精品解析：山西太原师范学院附属中学2025-2026学年第二学期八年级期中学业诊断 数学

2025~2026学年第二学期八年级期中学业诊断 数学 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列大学校徽主体图案是中心对称图形的是（ ） A. 西南财经大学 B. 北京大学 C. 中国人民大学 D. 北京体育大学 2. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则（ ） A. B. C. D. 5. 用反证法证明“在中，若是直角，则一定是锐角”时，应假设（ ） A. 是锐角 B. 不是锐角 C. 是直角 D. 不是直角 6. 如图，将三角形纸板ABC沿直线AB向右平行移动，使∠A到达∠B的位置，若∠CAB=50°，∠ABC=100°，则∠CBE的度数为（　　） A. 50° B. 40° C. 30° D. 100° 7. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”就能三等分角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 9. 中国古典园林里面的窗型，形制丰富，如图是颐和园小长廊五角夹堂窗，其轮廓是一个正五边形，如图是它的示意图，它的一个外角的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，点C的对应点E恰好落在BA的延长线上，DE与BC交于点F，连接BD．下列结论不一定正确的是（　　） A. AD=BD B. ACBD C. DF=EF D. ∠CBD=∠E 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 不等式的正整数解为______． 12. 2026年，大同文旅迎来爆发式增长．依托云冈石窟、大同古城等核心，叠加沉浸式演艺、文创“佛小伴”及春节民俗活动引爆市场，全市文旅营收规模持续走高，增速领跑全省．入境游热度以增速领跑全国，重点景区游客接待量与门票收入双增，既彰显了古都文化魅力，也为资源型城市转型注入强劲动能．某文创工作室定制了3000份周边徽章，每份成本为10元．包装运输过程中，有的徽章因磕碰损坏无法售卖．为保障工作室运营，需确保至少的利润．设徽章的销售单价为元/份，则可列不等式为：___________． 13. 如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC＝5，则OF＝__________ 14. 如图，中，，分别以、为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于、，作直线，为的中点，为直线上任意一点，若，的面积为10，则的最小值是_____． 15. 如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,∠BAC=45°,AD是∠BAC的平分线, DE⊥AB于点E,则DE的长是__________ 三、简答题 16. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 17. 下面是小华同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解不等式： 解：去分母，得： 第一步 去括号，得 第二步 移项，得 第三步 合并同类项， 第四步 两边同时除以，得 第五步 任务： （1）上述过程中，从第______步出现错误，具体错误是______； （2）请写出该不等式正确的求解过程； （3）请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式的过程写出一条注意事项． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 19. 如图，在中，， （1）实践与操作：利用尺规过点作的高，为垂足．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母，并写出一条作图的依据．） （2）应用与计算：在（1）的条件下，若，，则___________． 20. 国内某知名车企研发的最新超快充充电技术，大幅提升充电效率，5分钟即可补能，9分钟能充至近满电．该技术兼顾极寒环境适应性与电池安全性，配合新一代刀片电池，实现高效、安全、耐用的综合优势，全面引领电动车快充新时代．为响应节能减排号召，某市出租车公司计划采购该车企的A、B两款搭载此项超快充技术的新能源电动汽车．已知每辆A款车进价18万元，每辆B款车进价10万元，公司拟用不超过1500万元的资金购进两款车共120辆，求最多可购买多少辆A款新能源电动汽车？ 21. 如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交AB于点F，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）请判断线段与的大小关系，并说明理由． 22. 某校为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需采购一批某种菜苗开展种植活动．已知甲、乙两菜苗基地该种菜苗每捆的标价都是元（菜苗的质量一样好），但甲、乙两菜苗基地的优惠条件却不同，如下所示． 甲菜苗基地：若购买不超过捆，则按标价付款；若一次性购买捆以上，前捆按标价付款，超过捆的部分按标价的付款； 乙菜苗基地：按标价的付款． （1）若学校决定购买该种菜苗捆，则在甲菜苗基地购买，需付款______元，在乙菜苗基地购买，需付款______元； （2）设学校购买该种菜苗捆，补全下列表格（需化简）； 的取值范围 在甲菜苗基地购买的费用（元） 在乙菜苗基地购买的费用（元） 小于等于 大于 （3）根据购买该种菜苗的捆数选择在哪个基地更省钱． 23. 综合与实践--探究特殊三角形中的相关问题 问题情境： 某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含角的直角三角板和按如图1所示位置放置，且的较短直角边为2，现将绕点按逆时针方向旋转，如图2，与交于点，与交于点，与交于点． （1）初步探究： 勤思小组的同学提出：当旋转角___________时，是等腰三角形； （2）深入探究： 敏学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接，，那么所在的直线是线段的垂直平分线，请帮他们证明： （3）再探究： 在旋转过程中，当旋转角时，直接写出与重叠的面积_______； （4）拓展延伸： 在旋转过程中，当为直角三角形时直接写出旋转角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期八年级期中学业诊断 数学 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列大学校徽主体图案是中心对称图形的是（ ） A. 西南财经大学 B. 北京大学 C. 中国人民大学 D. 北京体育大学 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．是中心对称图形，故本选项符合题意． 2. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．若取，，则，， 此时，原变形不正确，故此选项不符合题意； B．∵， ∴，原变形不正确，故此选项不符合题意； C．∵，， ∴，原变形不正确，故此选项不符合题意； D．∵，， ∴， ∴，原变形正确，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点的坐标平移规律“左减右加，上加下减”解答即可求解． 【详解】解：∵点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 4. 如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，根据旋转的性质可得，，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 【详解】解：绕点逆时针旋转，得到， ，， ， ． 故选：A． 5. 用反证法证明“在中，若是直角，则一定是锐角”时，应假设（ ） A. 是锐角 B. 不是锐角 C. 是直角 D. 不是直角 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反证法，反证法的步骤是：①假设结论不成立；②从假设出发推出矛盾；③假设不成立，则结论成立． 根据反证法的步骤，应假设结论不成立作答即可． 【详解】用反证法证明“在中，若是直角，则一定是锐角”时，应假设不是锐角， 故选：B． 6. 如图，将三角形纸板ABC沿直线AB向右平行移动，使∠A到达∠B的位置，若∠CAB=50°，∠ABC=100°，则∠CBE的度数为（　　） A. 50° B. 40° C. 30° D. 100° 【答案】C 【解析】 【详解】∵将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置， ∴AC∥BE， ∴∠CAB=∠EBD=50°， ∵∠ABC=100°， ∴∠CBE的度数为：180°-50°-100°=30°． 故选C． 7. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”就能三等分角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，，再利用三角形外角性质求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到相交的点，当x<1时，当x=1时，当x>1时分别找出它们的函数大小情况． 【详解】解：在A点时3x=ax+4， ∴根据图象观察可得，当x≥1时，3x≥ax+4， 故选A． 【点睛】本题考查根据图形确定不等式的x取值范围，掌握交点的坐标的意义是解题关键． 9. 中国古典园林里面的窗型，形制丰富，如图是颐和园小长廊五角夹堂窗，其轮廓是一个正五边形，如图是它的示意图，它的一个外角的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用外角和除以外角个数即可求解． 【详解】解：∵该窗型轮廓是一个正五边形， ∴它的外角和为，且每个外角相等， ． 10. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，点C的对应点E恰好落在BA的延长线上，DE与BC交于点F，连接BD．下列结论不一定正确的是（　　） A. AD=BD B. ACBD C. DF=EF D. ∠CBD=∠E 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质知∠BAD=∠CAE=60°，AB=AD，△ABC≌△ADE，据此得出△ABD是等边三角形、∠C=∠E，证ACBD得∠CBD=∠C，从而得出∠CBD=∠E． 【详解】解：由旋转知∠BAD=∠CAE=60°，AB=AD，△ABC≌△ADE ∴∠C=∠E，△ABD是等边三角形，∠CAD=60° ∴∠D=∠CAD=60°，AD=BD ∴ACBD ∴∠CBD=∠C ∴∠CBD=∠E 则A、B、D均正确 故选C． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质、等边三角形的判定与性质及平行线的判定与性质． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 不等式的正整数解为______． 【答案】1，2 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，解不等式求出x的范围，再取符合条件的正整数即可． 【详解】解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得：， 系数化为1，得：， 所以，不等式的正整数解为1，2． 12. 2026年，大同文旅迎来爆发式增长．依托云冈石窟、大同古城等核心，叠加沉浸式演艺、文创“佛小伴”及春节民俗活动引爆市场，全市文旅营收规模持续走高，增速领跑全省．入境游热度以增速领跑全国，重点景区游客接待量与门票收入双增，既彰显了古都文化魅力，也为资源型城市转型注入强劲动能．某文创工作室定制了3000份周边徽章，每份成本为10元．包装运输过程中，有的徽章因磕碰损坏无法售卖．为保障工作室运营，需确保至少的利润．设徽章的销售单价为元/份，则可列不等式为：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出可正常售卖的徽章数量，再根据总销售额不低于总成本的的不等关系列出不等式． 【详解】解：设徽章的销售单价为元/份， 由题意可得可正常售卖的徽章数量为 份，总销售额为 元． ∵总成本为 元． ∴． 13. 如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC＝5，则OF＝__________ 【答案】10 【解析】 【分析】作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】作EH⊥OA于H． ∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH=EC=5，∠AOB=30°． ∵EF∥OB，∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，∴EF=2EH=10，∠FEO=∠FOE，∴OF=EF=10． 故答案为10． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 14. 如图，中，，分别以、为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于、，作直线，为的中点，为直线上任意一点，若，的面积为10，则的最小值是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】连接，，如图，先利用等腰三角形的性质得到，则可根据三角形面积公式求出，利用基本作图得到垂直平分，则，所以（当且仅当、、共线，即点为与的交点时取等号），从而得到的最小值． 【详解】解：连接，，如图， ，为的中点， ， 的面积为10， ，解得， 由作法得垂直平分， ， ， 而（当且仅当、、共线，即点为与的交点时取等号）， 的最小值为5， 的最小值是5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和最短路径问题． 15. 如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,∠BAC=45°,AD是∠BAC的平分线, DE⊥AB于点E,则DE的长是__________ 【答案】 【解析】 【分析】首先过点D作DF⊥AC，利用三角形面积公式得出△ABC的面积，然后根据角平分线的性质得出DE=DF，最后由面积等量转换得出DE. 【详解】过点D作DF⊥AC，交AC于F，如图所示 ∵在△ABC中,AB=10,AC=8,∠BAC=45°, ∴ 又∵AD是∠BAC的平分线, DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF ∴ ∴DE= 【点睛】此题主要考查角平分线的性质以及三角形面积公式的运用，熟练掌握，即可解题. 三、简答题 16. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】， 在数轴上表示为： 【解析】 【分析】分别计算出方程组中两个不等式的解集，两个解集的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； 在数轴上表示为： ∴这个不等式组的解集为． 【点睛】此题考查一元一次不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，解题关键在于掌握运算法则. 17. 下面是小华同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解不等式： 解：去分母，得： 第一步 去括号，得 第二步 移项，得 第三步 合并同类项， 第四步 两边同时除以，得 第五步 任务： （1）上述过程中，从第______步出现错误，具体错误是______； （2）请写出该不等式正确的求解过程； （3）请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式的过程写出一条注意事项． 【答案】（1）第一步，去分母时，漏乘常数项 （2） ， 去分母，得： 去括号，得 移项，得 合并同类项， 两边同时除以，得． （3）去分母时，一定要注意不要漏乘了常数项 【解析】 【分析】（1）去分母，注意不要漏乘常数项； （2）按照解不等式的基本步骤解答即可． （3）注意不要漏乘常数项． 本题考查了解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据解不等式的基本步骤，发现第一步开始出现了错误，错因是去分母时漏乘了常数项， 故答案为：第一步，去分母时，漏乘常数项． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：建议去分母时，一定要注意不要漏乘了常数项． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 【答案】（1）A1B1C1即为所求； （2）A2B2C2即为所求；     （3）﹣2，0． 【解析】 【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1； （2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2； （3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）由图可得，A1B1C1与A2B2C2关于点成中心对称． 故答案为：﹣2，0． 【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的关键． 19. 如图，在中，， （1）实践与操作：利用尺规过点作的高，为垂足．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母，并写出一条作图的依据．） （2）应用与计算：在（1）的条件下，若，，则___________． 【答案】（1） 如图， 依据：两个三角形两边及其夹角相等则它们全等（SAS）． （2） 【解析】 【分析】（１）根据，则与交点即为垂足． （2）根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ， ， 故由勾股定理得 ， ， ． 20. 国内某知名车企研发的最新超快充充电技术，大幅提升充电效率，5分钟即可补能，9分钟能充至近满电．该技术兼顾极寒环境适应性与电池安全性，配合新一代刀片电池，实现高效、安全、耐用的综合优势，全面引领电动车快充新时代．为响应节能减排号召，某市出租车公司计划采购该车企的A、B两款搭载此项超快充技术的新能源电动汽车．已知每辆A款车进价18万元，每辆B款车进价10万元，公司拟用不超过1500万元的资金购进两款车共120辆，求最多可购买多少辆A款新能源电动汽车？ 【答案】37辆 【解析】 【分析】设购买x辆A款新能源电动汽车，则购买辆B款新能源电动汽车，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】解：设购买x辆A款新能源电动汽车，则购买辆B款新能源电动汽车，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x最大值取37， 答：最多可购买37辆A款新能源电动汽车． 21. 如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交AB于点F，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）请判断线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，点D是边的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）， 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，即可得出结论； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某校为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需采购一批某种菜苗开展种植活动．已知甲、乙两菜苗基地该种菜苗每捆的标价都是元（菜苗的质量一样好），但甲、乙两菜苗基地的优惠条件却不同，如下所示． 甲菜苗基地：若购买不超过捆，则按标价付款；若一次性购买捆以上，前捆按标价付款，超过捆的部分按标价的付款； 乙菜苗基地：按标价的付款． （1）若学校决定购买该种菜苗捆，则在甲菜苗基地购买，需付款______元，在乙菜苗基地购买，需付款______元； （2）设学校购买该种菜苗捆，补全下列表格（需化简）； 的取值范围 在甲菜苗基地购买的费用（元） 在乙菜苗基地购买的费用（元） 小于等于 大于 （3）根据购买该种菜苗的捆数选择在哪个基地更省钱． 【答案】（1）；； （2）；； （3）当小于时，在乙菜苗基地购买合算；当时，两个菜苗基地购买费用一样；当时，在甲菜苗基地购买合算． 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的实际应用，一元一次方程的方案选择问题，能根据题意正确地分段列出式子是解题的关键． （1）根据题意分别列式计算即可； （2）甲大于，利用“若一次性购买捆以上，前捆按标价付款，超过捆的部分按标价的付款”列式即可；乙利用“按标价的付款”列式即可； （3）先判断小于等于时，由，可知乙菜苗基地购买合算；大于时，先解方程，得，再分三种情况判断：小于时，时，时，即可解决． 【小问1详解】 解：根据题意，在甲菜苗基地购买，需付款（元）； 在乙菜苗基地购买，需付款（元）； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：设学校购买该种菜苗捆， 在甲菜苗基地购买时， 若小于等于，则费用为； 若大于，则费用为元； 在乙菜苗基地购买时， 若小于等于，则费用为元； 若大于，则费用为元； 故答案为：；；； 【小问3详解】 解：①小于等于时，由， 故乙菜苗基地购买合算； ②大于时，由， 解得：， 由乙菜苗基地购买费用， 当时，是负数， 则乙菜苗基地购买合算； 当时，是正数， 则甲菜苗基地购买合算； 综上，当小于时，在乙菜苗基地购买合算；当时，两个菜苗基地购买费用一样；当时，在甲菜苗基地购买合算． 23. 综合与实践--探究特殊三角形中的相关问题 问题情境： 某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含角的直角三角板和按如图1所示位置放置，且的较短直角边为2，现将绕点按逆时针方向旋转，如图2，与交于点，与交于点，与交于点． （1）初步探究： 勤思小组的同学提出：当旋转角___________时，是等腰三角形； （2）深入探究： 敏学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接，，那么所在的直线是线段的垂直平分线，请帮他们证明： （3）再探究： 在旋转过程中，当旋转角时，直接写出与重叠的面积_______； （4）拓展延伸： 在旋转过程中，当为直角三角形时直接写出旋转角的度数． 【答案】（1）或 （2） 证明：如图， 由题意可知，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴点P在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴所在的直线是线段的垂直平分线； （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）分两种情况：当时，当时，即可求解； （2）证明，可得，从而得到，可证明，可得，从而得到点P在的垂直平分线上，再由，可得点A在的垂直平分线上，即可解答； （3）根据直角三角形的性质可得，，，，从而得到， ，证明，由（2）可知，可得，即可求解； （4） 分两种情况：当时，当时，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，此时 ， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述，当旋转角或时，是等腰三角形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴，， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ， 在和中， ， ∴， 由（2）可知， ∴， ∵， ∴与重叠的面积； 【小问4详解】 解：如图：当时． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴； 如图所示：当时． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $