充分条件． 故选：C． 4．函数的部分图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性，排除B，再计算f（）的值，排除C和D，即可得答案． 【解答】解：根据题意，用排除法分析： 由于， 则，所以f（x）为奇函数，排除B， 又因为，排除C、D， 故选：A． 5．设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F2的直线与C交于A，B两点，若，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据面积关系可得，从而得到，利用cos∠BF2F1＝﹣cos∠AF2F1结合余弦定理化简即可求解． 【解答】解：F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，过F2的直线与C交于A，B两点， 因为，所以， 则，由于|AB|＝a， 所以， 根据椭圆的定义可得， 在△BF1F2中，， 在△AF1F2中，， 因为∠BF2F1+∠AF2F1＝π， 所以cos∠BF2F1＝﹣cos∠AF2F1， 即， 化简得：5a2＝9c2，即，所以椭圆C的离心率为． 故选：B． 6．如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则B，I灯区最终仍处于“点亮”状态的不同按法种数为（　　） A B C D E F G H I A．18 B．20 C．24 D．36 【答案】B 【分析】判断B，I灯区最终仍处于“点亮”状态的类型，然后求解即可． 【解答】解：由题意B灯先“熄灭”后“点亮”，有12种不同按法． I灯先“熄灭”后“点亮”，有6种不同按法． B、I灯一直“点亮”，有2种不同按法． 共有：12+6+2＝20种不同按法． 故选：B． 7．已知实数a，b满足，则（　　） A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．1＜a＜b D．1＜b＜a 【答案】D 【分析】化，结合的单调性得到a＞1，再由指数函数的性质得b＞1，利用的单调性得2a+3a＜5a，最后由对数函数的单调性即可得． 【解答】解：由题意可知，，且log26＞2， 由对勾函数单调性在上单调递增， 所以， 所以2a＞21＝2，3a＞31＝3， 所以2a+3a＞5， 所以b1， 因为在x∈（1，+∞）上单调递减， 所以g（a）＜g（1），即1， 则2a+3a＜5a， 所以， 综上所述，1＜b＜a． 故选：D． 8．记不超过x的最大整数为⌊x⌋，若关于x的方程在（0，a]上恰好有800个解，则a的最小值为（　　） A．1369 B．1597 C．1601 D．1920 【答案】C 【分析】先确定f（x）、g（x）的周期，作图，得到一个周期解的个数，进而确定a的范围即可． 【解答】解：∵， ∴f（x）的周期为4， 当0＜x＜1时，[x]＝0，f（x）＝0； 当1≤x＜2时，[x]＝1，f（x）＝1； 当2≤x＜3时，[x]＝2，f（x）＝0； 当3≤x＜4时，[x]＝3，f（x）＝﹣1； 当x＝4时，[x]＝4，f（x）＝0； 又的周期为12， 则0＜x≤12时，函数图像如下： 所以，在g（x）一个周期内f（x）＝g（x）有6个解， ∵800÷6＝133⋯2， 又0＜x≤5时，f（x）＝g（x）有2个解，0＜x≤6时，f（x）＝g（x）有3个解， ∴133×12+5≤a＜133×12+6， 解得1601≤a＜1602，则a的最小值为1601． 故选：C． 二、多项选择题（3小题，每小题6分，共18分） 9．已知复数z1满足|z1﹣2|＝1，复数（a∈R，i为虚数单位），则下列选项正确的是（　　） A．若a＝1，则z2在复平面内对应的点位于第一象限 B．复数z1在复平面内对应点的轨迹是圆心为（2，0），半径为1的圆 C．|z1|的最大值为3 D．若z2的实部与虚部互为相反数，则a＝0 【答案】BCD 【分析】根据复数的几何意义、复数的乘除计算逐项判断即可． 【解答】解：（a∈R，i为虚数单位）， 当a＝1时，， 所以z2在复平面内对应的点位于虚轴上，故A错误； 复数z1满足|z1﹣2|＝1，所以复数z1在复平面内对应点的轨迹是圆心为（2，0），半径为1的圆，故B正确； 当复数z1的点位于（3，0）时，|z1|取最大值为3，故C正确； 由于， 由z2的实部与虚部互为相反数，可得，解得a＝0，故D正确． 故选：BCD． 10．函数f（x）＝2ax﹣ex2（a＞0且a≠1），则（　　） A．当a≥e时，f（x）无极值点 B．当时，f（x）无极值点 C．若x1，x2分别是f（x）的极大值点和极小值点，且x1＜x2，则a∈（1，e] D．若x1，x2分别是f（x）的极小值点和极大值点，且x1＜x2，则 【答案】ABD 【分析】求导函数，将导函数的零点转化为的交点问题，先求出相切时a＝e或，然后按照、、、1＜a＜e、a＝e、a＞e分类讨论，利用函数图象研究函数的极值点，逐项判断即可． 【解答】解：由题函数f（x）＝2ax﹣ex2， 因此， 令， 若y1与y2相切，设切点为， 解方程组， 因此（lna）2＝1，解得a＝e或． ①当时，画出的图象，如图： 两函数没有交点即方程无根，即f′（x）＝2axlna﹣2ex无异号零点， 因此当时，f（x）无极值点，因此选项B正确； ②当时，y1与y2相切，如图： f′（x）＝2axlna﹣2ex无异号零点，因此当时，f（x）无极值点； ③当时，如图： 当x＜x1或x＞x2时，，则f′（x）＜0，当x1＜x＜x2时，，则f′（x）＞0， 当x＝x1或x＝x2时，，则f′（x）＝0， 因此x1，x2分别是f（x）的极小值点和极大值点，且x1＜x2，因此选项D正确； ④当1＜a＜e时，如图： 当x＜x1或x＞x2时，，则f′（x）＞0，当x1＜x＜x2时，，则f′（x）＜0， 当x＝x1或x＝x2时，，则f′（x）＝0， 因此x1，x2分别是f（x）的极大值点和极小值点，且x1＜x2； ⑤当a＝e时，如图： f′（x）＝2axlna﹣2ex无异号零点，因此当a＝e时，f（x）无极值点，因此选项C错误； ⑥当a＞e时，如图： 两函数没有交点即方程无根，即f′（x）＝2axlna﹣2ex无异号零点， 因此当a＞e时，f（x）无极值点，综上，当a≥e时，f（x）无极值点，故选项A正确． 故选：ABD． 11．在空间直角坐标系Oxyz中，已知正四面体SABC的四个顶点的坐标为A（0，0，0），，，S（m，n，t）（t＞0），点N（x1，y1，z1）在四面体SABC外接球的球面上，且CN⊥平面ABC，点H（x2，y2，z2）在四面体SABC内切球的球面上，则下列结论正确的有（　　） A． B．的最大值是最小值的2倍 C．四面体SABC外接球的体积为108π D．当取得最小值时，点H的坐标为 【答案】ABD 【分析】根据外接球体积公式、勾股定理、空间向量坐标的线性表示，逐项计算即可判断． 【解答】解：对于A，四面体SABC的直观图如图所示： 设顶点S在底面ABC上的射影为D，连接SD，则SD⊥平面ABC， 连接CD并延长，交AB于点E，则E为AB的中点． 因为AB＝2，所以CDCE＝2，SD4， 所以S（，，4），mnt4＝8，选项A正确． 对于C，设四面体SABC外接球的球心为O1，则O1在SD上，设O1D＝k， 所以（4﹣k）2＝k2，解得k＝1，所以四面体SABC外接球的半径为3， 四面体SABC外接球的体积为π×33＝36π，选项C错误． 对于B，四面体SABC内切球的半径r＝|O1D|＝1，内切球的球心为O1， 则||的最大值为3+1＝4，最小值为3﹣1＝2，选项B正确． 对于D，因为CN⊥平面ABC，所以N（，3，z1）， 又因为O1N＝3，所以， 解得z1＝2或z1＝0（舍去），所以N（，3，2）． 当取得最小值时，，即， 得，选项D正确． 故选：ABD． 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12．在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝A1B1＝2，AB＝4，M为线段CC1的中点，则三棱锥A1﹣BDM的体积为　 　 ． 【答案】． 【分析】证明CC1∥平面A1BD，利用等体积法求解即可． 【解答】解：因为在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝A1B1＝2，AB＝4，M为线段CC1的中点， 所以作出示意图如下： 连接AC交BD于点O， 则，且OC∥A1C1，故四边形A1OCC1为平行四边形，故CC1∥A1O， 又A1O⊂平面A1BD，CC1⊄平面A1BD，故CC1∥平面A1BD， 因为，， 四边形ACC1A1中，作A1H⊥AC于H，Rt△A1AH中，，A1A＝2，故， 所以． 故答案为：． 13．已知点A，B分别是直线3x+4y+5＝0和圆x2+y2＝1上的动点，P（2，2），则的最小值为　 　 ． 【答案】． 【分析】设 AB 中点为 M，根据向量加法的平行四边形法则得到 与 的关系，分析的最小值，根据即可求解． 【解答】解：设AB中点为 M，则M的轨迹是3x+4y+5＝0和3x+4y＝0两条平行线所夹的区域， 且 ，所以 ． 点P（2，2）到该区域的最小距离为点P（2，2）到直线3x+4y＝0的距离， 圆x2+y2＝1 的圆心 O（0，0），半径 r＝1， 设点 P 到直线 3x+4y+5＝0 的距离为d， 则， 所以 ． 因为 ，所以 ． 综上， 的最小值为 ． 故答案为：． 14．如图给出的三角形数阵是数学史上有名的杨辉三角，图中虚线上的数1、3、6、10、…，依次构成数列（an），则　 　 ． 【答案】． 【分析】由杨辉三角可得an＝C，再由数列的裂项相消求和，可得所求和． 【解答】解：由杨辉三角可得a1＝C，a2＝C，a3＝C，a4＝C，…，an＝C， 则2（）， 则2（1...） ＝2（1）． 故答案为：． 4、 解答题（5小题，共77分） 15．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且． （1）求角A的值． （2）若△ABC的面积为，求线段AD长度的最小值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换计算可得，可求A； （2）由三角形面积公式可求得bc＝16，利用向量数量积的运算律可求得9结合基本不等式可求得AD的最小值． 【解答】解：（1）因为， 所以， 因为C∈（0，π）， 所以sinC≠0， 所以， 所以， 即， 即， 因为0＜A＜π，所以， 所以． （2）由（1）得， 因为△ABC的面积为，即， 所以bc＝16． 因为， 所以， 两边平方可得94•44||•||cosA＝c2+4b2+4bccosA≥22bc＝2bc＝32， 当且仅当c＝2b时，等号成立， 所以线段AD长度的最小值为． 16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1＝2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D． （1）求证：A1C⊥平面BDE； （2）若点F为线段B1C1上的中点，求平面BDE与平面BDF夹角的余弦值． 【答案】（1）连结AC1， 因为△ABC为等边三角形，D为AC中点， 所以BD⊥AC， 因为C1在平面ABC内的射影为D， 所以C1D⊥平面ABC， 而BD⊂平面ABC， 所以C1D⊥BD， 又AC∩C1D＝D，AC，C1D⊂平面AA1C1C， 所以BD⊥平面AA1C1C， 又A1C⊂平面AA1C1C， 所以BD⊥A1C， 由题意知四边形AA1C1C为菱形， 所以A1C⊥AC1， 因为D，E分别为AC，CC1中点，所以DE∥AC1，所以A1C⊥DE， 又BD∩DE＝D，BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE， 所以A1C⊥平面BDE． （2）． 【分析】（1）连结AC1，先证BD⊥AC，C1D⊥BD，可得BD⊥平面AA1C1C，从而有BD⊥A1C，再结合菱形的性质与平行线的性质可得A1C⊥DE，然后由线面垂直的判定定理，即可得证； （2）利用空间向量法求面面角即可． 【解答】（1）证明：连结AC1， 因为△ABC为等边三角形，D为AC中点， 所以BD⊥AC， 因为C1在平面ABC内的射影为D， 所以C1D⊥平面ABC， 而BD⊂平面ABC， 所以C1D⊥BD， 又AC∩C1D＝D，AC，C1D⊂平面AA1C1C， 所以BD⊥平面AA1C1C， 又A1C⊂平面AA1C1C， 所以BD⊥A1C， 由题意知四边形AA1C1C为菱形， 所以A1C⊥AC1， 因为D，E分别为AC，CC1中点，所以DE∥AC1，所以A1C⊥DE， 又BD∩DE＝D，BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE， 所以A1C⊥平面BDE． （2）解：因为C1D⊥平面ABC，BD，AC⊂平面ABC， 所以C1D⊥BD，C1D⊥AC， 又BD⊥AC， 故以D为坐标原点，分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，， 设平面FBD的法向量为，则，即， 令b＝2，则a＝0，c＝﹣1，所以， 由（1）知A1C⊥平面BDE， 所以平面BDE的一个法向量为， 所以， 故平面BDE与平面BDF夹角的余弦值是． 17．某研究团队为分析社交网络中的消费行为传播规律，构建如下概率模型：研究团队选定n人进行研究，假设每人对消费行为的“基础易感性”参数均相同，记为a（0＜a＜1），该值越高表示越容易被影响．传播逐天进行，规则如下：第一天，研究团队随机选择其中m（1≤m＜n，且m∈N*）人推送广告，每位被选中的人被成功影响（称为“感染者”）的概率为p，且是否被影响是相互独立的，从第二天起，每一天，每一位当前的“感染者”会尝试影响每一位当前的“非感染者”（即n人中还未被成功影响的人），且一旦被影响即称为“感染者”，并参与后续的影响传播． （1）求第一天结束时，被影响的人数的数学期望； （2）求第一天结束时，被影响的人数为偶数的概率； （3）对于任意一位“非感染者”，若某天有k位“感染者”尝试影响他，则他当天被成功影响的概率为1﹣（1﹣a）k，当n＝5，m＝2，p＝0.4时，求在两天后，甲被成功影响的概率（用含a的式子表示）；基于此模型，简要说明为什么在实际社交网络中，某种消费行为有时会突然“爆发式”传播． 【答案】（1）E（X）＝mp； （2）； （3）甲被成功影响的概率为﹣0.096a2+0.576a+0.16，“爆发式传播”的原因：随着感染者人数增加，使得非感染者被影响的概率1﹣（1﹣a）k迅速提高，传播速度急剧加快，形成爆发态势． 【分析】（1）第一天被影响人数服从二项分布B（m，p），利用性质直接求解期望； （2）利用二项分布奇偶项概率的对称性，构造方程求解； （3）按“甲第一天是否被选中”及“第一天感染者人数”分类讨论，用全概率公式累加各路径概率． 【解答】解：（1）设X表示第一天结束时被影响的人数，易知X～B（m，p）， 则E（X）＝mp； （2）考虑二项展开： ①， ②， ①+②可得， k为偶数时，1+（﹣1）k＝2， k为奇数时，1+（﹣1）k＝0， 设第一天结束时，被影响的人数为偶数的概率为P， 则， 所以得到P； （3）满足要求的情形包含以下两种： 一、甲第一天被影响，概率为p＝0.4，第一天未被影响，第二天被影响，概率为（1﹣p）pa＝0.24a， 因此，在甲是初始选中的两人之一的条件下，甲在两天后被成功影响的概率为：0.4+0.24a， 二、第一天有1人被成功影响，再由此人成功感染甲，概率为， 第一天有2人被成功影响，甲在第二天被成功影响，概率为：p2[1﹣（1﹣a）2]＝p2（2a﹣a2）＝﹣0.16a2+0.32a， 因此，在甲不是初始选中的两人的条件下，甲在两天后被成功影响的概率为：0.48a+（﹣0.16a2+0.32a）＝﹣0.16a2+0.8a， 所以甲在两天后被成功影响的概率为， “爆发式传播”的原因：随着感染者人数增加，每天尝试影响非感染者的感染者人数k增大， 使得非感染者被影响的概率1﹣（1﹣a）k迅速提高，传播速度急剧加快，形成爆发态势． 18．已知双曲线C：的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，P，Q为双曲线左支上的两点，直线PQ交y轴于点G． （1）求双曲线C的方程； （2）若，求直线PQ的方程； （3）设线段PQ的中点为D，直线PQ交x轴于点M，点N为M关于原点的对称点，以N为圆心作与y轴相切的圆，过D作该圆的两条切线，切点分别为E，F，求sin∠EDF的取值范围． 【答案】（1）； （2）或． （3）． 【分析】（1）利用双曲线的离心率和a，b，c求解方程； （2）根据向量关系得到点P，G的坐标即可求解直线方程； （3）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理整理出|DN|，再换元利用二次函数性质得到∠EDN的范围即可求解． 【解答】解：（1）由题可得a2＝2，即． 又离心率，得． 可由双曲线关系c2＝a2+b2，得b2＝c2﹣a2＝3﹣2＝1． 因此双曲线C的方程为． （2）由得，设G（0，yG），P（x0，y0）． 故，， 由得，解得， 代入双曲线方程得：或， 故直线PQ的斜率， 所以直线PQ方程为或． （3）设直线PQ：x＝my+t，M（t，0），则N（﹣t，0），圆N与y轴相切，故半径r＝|t|． 联立直线与双曲线方程，整理得（m2﹣2）y2+2mty+t2﹣2＝0， 由P，Q在左支，得0≤m2＜2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），中点D（xD，yD）， 由韦达定理得， 则，即． 故，，（t＜0）， 设∠EDN＝α，由切线性质， 令u＝2﹣m2＞0，代入得，由m2≥0，所以u∈（0，2]， 设，代入上式得， 可知二次函数y＝6t2+3t+1在内单调递增，所以y＝6t2+3t+1∈[4，+∞）， 因此， 由切线性质可知△EDN是直角三角形，所以α＝∠EDN是锐角，即． 则，即sin∠EDF的取值范围． 37．已知函数f（x）＝3sin2x+ax，a∈R． （1）若f（x）在区间[0，+∞）内的最大值为0，求a的取值范围； （2）若g（x）＝f（x）+2sin3xcosx在R上单调递减，求a的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）（﹣∞，﹣6]； （2）（﹣∞，﹣12]； （3）证明：由（2）知∀x∈R，8cos2x+4cos4x+6＝2（2cos2x+1）2≥0， 所以4cos2x+2cos4x+3≥0，即4cos2x+2cos4x≥﹣3， 以2x，4x，8x，…，22n﹣3（n∈N，n≥2）， 替换上式中的x，可得4cos4x+2cos8x≥﹣3， 4cos8x+2eos16x≥﹣3， 4cos16x+2cos32x≥﹣3， …… 4cos22n﹣2x+2cos22n﹣1x≥﹣3， 累加得4cos2x+6（cos4x+cos8x+…+cos22n﹣2x）+2cos22n﹣1x ≥﹣3（2n﹣2）＝6﹣6n（n∈N*，n≥2）， 又cos2x≥﹣1，cos22n﹣1x≥﹣1（n∈N*，n≥2）， 所以6（cos2x+cos4x+cos8x+…+cos22n﹣2x+cos22n﹣1x） ≥6﹣6n+2cos2x+4cos22n﹣1x≥﹣6n（n∈N*，n≥2）， 即． 【分析】（1）通过分析导数f'（x）＝6cos2x+a在区间[0，+∞）的最大值，结合f（x）≤f（0）＝0的条件，推导出a≤﹣6； （2）先对g（x）求导并化简，将g'（x）≤0恒成立问题转化为求二次函数的最小值，得到a≤﹣12； （3）利用（2）中得到的三角恒不等式，通过变量替换、累加放缩，最终证明了余弦和式的下界不等式． 【解答】解：（1）f'（x）＝6cos2x+a， 注意到f（0）＝0，且f（x）在区间[0，+∞）内的最大值为0， 所以f'（0）＝6+a≤0，解得a≤﹣6， 当a≤﹣6时，f′（x）＝6cos2x+a≤6+a≤0， 所以f（x）在区间[0，+∞）内单调递减，则f（x）≤f（0）＝0，满足题意， 综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣6]； （2）因为g（x）＝f（x）+2sin3xcosx＝3sin2x+2sin3xcosx+ax， 所以g'（x）＝6cos2x+6cos3xcosx﹣2sin3xsinx+a ＝6cos2x+4（cos3xcosx﹣sin3xsinx）+2（cos3xcosx+sin3xsinx）+a ＝8cos2x+4cos4x+a ＝8cos2x+8cos22x﹣4+a ＝2（2cos2x+1）2+a﹣6， 因为g（x）在R上单调递减，所以g'（x）≤0， 即2（2cos2x+1）2+a﹣6≤0对x∈R恒成立， 即a≤﹣2（2cos2x+1）2+6对x∈R恒成立， 又﹣2（2cos2x+1）2+6≥﹣12，且cos2x＝1时等号成立， 所以a≤﹣12，故a的取值范围为（﹣∞，﹣12]； （3）证明：由（2）知∀x∈R，8cos2x+4cos4x+6＝2（2cos2x+1）2≥0， 所以4cos2x+2cos4x+3≥0，即4cos2x+2cos4x≥﹣3， 以2x，4x，8x，…，22n﹣3（n∈N，n≥2）， 替换上式中的x，可得4cos4x+2cos8x≥﹣3， 4cos8x+2eos16x≥﹣3， 4cos16x+2cos32x≥﹣3， …… 4cos22n﹣2x+2cos22n﹣1x≥﹣3， 累加得4cos2x+6（cos4x+cos8x+…+cos22n﹣2x）+2cos22n﹣1x ≥﹣3（2n﹣2）＝6﹣6n（n∈N*，n≥2）， 又cos2x≥﹣1，cos22n﹣1x≥﹣1（n∈N*，n≥2）， 所以6（cos2x+cos4x+cos8x+…+cos22n﹣2x+cos22n﹣1x） ≥6﹣6n+2cos2x+4cos22n﹣1x≥﹣6n（n∈N*，n≥2）， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学（全国Ⅰ卷） 临门一脚冲刺卷2 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合A＝{x|3x2﹣4x﹣4＜0}，，则A∩B＝（　　） A． B． C． D． 2．现有10个样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x10，y10），可得经验回归方程为，且，若去掉一个数据点（1，13）后，可以得到新的经验回归方程为，则实数的值为（　　） A．1 B． C． D．2 3．已知均为非零向量，其夹角为θ，则“cosθ＝﹣1”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数的部分图象大致为（　　） A． B． C． D． 5．设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F2的直线与C交于A，B两点，若，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 6．如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则B，I灯区最终仍处于“点亮”状态的不同按法种数为（　　） A B C D E F G H I A．18 B．20 C．24 D．36 7．已知实数a，b满足，则（　　） A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．1＜a＜b D．1＜b＜a 8．记不超过x的最大整数为⌊x⌋，若关于x的方程在（0，a]上恰好有800个解，则a的最小值为（　　） A．1369 B．1597 C．1601 D．1920 二、多项选择题（3小题，每小题6分，共18分） 9．已知复数z1满足|z1﹣2|＝1，复数（a∈R，i为虚数单位），则下列选项正确的是（　　） A．若a＝1，则z2在复平面内对应的点位于第一象限 B．复数z1在复平面内对应点的轨迹是圆心为（2，0），半径为1的圆 C．|z1|的最大值为3 D．若z2的实部与虚部互为相反数，则a＝0 10．函数f（x）＝2ax﹣ex2（a＞0且a≠1），则（　　） A．当a≥e时，f（x）无极值点 B．当时，f（x）无极值点 C．若x1，x2分别是f（x）的极大值点和极小值点，且x1＜x2，则a∈（1，e] D．若x1，x2分别是f（x）的极小值点和极大值点，且x1＜x2，则 11．在空间直角坐标系Oxyz中，已知正四面体SABC的四个顶点的坐标为A（0，0，0），，，S（m，n，t）（t＞0），点N（x1，y1，z1）在四面体SABC外接球的球面上，且CN⊥平面ABC，点H（x2，y2，z2）在四面体SABC内切球的球面上，则下列结论正确的有（　　） A． B．的最大值是最小值的2倍 C．四面体SABC外接球的体积为108π D．当取得最小值时，点H的坐标为 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12．在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝A1B1＝2，AB＝4，M为线段CC1的中点，则三棱锥A1﹣BDM的体积为　 　 ． 13．已知点A，B分别是直线3x+4y+5＝0和圆x2+y2＝1上的动点，P（2，2），则的最小值为　 　 ． 14．如图给出的三角形数阵是数学史上有名的杨辉三角，图中虚线上的数1、3、6、10、…，依次构成数列（an），则　 　 ． 4、 解答题（5小题，共77分） 15．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且． （1）求角A的值． （2）若△ABC的面积为，求线段AD长度的最小值． 16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1＝2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D． （1）求证：A1C⊥平面BDE； （2）若点F为线段B1C1上的中点，求平面BDE与平面BDF夹角的余弦值． 17．某研究团队为分析社交网络中的消费行为传播规律，构建如下概率模型：研究团队选定n人进行研究，假设每人对消费行为的“基础易感性”参数均相同，记为a（0＜a＜1），该值越高表示越容易被影响．传播逐天进行，规则如下：第一天，研究团队随机选择其中m（1≤m＜n，且m∈N*）人推送广告，每位被选中的人被成功影响（称为“感染者”）的概率为p，且是否被影响是相互独立的，从第二天起，每一天，每一位当前的“感染者”会尝试影响每一位当前的“非感染者”（即n人中还未被成功影响的人），且一旦被影响即称为“感染者”，并参与后续的影响传播． （1）求第一天结束时，被影响的人数的数学期望； （2）求第一天结束时，被影响的人数为偶数的概率； （3）对于任意一位“非感染者”，若某天有k位“感染者”尝试影响他，则他当天被成功影响的概率为1﹣（1﹣a）k，当n＝5，m＝2，p＝0.4时，求在两天后，甲被成功影响的概率（用含a的式子表示）；基于此模型，简要说明为什么在实际社交网络中，某种消费行为有时会突然“爆发式”传播． 18．已知双曲线C：的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，P，Q为双曲线左支上的两点，直线PQ交y轴于点G． （1）求双曲线C的方程； （2）若，求直线PQ的方程； （3）设线段PQ的中点为D，直线PQ交x轴于点M，点N为M关于原点的对称点，以N为圆心作与y轴相切的圆，过D作该圆的两条切线，切点分别为E，F，求sin∠EDF的取值范围． 37．已知函数f（x）＝3sin2x+ax，a∈R． （1）若f（x）在区间[0，+∞）内的最大值为0，求a的取值范围； （2）若g（x）＝f（x）+2sin3xcosx在R上单调递减，求a的取值范围； （3）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $