福建厦门市松柏中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

**基本信息** 注重空间观念与实际应用，通过直观图面积计算、航行速度求解等题考查数学眼光，新定义运算题发展创新意识，适配高一期中阶段性能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量运算、立体几何直观图、解三角形|结合直观图考查空间观念，如第2题由直观图求原图形面积| |多选题|3/18|向量夹角、解三角形结论判断|第10题辨析三角形性质，培养推理意识| |填空题|3/15|实际航行问题、解三角形最值|第13题以航行情境考查数学应用能力| |解答题|5/47|复数、立体几何证明、新定义运算|第19题定义新运算“”，发展创新思维与数学表达|

松柏中学2025—2026学年第二学期期中考试高一数学试卷 姓名：　　　班级：　　　考号：　　　 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若，则 =（     ） A. B. C. D. 2.如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（     ） A.12 B.24 C. D. 3.已知在中，D是线段AB上靠近A的四等分点，则 =（     ） A. B. C. D. 4.设m，n是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（     ） A. 若，，则　　B. 若，，则 C. 若，，则　　 D. 若，，，则 5.的两边长分别为3，2，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为（     ） A. B. C. D. 6.已知圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为（     ） A.3 B. C.1 D. 7.将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（     ） A. B. C. D. 8.已知正方形ABCD的边长为4，点P满足，则的最大值为（     ） A. B.0 C.12 D. 二、多选题：本大题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.已知向量，，则以下说法正确的是（     ） A. B. 与的夹角余弦值为 C. 与的夹角是锐角 D. 向量在向量上的投影向量为 10.已知，，分别为内角，，的对边，下面四个结论正确的是（     ） A. 若，则一定为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则的取值范围是 D. 若，的平分线交于点，，则 11.如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（     ） A. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B. 三棱锥的体积为 C. 三棱锥的外接球表面积为 D. 一质点从点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为 三、填空题：本大题共小题，每小题分，共计分. 12.             . 13.某日中午甲船以的速度沿北偏东的方向驶离码头，下午乙船沿东偏南的方向匀速驶离码头，下午甲船到达地，乙船到达地，且在的西偏南的方向上，则乙船的航行速度是            ．（取，） 14.已知的内角，，的对边分别为，，，且，则的最小值是            ． 四、解答题：本题共小题，共分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，，是虚数单位. （1）若复数是纯虚数，求的值； （2）当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值． 16.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，. （1）求B的大小； （2）若，且，BD是AC边的中线，求BD长度. 17.如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点. （1）求证：BC // 平面PAD； （2）M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：AP // HG. 18.在中，内角，，对应的边分别是，，，且。 （1）求角的大小； （2）若，，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的取值范围。 19.设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：。试求解 下列问题。 （1）已知向量，满足，，，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； （3）已知向量，求的最小值。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $