宁夏回族自治区银川一中2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 以校庆征文评分、盲盒促销等真实情境为载体，通过函数性质、概率统计等知识考查数学眼光观察现实、数学思维推理及数学语言表达能力，梯度覆盖基础巩固与创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/77|概率统计（16题工厂零件合格率、19题盲盒期望方差）、函数（17题恒成立、18题奇偶性）、不等式（15题求解）|综合应用分层抽样、正态分布等，盲盒问题多问设计体现实际决策；校庆征文正态分布考查数据观念|

银川一中2025/2026学年度(下)高二期中考试 数 学 试 卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果，那么下列不等式成立的是 A. B. C. D. 2．设集合，，则 A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，则的定义域为 A． B． C． D． 4．若随机变量的分布列如下表所示，则的值为 4 6 8 A． B． C．7 D． 5.函数在上是减函数，则的取值范围是 A. B. C. D. 6．已知随机变量满足两点分布，且，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知函数，若，，且，则 的最小值为 A．2 B．1 C． D． 8．某系统有3种状态，记为状态1､状态2､状态3，系统每一步的状态转移只与当前状态有 关，与之前状态无关.记，其中第行第列元素表示从状态转移到 状态的概率.初始状态分布为 表示第步系统的状态.则经过两步后系统处于状态2的概率为 A．0.412 B．0.422 C．0.432 D．0.442 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．某实验室为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异，用以 上两种检验方法对某种食品做了沙门氏菌检验，结果得到列联表如下： 阳性 阴性 合计 荧光抗体法 常规培养法 合计 参考公式：，其中． 附： 下列表述正确的是 A．， B．零假设在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法有差异 C．依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌 检验中有差异 D．常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为 10.百年树人守初心，双甲传薪启新程。2026年金秋宁夏银川一中将迎来建校120周年华诞。为此学校向体校学生征集“我与一中的故事”主题作文，共收到篇作品，由专业老师进行打分，满分分，不低于分为及格，不低于分为优秀，若征文得分单位：分近似服从正态分布，且及格率为，则下列说法正确的是 A．随机取篇征文，则评分在内的概率为 B．已知优秀率为，则 C．越大，的值越小 D．越小，评分在的概率越大 11．若定义在上的奇函数和偶函数满足，则 A． B． C． D．对恒成立，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则的值是______. 13．三门问题（Monty Hall problom）也称蒙提霍尔问题，是比较著名的一种游戏，某个综艺节目利用这个规则进行了适当修改制定了一个抽奖游戏，有4扇编号为1，2，3，4的四个外观相同的门，只有一扇门后面有奖品，其余的门后面都没有奖品，主持人知道奖品在哪扇门后面，当抽奖人选择了某扇门后，在门打开之前，主持人先随机打开了另一扇没有奖品的门，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.现在已知某嘉宾选择了2号门，用表示号门后有奖品，用表示主持人打开号门，则________；若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为________. 14．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.若，则的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(本小题13分) （1）解关于的不等式；（6分） （2）解关于的不等式（7分） 16．(本小题15分) 甲、乙两工厂共同生产一种零件， 经过抽样调查， 质检人员发现: 甲工厂生产的一批零件的合格品率为 85%；乙工厂生产的另一批零件的合格品率为 95%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 89%. (1)设甲工厂生产的这批零件有 件，乙工厂生产的这批零件有 件. 求证: ； (2)按照分层随机抽样的方法从两个工厂生产的零件中随机抽取 5 个，再从这 5 个零件中抽取 3 个，记这 3 个零件中来自乙工厂的个数为 ，求 的分布列和数学期望. 17．(本小题15分) 已知函数 (1)若为一次函数，且满足，求； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，求使的取值范围. 18．(本小题17分) 已知函数且为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)解不等式； (3)求函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 19．(本小题17分) 盲盒，作为一种以随机体验为核心的商业模型，已经成为一种新型的消费现象，其核心价值在于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求．商家为了在电商平台对某款盲盒进行促销，对商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，商家会以3∶2的比例对新、旧款盲盒进行随机发货． (1)求消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率； (2)小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现“隐藏款”的个数为X，求随机变量X的数学期望和方差； (3)现有一箱装有4个“常规款”和2个“隐藏款”的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒拆开，取出后不放回，直到能区分出全部6个盲盒分别是“常规款”还是“隐藏款”时为止，记取出盲盒的个数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望． 试卷第6页，共14页 高二期中数学试卷 第1页(共2页) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二期中数学试卷答案 一、单选题 1.【答案】B  2．【答案】B 【详解】， ，所以 3．【答案】D 【分析】根据抽象函数定义域的求法，计算并直接得出结果. 【详解】因为的定义域为， 所以，解得， 所以的定义域为. 故选：D 4．【答案】A 【分析】由分布列的性质求，再由期望公式计算即可. 【详解】因为， 所以或（舍去）， 所以， 故选：A 5.【答案】D  【解析】解：根据题意，对于函数， 令，则， 又由且，则为减函数， 若函数在上是减函数， 必有，解可得， 即的取值范围为； 故选：． 6．【答案】A 【分析】根据两点分布结合数学期望及方差定义计算，再应用充分必要定义判断即可. 【详解】当时，得，则，，充分性成立； 反之，，即，解得或，必要性不成立. 故选:A. 7．【答案】B 【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，又根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为R， 且， 所以为奇函数，又函数和在R上都单调递增， 所以在R上单调递增， 所以由，即，即 所以，即，即， 故 当且仅当，结合，即得时，等号成立， 所以的最小值为1. 故答案为：B. 8．【答案】C 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】由题意可得， ； ； . 所以. 故选：C. 二、多选题 9.【答案】AC  【解析】解：对于，根据表格数据可知：，， A正确； 对于，为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异， 零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法无差异， B错误； 对于，由题意得， 零假设不成立，依据小概率值的独立性检验， 认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异，C正确； 对于，由表格数据知，常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为， D错误． 10.【答案】ABD  【解析】解：对于，由题意可知，，有对称性可知，，故A正确； 对于，由题意可知，， 因为，所以，故B正确； 对于，因为是该正态分布图象的对称轴，所以， 不会随的变化而变化，故C错误； 对于，由对正态分布图象的影响可知，越小，图象越“瘦高”， 因此在区间对应图象的面积变大，所以评分在的概率越大， 故D正确． 故选：． 11．.【答案】BCD  【解析】解：因为是奇函数，是偶函数，且， 所以，即， 得：，则， 得：，则． ，所以选项A错误 ，所以选项B正确 ，所以选项C正确 ， 令，则，上式可化为， 对恒成立，即对恒成立， 即对恒成立， 令，当且仅当时，取等号， 则对恒成立，当即时，，解得， 当即时，，不满足条件， 所以的取值范围是，选项D正确． 故选：． 三、填空题 12．【答案】 因为，所以． 13．【答案】 /0.375 【分析】根据条件概率即可求得第一空答案；结合全概率公式即可求得第二空答案. 【详解】奖品在2号门后，嘉宾选择了2号门，主持人可打开1，3，4号门，则； 若奖品在2号门后，其概率为，嘉宾更改了选择，则其选中奖品的概率为0； 若奖品不在2号门后，其概率为，主持人随机打开不含奖品的两扇门中的1个， 若此时嘉宾更改选择，其选中奖品的概率为； ∴若嘉宾更改选择，其中奖的概率为. 故答案为：； 14．【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求出函数的周期，利用函数的周期和赋值法进行求解即可. 【详解】由为奇函数，所以， 即，所以函数关于点中心对称， 由为偶函数，可得， 所以函数关于直线对称， 所以，从而得， 所以函数是周期为4的周期函数， 因为， 所以在中，令，得， 令，得， 令，得， 所以，于是 . 故答案为： 四、解答题 15．【答案】（1）（2）答案见解析 【分析】（1）解法1：移项、通分、等价转化为一元二次不等式（组），解得即可；解法2：分和两种情况讨论，分别得到一元一次不等式（组），解得即可； （2）依题意可得，再分、两大类讨论，当时求出所对应方程的根，再分类讨论. 【详解】（1）解法1：不等式，即，即，即， 等价于，解得或， 所以不等式的解集为； 解法2：不等式，则或， 解得或， 所以不等式的解集为； （2）关于的不等式，即， 当时，原不等式即，解得，此时不等式的解集为； 当时，关于的方程的两个根分别为和， ①当时，解不等式得，即原不等式的解集为； ②当时，不等式无解，即原不等式的解集为； ③当时，解不等式得，即原不等式的解集为； ④当时，解不等式得或，即原不等式的解集为. 综上可得：当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为. 16．【答案】(1)证明见解析； (2)分布列见解析，数学期望为. 【分析】（1）求出甲、乙合格件数以及混合后合格件数，从而得到方程，即可证明； （2）写出的可能取值，再利用超几何分布求出对应概率值即可，最后得到期望值. 【详解】（1）依题意，甲工厂生产的件零件的合格件数为， 乙工厂试生产的件的合格件数为， 又混合后，总零件数为，合格品率为， 则混合后合格零件数为， 解得，即（证毕）． （2）设甲工厂生产的这批零件有件，乙工厂试生产的这批零件有件， 由（1）可知，故抽出的5件产品中有3件来自甲工厂，2件来自乙工厂， 可能取值为0,1,2， 所以， 所以 的分布列为： 0 1 2 . 17．【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）设，利用待定系数法求出即可； （2）将参数分离，利用基本不等式求出表达式的最小值可得结果； （3）将函数改写成关于的一次函数，利用一次函数单调性解不等式可求出的取值范围为. 【详解】（1）设， 由可得， 即，所以， 解得或， 因此或 （2）由题可知不等式在时恒成立， 显然当时，为任意值时都满足题意， 当时，不等式可化为在时恒成立， 易知， 当且仅当，即时，等号成立； 因此，所以； 即实数的取值范围为 （3）令，； 因为，所以； 由于是关于的一次函数，要使在上恒成立，则； 即，解得，也即； 因此使的取值范围为. 18．【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据条件，利用奇函数的性质，即可求出的值，再利用指数函数和反比例函数的单调性，即可求解； （2）根据条件得，利用指数不等式的解法，即可求解； （3）根据条件，将问题转化成在上有两个不等根，令，利用二次函数根的分布建立方程组，即可求解. 【详解】（1）因为且，则的定义域为，又为奇函数， 则，解得，所以， 则，所以满足题意， 又，所以，则，所以函数的值域为. （2）由（1）知，由，得到， 整理得到，解得，所以不等式的解集为. （3）因为，令，即，整理得到， 又函数在区间上有两个不同的零点，所以时，方程有两个不等根， 令，得到，又在区间上单调递增，所以， 则在上有两个不等根， 令，则，解得， 所以实数的取值范围为. 19．【答案】(1) (2)； (3) Y 2 3 4 5 P ； 【分析】（1）根据全概率公式即可求解； （2）判断随机变量，根据二项分布的期望；方差公式即可求解； （3）确定随机变量Y的可能取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，求得期望. 【详解】（1）设事件A为：买到新款盲盒，事件B为：买到旧款盲盒，事件C为：盲盒中出现“隐藏款”， 则， 则； （2）每个盲盒是否开出隐藏款相互独立，每个盲盒开出隐藏款的概率为​， 因此随机变量， 根据二项分布的期望、方差公式： 得，； （3）当拆出全部2个隐藏款或全部4个常规款时，即可确定所有盲盒类型，停止抽取， 因此Y的可能取值为2，3，4，5， 隐藏款的位置共有种等可能情况， 计算概率得：（前2个均为隐藏款）, （第二个隐藏在第3位，前2位有1个隐藏）, （第二个隐藏在第4位，或前4个均为常规款）， （剩余所有情况）， Y的分布列为： Y 2 3 4 5 P 数学期望：. 试卷第6页，共14页 试卷答案 第5页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $