精品解析：安徽合肥市第四中学2025-2026学年第二学期高二年级学情调研数学试题卷

合肥四中2025-2026学年第二学期高二年级学情调研 数学试题卷 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间是120分钟. 2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 小红从6条不同的裙子，3双不同的皮鞋中选择一条裙子和一双皮鞋搭配，则不同的搭配方案共有（ ） A. 18种 B. 9种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】运用分步乘法原理计算. 【详解】完成选一条裙子和一双皮鞋搭配这件事，需要分两步， 第一步选裙子有种方法，第二步选皮鞋有种方法， 根据分步乘法计数原理，不同的搭配方案共有（种）. 故选：A. 2. 已知为等差数列，，则等于（ ） A. 21 B. 17 C. 23 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式求得和公差，然后计算出． 【详解】设的公差为，因为， 所以，解得， 所以， 故选：D． 3. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，，故D错误． 4. 某校当天的新增感冒人数与温差（单位：）的5组数据如下表： 5 7 8 9 11 9 17 20 由于保存不善，有两个数据模糊不清，用，代替，已知关于的经验回归方程为，则（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】计算样本中心点，代入计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B 5. 已知离散型随机变量X的分布列如下表所示： X 0 1 2 P 0.36 则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分布列的性质求出，再利用期望、方差的定义列式求解. 【详解】依题意，，解得或， 当时，，不符合题意，符合题意，此时分布列为 X 0 1 2 P 0.36 0.6 0.04 ， 故选：D 6. 三个数，，的大小顺序为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】据题意可设，求导，从而可根据导数符号得出在上单调递减，并且可得出，，，从而得出，，的大小顺序． 【详解】设，则， 当时，则，可得， 可知在上单调递减， 因为，，， 且，则，所以． 故选：D． 7. 如图，4个圆相交共有8个交点，现在4种不同的颜色供选用，给8个交点染色，要求在同一圆上的4个交点的颜色互不相同，则不同的染色方案共有（ ）种 A. 0 B. 24 C. 48 D. 96 【答案】D 【解析】 【分析】分析出各部分可以涂色的情况即可得出不同的染色方案的种数. 【详解】由题意，其中一部分有四种方法，与其紧邻的有3种方法，再相邻的有2种，两圆的公共部分有2种，剩余两部分有2种， 涂色示意图如下： ∴共有. 故选：D. 8. 已知函数,则下面对函数的描述正确的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先对函数求导，可以得到其导函数是增函数，利用零点存在性定理，可以将其零点限定在某个区间上，结合函数的单调性，求得函数的最小值所满足的条件，利用不等式的传递性求得结果. 【详解】因为，所以，导函数在上是增函数， 又，，所以在上有唯一的实根，设为，且，则为的最小值点，且， 即，故， 因为，由对勾函数可知，. 故选B. 点睛：该题考查的是有关函数最值的范围，首先应用导数的符号确定函数的单调区间，而此时导数的零点是无法求出确切值的，应用零点存在性定理，将导数的零点限定在某个范围内，再根据不等式的传递性求得结果. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式正确的是（   ） A. 已知，则的取值为6或7 B. C. 将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法 D. 的展开式中的系数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由组合数的性质判断A，B；由隔板法判断C；由二项式定理判断D. 【详解】对于A，因为， 所以或， 解得或,故A正确； 对于B，由组合数的性质可知： ， 所以， 所以 ，故B正确； 对于C，利用隔板法可知，原问题即为将8个相同小球排成一列，在中间7个空隙中放入3个隔板即可， 所以共有种不同放法，故C错误； 对于D，因为的展开通项为：， 而的展开式中的系数由两部分组成： 第一部分是与的展开式中的系数的积，即； 第二部分是的系数-1与的展开式中的系数的积，即， 所以的展开式中的系数为，故D正确. 10. 下列说法正确的有（    ） A. 掷一枚质地均匀的骰子一次，事件 “出现奇数点”，事件“出现点或点”，则和相互独立 B. 掷一枚质地均匀的骰子一次，事件 “出现奇数点”，事件“出现点或点”，则和互斥 C. 甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，假设两人的射击结果相互独立，甲的中靶率为，乙的中靶率为，则“至少一人中靶”的概率为 D. 柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出只，那么“取出的鞋不成双”的概率是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式可验证是否相互独立，即可判断A，根据互斥事件的定义可判断B，根据对立事件的概率和独立事件的概率乘法公式先求甲乙两人均未中靶的概率，再结合对立事件概率公式求“至少一人中靶”的概率即可判断C，根据古典概型概率公式求“取出的鞋不成双”的概率即可判断D. 【详解】对于A，掷一枚质地均匀的骰子一次，则，，而=“出现3点”， 所以，则，故事件和相互独立，故A正确； 对于B，由选项A知，，即事件与事件能同时发生，故不互斥，故B错误， 对于C，由已知事件甲乙两人均未中靶的概率为， 所以事件“至少一人中靶”的概率为，故C正确， 对于D，先从三双中取出两双，再从取出的两双中每双各取一只， 所以“取出的鞋不成双”的概率为，故D正确. 11. （多选）已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于点，，点，在上的射影为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 以为直径的圆与准线相切 C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由抛物线的定义可判断A；由抛物线焦点弦的性质可判断B，D；由抛物线的定义，可知，所以的最小值为，求出，可判断C. 【详解】对于A，由抛物线的定义，知，故A正确． 