安徽合肥市第一中学2025-2026学年高二第二学期期中教学质量检测数学试题

合肥一中2025-2026学年第二学期高二期中教学质量检测 数学试题 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分 1.书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书.从书架上任取数学书和语 文书各1本，不同的选取方法有() A.6种 B.30种 C.5种 D.11种 2.已知双曲线y=1的一条渐近线方程为y=2x,则其离心率为（) A.5 B.2 C.5 D.6 3.一个包装箱内有12件产品，其中有10件合格品.现从中随机取出4件，设取出的4件产 品中有X件合格品，则E()=() A月 B.3 4 C.3 10 D.3 4.心-艺x+2)的展开式中y的系数为（) A.100 B.60 C.40 D.20 5.某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布N(80,400),则分数在100-120 之间的考生约有()（参考数据：若X~N4,o2),则有P(u-o<≤X≤l+o)≈0.6827，P(u- 20≤X≤μ+2o)≈0.9545，P(u-30≤X≤u+3o)≈0.9973) A.1360人 B.1570人 C.2720人 D.3410人 6.已知点P在直线：y=x+3上移动，椭圆C以A(-1,0)和B(1,0)为焦点且经过点P,则椭 圆C的离心率的最大值为() A.6 B.V10 c.vi5 D.25 5 5 5 5 7.某学校有A,B两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐.如果某天去A餐厅，那么 1 第2天还去4餐厅的概率为：如果某天去8餐厅，那么第2天还去B餐厅的概率为片，若 张同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去A餐厅用餐的概率为() A品 31 B.72 C.8 D 25 8.已知函数)ae-h〔。)1a>0,若不等式)20面成立，则实数a的取值范 围为() 试题第1页，共5页 c.op] 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分 9.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角 是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律， 如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是() 第0行 1…第1斜列 第1行 11…第2斜列 第2行 121…第3斜列 第3行 1331…第4斜列 第4行 14641…第5斜列 第5行 15101051…第6斜列 第6行1615201561…第7斜列 第7行172135352171…第8斜列 A.1+C+C6+C4=C8 B.第10行所有数字之和为20 C.第2026行的第1013个数最大 D.第15行中从左到右第4个数与倒数第4个数之比为1：3 D。已知抛物线C:y=2p(p>0)的焦点F与椭圆+=1的一个焦点重合，过F的直 线交C于A,B两点，交C的准线于点P.若AF=3,则下列说法中正确的有() A.抛物线C的方程为：y2=4x B.AB=4 C.PB=AB D.△A0B的面积为3V2 11.数的进制是人们利用符号来计数的方法.我们在日常生活中习惯于采用十进制计数与运 算，但是在其它领域中，其它进制计数方式也应用广泛，例如计算机处理数据时，采用的就 是二进制方法.二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位 规则是“借一当二”.若干进制数n=a,×2+a×2-1+a,×2-2+…+a1×2+4×2°，其中 a。=1,4∈{0,1}，则n对应的二进制数为(a,442-a,)2(keN).以下说法正确的是() 试题第2页，共5页 A.十进制数2025用二进制表示为(1111101001)2 B.满足4,41,42，，a,中有且只有3个1的所有二进制数(a442…46),对应的十进制数 的和为1275 C.将n对应的二进制数中1的个数记为S(n),则S(2n+1)=S(16n+4) D.将n对应的二进制数中0的个数记为T(n),令f(n)=2),则 f(22025）+f(22025+1)+f(2025+2）+…+f(22026-1）=32025 三、填空题：本大题共三小题，每小题5分，共计15分. 12.曲线y=nx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 13.己知直线1与椭圆二+二=1在第一象限交于4，B两点，1与x轴，y轴分别交于M,N 63 两点，且MANB,MN=2√3，则1的方程为 14.某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一个，且 所取的装饰品只能有1个或0个相邻的装饰品，则不同的取法数有 种 四、解答题：本题共5小题，共77分 1s13分)已如属数f-子x-方-0. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)在区间上的最大值与最小值. 16.(15分)为研究高中生[1,2]每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性，某高中数 学教研组从本校高二年级随机抽取了100名学生进行调查，统计其每周整理错题时长（单位： 小时)及期末数学成绩，按照“整理错题时长≥2小时和“整理错题时长<2小时”将学生分为 时长充足组和时长不足组，再按照数学成绩是否不低于120分（满分150分）分为成绩优秀 和成绩一般，得到如下列联表： 试题第3页，共5页 成绩优秀 成绩一般 合计 时长充足组 30 10 40 时长不足组 20 40 60 合计 50 50 100 同时，从样本中随机选取6名学生，记录其每周整理错题时长（记为变量x,单位：小时） 与对应数学成绩（记为变量y,单位：分），得到如下数据： 学生编号 2 3 4 5 6 0 1 2 2 3 4 y 91 105 116 119 125 140 (1)根据表中数据，依据α=0.001的独立性检验，能否认为高中生数学成绩与每周整理错题 时长充足与否有关联？ (2)请你结合第(1)问得出的独立性检验结论，根据选取的6组数据，建立y关于x的经验 回归方程，并预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为多少分？ n(ad-be) 参考数据与公式：x2= n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.050 0.010 0.001 Xa 3.841 6.635 10.828 经验回归方程)=a+bx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： .40- 空化列 a=-d标. 17.(15分)已知函数f(x)=ae-x-1. (1)若f(x)在(1,2)上存在极小值，求实数a的取值范围 (2)讨论f(x)在(-2,2)上的零点个数. 试题第4页，共5页 18.（17分)如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左 或向右移动一个单位.设移动次后质点位于位置X 654-3-210123456 (1)若n=6,求P(X。=0)的值： (2)若n=5,求P(X,=3)和D(X)的值： (3)已知移动8次后X=2,求质点在这8次移动中，前5次移动后质点位于X,=3的概率 19.(17分)元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围 内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到2次，则游戏立即结束并获奖， 若投掷n次(n≥2且n∈N)后仍未累计命中2次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得1分，未命中记得-1分， 当累计得分达到3分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到-3分，游戏立即结束，无 法获奖 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立，己知甲同学参 加游戏一，且每次命中率为}：乙同学参加游戏二，每次命中率为p(0<p<1), (1)当=4时，记甲同学投掷次数为X,求X的分布列及期望： (2)当=k(k≥2且k∈)时，求甲同学获奖的概率（用含k的表达式表示）： (3)记=4时，甲同学获奖的概率为P。;若乙同学获奖概率不小于P。,求p的最小值 试题第5页，共5页合肥一中2025-2026学年第二学期高二期中教学质量检测 数学答案 1.B 【详解】先从6本不同的数学书取出1本数学书，有6种方法，再从5本不同的语文书取出 1本语文书，有5种方法， 由分步乘法计数原理，不同的选取方法有6×5=30种 2.C 【详解】因为双曲线的标准方程为Y卫=1， 2 所以，双曲线的焦点在x轴上， 又因为一条渐近线方程为y=2x, 所以，b=2e=c-V@+b=V5 a aa 3.D 【详解】由题可得X服从超几何分布，且n=4,N=12,M=10, 所以E()=4-4x10_10 123 故选：D 4.B 【详解】因为分+2-+2列+2列， 其中(x+2y)展开式的通项为T,=C?·x.(2y)(r∈{0,1,2,3,4,5})， 所以x-艺x+2列的展开式中含有y的项为 x.Cx2.(2y)°-Cξx3-(2y2=80xy2-20xy=60xy, 所以展开式中xy的系数为60. 5.A 【详解】由成绩X近似服从正态分布N(80,400),得u=80,o=20, 则 P100≤X≤120)=Pu+o≤X≤L+2o)=,[Pu-2o≤X≤L+2o)-Pu-6≤X≤μ+oJ 答案第1页共12页 ≈-(0.9545-0.6827)=0.1359，则10000×0.1359=1359， 2 所以分数在100-120之间的考生约有1360人. 6.A 【详解】椭圆C以A,B为焦点，即c=1,b2=a2-1, 所以设椭圆方程十y =1(a>1), a2a2-1 + =1 联立方程a2d-1, y=x+3 消去y得出(2a2-1)x2+6a2x+10a2-a=0, 由题意可得△=36a-4(2a2-1)10a2-a)≥0， 即d-6a+5≥0，得出a2≥5或ad≤1（舍去），解得a≥√5， 所以e=1s5 aa 5 所以椭圆C的离心率的最大值为5 7.B 【详解】设A表示事件：第i天去A餐厅，B表示事件：第i天去B餐厅， 则P(A)P(a)=号P414)-号PBIB)-2 则P(a1A)子P41a)- P(A)=P(A)P(AA)+P(B)P(A,B) 11.115 =2×322121 P(B2)=P(4)P(B,14)+P(B)P(B,IB) P(A)=P(A)P(A,A)+P(B2)P(A,B2) -5x+2x131 -X一十 -X- 12312272 故选：B 8.A 【详解】由f(x)≥0恒成立，则a≥h(x-1)-na-l恒成立， 答案第2页共12页 即ae+lna≥ln(x-1)-l恒成立， 即eha+x+na≥ea-)+ln(x-1)恒成立， 令g(x)=e+x,则g(x+ha)≥g(ln(x-1), 由g(x)=e+x在R上单调递增，故x+lna≥lh(x-l),则ha≥ln(x-l)-x恒成立， 令=h-)-≥，则w()X1-- 2-x 当x∈(1,2)时，h(x)>0,当x∈(2，+o)时，(x)<0, 故h(x)在(1,2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减， 故h(ysh(2)=h(2-)-2=-2,故ha2-2,则a≥ e2 即实数α的取值范围为 e- 9.AB 【详解】对于A,1+C+Cg+C1=C4+C+Cg+C1=C8,故A正确； 对于B,由杨辉三角的每行系数和性质可知， 第0行所有数字之和为1=2°，第1行所有数字之和为1+1=2， 第2行所有数字之和为1+2+1=22，第3行所有数字之和为1+3+3+1=23， 第4行所有数字之和为1+4+6+4+1=2，以此类推，第10行所有数字之和为20，故B正 确； 对于C,由杨辉三角图可知，第n行有n+1个数字， 如果n是奇数，则弟”宁和第”生+1个数字最大且这两个数字一样大： 如果九是偶数，则第1个数字最大，故第2026行的第206中1E04个数最大，故.C错 误； 对于D,由题意，第15行，第4个数为C=15x14x13=455, 3×2×1 倒数第4个数为C=C,=455,即C:C1=1:1,故D错误. 故选：AB. 10.ACD 答案第3页共12页 【详解】由于椭圆￥+上=1的焦点坐标为（←1,0），么，0)， 43 则=1，即p=2,所以抛物线C的方程为：y=4x,故A正确： 由F,设4，).则M=g+号=+1=3即=2， 又=4=8，则片=±2W2,结合对称性，不妨取A(2,2V2), 则无。-25,0-22，即直线B的方程为y=25-1,即P←1-4W, 2-1 联立25(-，解得 =2 ]y2=4x 则42八(65矿号放B错谈： 可9-1为+(45+可矿-号A枚c正确： -22 2W2 点O到直线AB的距离为d V(2W2+(12 3 则S.A0B= 4=253 223-2 ,故D正确。 故选：ACD 11.BCD 【详解】对于A: 2025=1024+512+256+128+64+32+8+1=1×210+1×2°+1×28+1×27+1×26+1×25 +0×24+1×2+0×22+0×2+1=(11111101001)2,故A错误； 对于B:n=4。×26+4×2+…+a,×2+a,×2°，其中a。=1,4,4,,a。中有且只有2个1， 答案第4页共12页 有C6=15种可能： 所以所有二进制数(a,44-4)2对应的十进制数的和中，26出现C%=15次，2,24，，2,2°均 出现C=5次， 所以对应的十进制数的和为C(2+24+…+2+2）+C×2=1275,故B正确： 对于C:n=a,×2*+a×2-1+a2×2-2++a1×2+a×2°， 则S0m=∑a,2n+1=a,×21+a×2+a,×2++a1×2+a4×2+1, 故 S(2n+1)=∑a,+1=S0m+1,16m+4=a×2+4+a×2++a,×2+2++a-1x2+4×2+22, 1=0 故S06n+4④=∑4+1=S0)+1,故S(2n+1)=S(16n+4),故C正确： 对于D:22025,22025+1,22025+2,,22026-1共22026-22025=22025个数中所有的数转换为二进制 后，总位数都为2026，且最高位都为1；而除最高位之外的剩余2025位中，每一位都是0 或者1： 设其中的数x,转换为二进制后有k个0(0≤k≤2025)，f(x)=2: 在这2202个数中，转换为二进制后有k个0的数共有C个， 202 故f(2)+f2+l+f+2小+f-1上岁C-=0+25=3，故D 正确， 故选：BCD 12.y=2.x 【详解】设切线的切点坐标为(，).y=nx+x+1,y=1+1, L+1上25=1=2，所以切点坐标为Q,2 所求的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x. 故答案为：y=2x 13.x+√2y-2√2=0 【详解】解：由题意知，点E既为线段AB的中点又是线段MN的中点， 答案第5页共12页 设A(x,y),B(x2,y2),设直线AB:y=a+m,k<0,m>0, 则40 N(0,m), mm 2k2 因为W=2W5,所以O=V5 y=kx+m 联立直线AB与椭圆方程得{ 消掉y得1+2k2)x2+4mx+2m2-6=0 =1 6 3 Amk 其中△=(4mk)2-41+2k2)2m2-6)>0,x1+x2= 1+2k2, 2mk mm】 ∴AB中点E的横坐标xg= 1+2又 2mk 2k'2 X=- 2k 0.m0.k5又o )2+(")2=5，解得m2 2k 所以直线AB:y= 2 x+2,即x+√2y-2W2=0 14.216 【详解】将这7个小球编号如下图所示： 分以下两种情况讨论： 第一种，第一步，先取1、5、7号球，第二步，再取2、4、6号球依次取2个球， 最后一步，从剩余两球依次摸取，此时不同的抽法种数为AAA?=72种： 第二种，将(1,2)、(4,5)、(6,7)视为三个整体， 前三个球从其中一个整体和每支不与3号球相邻的小球中依次摸取，有6种， 以1、2、5为例，可依次为(1,2,5)、(1,5,2)、(5,1,2)，共3种， 剩余3、4、6、7号球，先从4、7号球中摸一个，有2种情况， 比如先取7号球，剩余三个相邻的小球，接下来从4、6号球中取一个，有2种情况， 最后剩余两球摸取的先后顺序任意， 此时，不同的取法种数为6×3×2×2×2=144 综上所述，不同的取法种数为72+144=216种. 答案第6页共12页 故答案为：216. 15.Q单调道猫区间是：(-)利侵小 单调减区间是： -12 2最小值为-2 8 ，最大值为 【详解1由)=号x--3x。 2 可得：(x)=2x2-X-3=(2x-3)(化+1)，2分 由f'(y)=(2x-3c+1)>0,可得x>2或<-1： 2 由f'(w)=(2x-30+1<0,可得：-1Kr< 3 所以函数/)的单润递增区间是：(m-)和[+】 单调减区间是： .6分 (2)由(1)知：函数f(x)在区间[1,2]上的单调性为： 单调递减， 3 单调递增， 所以最小值为f )-)- …9 分 32 2 3 所以旅大位为/2)至 所以适效)车区同儿到的段小值为-冬放大值为 8 313分 16.(1)认为高中生数学成绩与每周自主整理错题时长有关，答案见解析 (2))=92.4+11.8x,145.5分，该结果与实际得分不一定相符合，原因见解析 【详解】(1)零假设为H。：高中生数学成绩与每周自主整理错题时长无关， 根据表中数据可得，x=100×30×40-20×1025 40×60×50×50 3 ≈16.667>10.828001’ 根据小概率值a=0.001的x2独立性检验，我们推断H。不成立， 即认为高中生数学成绩与每周自主整理错题时长有关，该推断犯错误的概率不超过 答案第7页共12页 0.001.7分 (2)由数据得，元=0+1+2+2+3+4-2. 6 D-91+105+116+119+125+140-116,…9分 6 含x-0列-(2到(2()1000+0319+2241 k-=10,11分 得6≥(x-)y-) 0118=11.8,a=v-你=116-11.8x2=92.4,w14 2s- 10 分 所以y关于x的经验回归方程为)=92.4+11.8x. 将x=4.5代入经验回归方程得=92.4+11.8×4.5=145.5， 所以预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为145.5 分 15分 (11 17.(八ee (2)答案见解析 【详解】(1)f(x)的定义域为R,f'(x)=ae-1, 当a≤0时，f()<0,f(x)单调递减，无极值，不合题意；2分 当a>0时，令f'(e)=0,得e=】,即x=-na, 当x<-lna时，∫'(x)<0,f(x)单调递减，当x>-lna时，f'(x)>0,f(x)单调递 增， 4分 所以了国在x=一a处取得极小位，故1长-血a<2,解得。a e 所以实数a的取值范围为 11 Le2'e .7分 2令f=0.相a=,令g-,则ge=-+e e2x e 当-2<x<0时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当0<x<2时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 答案第8页共12页 又g(0)=1,g(-2)=-e2,g(2)=3e2,9分 当a≤-e2时，方程a=g(x)无解，所以f(x)在(-2,2)上无零点， 当-e2<a≤3e2时，方程a=g(x)有1个根，所以f(x)在(-2,2)上有1个零点， 当3e2<a<1时，方程a=g(x)有2个根，f(x)在(-2,2)上有2个零点， 当a=1时，方程a=g(x)有1个根，f(x)在(-2,2)上有1个零点， 当a>1时，方程a=g(x)无解，f(x)在(-2,2)上无零点.14分 综上所述，当a≤-e2或a>1时，f(x)在(-2,2)上无零点： 当-e2<a≤3e2或a=1时，f(x)在(-2,2)上有1个零点： 当3e2<a<1时，f(x)在(-2,2)上有2个零点.15分 18.0016 K=是DX)-5 56 【详解】(1)设随机变量5表示“移动次后质点向右移动的次数”，由于质点每隔1秒等可 能地向左或向右移动一个单位，所以号~B2, 由题意知Xn=5-(n-),即X=25-n. 当n=6时，P(x,=0)=P(5=3)=C2 16 5分 @当5.PK==g=到=c 5 -32 7分 D(X,)=D(25-5)=4D(5)=4x5×2×2 11 5 10分 （3)设“移动8次后Xg=2”为事件A,“移动5次后X,=3”为事件B.则 P(A=P(Xg=2)=P(5=5) c 56 256 13分 事件AB即“前5次移动后X,=3且后3次移动后Xg=2”故 答案第9页共12页 P(A)-cc- 5 56 16分 所以前5次移动后质点位于X,=3的概率为P(4)=P儿4B）_15 P(A5617分 19.(1)分布列见详解，E()= 98 27 1 【详解】(1)由题可知：X的取值可能为2,3,4， P=2)-专*号g,P-)-c×号*}×4 111 33327 P(X=4)=1- 3420 2727-27 …3分 故x的分布列为： X 2 3 4 1 20 9 27 27 1 故E(X)= 2 4 ×3+ 20×4=98 27 7 …5分 27 (2)法一：记事件A:甲同学获奖， 显然，k≥2，设y表示甲投掷的次数，若甲投掷(2≤i≤)次并获奖， 则v=-=c周)-- …7分 空w-間-+-得 令(++e- 所以=(+2++e-。 两式相减-)+--) 答案第10页共12页 …11分 3 法二：间接法。甲不获奖的情况：在k次投掷内累计命中次数为一次或者零次。 前k次命中0次的概率：)…7分 前k次命中1次的概率：C装××)-1…10分 因此获奖概率P=1-)-C是×行×)-1=1-生×)-1…11分 (3)记z表示乙同学的得分，Z=-3,-2,-1,0,12,3, 记事件B:乙同学获奖，P(Z=)表示乙同学得分为k分时，最终获奖的概率， 显然P(B)=P(Z=0),又P(Z=3)=1,P(Z=-3)=0, 由全概率公式知： P(Z=)=pP(Z=k+1)+(1-p)P(Z=k-1),k=-2-10,12,…14分 所以P(Z=k+1)-P(Z=k)= z=的=-川. 那么：PZ-)-P2=)1P2=)-P2-21jP2--P2-1 2j[2=-2-2z-Pa=-2 即w=》-e-习r2=-, 月厘z》zD台2， Pz0-Rz=0-合Pz=- 答案第11页共12页 有z2-2-小jz2》 -+gj小2z- 2、1 即P(Z=3)= 1 1 即P8=P亿=0)=1+(G1)+(片-1)1P2=-2)=1+1-1 3 由甲同学获奖时，投掷次数不超过4次的概率为卫，得：2，-1-4+2×？-是 3(3=27 1 11 1 由P(B)≥P,即1+1-1 3 27,解得P 2 23 +1 V11 1 故p的最小值为22 .…17分 +1 V11 答案第12页共12页