福建省莆田砺志学校2025-2026学年高一下学期期中质量检测数学试卷

**基本信息** 莆田砺志学校高一下期中数学卷，聚焦复数、立体几何、向量、解三角形核心内容，通过8单选（40分）、3多选（18分）、3填空（15分）、5解答（77分）的分层设计，考查空间观念、推理能力与运算能力，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|复数运算、直观图面积、向量关系|基础概念与空间想象结合（如第2题直观图面积）| |多项选择|3/18|向量定义、几何体性质、三角形解个数|辨析能力考查（如第10题几何体定义判断）| |填空|3/15|复数化简、投影向量、外接球体积|空间模型应用（如第14题三棱锥外接球）| |解答|5/77|向量运算、体积计算、证明、解三角形|能力梯度设计（如第17题面积最值考运算能力，第18题证明考推理能力）|

莆田砺志学校2025-2026学年（下）期中质量检测 高一年级 数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 考生注意： 1.答题前，考生先将自己的姓名、考号等内容填写清楚。 2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持答题卡卷面清洁，不要折叠、不要弄破，禁用涂改液，涂改胶条。 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．设复数，则（    ） A．4 B． C．2i D． 2．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，，则的面积为（   ） A．24 B．12 C．6 D．8 3．如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 4．在锐角中，角所对的边长分别为．若，则角等于（    ） A． B． C． D． 5．已知，，若，则实数的值为（   ） A．2 B． C．-2 D．±2 6．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 7．给出下列四个命题： ①若平面平面，直线，直线，则； ②若直线直线，直线平面，直线平面，则； ③若平面平面，直线，则； ④若直线平面，平面平面，则． 其中真命题的个数为（   ） A． B． C． D． 8．在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 二、多选题：（每小题6分，满分18分.每小题中，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分） 9．下列说法正确的是（   ） A．我们把既有大小又有方向的量叫作向量 B．单位向量是相等向量 C．零向量与任意向量平行 D．向量的模可以比较大小 10．下列说法正确的是（    ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥 B．棱柱至少有五个面 C．棱台的侧棱延长后必交于一点 D．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 11．在中，内角所对的边分别为，则下列各组条件中使得有两个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 三、填空题：（每小题5分，满分15分） 12．__________. 13． 已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为______. 14．如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_____. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．(13分）已知向量． (1)求； (2)求向量与的夹角的大小； 16．（15分）如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等. (1)求圆柱的侧面积; (2)求三棱柱的体积. 17．（15分）在中，内角的对边分别是，且． (1)求； (2)若，求的面积的最大值． 18．（17分）由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 19．（17分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足. (1)若，的面积为，且，求、； (2)在（1）的条件下，D为的中点，求中线的长. 莆田砺志学校2025-2026学年（下）期中质量检测 高一年级 数学参考答案 一、单项选择题 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】A 8．【答案】A 二、多选题 9．【答案】ACD 10．【答案】BC 11．【答案】BC 三、填空题 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】 四、解答题 15．(13分）【答案】(1)(2) 【详解】（1）由向量，得. （2）由向量，得， 又，于是， 而，所以. 16．（15分）【答案】(1) (2) 【详解】（1）设底面圆的直径为，则其高也为; 由题可知，圆柱的体积，解得， 因此圆柱的侧面积为. （2）因为是等腰直角三角形，底面圆的半径为，因此边长， 所以三棱柱的体积. 17．（15分）【答案】(1)(2) 【详解】（1）由，得， 所以由余弦定理，得， 因为中，，所以， ，所以. （2）由和，得， 因为，当且仅当时取等号，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积， 即的面积的最大值为. 18．（17分）【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）取的中点，连接. 则. 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，不在平面内， 所以平面. （2）因为，平面，不在平面内， 所以平面. 由（1）知，平面. 因为平面， 所以平面平面. 19．（17分）【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足， 根据正弦定理得，因为， 所以，所以， 化简得，又，所以. 又，所以. 由，，得. 由余弦定理，得. 则，所以.又则，. （2）由于，所以根据余弦定理得. 在中，，所以根据余弦定理得 所以. 高一数学第1页，共3页 高一数学第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $