福建省泉州四校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 2026年高二数学期中卷以泉州宣传册分配、盆栽浇水概率等现实情境及象棋排列、杨辉三角等文化素材为载体，通过导数应用、概率计算等考查数学抽象、逻辑推理与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|二项式系数、导数几何意义、随机变量期望|单选基础巩固（如瞬时变化率），多选综合应用（如杨辉三角性质）| |填空题|3题15分|分布列期望、组合数计算、函数恒成立|第14题结合函数奇偶性与单调性，考查转化思想| |解答题|5题77分|导数应用、概率统计、函数综合|18题“局胜制”比赛概率融合逻辑推理与数学建模，19题含参数函数单调性讨论体现批判性思维|

班级 号数 姓名 (在此卷上答题无效) 2026年春季期中考高二数学科试卷 考试时间：120分钟总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.在(1-2x)的展开式中，含x2项的系数是() A.21 B.84 C.-21 D.-84 2.函数y=(2x-1)°在x=1处的瞬时变化率为() A.-6 B.1 C.6 D.12 3.随机变量X与Y满足Y=2X+1,若D(X)=2,则D(Y)=() A.8 B.5 C.4 D.2 4.泉州市为做城市营销，计划将5本不同的城市宣传册分给甲、乙、丙三个志愿者小屋.若要求每 个志愿者小屋至少得到1本，则不同的分配方法共有() A.240种 B.180种 C.150种 D.300种 5.某人外出，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为08：若浇水，盆栽枯 萎的概率为0.2.若邻居浇水的概率为P,该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.74，则实数P的值为() A.0.9 B.0.85 C.0.8 D.0.75 6.己知函数∫(x)的导函数∫(x)满足：对任意的x∈R都有x>”(x),若f(1+k)-(1-k)≤2k, 则实数k的取值范围是() A.(-m,0] B. -0,2 c.( D.[0,+oo） 7.某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一 节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是() 3 7 A.20 B.39 17 C.3 D. 78 8.若a=22,b=e°，c=3,则() A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.c<b<a 第1页，共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题給出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值.它具有红黑两种阵营，将、车、 马、炮、兵等均为象棋中的棋子.现将3个红色的“将“车马”棋子与2个黑色的“将“车棋子排成 一列，则下列说法正确的是() A.共有120种排列方式 B.若两个“将”相邻，则有24种排列方式 C.若两个将”不相邻，则有72种排列方式D.若同色棋子不相邻，则有12种排列方式 10.如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉所著的《详 解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是() A.第2026行的第1013个数最大 第0行 1 B.第8行所有数之和为256 第1行 11 C.C+C+C+C+C+C+Cio+Ci=494 第2行 121 第3行 1331 D.记第2行第3个数字为b,第3行第3个数字为b… 第4行 14641 1+1++-2 第5行 15101051 第+1行的第3个数字为6.，则方+ b.n+1 1.已知的数国=+学-号，共号西数为矿倒。 下列说法正确的有() A.若f'(1)=4,则a2+b2≥8 B.a=0,b=2时，f(e)的单调递减区间为[2，+∞) C.a=1,b=-1时，x=1为f(x)的极值点 D.a≤0，b=0时，f(x)无零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量X的分布列为 X 1 P 0.2 0.4 0.4 则E(6X+8)的值为 第2页，共4页 18.已知P(子P()-子4U到名则Pa副 14.已知函数f(x)=e-e+smx,若不等式f(e-a+f(-2r-2x)20在是e上恒成立，则实 数a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 5,13分)已知函数f)=2+e (1)求曲线y=f(x)在点(1，f)处的切线方程： (2)求f(x)的单调区间和极值. 16.(15分)甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中 有4个白球和3个黑球， (1)若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率； (2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是 白球的概率. 17.(15分)已知函数f(x)=x-3存在两个极值点x、x(:<x,),记A(5,f(x)八、B(2,f(2). (1)若AB=4a,求a的值： (2)若曲线g(x)=n(ax)上存在点P,使得PA=PB,求a的取值范围. 第3页，共4页 18.(17分)某种比赛采用“2n+1局n+1胜(n∈N)制（即累计先赢n+1局者获得本场比赛胜利）.在 该比赛中，选手甲对阵选手乙，假设每一局比赛甲获胜的概率为P,乙获胜的概率为1-p(每局比 赛结果相互独立，不受之前战局影响，且无平局) ①当”=1时，若P=?结束比赛时，比袋的局数为X,求X的分布列与数学期望， (2)如果选择以下方案中的一种： 方案一：若采用“5局3胜制，甲累计先赢3局比赛结束的概率为P(A). 方案二：设甲乙赛满5局比赛，甲至少赢3局比赛的概率为P(B). 比较P(A)和P(B)的大小： (3)记“2-1局n胜(n∈N)制比赛中甲获得最终胜利的概率为P,记“2+1局n+1胜(n∈N)制比 赛中，甲在第一局输的条件下甲获得最终胜利的概率为P2,证明：A-P2=C21p(1-p). 19.17分)已知函数0-@g0=合，其中a*0 (1)讨论f(x)的单调性： (2)当1≤x≤2时，g(f(x)≥lnV2,求实数a的取值范围： (3)若存在不等实数x和x2,满足8(x)=8(x2),且2x1<x2<3x,求g(化+x2)的取值范围. 第4页，共4页 2026年春季期中考高二数学科 《参考答案及评分标准》 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C A D B B ACD BCD 题号 11 答案 ABD 6.D 【详解】令8国=/)，则)=了)，因为对任意的xER都有了. 所以g'(x)<0,所以g(x)在R上单调递减， 不等式f0+)f-k)≤2次等价于f+)-+≤f0-)-1-, 即g(1+k)≤g(1-k),所以1+k≥1-k,解得k≥0，故选：D. 7.B 【详解】事件A:数学不排第一节，物理不排最后一节. 若物理安排在第一节，其它4节课安排4科，作全排有A种； 若物理不在第一节，中间3节课任选一节上物理，余下的4节课去掉第1节课的3节课中任选一节 上数学，最后剩下的3节课安排3科，做全排有A种： 综上，事件A的安排数有A+CCA种： 事件B:化学排第四节 若物理安排在第一节，其它3节课安排3科，作全排有A种： 若物理不在第一节，中间前2节课任选一节上物理，余下的1节课和最后一节课任选一节上数学， 最后剩下的2节课安排2科，做全排有A种： 综上，事件AB的安排数有A+CC,A种： S科任意排有A种，所以P=+CCA=,P(AB)= A;+CCA:_ A A A 第1页，共8页 故满足条件的概率是PBA)-39故选：B 8.B 【作解】因为m片血君分所以a=, 所以a0,设f)=x>0,则r-上lns x2 当x≥e时，f'(y)≤0，仅当x=e时等号成立，则f)=血在[e,+m上单调递减， 面e<3,故f©>fB.即>，c>3,所以b>c,绿上所选，可得a<c<b.故选：B 10.BCD 【详解】A错，因为第2026行的第r(r≤2027)个数是C206,由组合数性质可知，C0为C06的最 大值，所以第2026行的第1014个数最大： B对，由二项式系数的性质知，第n行各数的和为2”，所以第8行所有数之和为2=256： C对，因为 C+C+C+C+Cg+C+Cio+Ci=-1+C+C+C+C+C+C+C+Cio+Ci =-1+C+C+C&+C+C8+C+Ci。+C =-1+C6+C%+C+C8+C+Ci。+C=…=-1+C1=-1+495=494: 品na--g】 11.ABD 【详解】易知f()的定义域为(0，+o),∫(x)1+ar2-x+b, 对于A,因为了0)=a+b=4,则a+b=+++公。+b+2ab-+b=8, 2 2 2 第2页，共8页 当且仅当a=b=2时取等号，故A正确： 对于B.当a=0a-时，了到-片号-2+X42 2x 由∫问2x+-x+3<0,解得x>2,又f问在x=2处有意义， 2x 所以∫(x)的单调递减区间为[2，+n),故B正确： 对于C,当a=1,b=-1时，f(x)=+x2-x-1=-(+ 因为x∈(0，+o),所以f'(x)≥0恒成立，当且仅当x=1时取等号， 故∫(x)在区间(0，+o)上单调递增，则∫(x)无极值点，故C错误： 对于D,因为f(x)=+m-x,当a≤0时，易知f(田在区间0，+o)上单调递减， 又x→0*时，f'(x)→+o,f'(I)=a≤0， 所以6∈(0,1，使得f)=+m-,=0,即a=1 X。 当x∈(0，x)时，f"(x)>0,当xe(,+o)时，f"(x)<0, 所以∫(x)在区间(0，x)上单调递增，在区间(x,+∞)上单调递减， 则f国/，)，+：至m,￡{ 2 63 令g)=x石}则g)黄-3 x33x 当c01时，g(>0,则g在K间Q上单调送缩，所以g)≤g@=方0， 即f(x)<0,所以f(x)<0恒成立，f(x)无零点，故D正确.故选：ABD 12.21.2 【时解1由PUa)P+P(-P4B),可g号PB),解得P风4)=7 643 又P=P(国+调，即7P间，解得P回名西P@)=号 1 则P(-1P()背所以P4 P(4B) 6、 1 2 故答案为：号 3 第3页，共8页 14.(-0,2-2n2] 【详解】函数f(x)=e-e+sinr的定义域为R. 因为f(-x)=ex-e+sin(-x)=-(e-ex+sinx)=-f(x) 所以f(x)是奇函数.f(x)=e+ex+cosx. 由基本不等式，e+e*≥2√e.e=2,当且仅当x=0时取等号且cosx2-1, 得f'(x)≥2-1=1>0.因此f(x)在R上严格单调递增. 由f(xe-a)+f(-2nx-2x)≥0，得f(xe-a≥-f(-2hx-2x)=f(2lnx+2x). 于是xe-a≥2hx+2x,参变分离得a≤xe-2x-2nx,在。，e上恒成 令g(x)=xe-2x-2lnx,利用xe=e+恤，化简得g(x)=e+血x-2(x+nx), 设=+h,因=1+士0，=x+hx在很e止严格卓调递端，。 因比的k位范国为：店11 令0=e-立，M0=c-2,令i0)=0:1=h2e日1e+] 当t<ln2时，h(t)<0,h(t)单调递减；当t>ln2时，h'(t)>0,h(t)单调递增. 因此h()在t=ln2处取得最小值： hn2)=e2-2n2=2-2n2,即g(x)在 ee上的最小值为2-2hn2. 1 要使a≤g()恒成立，只需a≤g()mm=2-2lh2,即a的取值范围是(-o,2-2n2], 5.【详解①由题意知c2+2e+2xe之1分 +2 则f'1)=2e,f)=3e, .3分 所以曲线y=f(x)在点L,f)处的切线方程为y-3e=2(x-1),即2ex-y+e=0.5分 （2)f)的定义域为(-em,0U0,+o,由（1知f6=+D2x-De,…6分 x2 令>0，得<1政方 令f'w<0,得-1<x<0或0<x<1 第4页，共8页 所以f()的单调递增区间为(-∞，-1)和 单调递减区间为(-1,0)和 ..11分 易知f)的极大值为f(-)=是极小值为f=46。 13分 16.【详解】（1)从甲箱中任取2个小球的事件数为C=28,… 1分 这2个小球同色的事件数为C+C=13, 2分 所以这2个小球同色的概率为P=13 .4分 8 (2)设事件A为“从乙箱中任取1个小球，取出的这个小球是白球”， 事件B为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”， 事件B,为从甲箱中取出的2个小球为1个白球1个黑球'， 事件B,为“从甲箱中取出的2个小球都是黑球”， 6分 则事件B,B2,B,彼此互斥. 7分 P(4B,)=号P(aB,)=日P(4A)= .10分 所以P(A)=P(B,)P(AB,)+P(B)P(AB)+P(B)P(AB) 52,155,34.7 14328928912 ..14分 所以取出的这个小球是白球的概率为2· .15分 17.【详解】(1)因为f(x)=x-3ac,则f'(x)=3x2-3a 因为函数f(x)有两个不等的极值点x、x,(x<x2),则△=-4×3×(-3a)=36a>0,可得a>0, 令f'(x)=0,解得x--a,飞，=Va, 因为f(x)=f(a)=（a-五(ah五，fx,)=f(a)=（a)-红a=-2aa, 此时A(-a,2aa)、B(a,-2a@), 4分 所以4B=a-a+(a6+2n五j=+1a=2a+a=, 第5页，共8页 整理可得4a2-4a+1=0,解得a= …6分 (2)因为A(-a,2aa、B(a-2aa),则k 2ala+2aa=-a, -√a-a 所以点P在线段AB的中垂线y=2ax上 .8分 又p在曲线g(x)=lh(a)上，则方程h()= 石存在正数解。 G)=n（(ag在x∈(0，+oO)存在零点.…c 可知n(y)=11-2a-x x 2a 2ax 由h(x)>0可得0<x<2a,由(x)<0可得x>2a, 故h(x)在(0,2a)上单调递增，在(2，十0)上单调递减..12分 因为）-n1--<0,由零点存在定理可知，只需(2m=n(2a-120即可， 2a-2d 可得2x2e,又因为a>0,解得a≥√2 .14分 所以a的取值范围为 V2e 2 .15分 18.【详解】(1)由题意，=1，卫=2即采用3局2胜制，X所有可能值为2,3,1分 测rx=2=+1-=r(x=)=c-》-c-=33分 则X的分布列如下， X 2 3 所以8()-2*行3分月 5分 22 (2)由题意，采用5局3胜”制，甲只要取得3局比赛的胜利，比赛结束且甲获胜， 则P(4)=p3+C写p2(1-P）p+Cp(1-p)p=p(6p2-15p+10）:7分 在甲乙比赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利， 第6页，共8页 设甲赢的局数为5，那么专服从二项分布，即专~B(5,p),8分 则P(B)=P(5≥3)=Cp3(1-p)2+Cp(1-p)+Cp3=p(6p2-15p+10),9分 所以P(A)=P(B) .10分 (3)设甲乙进行2-1局比赛，甲赢的局数为X,则X~B(2n-1,p),=P(X≥n),11分 “2n+1局n+1胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲要获得最终胜利可拆解为： 若第2局甲输，则后续最多2n-1局比赛，甲至少胜n+1局， 若第2局甲胜，则后续最多2n-1局比赛，甲至少胜n局， .13分 由全概率公式得P,=(1-p)P(X≥n+1)+pP(X≥n)=(1-p)(-P(X=m)+pp =卫，-(1-p)P(X=m)=p1-C2m-p(（1-p), ..16分 故乃-卫2=C2m-p(1-p）.… .17分 19.【详解】(1)函数f=(a)中x>0,当a>0时，x>0:当a<0时，x<0 当a>0时，函数f(x)的定义域为(0，+w);当a<0时，函数f(x)的定义域为(-，0)，1分 求导得f=1-na,令f')=0,解得x=, 当a>0时，由f"w)>0,得x∈(0，S):由f")<0,得x∈(，+o), 函数f()在(0，S上单调递增，在（台，+）上单调递减； 2分 当a<0时，由f"()>0,得xe台，0：由f')<0,得x∈（←m,S, 函数f(x)在（侣，0）上单调递增，在(-，S上单调递减， 3分 0 所以当a>0时，函数f(x)在(0，S与)上单调递增，在(，+)上单调递减： 当a<0时，函数f(x)在(，0)上单调递增，在（←∞，S上单调递减。4分 d 2)函数gw),求导得g田=，当x<1时，8>0：当x>1时，g')<0 函数g(x)在（←0，单调递增，在(1，+o0)单调递减，.5分 Fe时-28（如4）=h42h2h2 面h5-竖-华：2)好8 e4-4-21 第7页，共8页 则g(f(x)≥ln2→g(fx)≥g(n2)=g(血4，而ln2<1<ln4, 因此当x∈l.2习时，hn2sf)sn4白n2snC≤n4台2sas生恒成立，7分 令员激)=兰e2小求导得0-2h2-少， 2 当1≤x< 时.900：22m,90 函数)在品上递减在习上递增。 ②⑧-⑩上=2，令函数的4L2,求导得u⑥车血40 3x2 函数()在[1,2]上单调递增，当x=1时，(x)mm=4,则2≤a≤4， 所以a的取值范围为[2,4.10分 （3）由8)-g6),得总冬，则-血=-n,即品1. In x2-Inx 孕七在.e23).则飞生其8G+x)=8中2分 t-1-2t 令函数0中恤23，求晋得0告n t-1 t-02 令商数04221<3，求号符P0=1+日至0-0 函数F0在2,3)上单调递增，F0)>F(2)=2-】2n2=3-2n2=he>0, 2 2 4 因此h(>0,函数h()在(2,3)上单调递增，则3h2<h)<2血3,15分 由函数g(x)的单调性可知，其在(n8,h9)上单调递减， 则8(n9)<s+l)血t t-1]水8(8， .16分 即9 g6+0.所以g+的取值用是(2,3女的 17分 第8页，共8页 班级_____________________号数_____________________姓名_____________________ （在此卷上答题无效） 2026年春季期中考高二数学科试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在的展开式中，含项的系数是（   ） A．21 B．84 C．-21 D．-84 2．函数在处的瞬时变化率为（   ） A． B．1 C．6 D．12 3．随机变量与满足，若，则（   ） A．8 B．5 C．4 D．2 4．泉州市为做城市营销，计划将5本不同的城市宣传册分给甲、乙、丙三个志愿者小屋．若要求每个志愿者小屋至少得到1本，则不同的分配方法共有（   ） A．240种 B．180种 C．150种 D．300种 5．某人外出，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.2．若邻居浇水的概率为P，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.74，则实数P的值为（   ） A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.75 6．已知函数的导函数满足：对任意的都有，若，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是（   ） A． B． C． D． 8．若则（   ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子．现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法正确的是（   ） A．共有种排列方式 B．若两个“将”相邻，则有种排列方式 C．若两个“将”不相邻，则有种排列方式 D．若同色棋子不相邻，则有种排列方式 10．如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（   ） A．第2026行的第1013个数最大 B．第8行所有数之和为256 C． D．记第2行第3个数字为，第3行第3个数字为，…，第行的第3个数字为，则 11．已知函数，其导函数为，下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．时，的单调递减区间为 C．时，为的极值点 D．时，无零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则的值为________________． 13．已知，，，则________________． 14．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间和极值． 16．（15分）甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球． (1)若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率； (2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率． 17．（15分）已知函数存在两个极值点、，记、． (1)若，求的值； (2)若曲线上存在点，使得，求的取值范围． 18．（17分）某种比赛采用“局胜”制（即累计先赢局者获得本场比赛胜利）．在该比赛中，选手甲对阵选手乙，假设每一局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为（每局比赛结果相互独立，不受之前战局影响，且无平局）． (1)当时，若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望； (2)如果选择以下方案中的一种： 方案一：若采用“5局3胜”制，甲累计先赢3局比赛结束的概率为． 方案二：设甲乙赛满5局比赛，甲至少赢3局比赛的概率为． 比较和的大小； (3) 记“局胜”制比赛中甲获得最终胜利的概率为，记“局胜”制比赛中，甲在第一局输的条件下甲获得最终胜利的概率为，证明：． 19．（17分）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)当时，，求实数a的取值范围； (3)若存在不等实数和，满足，且，求的取值范围． 答案第1页，共2页 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 2026年春季期中考高二数学科 《参考答案及评分标准》 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C A D B B ACD BCD 题号 11 答案 ABD 6．D 【详解】令，则，因为对任意的都有， 所以，所以在上单调递减， 不等式等价于， 即，所以，解得，故选：D． 7．B 【详解】事件：数学不排第一节，物理不排最后一节. 若物理安排在第一节，其它4节课安排4科，作全排有种； 若物理不在第一节，中间3节课任选一节上物理，余下的4节课去掉第1节课的3节课中任选一节上数学，最后剩下的3节课安排3科，做全排有种； 综上，事件A的安排数有种； 事件：化学排第四节. 若物理安排在第一节，其它3节课安排3科，作全排有种； 若物理不在第一节，中间前2节课任选一节上物理，余下的1节课和最后一节课任选一节上数学，最后剩下的2节课安排2科，做全排有种； 综上，事件AB的安排数有种； 5科任意排有种，所以，， 故满足条件的概率是.故选：B 8．B 【详解】因为，所以， 又，，所以， 所以，设，则， 当时，，仅当时等号成立，则在上单调递减， 而，故，即，所以，综上所述，可得. 故选：B 10．BCD 【详解】A错，因为第2026行的第个数是，由组合数性质可知，为的最大值，所以第2026行的第1014个数最大； B对，由二项式系数的性质知，第n行各数的和为，所以第8行所有数之和为； C对，因为 ； 由题意知 ，故D正确. 故选：BCD. 11．ABD 【详解】易知的定义域为，， 对于A，因为，则， 当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，当时，， 由，解得，又在处有意义， 所以的单调递减区间为，故B正确； 对于C，当时，， 因为，所以恒成立，当且仅当时取等号， 故在区间上单调递增，则无极值点，故C错误； 对于D，因为，当时，易知在区间上单调递减， 又时，，， 所以，使得，即， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 则， 令，则， 当时，，则在区间上单调递增，所以， 即，所以恒成立，无零点，故D正确. 故选：ABD 12．21.2 13． 【详解】由，即，解得， 又，即，解得，而， 则，所以. 故答案为： 14． 【详解】函数的定义域为. 因为 所以是奇函数.. 由基本不等式，，当且仅当时取等号且， 得.因此在上严格单调递增. 由，得    . 于是，参变分离得，在上恒成立， 令，利用，化简得， 设，因，故在上严格单调递增， 因此的取值范围为：， 令， ，令，得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 因此在处取得最小值： ，即在上的最小值为. 要使恒成立，只需，即的取值范围是. 15．【详解】（1）由题意知， .....1分 则，....................................................................................................................3分 所以曲线在点处的切线方程为，即．............5分 （2）的定义域为，由（1）知，.........................6分 令，得或； 令，得或， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和．............11分 易知的极大值为，极小值为．..........................................................13分 16．【详解】（1）从甲箱中任取2个小球的事件数为，......................................................1分 这2个小球同色的事件数为，.......................................................................................2分 所以这2个小球同色的概率为．............................................................................................4分 （2）设事件A为“从乙箱中任取1个小球，取出的这个小球是白球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球为1个白球1个黑球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球都是黑球”，..............................................................................6分 则事件，，彼此互斥．............................................................................................................7分 ，，， ，，，....................................................................................10分 所以 ，............................................................................................................14分 所以取出的这个小球是白球的概率为．.........................................................................................15分 17．【详解】（1）因为，则 因为函数有两个不等的极值点、，则，可得， 令，解得，， 因为，， 此时、，...............................................................................................4分 所以， 整理可得，解得. .................................................................................................6分 （2）因为、，则， 所以点在线段的中垂线上. .............................................................................................8分 又在曲线上，则方程存在正数解， 即在存在零点. ....................................................................................10分 可知， 由可得，由可得， 故在上单调递增，在上单调递减. ......................................................................12分 因为，由零点存在定理可知，只需即可， 可得，又因为，解得，.......................................................................................14分 所以的取值范围为. ...........................................................................................................15分 18．【详解】（1）由题意，，，即采用3局2胜制，所有可能值为2，3，..............1分 则；......................3分 则的分布列如下， 2 3 所以. .................................................................................................................5分 （2）由题意，采用“5局3胜”制，甲只要取得3局比赛的胜利，比赛结束且甲获胜， 则；................................................7分 在甲乙比赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利， 设甲赢的局数为，那么服从二项分布，即，.............................................................8分 则，................................9分 所以. ...............................................................................................................................10分 （3）设甲乙进行局比赛，甲赢的局数为，则，，..........11分 “局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲要获得最终胜利可拆解为： 若第2局甲输，则后续最多局比赛，甲至少胜局， 若第2局甲胜，则后续最多局比赛，甲至少胜局，...............................................................13分 由全概率公式得 ，.....................................................................................16分 故. .....................................................................................................................17分 19．【详解】（1）函数中，当时，；当时， 当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为，...............1分 求导得，令，解得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减；...................................................................2分 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，...................................................................3分 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. ................................................4分 （2）函数，求导得，当时，；当时，， 函数在单调递增，在单调递减，............................................................................5分 而，， 则，而， 因此当时，恒成立，..........................7分 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增， ，令函数，求导得， 函数在上单调递增，当时，，则， 所以a的取值范围为. ....................................................................................................................10分 （3）由，得，则，即， 令，则，，..........................................12分 令函数，求导得， 令函数，求导得， 函数在上单调递增，， 因此，函数在上单调递增，则，.............................................15分 由函数的单调性可知，其在上单调递减， 则，......................................................................................................16分 即，所以的取值范围是. ............................................17分 答案第1页，共2页 第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2026年春季期中考高二数学科答题卡 座号： 姓名： 准考证号 班级： [o] o] [0] [o] [o] [o] [o] C1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] 可▣ [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [3 [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [5] [5] [51 [5] [5] [5] 5 [5] [6] [6] [6] 6] [6] [6] [6] 6) 正确填涂■缺考标记口 [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [8 [8] [8 [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [g [9] [9] [9] [9] [9 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 6[A][B][C][D 二、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12 13. 14 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.(13分) 囚囚■ 第1页共6页 9并z崽 ■囚囚 (SI)9I 17.(15分) ■ 第3页共6页 並9详並嵬 囚■囚 0 0 0 (LI)8I ■ 连9并逆9嵬 囚■囚 (LI)6I ▣ 请勿在此区域作答或 者做任何标记 第6页共6页