对于B，线段的中点为，抛物线的准线的方程为， 点到直线的距离为， 所以，以为直径的圆与准线相切，B正确； 对于C，由抛物线的定义，可知，所以的最小值为． 又的坐标为，所以，故C错误． 对于D，连接，则由， 得，又轴，所以， 同理， 所以， 所以，所以，所以D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某地高中生的肺活量（单位：）服从正态分布，若该地有12000名高中生，则其中肺活量低于的高中生的人数约为______． 参考数据：． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合，求出的概率，再估算肺活量低于的高中生的人数. 【详解】因为， 所以. 所以肺活量低于的高中生的人数约为：. 故答案为： 13. 将6名志愿者安排到5个小区参加以“健康生活”为主题的宣传活动，每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有___________种． 【答案】1800 【解析】 【分析】先利用组合数的概念从名志愿者中选出人作为一组，再利用排列数的概念将分好的组全排列分配到个小区，最后根据分步乘法计数原理计算出不同的安排方法总数． 【详解】先将2名志愿者看作一组，选法有种， 再将5组志愿者分配到5个小区，分法有种，故不同的安排方法有种． 故答案为： 14. 已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】设则， 故在R上单调递减， 且，即， 即， 故. 故不等式的解集为. 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上恰有2个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出时的导数，然后利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求得，根据的符号讨论出函数的单调性，若在上恰有2个零点，则必须满足，解不等式可得结果. 【小问1详解】 当，则，， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为，因此曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 ，，， 当时，，，此时在上单调递增； 当时，，，此时在上单调递减； 因此，若在上恰有2个零点， 则必须满足：，解得：， 所以实数a的取值范围为. 16. 为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，进行实验后得到如下结果： 单位：人 服用情况 患病情况 患病 不患病 服用中药预防方 100 900 不服用中药预防方 400 600 （1）从参与该实验的人中任选1人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人不患病”．利用该调查数据，求的值． （2）以频率作为概率，若每天从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，连续抽10天，每天抽取的结果相互独立，记这10天抽到的人中不患病的人数为X，求X的期望． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）概率计算，依据条件概率公式来求解； （2）二项分布期望的计算，根据二项分布的期望公式进行计算． 【小问1详解】 由题意可得， ． ． 【小问2详解】 从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，不患病的概率为． 由已知得， 则． 17. 如图，在四棱锥中，底面，且是矩形，是的中点，过作交于点． （1）证明：平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）因为底面，平面，所以. 又底面为矩形，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以. 又，为的中点，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以. 又，平面，， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明线面垂直. （2）建立空间直角坐标系，利用已知条件确定的长，利用空间向量求二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，平面，垂足为. 所以即为与平面所成的角. 由，，所以. 在中，，，所以， 所以. 由，所以. 由，所以. 以为原点，建立如图空间直角坐标系： 则，，，，， 因为为中点，所以. 且，. 设平面的法向量为， 则，可取. 由（1）可知，平面的法向量可取. 设平面与平面所成的角为， 则, 平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆的离心率为为的左，右焦点，为的右顶点，为的上顶点，且周长为，直线交于两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的斜率之积恒为，求证：直线恒过定点． （3）若直线恒过，则是否为定值？若成立，请求出该定值：若不成立，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明如下： 设，根据题意，易知直线的斜率不为0，设， 联立与，消去得，整理得， 所以，，， 进而，， ， ， 解得，满足，即直线过定点. （3）成立， 【解析】 【分析】（1）根据题意，建立关系式求出，得解； （2）设，代入椭圆的方程，由韦达定理可得，，由，运算得，得证； （3）当直线的斜率为0时，得，当直线的斜率不为0时，设，由韦达定理可得，即，得解. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由已知得，又，可得， 故，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当直线的斜率为0时，此时，易得； 当直线的斜率不为0时，设，这样，由（2）知， ，， 所以， 从而， 即， 则，即， 综上，为定值. 19. 甲、乙、丙三人玩传花游戏，开始时由甲手持鲜花，随机地将花传给乙或丙，接花者再随机地将花传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去从一个人手中将花传给另一个人称为一次传花，设经过n次传花后，花回到甲手里的概率记为，假设每一次传花互不影响. （1）求和的值； （2）求； （3）设，数列的前n项和为，若，证明：. 【答案】（1），； （2） （3）证明：由（2）知，所以， 设， 其中， 所以 故， 所以 因此， 设数列的前n项和为，则，① 所以，② 由①－②得， ， 所以，即，得证. 