黑龙江哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高三下学考前预测数学试卷

哈九中2025-2026学年度高三下学期 第三次模拟考试数学试卷 （考试时间：120分钟满分：150分共2页） 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题盘） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（ ） A. 2π B. 4π C. 6π D. 8π 4. 已知参观某次航展的中小学生人数和购买航展模型的比率分别如图1、图2所示.为了解各学段学生对航展的爱好程度，用分层随机抽样的方法抽取1%的学生进行调查，则样本量和抽取的初中生里购买航展模型的人数（估计值）分别为（ ） A. 200，24 B. 200，28 C. 100，24 D. 100，28 5. 下列各式大小比较中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（ ） A. 4 B. C. D. 8 7. 如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 正方体的棱长为，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体表面及其内部所有点构成的集合为，已知集合，记为中所有点构成的几何体，则的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，则（ ） A. 存在，使得 B. 的最小值为2 C. 若，则 D. 与的夹角为锐角 10. 在中，角，，的对边分别为，，.已知，是锐角，其外接圆半径为，内切圆半径为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的面积为 C. 当是直角三角形时， D. 的取值范围是 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调递增 C. D. 当时，有2个极值点 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分） 12. 展开式中项的系数为______. 13. 已知，，则______. 14. 现有一种构造新数列的方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的等差中项，按照原来的顺序得到一个新的数列；再将新得到的数列按照上述方法构造，又得到一个新的数列；重复以上操作．现将数列按照上述方法进行构造，第一次得到的新数列为；第二次得到的新数列为；第三次得到的新数列为；；记第n次得到的新数列为，且．当时，______；使的最小正整数n的值为______． 四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列，满足，且，是关于x的方程的两个根. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 16. 为提升工作效率，公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. （1）若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为，求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率； （2）为了激发员工的培训积极性，M公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩近似服从正态分布，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位) （3）参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为元，求的分布列与数学期望. 参考数据：若，则，，. 17. 设函数. （1）求在处的切线方程； （2）若恒成立，求的最小值； （3）求证：. 18. 如图1，在直角梯形ABCD中，已知，，将沿BD翻折，使平面平面BCD.如图2，的中点为O. （1）求证：平面BCD； （2）若AD的中点为G，线段AC上靠近A点的三等分点为H. （i）求平面与平面夹角的余弦值. （ii）设平面内一动点为P，当线段PD与线段PC的长度之和最小时，求直线PC与平面成角的正弦值. 19. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为. （1）求双曲线的方程； （2）设直线：与双曲线的右支交于M，N两点，且M在第一象限，将直线绕点N顺时针旋转30°得，过M作直线的垂线，交于点P； （i）当时，求三角形MNP的面积； （ii）求证：点P在定直线上. 哈九中2025-2026学年度高三下学期 第三次模拟考试数学试卷 （考试时间：120分钟满分：150分共2页） 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题盘） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ACD 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）317 （3）的分布列为: 0 800 1 600 2 400 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3）证明：由（2）可知时，， 又，所以， 则时，， 设，，则， 设，则， 所以当时，恒成立， 所以在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 即， 所以，， 即， 综上所述. 【18题答案】 【答案】（1） 因为，的中点为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质可得平面 （2）（i）（ii） 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i） （ii）联立与双曲线方程，得，韦达定理得， ，斜率为​，方程为：结合整理得， 过，斜率为，方程整理得：，结合整理得， 两式相减得， 两式相加得​​，将代入， 消去后得： ，即，与参数无关. 因此点在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $