山东省济南第三中学等2025-2026学年第二学期高一年级期中学情检测数学试题

**基本信息** 以迪拜世博会“华夏之光”中国馆模型、正方体动态点轨迹等真实情境为载体，通过圆锥展开体积计算、解三角形周长范围等综合题，考查空间观念、逻辑推理与数学建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、直四棱柱判定、解三角形|第8题结合内外圆柱外接球，融合表面积计算与实际模型| |多选题|3/18|复数象限判定、向量夹角、正方体中点共面|第11题以动态点轨迹长度，考查空间想象与分类讨论| |填空题|3/15|向量垂直、直观图周长、四边形面积|第14题分两空设计，递进考查解三角形与面积综合| |解答题|5/77|复数分类、立体几何证明、解三角形周长范围|第19题圆锥展开问题，连贯考查空间转化、体积计算与线面平行探究，体现分层能力要求|

山东省济南第三中学20252026学年 第二学期高一年级期中学情检测 数学试题评分细则 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 6 7 8 答案 A D C B y B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 10 11 答案 ABC ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.0: 13.10+2y13: 14,7:475(第一空2分，第二空3分. 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】说明：①本题满分13分，第一问4分，第二问4分，第三问5分： (1)由复数z=(m2-1)+(m2+m)i为纯虚数，可得m2-1=0且m2+m≠0，.2分 解得m=1;… …4分 (2)由复数2=(m2-1)+(m2+m)i为实数，可得m2+m=0, .6分 解得m=-1或m=0;8分 (3)由复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则满足m-1<0 )10分 m2+m>0 解得0<m<1,即m的取值范围为(0，). 13分 16.【解析】说明：①本题满分15分，第一问7分，第二问8分： 证明： -1- ()在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD,BCC平面ABCD,4分 平面ABCD门平面PAD=AD,6分 ∴.BCI∥AD, ,………7分 (2)取PA的中点F,连接EF,BF, :E是PD的中点，则EF为△PAD的中位线， ..EF/AD,EF-IAD, 9分 又由()可得BC//AD,且BC=AD, 2 ..BC//EF,BC=EF,................. 11分 .四边形BCEF是平行四边形， .CE/B℉，l2分 ,CE平面PAB,BFC平面PAB, 14分 .CE/∥平面PAB.15分 17.【解析】说明：①本题满分15分，每一问均为9分，第二问6分： 【详解】(1)如图所示，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系， 汽 A(O) B 则A(0,0，B2,0)，C2,2，D(0,2)，E(2元，0，F(2,1,3分 所以DE=(22,-2）,AF=(2,1）, 5分 因为DE⊥AF,则DE.AF=4-2=0,解得入= .9分 -2 (2)由(1)知，DE=(2元，-2)，FE=(2-2,-，10分 则DE.FE=2a22-2到+2=42-42+2=42-2》 13分 当0≤11时，4久-+1L2即正匠的取位宿周2 15分 18.【解析】说明：①本题满分17分，每一问5分，第二问5分，第三问7分： 【详解】(1)在ABC中，因为2 acosA=ccosB+bcosC, 所以2 sinAc0sA=sinCc0sB+sinBc0sC,1分 即2 sinAc0sA=sin(C+B）=sin(元-A=sinA,3分 因为Ae(0,π，所以sinA>0,故cosA=。 2 y4分 则4-子 5分 (2)因为4BC的面积为35 2 hesindx bxcxsin ,所以bC=6. 7分 32 由余弦定理得 a2=b2+c2-2 bccosA=b2+c2-bc=(b+c)-3bc=25-18=7解得a=V7,9分 所以ABC周长为5+√万.10分 b a 1 2v5 (3)由正弦定理得sinB sinC sinA sin 3,11分 3 即b=2 2V sinB,c= -SInC......................................... 3 12分 6/ 14分 因为ABC为锐角三角形，则0<B<5,0<C=2-B< 3 2 故名<B<受，所以写<B+石< 63 ..15分 -3 .16分 故a+b+c=1+2simB+元∈1+V3,3],故ABC周长的取值范围为1+V5,3]. 6 …17分 19.【解析】说明：①本题满分17分，每一问3分，第二问6分，第三问8分； 【答案】解：【详解】(1)在图2中，设圆锥的底面圆半径为r, 则2m=×2x2,解得r=1, .1分 因为在图1中，点B、C三等分半圆， 所以在图2中，点B、C为圆锥的底面圆周的三等分点， 所以4BC为等边三角形，所以BC sin60° =2r=2,所以BC=V5,2分 又因为点M、N分别是OB、OC的中点， 所以Mw=BC=5 3分 2 2 (2)Sc=x5x5x5_35 .…4分 2 24 圆锥的高h=√2-下=5， .5分 所以V。-Bc=3X 3N3X3-3, 34 4 所以VM-4cw= LV-AC72 40-ABC= 16 即四面体4Cww的体积为。 9分 同在线段oB上存在点8，且S-3,使得DE∥平面4BC,10分 理由如下：如图，取AC的中点F,且D是AN的中点，连接DF, 所以DF∥CN,2DF=CN. …11分 取CB的四等分点G,使CG=3BG,连接GE,FG 因为OE=3EB,所以EG∥OC,4EG=OC, 所以2EG=CN=2DF,EG∥DF，13分 所以四边形DFGE是平行四边形，所以DE∥FG.14分 又DE丈平面ABC,FGC平面ABC,所以DE∥平面ABC.17分 0 - B -5 山东省济南第三中学2025～2026学年 第二学期高一年级期中学情检测 数学试卷   学业质量评价研究小组命制 2026.4 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页，考试时间120分钟，满分150分。 2.答卷前，考生务必将个人的姓名、座号、考籍号填涂在答题卡规定位置，所有答案必须填涂在答题卡相应位置，否则无效。 第Ⅰ卷 选择题 一、单选题:每小题5分，共40分。每题的四个选项，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数（i为虚数单位），则的虚部为（ ） A． B． C． D． 2.下列命题正确的是（ ） A．三个点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面 C．两条直线可以确定一个平面 D．长方体是直四棱柱，正四棱柱是长方体 3.在中，内角的对边分别为，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 4.圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（　　） A． B． C． D． 5.已知平面向量，，则向量在上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 6.在中，若，，，则三角形解的个数为（　　） A．2个 B．1个 C．0个 D．不确定 7.中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（　　） A． B． C． D． 8.图1为迪拜世博会中国馆，建筑名为“华夏之光”，外观取自中国传统灯笼，寓意希望和光明。它的形状可视为内外两个同轴圆柱。某爱好者制作了一个迪拜世博会中国馆的实心模型（如图2），已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在同一个球面上若该模型的表面积为，则此模型外接球的体积为（　　）  A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数的实部为，则下列说法正确的是（　　） A. 复数z的虚部为 B. z在复平面内对应的点位于第三象限 C. D. 复数z的共轭复数 10.已知向量，满足,，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．存在非零实数，使得 D．向量与的夹角为 11.如图，在棱长为的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，点满足，，下列说法正确的是（　　） A. B. 若四点共面，则 C. 若，点在侧面内，则点的轨迹 长度为 D. 若，则以为顶点，以过三点作该正方体的截面为底面的棱锥的表面积为 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量，若，则　　 . 13.如图,是水平放置的的直观图，则的周长为           . 14.如图，在平面四边形中，，，，，则______，四边形的面积为______. 第14题图 第13题图 4、 解答题：本大题共5小题，共77分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13分)已知复数． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若为实数，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 16. (15分)如图所示，在四棱锥中，平面，，E是的中点． (1)求证：； (2)求证：. 17. (15分)如图，已知正方形的边长为2，为的中点，. (1)若，求的值； (2)求的取值范围. 18. (17分)已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， (1)求； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，求周长的取值范围. 19. (17分)如图1，设半圆的半径为2，点三等分半圆，,,分别是，,的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥如图在图2中完成下列各题. (1)求在圆锥中的线段的长； (2)求四面体的体积； (3)若是的中点，在线段上是否存在一点，使得平面若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 高一数学试题 第2页 /共 2页 学科网（北京）股份有限公司 $山东省济南第三中学2025~2026学年 第二学期高一年级期中学情检测 数学试卷 学业质量评价研究小组命制 2026.4 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.本试卷分第|卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分，共2页，考试时间 120分钟，满分150分。 2.答卷前，考生务必将个人的姓名、座号、考籍号填涂在答题卡规定位置，所有 答案必须填涂在答题卡相应位置，否则无效。 第丨卷选择题 一、单选题：每小题5分，共40分。每题的四个选项，只有一项是符合题目要求的 1.已知复数二= 2-i 1-i (i为虚数单位)，则二的虚部为() A方 B月 D.克 2.下列命题正确的是( A.三个点可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面 C.两条直线可以确定一个平面 D.长方体是直四棱柱，正四棱柱是长方体 3.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，a=3√2，c=3,C=30°，则A=() A.30° B.45° C.45°或135° D.60° 4.圆锥SO的轴截面是面积为4√3的等边三角形，则该圆锥的侧面积为() A.32元 B.16π C.8π D.4π 高一数学试题 5.已知平面向量a=(1,0),b=(2,2),则向量a在b上的投影向量为() A. B. c. D.√2b 4 2 6在△4BC中，若a=1,co84= ,b=2,则三角形解的个数为( 4 A.2个 B.1个 C.0个 D.不确定 7.△ABC中，点D是线段BC的中点，M是线段AD的靠近A的三等分点，则BM=() A.5C 6 B.C 5 C.-54B+1AC D.5B+LAC 6 8.图1为迪拜世博会中国馆，建筑名为华夏之光”，外观取自中国传统灯笼，寓意希望和光明。 它的形状可视为内外两个同轴圆柱。某爱好者制作了一个迪拜世博会中国馆的实心模型（如图2）， 己知模型内层底面直径为12c,外层底面直径为16cm,且内外层圆柱的底面圆周都在同一个球 面上.若该模型的表面积为368πcm2，则此模型外接球的体积为（) 图1 图2 A.400πc3 B.4000元 cn C.400cm D.4000πc 3 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知复数z=(a-)3+2i)(a∈R)的实部为-1，则下列说法正确的是() A.复数z的虚部为-5 B.z在复平面内对应的点位于第三象限 C.1z=26 D.复数z的共轭复数z=1-5i 10.已知向量a,b满足a=1,2),b=(4,-2),则下列结论正确的是（) A.a⊥b B.=2园 c.存在非零实数2，使得(a+)∥a D.向量2a+6与方的夹角为元 第1页/共2页 11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD1中，已知M,N,P分别是棱CD,A4,BC的 中点，点Q满足cO=c℃，元∈[0，]，下列说法正确的是() A.PQ//平面ADDA D M C B.若2，M,N,P四点共面，则元= B C.若元=，点F在侧面BB,CC内，AF1/平面AP则点F的轨迹 3 D 长度为因 6 若入-，则以B,为顶点，以过M,NQ三点作该正方体的截面为底面的棱锥的表面无 9+3W3 4 第川卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量=(3,1)，b=1,1),c=a+b,若a11,则k= 13.如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的周长为 14.如图，在平面四边形ABCD中，AB=5,BC=3,CD=4,∠ABC=∠BCD=120°，则 AC= ,四边形ABCD的面积为 45o 第13题图 第14题图 四、解答题：本大题共5小题，共77分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)已知复数==(0m2-1)+(2+m)i(∈R). (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若z为实数，求m的值： (3)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围. 高一数学试题 16.15分如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC/平面PAD,BC=AD,B是PD的中点. 2 (I)求证：BC/AD: (2)求证：CE/平面PAB 17.(15分)如图，已知正方形ABCD的边长为2，F为BC的中点，A正=AB(0≤1≤1) (I)若DE⊥AF,求元的值： (2)求DE.FE的取值范围. 18.(17分)己知△ABC为锐角三角形，a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且 bcosC +ccosB 2acos4, (1)求A: 阁若6-65.AC的面积为35，求1C的周长 (3)若a=1,求△ABC周长的取值范围. 19.(17分)如图1，设半圆的半径为2，点B,C三等分半圆，P,M,N分别是OA,OB,OC的中点， 将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中 完成下列各题 (1)求在圆锥中的线段W的长； M (2)求四面体ACMN的体积： (3)若D是AN的中点，在线段OB上是否存在一点 图1 图2 B,使得DB∥平面ABC?若存在，求OE的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由 EB 第2页/共2页