【解析】 【分析】（1）由古典概型概率计算公式即可求解； （2）根据题意得到，再构造等比数列求解通项即可； （3）由（2）得到，确定，再结合待定系数法得到，累加求和，再通过放缩得到，利用错位相减法求和即可； 【小问1详解】 第1次传花后到乙或丙手里，，第2次传花后乙或丙有的概率将花传到甲手里，故， 经过4次传花共有16种情形， 甲 乙 丙 甲 乙 甲 乙 丙 甲 丙 甲 乙 丙 乙 甲 甲 乙 丙 乙 丙 甲 乙 甲 乙 丙 甲 乙 甲 乙 甲 甲 乙 甲 丙 乙 甲 乙 甲 丙 甲 甲 丙 甲 乙 甲 甲 丙 甲 乙 丙 甲 丙 甲 丙 甲 甲 丙 甲 丙 乙 甲 丙 乙 甲 丙 甲 丙 乙 甲 乙 甲 丙 乙 丙 甲 甲 丙 乙 丙 乙 其中花回到甲手里共有6种情形， 根据古典概型得. 【小问2详解】 结合题意得概率为经过次传花后花回到甲手里， 要使传花n次后，花回到甲手里，则第次传花，花不在甲手里，在乙或丙手里，且下一次传花都有的概率将花传到甲手里， 故， 所以与之间的递推关系为：. 得，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 【小问3详解】 略. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用待定系数得到，再通过放缩得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥四中2025-2026学年第二学期高二年级学情调研 数学试题卷 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间是120分钟. 2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 小红从6条不同的裙子，3双不同的皮鞋中选择一条裙子和一双皮鞋搭配，则不同的搭配方案共有（ ） A. 18种 B. 9种 C. 种 D. 种 2. 已知为等差数列，，则等于（ ） A. 21 B. 17 C. 23 D. 20 3. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某校当天的新增感冒人数与温差（单位：）的5组数据如下表： 5 7 8 9 11 9 17 20 由于保存不善，有两个数据模糊不清，用，代替，已知关于的经验回归方程为，则（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 5. 已知离散型随机变量X的分布列如下表所示： X 0 1 2 P 0.36 则（ ） A. B. C. D. 6. 三个数，，的大小顺序为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，4个圆相交共有8个交点，现在4种不同的颜色供选用，给8个交点染色，要求在同一圆上的4个交点的颜色互不相同，则不同的染色方案共有（ ）种 A. 0 B. 24 C. 48 D. 96 8. 已知函数,则下面对函数的描述正确的是 A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式正确的是（   ） A. 已知，则的取值为6或7 B. C. 将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有70种不同放法 D. 的展开式中的系数为 10. 下列说法正确的有（    ） A. 掷一枚质地均匀的骰子一次，事件 “出现奇数点”，事件“出现点或点”，则和相互独立 B. 掷一枚质地均匀的骰子一次，事件 “出现奇数点”，事件“出现点或点”，则和互斥 C. 甲，乙两名射击运动员进行射击比赛，假设两人的射击结果相互独立，甲的中靶率为，乙的中靶率为，则“至少一人中靶”的概率为 D. 柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出只，那么“取出的鞋不成双”的概率是 11. （多选）已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于点，，点，在上的射影为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 以为直径的圆与准线相切 C. 若，则 D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某地高中生的肺活量（单位：）服从正态分布，若该地有12000名高中生，则其中肺活量低于的高中生的人数约为______． 参考数据：． 13. 将6名志愿者安排到5个小区参加以“健康生活”为主题的宣传活动，每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有___________种． 14. 已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为________． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上恰有2个零点，求的取值范围． 16. 为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，进行实验后得到如下结果： 单位：人 服用情况 患病情况 患病 不患病 服用中药预防方 100 900 不服用中药预防方 400 600 （1）从参与该实验的人中任选1人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人不患病”．利用该调查数据，求的值． （2）以频率作为概率，若每天从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，连续抽10天，每天抽取的结果相互独立，记这10天抽到的人中不患病的人数为X，求X的期望． 17. 如图，在四棱锥中，底面，且是矩形，是的中点，过作交于点． （1）证明：平面； （2）若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的离心率为为的左，右焦点，为的右顶点，为的上顶点，且周长为，直线交于两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的斜率之积恒为，求证：直线恒过定点． （3）若直线恒过，则是否为定值？若成立，请求出该定值：若不成立，请说明理由． 19. 甲、乙、丙三人玩传花游戏，开始时由甲手持鲜花，随机地将花传给乙或丙，接花者再随机地将花传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去从一个人手中将花传给另一个人称为一次传花，设经过n次传花后，花回到甲手里的概率记为，假设每一次传花互不影响. （1）求和的值； （2）求； （3）设，数列的前n项和为，若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $