安徽合肥市第五中学等六校2025-2026学年下学期期中考试高二年级数学试卷

2026年春季学期期中考试高二年级数学参考答案 一、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 B D B A c B A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 答案 AD BC BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 2026 12.120 13.y=x+1(3分)； 2025 (2分) 4.(m2u[ 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.【答案】(1)函数f(x)的增区间为(1，+o)和(-0,0)，减区间为(0,1)(2)-1 【详解】(1)由题意得f(x)=2x3-ax2+4→f'(x)=6x2-2ax, 因为x=1是函数f(x)的一个极值点， 所以f'(1=6-2a=0→a=3,… …2分 所以f'(x)=6x2-6x=6x(x-1), 当f'(x)>0时，解得x>1或x<0,所以f(x)在(1，+∞)和(-∞，0)上单调递增： 当f'(x)<0时，解得0<x<1,所以f(x)在(0,1)上单调递减，…5分 因此x=1是函数f(x)的一个极值点，…6分 所以函数f(x)的增区间为(1，+o)和(-o,0),减区间为(0,1)；…7分 (2)由(1)可知：函数f(x)的增区间为(1，+o)和(-o,0)，减区间为(0,1)， 当x∈[-1,2]时，函数f(x)在[-1,0)和(1,2]上单调递增，在(0,1)上单调递减，…8分 所以x=1是函数f(x)的极小值点，且f(1)=2x13-3x12+4=3, 所以x=0是函数f(x)的极大值点，且f(0)=2×03-3×02+4=4,…10分 因为f(-1）=2×(-1)3-3×(-1)2+4=-1,f(2)=2×23-3×22+4=8,…12分 高二年级数学答案第1页共7页 所以当x∈[-1,2]时，函数f(x)的最小值为f(-1)=-1.…13分 16.【答案】(1)选①②③，答案均为160(2)240x2(3)400. 【详解】(1)若选①，易知2”=32，则n=6,…2分 若选②， 令x=1,则2+--729，则n=6.2分 若选③，易知C2=15,则n=6. ………………………2分 此时2x+= 的展开式的通项公式为T1=C%(2x)x=C62-6-2,…3分 令6-2r=0得r=3,故常数项为C23=160.…5分 (2)由(1)知n=6,展开式的通项为T,1=2-rC%x-2r, 则T=2C8x5=64x6,T2=25C6x4=192x4,T3=24C2x2=240x2,T4=160, T,=22C6x2=60x2,T6=2C0x4=12x4,T,=20C6x6=x6.…9分 故展开式中系数最大的项为第3项，T3=2Cx2=240x2.…10分 (3)因为n=6,所以问题为求1+)2x+ 展开式中x的系数， 先求2x+ 展开式中含x2的项乘以1，该项为240x2,…12分 再求2x+ 展开式中常数项乘以x2,该项为160x2,…14分 所以+)2x+） 展开式中含x2的项为240x2+160x2=400x2, 所以其系数为400.…15分 17.【解析】(1)由题意得f(x)=lnx-ax+1的定义域为(0，+o), 则f"a= ，…2分 当a≤0时，f'(x)>0,f(x)在(0，+o)上单调递增，无极值；…4分 高二年级数学答案第2页共7页 当a>0时，令f'()<0,则x>,令f'(<0,则0<x< a 即f(x)在(0，上单调递增，在(2，+∞)上单调递减， …6分 故x=二为函数的极大值点，函数极大值为f -na,无极小值；…7分 (2)证明：当a=-1时，f()=lnx+x+1,设g(x)=xe-lnx-x-1,x>0, g(x)=(x+1)e-1-1, …8分 令()=(x+1)e-1, 则()=(x+2列e+>0(x>0.即()在Q+四)上单调递带。…9分 --30ae=e+e-1o, 使得h(x)=0,即xe6=1,…l1分 当x∈(0，x)时，h(x)<0,g(x)在(0，x)上单调递减， 当x∈(x,+∞)时，h(x)>0,8(x)在(xo,+0)上单调递增，…13分 1 放g（6)m=86)=e-ln。--1=0… …………14分 即g(x)≥0，即xe≥lnx+x+1,则f(x)≤xe. …15分 18.【答案】(1)x=e(2)见解析(3)见解析 【详解】(1)解：若a=0,则f(x)=-xlnx+x=x1-nx)=0, 得lnx=l或x=0(舍)，所以x=e. 所以f(x)的零点为X=;…2分 (2)若a>0,f(x)=alnx-xlnx+x,函数的定义域为(0，+o), 所以f)-2a-lnx-nx-2a--nx,令f'=0,得x=2a或nx=0, 即x=2a或x=1.… ………3分 ①当0<2a<1,即0<a<2时， 当0<x<2a时，2a-x>0,lnx<0,所以f'(x)<0; 当2a<x<1时，2a-x<0,lnx<0,所以f'(x)>0; 高二年级数学答案第3页共7页 当x>1时，2a-x<0,lnx>0,所以f'(x)<0 所以函数在(0,2a),(1,+o)上单调递减，在(2a,1)上单调递增.…5分 ②当2a=1,即a=1时， 当0<x<1时，1-x>0,lnx<0,所以f'(x)<0; 当x>1时，1-x<0,lnx>0,所以f'(x)<0. 所以函数在(0，十0)上单调递减.…6分 ③当2a>1,即a>时， 2 当0<x<1时，2a-x>0,lnx<0,所以f'(x)<0: 当1<x<2a时，2a-x>0,lnx>0,所以f'()>0: 当x>2a时，2a-x<0,lnx>0,所以f'(x)<0. 所以函数在(0,1)，(2a,+o)上单调递减，在(1,2a)上单调递增.…8分 综上，当0<a<时，函数在Q2a.化+上单调递减，在2a.)上单调递增： 当a=)时，函数在0，+∞)是单调递减： 当a>2时，函数在(0,1，(2a,+0)上单调递减，在1,2a)上单调递增。…9分 (3)因为f(e)=ane“)2-ene+e“=a3+(1-a)e,要证f(e)<1, 只需证a3+(1-a)e“<1,即a3-1+(1-a)e<0, 令g(a)=a3-1+1-a)e“,ae(0,1), 因此只需证g(a)<0即可. g'(a）=3a2-e9+(1-a)e=a(3a-e4),…11分 再令h(a)=3a-e“,则h'(a)=3-e 因为a∈(0,1)，所以1<e“<e,得3-e>0,即(a)>0, 所以h(a)=3a-e“在(0，I)上单调递增，且h(0)=-e°=-1，h()=3-e>0. 由零点存在性定理，存在唯一a∈(0,1)，使得h(a)=3a,-e=0, 即3=e.…l3分 所以g'(a@)在(0,1)有唯一零点a,且当0<a<a,g'(a)<0,当a<a<1,g'(a)>0, 高二年级数学答案第4页共7页 所以g(@)在(0，a)上单调递减，在(a,1)上单调递增，…15分 且8(0)=03-1+1-0)e°=-1+1=0,8)=13-1+(1-10e'=0, 所以对a∈(0,1)，都有g(a<0成立， 所以a∈(0,1)，f(e）<1成立.…17分 19.【答案】0)3x+y-5=0或15x-4y+20=0.2-2<元<6且*131） m 【详解】(1)因为f(x)=x3-3x2+4,故可设切点为(x,x-3x+4),f"(x)=3x2-6x, 所以5-3x44-5='(6)=3-66, x-0 整理得：(-1)(2x+1)=0 1 解得：=或X=一，…2分 当x=1时，切点为(12)，切线斜率为-3，故切线方程为3x+y-5=0, 当无=时切点为（》切线刻率为宁切线方为15-4+20=0， 故切线方程为：3x+y-5=0或15x-4y+20=0.…4分 (2)x2-2x+4=(x-1)2+3≥3，当且仅当x=1时，x2-2x+4=3, 由(1)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2), 所以当x<0时，f'(x)>0,函数f(x)在(o,0)上单调递增， 当0<x<2时，f'(x)<0,函数f(x)在(0,2)上单调递减， 当x>2时，f'(x)>0,函数f(x)在(2，+o)上单调递增， 又由f(x)=x3-3x2+4可得，f(3)=f(0)=4,f(-1)=f(2)=0, 作函数f(x)=x3-3x2+4的大致图象如下， 高二年级数学答案第5页共7页 4 x)=x3.3x2+4 2 …6分 123方 所以f(x2-2x+4)≥f(3)=4=f(0), 要使f(x2-2x+4)+f(x2+x)>4恒成立 当x2-2x+4=3即x=1时，f(3)+f(1+2)>4恒成立， 即f(1+2)>0恒成立，即1+>-1，且1+1≠2， 所以元∈(-2,1)U(自，+∞)…7分 当x2-2x+4>3时，由f(x-2x+4)+f(x2+元x)>4恒成立， 得f(x2-2x+4)>4-f(x2+x(*), 因为f(x)=x3-3x2+4,所以f'(x)=3x2-6x,f"(x)=6x-6, 令f"(x)=0,所以x=1, 当x<1时，f"(x)<0,当x>1时，f"(x)>0, 由题干可得函数y=f(x)的图象关于点(1,2)对称，…9分 所以f(2-x)=4-f(x), 所以不等式(*)为f(x2-2x+4>f(2-x2-x), 因为x2-2x+4>3,结合图象可得x2-2x+4>2-x2-x, 所以2x2+(1-2)x+2>0恒成立， △=（元-2）-16<0，所以-2<1<6.…10分 综上，-2<儿<6且≠1…11分 8)ge=2m+ch(o-)5+子+l 高二年级数学答案第6页共7页 由于m>0,mx>0,故x>0,即g(x)的定义域为(0，+o),…12分 8'(=6ur+6x+2[6n(omx)-1s]x+18, m g"(x)=12mx+6+12+26ln(mx)-15]=12x+12n(mx)-12, 令g"(x)=0得，mx-1+ln(x)=0, …13分 令h(x)=x+lnx-1,x>0, 则()=1+1>0在(0，+o)上恒成立， 故h(x)=x+lnx-1在(0，+o)上单调递增， 又h(1)=0,所以h(x)=x+lnx-1有唯一的零点x=1,…l5分 故mx=1,即x=二时，满足mx-1+ln(mx)=0, 当x=时， )=25+18 。十 +1=1, 故8（因）的拐点为二1 ………17分 m 高二年级数学答案第7页共7页2026年春季学期期中考试高二年级数学试卷 (考试时间：120分钟满分：150分) 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 兀 1.某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：cm)与时间t(单位：s)之间的关系为y=10sin二t, 则当时间t=4s时，弹簧振子的瞬时速度大小为()cm/s. A.An B.5 C.6π D.8π 2.某小区有3个不同的快递驿站（驿站A、B、C),现在有5件快递需要分发到这3个驿站，每件快递 只能分发到其中一个驿站，那么不同的分发方法有多少种？() A.15 B.81 C.125 D.243 3.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)图象如左图所示，则该函数y=f(x)图象可能是() 4.已知m,n∈N,且n≥m≥2，则下列等式不正确的是() A.A30=10A B.Am=Cm.Am C.Am+A=A D.nC=mCm 5.已知a=1+本b=3+好c=n4+写，则a么c的大小关系为() e+1 A.c>b>a B.b>c>a C.a>b>c D.b>a>c 高二年级数学试卷第1页共4页 6.已知函数f(x)=(3x-10)°=a+a(x-2)+a,(x-2)2+…+ao(x-2)°，则() A.a+a+a2+…+a10=710 B.a+a3+a5+…+ag= 1+710 2 C.a=-40x39 D.f(13)的个位数是9 7.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意实数x,有f(x)>f'(x),且f(x)+2026为奇函 数，则不等式f(x)+2026e<0的解集是() A.（-m,0) B.(0,+∞) C.（-∞，ln2026) D.（2026,+∞) 8.若关于x的不等式lnx-ax-ax≥0有且只有一个整数解，则实数a的取值范围是() In3 In2 「ln3ln2 (In2 In3 0 In 2 In3 A. 12’6 B. 12’6 C. (1012 10’12 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列求导正确的是() C.（x3.3）=x2.3+n3 (x-2)e D 10.下列说法正确的是() A.用0~5这6个数字，可以组成60个没有重复数字的三位数 B.将2个a,3个b,1个c排成一排，则共有60种排法 C.将6个参加数学竞赛的名额分给甲、乙、丙三个班，每班至少一个名额，则共有10种方法 D.从4名男生和3名女生中选出3人参加数学竞赛，如果3人中必须既要有男生又有女生，则共有 CCC种选法 11.已知f(x)是定义在R上的可导函数，其中f'(x)为其导数，g(x)=f'(x),若f(x)满足f(x+2)= f(x)+2,f(2x+)关于点(0,1)对称，下列结论中正确的是() A.f(I)=0 B.f(2025)=2025 C.x=1为g(x)的一条对称轴 D.g(x+1)=8(x-1) 高二年级数学试卷第2页共4页 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.如图，有两堆同样的盒子，一堆3个，一堆7个，现需要将这些盒子搬走，每次只能从其中一堆搬 走最上面的一个盒子，共有 种不同的搬法.（用数字作答） 13.在微积分中“以直代曲”是最基本、最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的 外切正n边形和内接正n边形“内外夹逼'的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，事实上就是用“以直 代曲”的思想方法进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲的方法，在切点 附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”，若函数f(x)=e,则曲线y=f(x)在点 (0,)处的切线方程为 ,用此结论“近似计算”20的值为一 (结果用分数表示). [xe2x+a,x2-1 14.若函数f(x)= 有且仅有两个零点，则实数a的取值范围为 a-2x,x<-1 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知函数f(x)=2x3-ax2+4,x=1是函数f(x)的一个极值点. (1)求函数f(x)的单调区间： (2)当x∈[-1,2]时，求函数f(x)的最小值. 16.(15分)在 2x+ 的展开式中，一·给出下列条件：①所有奇数项的二项式系数和为32；②各 项系数之和为729：③第3项的二项式系数为15.试在这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上， 并且完成下列问题： (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项： 3)求+2x+ 展开式中x2的系数 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 高二年级数学试卷第3页共4页 17.(15分)已知函数f(x)=nx-ax+1. (1)求f(x)的极值： (2)当a=-1时，证明：f(x)≤xe. 18.(17分)已知函数f(x)=an2x-xhx+x. (I)若a=0,求f(x)的零点； (2)若a>0,讨论f(x)的单调性： (3)若a∈(0,1)，证明：f(e)<1. 19.(17分)拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点）.∫'(x)是函数y=f(x) 的导函数，f"(x)是函数f'(x)的导函数，f"(x)也称为函数y=f(x)的二阶导函数.若方程f"(x)=0有实 数解x=x,并且在点(x,f(x)左右两侧二阶导数符号相反，则称(，f(x)为函数y=f(x)的“拐点”.经 研究发现所有的三次函数f(x)=ar+bx2+cx+d(a≠O)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y=f(x)的图象 的对称中心.已知三次函数f(x)=x3-3x2+4. (1)过点P(0,5)作曲线y=f(x)的切线，求切线方程； (2)若对于任意实数x,都有f(x2-2x+4)+f(x2+x)>4恒成立，求实数的取值范围： aE知至教g(2ar[6(am)15可：冷r高1，共丰网心>0.求s闭的锅点 高二年级数学试卷第4页共4页