重庆市西南大学附属中学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

西南大学附中2025一2026学年度下期期中考试 高二数学试题 (满分：150分：考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上。 2,答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写； 必须在题号对应的答题区战内作答，超出答题区域书写无效：保持答卷清洁、完整。 3.考试结束后，将答题卡交回（试題卷学生保存，以备评讲)。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.西数/)子-2在区间-12]的最小值是（ A B.-1 C.0 3 D.-5 2.若随机变量X服从两点分布，其中PX=0=行，则D)=（ B C. D. 2 3.某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，80%的同学爱好滑冰或 爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑冰，则该同学也爱好滑 雪的概率为( A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.3 4.已知数列{an}满足4=4，a+1= 4 2-a’则4206=（ A.1 B.2 C.4 D.-2 5.i 知函数f(x)=(ax2+bx+c)e'(a,b,ceR),若x=-l是函数f(x)的一个极值点，则下列 图不可能为y=ax2+bx+c图象的是 高二数学第1页（共4页） 6.幼儿园有三个不同的汽车玩具和三个不同的恐龙玩具，以下说法不正确的是() A.将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具排在一起有144种不同的排法 B.将这6个玩具排成一排，其中汽车玩具都不相邻的有144种不同的排法 C.将这6个玩具排成一排，其中三个汽车玩具的先后顺序一定的有120种不同的排法 D.将这6个玩具分给甲、乙两个小朋友，每人3个，一共有40种不同的分配方案 7.已知M是双曲线C兰-y=1的图象上一点，且M位于第一象限过M向该双曲线的两 条渐近线作垂线，垂足分别为A,B,若|MA+|MB=2,则|AB|=(,) A.7 D. 13 2 B. c 2 8.已知函数f(x)=aln(x+2)-bx2+(a-4b)x+2a-4b(a>0),对于定义域内的任意x恒有 fx)≤0，则的最小值为() A.2 B.e2 C.1 D.e 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是( A.曲线的切线可能与该曲线有不止一个公共点 B.一个函数的极小值一定小于极大值 C.函数在某个开区间上的最大值，一定在极大值点处取到 D.若函数∫(x)在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足'(x)>0 10. 己知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2m1+2n-2,则( A.41=4 B.{an-2}是等差数列 C.amin <aman D.数列 0-2 an+1an】 的前以项和小于} 11.在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地向上、下、左、右四个方向移动1 个单位长度，移动6次，则() A.蚂蚁始终未远离原点超过1个单位长度的不同走法一共64种 B.蚂蚁移动到点(3,3)的不同走法一共24种 C.蚂蚁回到原点的不同走法一共400种 D.蚂蚁恰好经过一次(1,1)的不同走法一共640种（最后一次到达(1,1)不算经过) 高二数学第2页（共4页) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在2x- 的展开式中，x的系数为 13.i 知函数f(x)=(1-a2)lnx+ 2+2x既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为 14. 椭圆女 2+3=I(@>b>0O)的左、石焦点分别为F,B，以右焦点E为焦点的抛物线 y2=2x(p>0)与椭圆在第一象限的交点为P,若1P-P?=FB,则椭圆的离心 率e= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3,b3=9,4=b,42=b2: (1)求{an}的通项公式： (2)设Cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Sn, 16.(15分)学校举行了一次有关语文、数学、英语的三大学科知识竞赛，海量题库中语文、数 学、英语三类相关知识题量占比分别为}、、 2、3、6 .甲同学回答语文、数学、英语这三类问 愿中每个题的正确华分别为}号行 (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每一题回答正确得5分，回答错误得0分.设 该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望， 17.(I5分)矩形ABCD中，AB=2AD=2,P为线段DC的中点，将△ADP沿AP折起，使得 BD=√5. (1)求四棱锥D-PABC的体积： (2)求平面ABD与平面CDP所成角的余弦值. 18.(17分)已知函数f=2-ax+a-0nx,aeR. (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点（1，f))处的切线方程： (2)讨论∫(x)的单调性： (3)若函数f四有两个极值点，名(<)，求证：f)+f)<a2-4a+3. 19.(17分)平面内一动点P到直线√3x+2y=0的距离为4，到直线√3x-2y=0的距离为d2, 且+好=8，记点P的轨迹为曲线Q. (1)求2的方程： (2)曲线2的右焦点为F,过点F的直线I与曲线2相交于A,B两点，已知线段AB的中 点为G,求点G的轨迹方程： ③)已知B,F是椭圆C:父+=1上的点，M(x,)是Q上一点，若线段ME,M证 3 的中点都在C上，证明：△MEF的面积是定值. 高二数毕第4页（共4页）西南大学附中2025一2026学年度下期期中考试 法，所以满足题意的共有4×1×4×1×4×1=64种路径；对于B,蚂蚁移动到 高二数学试题参考答案 点(3,3)，则需恰好右移3次，上移3次，路径数为C=20种：对于C,要 回到原点，则左右移动次数相等，均为a次；上下移动次数相等，均为b次， 1-5:DBCCA 6-8:DDC 总次数满足2a+2b=6,即a+b=3，可能的组合有： 7【详解】设则m>0m>0,由双曲线方程可得渐近线方程为)y=士 3x即 ①a=3,b=0,即左右都3次，路径数为C=20种： x±V5y=0, ②a=2,b=1,即左右均2次，上下均1次，路径数为CCC2=180种： ③a=1,b=2,即左右均1次，上下均2次，路径数为CCC=180种： ④a=0,b=3,即上下都3次，路径数为C2=20种： p4+网=2西-，+-2=h-5+m+n=4r 所以路径总数为20+180+180+20=400种； 对于D,由于蚂蚁到达点(x,y)的步数与x+y同奇偶，所以蚂蚁只能在第2 M(m,n) 或第4次到达(1,1)，用第2次到达(1,1)的方案数加上第4次到达(1,1)的方案 由M(m川在第一象限可知0<< m,所以由上式可得2m=4,即 数，再减去第2次和第4次都到达(1,1)的方案数的2倍即可. m=2, 若第2次到达(1,1)，前两步有两种走法，后第4步有4=256种走法，所以 代入双曲线得： -r1 ,所以 一共有2×256-512种不同的方案若第4次到达(1,1)，那么前4步中有1步 3 向上，2步向右，1步向左或者1步向右，2步向上，1步向下，一共 2 2 2CCC=24种方案，后两步有42=16种不同的方案，一共有24×16=384 又因为∠AOB=60°，所以∠AMB=120°，在△AMB中，由余弦定理： 种不同的方案；若第2次和第4次都到达(1,1)，则一共有2×4×42=128种方 案，故一共有512+384-2×128=640种不同的方案。 12.20 13.-1<a<- 2 14. 8.【详解】令f(x)=a血(x+2)-(x+2)b(x+2)-a≤0，则 (x+2)≤(x+2)[-(x+2)-刂， 4【详解】根据题意可设（侵0椭圆的半焦距为c,P(,%】,则p=2c, 过E作x轴的垂线1，过P作I的垂线，垂足为A,显然直线A瓦为抛物线的 不等式两端同时除以x+2得：6+2≤2x+2)-1,令x+2=1,得 准线，则PA=P, x+2 a 血s-1 PF+PF3=2a 由椭圆的定义及已知条件可知 IPRI-IPRI=0 令et0=g,80= 2，则0在(0，)上单调递增，在(e,∞)上单调递 PF=a+c 2 减 则 1 要使：-1≤g0恒成立，则直线y=白1-1与曲线g0相切时取得最值 b IPRJ-a-7c-1P4 InXo+1 由勾股定理可知4==P5-P4-2ac, ),则写1-5，解得6=，此时名=g0=1. 1 1 没切点为(o, 又6=4066=20，所以a+c=a 整理得a=c,故离心率为 AC 10.ACD 11.ACD 3"-1 ·【详解】对于A,蚂蚁始终未远离原点超过1个单位长度，则每一步的位置 15.(1)an=2n-1 (2)Sn=n+ 2 只能是(0,0)或原点的上下左右四个点，最开始蚂蚁在原点，第一次移动有上 下左右4种走法，第二次移动只能回到原点，即只有1种走法，同理，第三 银等比数列曲公比9-子-号3 次移动有上下左右4种走法，第四次移动只能回到原点，即只有1种走法， 所以4-丝=3-1，b,=g=3 93 第五次移动有上下左右4种走法，第六次移动只能回到原点，即只有1种走 设等差数列{a,}的公差为d,因为4==1，a2=2=3, 所以a+d=1+d=3,解得d=2 所以an=a+(n-1)d=1+2(n-)=2n-1. 等差数列{an}的通项公式为an=2n-l. (2)由(1)知，cn=an+bn=2n-1+3 所以3，-[1+3++(2m-明++3++3)-+2m-4-2=2+”-, 2 1-3 2 故数列{o}的前n项和为3，=2+3”-1 2 160)品②)分布列如译解，0幻-头 解：（1)设B=“甲同学所选的题目回答正确”，4=“所选的题目为语文、 数学、英语相关知识的题目”(i仁1,2,3)，根据题意得 P(4)=P4)字P(4)-言，P(@4-Pe14)- P(B14)=2:所以 P(B)=P(4)P(BIA)+P()P(B14)+P(4)P(BI4) (2)由题意可知，X的可能取值为0,5,10,15 Px=o--}-引}-品 w---引---引r--}对 x=0-*-引-}5-》品 所以X的分布列为： X 0 5 10 15 P 120 品 品 4 所以E(x)=0+5×+10x9+15× 9_37 40 20 404 17. 解：(1)取AP中点为点O,连接OB,在△ADP中，AD=PD=1,AP= OD LAP且oD=E 2 在△ABP,AP=BP=√2，AB=2,则 又OB2+OD2=BD2,则OD⊥0B,又 AP∩OB=O,AP、OBC平面MBCP, 则oDL平面BCP,又心-1x2-×1x1-2,则 故f(x)在(1，a-)上单调递减，在(0,1)(a-l,+∞)上单调递增： -6N2m 8V2 6咖号-9 综上所述，当a=2时，f()在(0，+o)上单调递增：当a≤1时，()在(0，) 片+y2= 3m2+4 则x+名=m0+2)+2W5= 3m2+4 上单调递减，在(，+)上单调递增：当1<a<2时，f(x)在(a-1,1)上单调 4W2 (2)过点C作OD平行线CE,则CE⊥平面ABCP,又BC⊥CP, 递减，在(0，a-1),(（1,+o)上单调递增：当a>2时，f(x)在(1，a-1)上单调递 则以C为坐标原点，CP,CB,CE分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 减，在(0,1)，(a-l,+o)上单调递增： 则c(,45-32m x= 令 3m2+4 3m2+4'3m2+41 -3√2m y= 则C(0,0,0),P,0,0),B(0,1,0),4(2,1,0), (3)由(2)可知，当a>1且a2时，f(x)有两个极值点，3（名<）， 3m2+4 31 31√ 则+名=a 又点0为AP中点，则o220,D27 ),设平面ABD的一个法向量为 5=a-1 3x2+4y2-32x=0c>0) m=(,h2）, 则r6)+f)-2-a所+a-咖m+分-a+a-la, 综上所述，点G的轨迹方程为：3x2+4y2-32x=0 m.4B=-2x=0 则 。,令=瓦，则m=(0,1V2) =+)-a6+)+a-咖 丽-+受=0 1 =a2-2a--a2+a-4h(a-0 9》设BWF,,则崛中点为色，” 设平面CDP的一个法向量为n=(2,2,z2), 则血而-+吃 .1 =女2-a+1+a-0na-D 3。+3}+4+2=12,又：3x2+4y62=24,3x2+4y2=12 2320 m·BD=为=0 要证f(s)+f(x)<a2-4a+3,即证 .3x3+4y=6,同理可得3xx4+4yy4=6 令3=5，则R=0,1-万，cs<%a>-2 a-1)m(a-l)-a2+3a-2=(a-10[la(a-)-a+2]<0: 5×5 二3 又a-1>0,即证n(a-1)-a+2<0: ∴直线EF方程为：3xx+4oy=6 则平面ABD与平面CDP所成角的余弦值为} 令8间=a-》-a+2a>l诅a2,则8回占1-2吕当1<ac2 3xox+4yoy= 联立 得(12+9x)x2-36x,x+36-487=0 18。(①y-片（②答案见解析（⊙）证明见解折 时，g'(a)>0, 3x2+4y2=12 当a>2时，g'(a)<0,所以g(a)在(，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递 解：(D当a=0时，=-x>0),所以0=+1= ,故切 减： 又3+4-2%则写+=音号号 点坐标为》 又g(2)=0,a>1且a≠2，则g(a)<0,即n(a-)-a+2<0,证毕 小G+--厚-合)-= 又∫（冈=x-士所以∫0=0，故切线的斜率为0， 19D+=1 (2)3x2+4y2-3√2x=0(3)证明见解析 86 故曲线f(因)在点（化∫）处的切线方程为y=2 (2)f(x)的定义域为(0，+∞)，又 解，)设P功，则4=5x+到45x-2 0⅓w吾网呀 ,d2= f(x)-x-a+a-1-(x-1)[x-(a-D] 3x,2+42-6 18 +d=8 又dM-EF √9x+16y √9x号+16y哈 7 ①当a-1=1,即a=2时，f'(x)20在(0，+∞)上恒成立，故f(x)在 (0,+∞)上单调递增： :.5x+2y+5x-2_62+8y-48 S职w子i8x-四 124 ②当a-1≤0，即a≤1时，x-(a-1)>0,则当0<x<1时，f(x)<0；当 7 7 7 7 x>1时，∫'(x)>0, 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1+∞)上单调递增： 整理得3x+4y2=24,即。+上 861 ③当0<a-1<1,即1<a<2时，当a-1<x<1时，'(x)<0;当x>1或 (2)由(1)知F,(√2,0)若1的斜率为0时，G(0,0) 0<r<a-1时，f(x)>0, 故f()在(a-l1,)上单调递减，在(0，a-1),(Q,+∞)上单调递增： 若1的斜率不为0时，设1为x=my+V2,A(:,),B(x2,y) ④当a-1>1,即a>2时，当1<x<a-1时，f'(x)<0:当x>a-1或 0<x<1时，(x)>0, 联立下=m+ 得(3m2+4)y2+6N2my-18=0,所以△>0 3x2+4y2=2 2