精品解析：广西壮族自治区南宁市第三十六中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题

南宁市第三十六中学2025-2026（下）月考试题 高二数学 （考试时间120分钟，满分150分) 命题人：周星宇 审题人：阮桂莲 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上，贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡交回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若，则（ ） A. 120 B. 105 C. 210 D. 240 2. 已知数列是等差数列，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 5. 设等差数列，的前n项和分别为，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 某台晚会有ABCDEF这6个节目，其中A与C相邻且A排在C的前面，B与D不相邻且均不排在最后，则6个节目的不同排法有（ ） A. 72 B. 48 C. 36 D. 24 8. 已知函数在上单调递增，则a的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 3 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 集合的子集共有32个 B. 若把英文“small”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 C. 3封信投入5个信箱，不同方法数有种 D. 6个三好学生名额分给3个班，每个班至少一个名额，不同方法数有10种 10. 已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. 数列是递增数列 C. 数列中的最小项为 D. 、、成等差数列 11. 已知函数，则以下结论正确的是（ ） A. 函数存在极大值和极小值 B. C. 函数存在最小值 D. 对于任意实数k，方程最多有4个实数解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列的前项和，则的通项公式___________. 13. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 14. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种___________．（以数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 三个女生和五个男生排成一排． （1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？ （4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？ （5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？ 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在上的最大值与最小值. 17. 已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，且满足，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 18. 如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点，为的中点，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁市第三十六中学2025-2026（下）月考试题 高二数学 （考试时间120分钟，满分150分) 命题人：周星宇 审题人：阮桂莲 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上，贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡交回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若，则（ ） A. 120 B. 105 C. 210 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用排列数和组合数公式求解即可. 【详解】由题意得，得到，解得， 则由排列数公式得，故C正确. 故选：C 2. 已知数列是等差数列，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可. 【详解】由，得，设，为非零实数，则， 因为数列是等差数列， 所以，…，是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得， 所以， 故选：A 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由简单复合函数的求导法则即可求解. 【详解】解：令， 所以 即 所以， 故选：D 4. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 【答案】C 【解析】 【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得. 【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案， 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解. 5. 设等差数列，的前n项和分别为，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可设，，结合与的关系可得. 【详解】因数列，均为等差数列， 故由，可设，， 则， ， 则 故选：B 6. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，进而利用的单调性解不等式即可. 【详解】令，则， 所以在上单调递减， 因为， 所以不等式可变为，即， 所以，即， 所以不等式的解集为. 故选：D. 7. 某台晚会有ABCDEF这6个节目，其中A与C相邻且A排在C的前面，B与D不相邻且均不排在最后，则6个节目的不同排法有（ ） A. 72 B. 48 C. 36 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】先将与捆绑和排列，再将插空排列，即得解. 【详解】解：先将与捆绑在一起和另外两个确定的节目进行全排列，有种排法， 再将与插排在3个空里（最后1个空不排），有种排法， 由乘法分步原理得6个节目的不同排法有. 故选：C. 8. 已知函数在上单调递增，则a的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的单调性建立不等式，再分离参数构造函数，求出的最小值作答. 【详解】函数，求导得：，因在上单调递增， 则对任意的，成立，设，则， 由，得，由，得，从而在上单调递减，在上单调递增， 即，因此， 所以a的最大值是. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 集合的子集共有32个 B. 若把英文“small”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 C. 3封信投入5个信箱，不同方法数有种 D. 6个三好学生名额分给3个班，每个班至少一个名额，不同方法数有10种 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据元集合的子集共有个判断A；利用排除法列式计算判断B；根据分步乘法计数原理判断C；利用隔板法计算判断D. 【详解】对于A，集合有5个元素，子集个数为个，故A正确； 对于B，“small”的所有字母排列总数为种，其中1种是正确的排列，因此，错误的排列共有共有种，故B正确； 对于C，3封信投入5个信箱，不同方法数有种，故C不正确； 对于D，将6个人站成一排，每班至少要1名，就有5个空然后插入2个板子把他们隔开，从5个里选2五个，即有种．故D正确. 故选：ABD. 10. 已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. 数列是递增数列 C. 数列中的最小项为 D. 、、成等差数列 【答案】AB 【解析】 【分析】根据可知数列为等差数列，根据通项公式和求和公式结合选项逐个判断. 【详解】因为，所以数列为等差数列，公差为3， 因为，所以，； 对于A，因为，所以是递增数列，A正确； 对于B，因为，所以数列是递增数列，B正确； 对于C，因为，所以数列中的最小项为，C不正确； 对于D，当时，，显然不是等差数列，D不正确. 故选：AB. 11. 已知函数，则以下结论正确的是（ ） A. 函数存在极大值和极小值 B. C. 函数存在最小值 D. 对于任意实数k，方程最多有4个实数解 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数求出单调性可判断AC，根据单调性判断B，转化为，交点问题，数形结合判断D. 【详解】由可得， 由可得：，由可得：， 所以在单调递减，在单调递增，故选项A不正确，C正确： 对于选项B：在单调递增， 因为，所以，故B正确； 对于选项D：方程即，有一根为，令．则 ， 令可得或， 令可得， 所以在和单调递增，在单调递减， ， 作出，的图形如图所示： 所以存在时，方程有3个实数解，此时方程有4个实数解，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列的前项和，则的通项公式___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据求得，当时，利用求得的表达式，验证首项是否适合，即可得答案. 【详解】由题意数列的前项和，则， 当时，， 不适合上式， 故的通项公式， 故答案为： 13. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 14. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种___________．（以数字作答） 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，按照颜色的种数进行分为3种颜色和四种颜色依次讨论即可. 【详解】按照使用颜色的种类分类， 第一类：使用了4种颜色，2,4同色，或3,5同色，则共有(种)， 第二类：使用了三种颜色，2,4同色且3,5同色，则共有(种) 所以共有48+24=72(种) 故答案为：72 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 三个女生和五个男生排成一排． （1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？ （4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？ （5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【解析】 【分析】（1）用捆绑法，分两步进行，先3名女生看为一个整体，再将其与5名男生进行全排列，分别求出其情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案； （2）用插空法，分两步进行，先将5名男生全排列，有6个空位，在6个空位中任选3个，安排3名女生，分别求出其情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案； （3）分两步进行，首先在5名男生中任取2人，安排在两端，再将剩余的6人安排在其他6个位置，分别求出其情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案； （4）从8个位置中，任意排3个女生即可； （5）分两步进行，先在前3个位置中安排3名女生，再将后5个位置安排5名男生，分别求出其情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：（1）女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排，故有种； （2）女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有种； （3）两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有种； （4）男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有种， （5）三个女生站在前排，五个男生站在后排，种 【点睛】本题考查排列的应用，相邻问题一般看作一个整体处理，不相邻，用插空法，属于中档题． 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在上的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）最大值为2，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导分析函数在的单调性与极值再求最值即可 【小问1详解】 因为，所以.则所求切线的斜率为， 故所求切线方程为，即. 【小问2详解】 因为，，所以. 令，得（舍去），则在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为.又，， 所以的最大值为2，最小值为. 17. 已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，且满足，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设出等差数列公差、等比数列公比，由已知条件列出方程组，求解即得通项公式. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法及等比数列前项和公式求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，数列的等比为， 依题意，，，，， 即且，解得，， 所以和的通项公式分别为，. 【小问2详解】 由（1）得，则，， 因此， 所以. 18. 如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点，为的中点，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 证明：    连接如上图，在中，、分别为、的中点， 所以.又因为平面，平面， ∴平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线和线面平行的判定定理即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出法向量，利用向量的夹角公式运算即可得解. （3）假设存在，根据线面角的公式运算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为平面，平面， 所以，.又，所以. 以为正交基底建立如下图所示的空间直角坐标系. 则，，，， ，.则，. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，解得，. 所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为，所以 由图可知二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 解：假设存在点，设，则 . 由（2）知，平面的一个法向量为.则， 即，所以. 故存在满足题意的点，此时. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明. 【答案】 （1）a≥0，f（x）在（0，+）单调递增. a＜0，f（x）在单调递增，在单调递减. （2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为. 所以等价于，即. 设g（x）=lnx-x+1，则. 当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即. 【解析】 【分析】（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减. （2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1 ，利用导数易得，即得证. 【详解】（1） 的定义域为（0，+），. 若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增. 若a＜0，则当时，时；当x∈时，. 故f（x）在单调递增，在单调递减. （2）略 【点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式. （2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $