6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理【3大题型】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 题型预览 题型一 分类加法计数原理 题型二 分步乘法计数原理 题型三 两个原理的综合应用 知识清单 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 【注意】定义中，每一类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 【注意】完成这件事有多个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺一不可 使用两个原理的原则 使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是把较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，这时用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理． 题型突破 题型一 分类加法计数原理 1．（25-26高二下·广东深圳·期中）从1，2，3，…，15共15个数字中，甲、乙两人各取一数（不重复），若甲取到的数是5的倍数且甲取到的数大于乙取到的数，则不同的取法共有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用分类加法原理计算求解. 【详解】1—15中，5的倍数为5，10，15，故甲只能取这3个数. 若甲取5时，乙需取比甲小的数，即1，2，3，4，共4种取法； 若甲取10时，乙需取比甲小的数，即1，...，9，共9种取法； 若甲取15时，乙需取比甲小的数，即1，2，3，...，14，共14种取法； 故根据分类加法计数原理共有种. 2．（25-26高二下·安徽·期中）某合唱队有男队员15人，女队员20人，现需从中选出一名同学担任指挥，则不同的选法共有（    ）. A．15种 B．20种 C．35种 D．300种 【答案】C 【详解】选一名指挥，可以从15名男队员中选，有15种选法； 也可以从20名女队员中选，有20种选法. 根据分类加法计数原理，总选法数为种. 3．（25-26高二下·河北邯郸·期中）已知书架上仅有，，，四类杂志，其数量分别为6，4，5，4，且每类杂志中的每一本都不同.若小张要从该书架选一本杂志，则他的选法数为（   ） A．4 B．19 C．60 D．480 【答案】B 【分析】由分类加法计数原理即可直接求解. 【详解】选类，有6种选法， 选类，有4种选法， 选类，有5种选法， 选类，有4种选法， 故共有种. 4．（25-26高二下·江苏无锡·期中）集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的横、纵坐标，则在第二象限内的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据第二象限坐标特征分类结合分类加法原理计算求解. 【详解】第二象限内的点的横坐标是负数，纵坐标是正数． 若集合M提供横坐标，集合N提供纵坐标，则符合题意的点有，，共2个； 若集合M提供纵坐标，集合N提供横坐标， 则符合题意的点有，，，，共4个． 综上，在第二象限内的点的个数为． 5．（25-26高三下·上海·月考）某学校工会组织“掷骰子赢奖品”活动．规则是连续掷三次骰子，并按顺序记录．若三次点数a，b，c满足，则该投掷序列被视为“幸运序列”．则共有________种不同的“幸运序列”． 【答案】48 【分析】根据绝对值的性质，分情况讨论，，之间的关系，再结合骰子的点数范围分别计算出每种情况下“幸运序列”的数量，最后将所有情况相加. 【详解】由已知可知要满足，则需要讨论，，之间的关系 若，因为骰子的点数是1到6，所以，，的取值共有6种情况. 若，，不全相等，因为 当时，，所以一定是偶数 若，都是奇数，则一定在1,3,5中取两个共有种情况. 同理当，都是偶数时也共有种情况. 当时，即，此时可以取1到6中除外的5个值，因为可以取1到6这6个值，所以共有种情况. 因此“幸运序列”共有种情况. 6．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊五人一起去电影院看电影，他们选了一排的连续5个座位，座位号分别为1，2，3，4，5，若要求甲坐在偶数号位置上，且乙和丙相邻而坐，则不同的坐法共有______种. 【答案】16 【分析】先安排甲，再安排乙和丙，进而利用计数原理求解即可. 【详解】若甲坐2号位，则乙和丙可以坐3，4号位或4，5号位，乙丙内部有2种排法，剩余两人有2种排法， 共有种坐法； 若甲坐4号位，则乙和丙可以坐1，2号位或2，3号位，同样有种坐法. 故不同的坐法共有种. 题型二 分步乘法计数原理 7．（河北定州中学等校2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题）某校开展阅读打卡活动，语文老师要求每个学生阅读科普类文本和人文自然类文本各一本，现有7本科普类文本和8本人文自然类文本可供选择，小明按照语文老师的要求进行选择，则不同的选法共有（    ） A．56种 B．28种 C．24种 D．30种 【答案】A 【详解】由题设，小明阅读科普类文本和人文自然类文本各一本的不同选法有种. 8．（山西晋中市2025-2026学年高二下学期素养测评（二）数学试题）书架上有5本不同的小说和4本不同的散文，随机取出2本，其中1本是小说1本是散文的不同取法有（    ） A．10种 B．20种 C．36种 D．72种 【答案】B 【详解】由题意，取1本小说，有5种取法；取1本散文，有4种取法， 由分步乘法计数原理，得不同的取法有种. 9．（25-26高二下·浙江温州·期中）四名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】每个同学报名都有3种情况，共有4个同学，则有种报名方法. 10．（25-26高二下·安徽安庆·月考）甲、乙、丙、丁四人从网球、乒乓球、羽毛球这三门选修课中，每人任选一门参加，则不同的选择方案共有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】甲、乙、丙、丁四人从网球、乒乓球、羽毛球这三门选修课中，每人任选一门参加， 可以分4步完成，每一步由1人选择一门选修课，每步均有3种选法， 根据分步乘法计数原理，故共有种不同的选择方案. 11．（25-26高二下·湖北·期中）有3封不同的信投入4个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（   ） A．81 B．64 C．24 D．12 【答案】B 【详解】解：根据题意，不同的投入方法种数有种． 12．（25-26高二下·山东济南·期中）乘积展开后的项数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用乘法计数原理可得结果. 【详解】从第一个括号中选一项有种方法，从第二个括号中选一项有种方法，第三个括号中选一项有种方法， 故根据分步乘法计数原理可知共有（项）． 题型三 两个原理的综合应用 13．（25-26高二下·安徽蚌埠·月考）李芳有4件不同颜色的衬衣，3条不同花样的裤子，另有两条不同样式的连衣裙.李芳需选择一套服装（一件衬衣和一条裤子为一套，一条连衣裙为一套）参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式有（   ）种 A．24 B．14 C．10 D．9 【答案】B 【分析】分类讨论利用分步乘法原理和分类加法计数原理计算即可. 【详解】分两类： 第一类：选衬衣加裤子，共有种选法； 第二类：选连衣裙，共有种选法， 根据分类加法计数原理共有种选法. 14．（25-26高二下·浙江·期中）随着人工智能技术的快速兴起与广泛应用，AI工具已深度融入内容创作领域，极大提升了短视频的制作效率．一位UP主借助AI工具制作短视频，流程分为选题与文案､生成素材､配音配乐､剪辑包装四个步骤，各步骤可选工具如下表： 步骤 可选AI工具 选题与文案 ChatGPT､豆包､Kimi､DeepSeek 生成素材 可灵AI､即梦AI 配音配乐 剪映､魔音工坊､讯飞配音 剪辑包装 剪映､Runway､PikaLabs 剪映不可单独使用（即若在配音配乐或剪辑包装中使用剪映，则两个阶段必须都使用剪映），每个阶段只能且必须选择1个工具．则不同的搭配方案共有______种． 【答案】40 【分析】分使用剪映和不使用剪映，再分别按四个步骤求解. 【详解】使用剪映：种；不使用剪映：种； 共种． 故答案为：40 15．（2026·青海西宁·二模）如图，某校园新建了一处三层的“阶梯式绿植角”，每层从上到下依次摆放个、个、个花盆，形成三角形排列，其中有虚线连接的个花盆为“相邻花盆”，现有多个红、黄、蓝三种颜色的花盆可供选择，若规定“相邻花盆”颜色不同，且最下层不全为同色花盆，则花盆摆放的不同方式共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】记上层花盆为，中层花盆从左到右依次为、，下层花盆从左到右依次为、、，则花盆有种颜色可选，然后对、是否同色进行分类讨论，确定、、的涂色种数，以及、、同色时的涂法种数，结合分类、分步计数原理以及间接法可得结果. 【详解】记上层花盆为，中层花盆从左到右依次为、，下层花盆从左到右依次为、、． 由题可知有种颜色可选， ①当、同色时，有种颜色可选，此时、、各有种颜色可选， 其中、、同色时有种颜色可选， 此时花盆摆放的不同方式有种； ②当、不同色时，有种颜色可选，只有种颜色可选， 则有种颜色可选，只有种颜色可选，有种颜色可选， 其中、、同色时只有种颜色可选， 此时花盆摆放的不同方式有种． 综上，最下层不全为同色时，花盆摆放的不同方式共有种． 16．（2026·广东肇庆·二模）一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字，随机投掷该骰子3次，得到的点数依次记为，则满足的有序数对的个数为（    ） A．48 B．36 C．24 D．12 【答案】A 【分析】不妨设，由得到，则有 2，分别按照和的差值是讨论求解. 【详解】不妨设，则， 故，所以要使得， 只需要2. 若，此时三个数的取值有和三种情况，当三个数的取值为时，有序数对共有3种情况； 当三个数的取值为时，有序数对共有6种情况； 当三个数的取值为时，有序数对共有3种情况； 所以当时，有序数对的个数共有12种. 同理，，； ； 的不同情况也均为12种， 故满足的有序数对的个数为. 17．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，将一个大正方形分割为25个完全相同的小正方形，图中部分小正方形内已标有数字或“△”，其中数字表示与该小正方形有公共边或公共顶点的小正方形内所填“△”的个数，图中每个空白的小正方形内只能填1个“△”或不填，则满足要求的填法有_____种． 【答案】160 【分析】根据题意分析第一列小正方形的填法，从而可得知其他每列的填法，结合分类加法计数及分步乘法计数原理可得. 【详解】记图中灰色小正方形内是否填“△”不确定，白色小正方形内不填“△”． 根据题意知标有数字“0”的小正方形的相邻5个小正方形不能填“△”，第一列中标有数字“2”的小正方形相邻5个小正方形内要填2个“△”，而其中一个小正方形内已填有1个“△”，故可分为第一列中标有数字“2”的正上方填“△”与正下方填“△”两类. 第一类：当第一列中标有数字“2”的正上方填“△”时，通过分析标有数字“4”的相邻小正方形不填“△”的位置，可知有如下5种填法； 第二类：当第一列中标有数字“2”的正下方填“△”时，可考虑分析标有数字“4”的相邻小正方形内不填“△”的位置，可知有如下5种填法． 另外，4个灰色的小正方形内填“△”的方法有种，所以满足条件的填法有种． 强化训练 1．（湖北黄冈市2025-2026学年高二年级4月份阶段性练习数学试卷（B卷））已知集合，集合，从集合A中取一个数作为点的横坐标，从集合B中取一个数作为点的纵坐标，则在第二象限的点有（   ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】根据第二象限点的特征，运用分步乘法计数原理进行求解即可. 【详解】在第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数，由题意得点的横坐标有，两种选择，点的纵坐标有三种选择． 由分步乘法计数原理，可得在第二象限的点有个． 2．（25-26高二上·江苏南京·期末）某书架的第一层放有8本不同的数学书，第二层放有5本不同的物理书．从这些书中任取1本数学书和1本物理书，不同的取法有（   ） A．13种 B．40种 C．种 D．种 【答案】B 【详解】第一步：从本不同的数学书中选本，有种不同的取法， 第二步：从本不同的物理书中选本，有种不同的取法。 根据分步乘法计数原理，从这些书中任取本数学书和本物理书的不同取法为． 3．（2026·安徽淮北·二模）已知集合，则满足的函数的个数为（    ） A．12 B．15 C．24 D．30 【答案】B 【详解】集合，函数的定义域是，其函数值均取自集合； ，且，至少为2； ，且，至多为4； 的可能取值为2，3，4. ①当时, ，即，且，只能取1，共1种选择； ，即，且，只能取1，共1种选择； ，即，且，可以取2，3，4，共3种选择； 根据分步乘法计数原理，此情况下的函数个数为. ②当时, ，即，且，可以取1，2，共2种选择； 对于，需满足； 若，则只能取1，共1种选择； 若，则可以取1，2，共2种选择； 和的组合共有1+2=3种情况； ，即，且，可以取3，4，共2种选择； 根据分步乘法计数原理，此情况下的函数个数为. ③当时, ，即，且，可以取1，2，3，共3种选择； 对于，需满足； 若，则只能取1，共1种选择； 若，则可以取1，2，共2种选择； 若，则可以取1，2，3，共3种选择； 和的组合共有1+2+3=6种情况； ，即，且，可以取4，共1种选择； 根据分步乘法计数原理，此情况下的函数个数为. 综上所述，满足条件的函数总个数为. 4．（25-26高二下·吉林长春·月考）（多选）现安排高二年级，，三名同学到甲、乙、丙三个社区进行社会实践，每名同学只能选择一个社区，每个社区不限制志愿者名额，则下列结果正确的是（   ） A．所有可能的方法有27种 B．所有可能的方法有9种 C．若同学A不去社区甲，B不去社区乙，则不同的安排方法有12种 D．若同学A不去社区甲，B不去社区乙，则不同的安排方法有14种 【答案】AC 【详解】，，三名同学,每名同学都有三种选择，根据分步乘法计数原理， 所有可能的方法有种，故A正确，B错误； 同学A不去社区甲，则有2种选择；B不去社区乙，B也有2种选择；有3种选择. 根据分步乘法计数原理，同学A不去社区甲，B不去社区乙， 则不同的安排方法有种，故C正确，D错误. 5．（25-26高三下·辽宁铁岭·月考）（多选）某公司使用AGV（自动导引运输车）从仓库驶往质检区，途中必须经过工位1或工位2（若同时经过工位1与工位2，需先经过工位1，后经过工位2），其中从直接到工位1，从直接到工位2，从工位1不经过工位2到，从工位1到工位2，从工位2到，各有2条不同路线可行驶（每条路线都是单向的），则（    ） A．从到工位2有6种不同路线 B．从工位1到有8种不同路线 C．从经过工位2到有8种不同路线 D．从到共有16种不同路线 【答案】AD 【分析】应用分类加法计数判断A、B、D，由分类分步计数原理判断C. 【详解】A：从直接到工位2，有2种不同路线，从先到工位1，再到工位2，有种不同路线， 所以共有种不同路线，A正确； B：从工位1直接到，有2种不同路线，从工位1到工位2，再到，有种不同路线， 所以共有种不同路线，B错误； C：从直接到工位2，有2种不同路线，从到工位1，再到工位2，有种不同路线， 从工位2到，有2种不同路线，所以总的不同路线数为，C错误； D：从只经过工位1到，有种不同路线， 从只经过工位2到，有种不同路线， 从同时经过工位1，2到，有种不同路线，所以共有种不同路线，D正确． 6．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．用这6个数字，可以排成1080个可重复数字的四位数 B．用这6个数字，可以排成300个无重复数字的四位数 C．用这6个数字，可以排成144个无重复数字的四位奇数 D．用这6个数字，可以排成144个无重复数字的四位偶数 【答案】ABC 【分析】根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理逐项求解即可. 【详解】对于A，第一步，千位可以为，有5种排法， 第二步，百、十、个位有种排法， 所以可以排成个可重复数字的四位数，故A正确； 对于B，第一步，千位可以为，有5种排法； 第二步，百、十、个位有种排法， 所以可以排成个无重复数字的四位数，故B正确； 对于C，第一步，个位可以为，有3种排法； 第二步，千位有除个位和0以外的4种排法， 第三步，百、十位有种排法， 所以可以排成个无重复数字的四位奇数，故C正确； 对于D，第一种情况：当个位为0时，千､百､十位有种排法， 第二种情况：第一步，个位可以为2，4，有2种排法； 第二步，千位有除个位和0以外的4种排法， 第三步，百、十位有种排法，共有种排法， 综上所述，可以排成个无重复数字的四位偶数，故D错误. 故选：ABC. 7．（25-26高二下·贵州黔西南·月考）从0，1，2，3，4这5个数字中选出3个不同数字能组成______（用数字表示）个三位数. 【答案】48 【详解】从0，1，2，3，4这5个数字中选出3个不同数字能组成个三位数 8．（24-25高二下·上海静安·期中）若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位数.则这样的三位数一共有__________.（用数字作答） 【答案】 【分析】根据题意，先排百位数字，再排十位数字，最后排个位数字，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位数， 先排百位上的数字有种排法，再排十位上的数字有种排法， 最后排个位上的数字有种排法，由分步计数原理得，共有种排法， 即这样的三位数一共有个. 9．（25-26高二下·山东济南·月考）用数字，组成四位数，且，都至少出现一次，则共有__________个四位数. 【答案】14 【详解】由题意，每一位都可以从数字4，5中任选1个，因此由数字4，5组成的四位数共有个． 其中，不符合条件的只有两种：一种是四位都取4，另一种是四位都取5． 所以满足4，5都至少出现一次的四位数共有14个． 10．（24-25高一上·安徽芜湖·月考）若自然数使得作竖式加法不发生进位现象，则称为“可加数”，例如不产生进位，所以12是“可加数”；产生了进位现象，所以41不是“可加数”．那么在小于2024的四位自然数中，“可加数”共有______个． 【答案】57 【分析】按千位数字分类，利用计数原理可得答案. 【详解】在小于2024的四位自然数中， 当千位为1时，“可加数”需满足个位数字，十位数字， 百位数字，共个； 当千位为2时，“可加数”需满足百位只能为0，十位数字， 个位数字，共个； 故“可加数”共有. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 题型预览 题型一 分类加法计数原理 题型二 分步乘法计数原理 题型三 两个原理的综合应用 知识清单 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 【注意】定义中，每一类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 【注意】完成这件事有多个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺一不可 使用两个原理的原则 使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是把较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，这时用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理． 题型突破 题型一 分类加法计数原理 1．（25-26高二下·广东深圳·期中）从1，2，3，…，15共15个数字中，甲、乙两人各取一数（不重复），若甲取到的数是5的倍数且甲取到的数大于乙取到的数，则不同的取法共有（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·安徽·期中）某合唱队有男队员15人，女队员20人，现需从中选出一名同学担任指挥，则不同的选法共有（    ）. A．15种 B．20种 C．35种 D．300种 3．（25-26高二下·河北邯郸·期中）已知书架上仅有，，，四类杂志，其数量分别为6，4，5，4，且每类杂志中的每一本都不同.若小张要从该书架选一本杂志，则他的选法数为（   ） A．4 B．19 C．60 D．480 4．（25-26高二下·江苏无锡·期中）集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的横、纵坐标，则在第二象限内的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（25-26高三下·上海·月考）某学校工会组织“掷骰子赢奖品”活动．规则是连续掷三次骰子，并按顺序记录．若三次点数a，b，c满足，则该投掷序列被视为“幸运序列”．则共有________种不同的“幸运序列”． 6．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊五人一起去电影院看电影，他们选了一排的连续5个座位，座位号分别为1，2，3，4，5，若要求甲坐在偶数号位置上，且乙和丙相邻而坐，则不同的坐法共有______种. 题型二 分步乘法计数原理 7．（河北定州中学等校2025-2026学年高二下学期4月期中数学试题）某校开展阅读打卡活动，语文老师要求每个学生阅读科普类文本和人文自然类文本各一本，现有7本科普类文本和8本人文自然类文本可供选择，小明按照语文老师的要求进行选择，则不同的选法共有（    ） A．56种 B．28种 C．24种 D．30种 8．（山西晋中市2025-2026学年高二下学期素养测评（二）数学试题）书架上有5本不同的小说和4本不同的散文，随机取出2本，其中1本是小说1本是散文的不同取法有（    ） A．10种 B．20种 C．36种 D．72种 9．（25-26高二下·浙江温州·期中）四名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·安徽安庆·月考）甲、乙、丙、丁四人从网球、乒乓球、羽毛球这三门选修课中，每人任选一门参加，则不同的选择方案共有（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·湖北·期中）有3封不同的信投入4个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（   ） A．81 B．64 C．24 D．12 12．（25-26高二下·山东济南·期中）乘积展开后的项数为（    ） A． B． C． D． 题型三 两个原理的综合应用 13．（25-26高二下·安徽蚌埠·月考）李芳有4件不同颜色的衬衣，3条不同花样的裤子，另有两条不同样式的连衣裙.李芳需选择一套服装（一件衬衣和一条裤子为一套，一条连衣裙为一套）参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式有（   ）种 A．24 B．14 C．10 D．9 14．（25-26高二下·浙江·期中）随着人工智能技术的快速兴起与广泛应用，AI工具已深度融入内容创作领域，极大提升了短视频的制作效率．一位UP主借助AI工具制作短视频，流程分为选题与文案､生成素材､配音配乐､剪辑包装四个步骤，各步骤可选工具如下表： 步骤 可选AI工具 选题与文案 ChatGPT､豆包､Kimi､DeepSeek 生成素材 可灵AI､即梦AI 配音配乐 剪映､魔音工坊､讯飞配音 剪辑包装 剪映､Runway､PikaLabs 剪映不可单独使用（即若在配音配乐或剪辑包装中使用剪映，则两个阶段必须都使用剪映），每个阶段只能且必须选择1个工具．则不同的搭配方案共有______种． 15．（2026·青海西宁·二模）如图，某校园新建了一处三层的“阶梯式绿植角”，每层从上到下依次摆放个、个、个花盆，形成三角形排列，其中有虚线连接的个花盆为“相邻花盆”，现有多个红、黄、蓝三种颜色的花盆可供选择，若规定“相邻花盆”颜色不同，且最下层不全为同色花盆，则花盆摆放的不同方式共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 16．（2026·广东肇庆·二模）一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字，随机投掷该骰子3次，得到的点数依次记为，则满足的有序数对的个数为（    ） A．48 B．36 C．24 D．12 17．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，将一个大正方形分割为25个完全相同的小正方形，图中部分小正方形内已标有数字或“△”，其中数字表示与该小正方形有公共边或公共顶点的小正方形内所填“△”的个数，图中每个空白的小正方形内只能填1个“△”或不填，则满足要求的填法有_____种． 强化训练 1．（湖北黄冈市2025-2026学年高二年级4月份阶段性练习数学试卷（B卷））已知集合，集合，从集合A中取一个数作为点的横坐标，从集合B中取一个数作为点的纵坐标，则在第二象限的点有（   ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 2．（25-26高二上·江苏南京·期末）某书架的第一层放有8本不同的数学书，第二层放有5本不同的物理书．从这些书中任取1本数学书和1本物理书，不同的取法有（   ） A．13种 B．40种 C．种 D．种 3．（2026·安徽淮北·二模）已知集合，则满足的函数的个数为（    ） A．12 B．15 C．24 D．30 4．（25-26高二下·吉林长春·月考）（多选）现安排高二年级，，三名同学到甲、乙、丙三个社区进行社会实践，每名同学只能选择一个社区，每个社区不限制志愿者名额，则下列结果正确的是（   ） A．所有可能的方法有27种 B．所有可能的方法有9种 C．若同学A不去社区甲，B不去社区乙，则不同的安排方法有12种 D．若同学A不去社区甲，B不去社区乙，则不同的安排方法有14种 5．（25-26高三下·辽宁铁岭·月考）（多选）某公司使用AGV（自动导引运输车）从仓库驶往质检区，途中必须经过工位1或工位2（若同时经过工位1与工位2，需先经过工位1，后经过工位2），其中从直接到工位1，从直接到工位2，从工位1不经过工位2到，从工位1到工位2，从工位2到，各有2条不同路线可行驶（每条路线都是单向的），则（    ） A．从到工位2有6种不同路线 B．从工位1到有8种不同路线 C．从经过工位2到有8种不同路线 D．从到共有16种不同路线 6．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．用这6个数字，可以排成1080个可重复数字的四位数 B．用这6个数字，可以排成300个无重复数字的四位数 C．用这6个数字，可以排成144个无重复数字的四位奇数 D．用这6个数字，可以排成144个无重复数字的四位偶数 7．（25-26高二下·贵州黔西南·月考）从0，1，2，3，4这5个数字中选出3个不同数字能组成______（用数字表示）个三位数. 8．（24-25高二下·上海静安·期中）若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位数.则这样的三位数一共有__________.（用数字作答） 9．（25-26高二下·山东济南·月考）用数字，组成四位数，且，都至少出现一次，则共有__________个四位数. 10．（24-25高一上·安徽芜湖·月考）若自然数使得作竖式加法不发生进位现象，则称为“可加数”，例如不产生进位，所以12是“可加数”；产生了进位现象，所以41不是“可加数”．那么在小于2024的四位自然数中，“可加数”共有______个． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $