福建泉州现代中学等校2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

**基本信息** 以杭州亚运会合影、销售数据回归分析等真实情境为载体，融合导数、概率统计等核心知识，通过基础题与探究题梯度设计，考查抽象能力、推理能力与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|导数（切线方程）、排列组合（选菜品）、概率（题库选题）|基础概念直接应用，如第4题考查分步计数原理| |多选题|3题/15分|正态分布、二项式定理、递推概率|第11题结合抽奖概率递推，考查逻辑推理| |填空题|4题/20分|二项分布、切线平行、集合列计数|第14题集合列创新设计，培养创新意识| |解答题|5题/75分|函数极值与值域、概率决策、回归分析、函数证明、闯关积分期望|17题销售数据建模求最大利润，体现数学语言表达现实世界；19题积分期望计算，融合概率与优化思想|

2025-2026学年度第二学期期中考高二年数学试卷答案 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题 1．已知函数的导函数为，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】依题意，. 2．的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式展开式通项公式来求指定项系数. 【详解】由， 当，解得， 所以的系数为， 故选：A. 3．曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以 ， 又，，则所求切线方程为. 4．学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】应用乘法原理计算求解. 【详解】学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有种. 5．某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设小明选1道类试题为事件， 小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件， 设小明答对试题为事件，则， ，， ，，， 由全概率公式得： ， . 6．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选D． 考点：利用导数研究函数的单调性. 7．2023年10月23日，杭州亚运会历时16天圆满结束.亚运会结束后，甲､乙､丙､丁､戊五名同学排成一排合影留念，其中甲､乙均不能站左端，且甲､丙必须相邻，则不同的站法共有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 【答案】C 【分析】分类当丙站在左端时及丙不站在左端时的情况计算即可得. 【详解】由题意可知，当丙站在左端时，有种站法； 当丙不站在左端时，有种站法. 由分类加法计数原理可得，一共有种不同的站法. 故选：C. 8．已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造新函数，利用导数判断的单调性，再将不等式变形，借助的单调性即可求解. 【详解】令，则，所以在上单调递增． 又不等式，等价于， 即， 所以，所以，解得． 故选：B. 二、多选题 9．已知随机变量服从正态分布（100，100），则下列结论正确的是（    ） （若随机变量服从正态分布，则， A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据正态分布的意义及法则可得结果 【详解】由随机变量得： 正态分布曲线关于直线对称，且， , 所以， ， ， 故ABC正确，D错误. 故选：ABC. 10．已知的展开式共有13项，则下列说法中错误的有（    ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第6项或第7项 D．有理项共5项 【答案】AC 【详解】，，所有奇数项的二项式系数和为，故A错误； 令，所有项的系数和为，故B正确； 由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故C错误； 展开式通项为，， 要使展开式中的项为有理项，则为整数，即，共有项，故D正确. 11．某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满100元即可获得一次抽奖机会．已知顾客第一次抽奖的中奖概率为，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为，若前一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为．记顾客第次抽奖的中奖概率为，则（    ） A． B．某顾客消费200元，则其中奖概率为 C．的最大值为 D．当时，越大，越小 【答案】AC 【分析】对A，根据抽奖规则建立递推公式，代入算出验证选项；对B，用对立事件概率公式计算两次抽奖至少中奖一次的概率进行判断；对C，将递推公式变形构造等比数列，求出通项后分奇偶讨论验证选项；对D，根据通项公式分析奇偶项的单调性，进行判断. 【详解】对于A：由题意可得， 所以，A正确； 对于B：第一次未中奖的概率为，在第一次未中奖的条件下，第二次也未中奖的概率为， 因此，两次均未中奖的概率为，由对立事件的概率可得其中奖概率为：，B错误； 对于C：由得，所以是等比数列， 首项为，公比为， 所以. 当为奇数时，； 当为偶数时，随增大而减小，当时取得最大值， 综上，的最大值为，C正确； 对于D：当为奇数时，，随的增大而增大； 当为偶数时，随增大而减小，D错误； 故选：AC. 三、填空题 12．已知随机变量服从二项分布，若，则______. 【答案】 【分析】借助二项分布的期望与方差公式计算即可得. 【详解】，则，则. 13．已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数________． 【答案】 【分析】求出函数的导函数，依题意，计算可得. 【详解】因为， 所以 ， 又曲线在点处的切线与直线平行， 所以，即， 所以， 故答案为： 14．按照一定次序排列的一列集合称为集合列，可记为；已知全集的子集满足.若恰有两个元素，则这样的集合列有__________个；所有满足条件的集合列有__________个. 【答案】 96 625/ 【分析】对于空①：先利用组合确定的不同的可能种数，然后结合集合的交并运算，利用乘法计数原理得到对于的每一种确定的情况，集合列的不同种数，进而利用乘法计数原理求得集合列的不同种数，得到空①的答案；类似空①的求解过程，得到的元素个数为0，1，2，3，4的各种情况下的集合列的不同种数，然后根据加法计数原理求和，并利用二项式定理化简计算得到空②的答案. 【详解】空①：有2个元素，是从中任选2个数字，有种不同的可能； 由于，所以中必须而且只需包含没有被选中的2个元素； 其余的2个元素都可以任意的在或不在中，各有4种不同的处置方法， 每种方法都确保了集合列的不同， 从而有种不同的处置方式，得到集合列的16种不同的结果， 所以集合列有种不同的结果. 空②：类似空①的过程，可知当时， 集合列有个不同的结果， 因为， 所以所有满足条件的集合列有625种不同的结果. 故答案为：96；625. （第一空2分，第二空3分） 四、解答题 15．已知函数，且当时，有极值－5． (1)求的值； (2)求在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求导函数，再根据极值点列方程求解即可； （2） 求出导函数，根据导函数正负得出单调性写出极值和最值即可得出值域. （3） 【详解】（1）由，得，——1分 又当时，有极值－5，所以，——2分 解得——2分 所以，当时，单调递减；当时，单调递增．——1分 所以当时，有极小值． 所以． （2）由（1）知． 令，得， ——1分 的值随的变化情况如下表： －4 －1 3 4 + 0 － 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值－5 单调递增 ———1分（有表格或者有点出变化趋势均可得分） 由表可知在上的最大值为————1分，最小值为 ————1分，----1分，,-------1分 即在上的值域为．——1分 16．某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生.该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的. (1)求乙恰好答对两个问题的概率； (2)请问选择哪名同学去参赛更合理？请说明理由 【详解】（1）由题知，令“乙回答问题的正确个数”为，则，————1分 则乙恰好答对两个问题的概率为：.————2分 （2）令“甲回答问题的正确个数”为，“乙回答问题的正确个数”为， 则所有可能的取值为，——1分 则；；．——3分 所以．———2分 由题意，随机变量，所以．——1分 又，——2分 ．——1分 所以，，——1分 可见，乙与甲的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定， 所以选择投票给学生甲．————1分 17．某大学生参加社会实践活动，对某公司月份至月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如下表所示： 月份 销售单价元 销售量件 (1)根据至月份的数据，求出关于的回归直线方程； (2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问中所得到的回归直线方程是否理想？ (3)预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从中的关系，若该种机器配件的成本是元件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？注：利润销售收入成本． 参考公式：回归直线方程，其中， 【答案】(1) (2)可以认为所得到的回归直线方程是不理想的 (3)该产品的销售单价定为元件时，获得的利润最大 【分析】（1）计算、，求出回归系数，写出回归直线方程； （2）根据回归直线方程，计算对应的数值，判断回归直线方程是否理想； （3）求销售利润函数，根据二次函数的图象与性质求最大值即可． 【详解】（1）因为，——2分 所以，——3分（b 2分，a 1分） 于是关于的回归直线方程为；——1分 （2）当时，，——2 分 因为，——1分 所以可以认为所得到的回归直线方程是不理想的；——1分 （3）令销售利润为， 则，——2分 因为，——1分 ，——1分 当且仅当，即时，取最大值．——1分 所以该产品的销售单价定为元件时，获得的利润最大． 18．已知函数，． (1)判断的单调性； (2)若，求的值； (3)已知，．若，证明：． 【答案】(1)当时， 在上单调递增；当时， 在上单调递增，在上递减； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先求导，按照和分类讨论，利用导数研究单调性即可求解； （2）由，得，根据的情况分类讨论，当时，由（1）有，令，利用导数研究最小值即可求解； （3）令，利用导数研究函数的单调性求出最小值即可求解. 【详解】（1）由得：，——1分 当时，，此时在上单调递增；——1分 当时，令，解得： 所以当时，； 当时，，所以在上单调递增——1分，在上递减；——1分 综上所述：1、当时，在上单调递增； 2、当时，在上单调递增，在上递减；----2分 （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，在上递减． 若，则，即，——1分 代入可得：， 令，（），则，——1分 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，——1分 则，即恒成立，且， 所以，即，——1分 当时，恒成立，即在上单调递增， 又，所以当，，不恒成立，故不成立. ——1分 综上所述，； （3） 令，， 所以——1分，令，，——1分 所以在上单调递增，因为，， 所以在上存在唯一零点，令，则，——1分 令，所以；令，所以；——1分 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，所以，——2分 所以，得证. 19．育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛．比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次．如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败．比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人数X的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，且每人能否闯关成功互不影响． (1)已知，，， （i）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望； （ii）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率． (2)若甲只能安排在第二位次参赛，且，要使该队比赛结束后所获积分的期望最大，试确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由． 【答案】(1)（i）；（ii） (2)丙先参赛，理由见解析 【分析】（1）（i）根据相互独立事件概率计算，先求得的分布列，进而计算出的期望；（ii）根据全概率公式求得正确答案； （2）分别计算按“乙甲丙”和“丙甲乙”的顺序所获积分的期望，进而作出判断. 【详解】（1）（i）的可能取值为，——1分 ，， .——4分 所以的分布列为： 所以——1分 （ii）第一次闯关从三人中随机抽取，每个人被抽取到的概率都是，且必须闯关成功， 所以概率为.——3分 （设事件设完整给1分，全概率公式体现1分，结果1分） （2）若顺序为“乙甲丙”： 积分的可能取值为, ，， .——2分 所以. .——1分 若顺序为“丙甲乙”： 积分的可能取值为, ，， .——2分 所以 . ，——1分 ，——1分 由于，所以，——1分 所以丙先参赛. 【点睛】易错点睛：1.期望值计算中的概率漏算：在计算期望值时，容易遗漏某些概率，特别是当涉及多个相互独立事件的联合概率时，需注意所有可能结果的覆盖. 2.顺序安排的误解：在小问2中，可能会误认为甲不需要参与第一位或第二位的安排而导致推导错误，甲只能在第二位参赛的条件直接限制了顺序安排的自由度，必须在这一条件下进行期望值的比较. 试卷第10页，共15页 试卷第9页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中考高二年数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题 1．已知函数的导函数为，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 2．的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 3．曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 4．学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 6．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 7．杭州亚运会历时16天圆满结束.亚运会结束后，甲､乙､丙､丁､戊五名同学排成一排合影留念，其中甲､乙均不能站左端，且甲､丙必须相邻，则不同的站法共有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 8．已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知随机变量服从正态分布（100，100），则下列结论正确的是（    ） （若随机变量服从正态分布，则， A． B． C． D． 10．已知的展开式共有13项，则下列说法中错误的有（    ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第6项或第7项 D．有理项共5项 11．某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满100元即可获得一次抽奖机会．已知顾客第一次抽奖的中奖概率为，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为，若前一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为．记顾客第次抽奖的中奖概率为，则（    ） A． B．某顾客消费200元，则其中奖概率为 C．的最大值为 D．当时，越大，越小 三、填空题 12．已知随机变量服从二项分布，若，则______. 13．已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则实数________． 14．按照一定次序排列的一列集合称为集合列，可记为；已知全集的子集满足.若恰有两个元素，则这样的集合列有__________个；所有满足条件的集合列有__________个. 四、解答题 15．已知函数，且当时，有极值－5． (1)求的值； (2)求在上的值域． 16．某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生.该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的. (1)求乙恰好答对两个问题的概率； (2)请问选择哪名同学去参赛更合理？请说明理由 17．某大学生参加社会实践活动，对某公司月份至月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如下表所示： 月份 销售单价元 销售量件 (1)根据至月份的数据，求出关于的回归直线方程； (2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问中所得到的回归直线方程是否理想？ (3)预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从中的关系，若该种机器配件的成本是元件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？注：利润销售收入成本． 参考公式：回归直线方程，其中， 18．已知函数，． (1)判断的单调性； (2)若，求的值； (3)已知，．若，证明：． 19．育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛．比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次．如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败．比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人数X的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，且每人能否闯关成功互不影响． (1)已知，，， （i）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望； （ii）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率． (2)若甲只能安排在第二位次参赛，且，要使该队比赛结束后所获积分的期望最大，试确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由． 试卷第10页，共15页 试卷第9页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $