精品解析：福建厦泉五校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题

厦泉五校2025-2026学年高一年级第二学期期中联考 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分 审核人：英林中学 ） 试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 2. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理可得，再由边角关系确定角的大小即可. 【详解】由题意，在中，则，所以， 因为，所以或，又，所以． 故选：A 3. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长为 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法，画出原图，结合长度、面积、周长等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A、B，由题设易得，原平面图如下，， ，故A、B错误； 对于C，四边形的面积为：，即C错误． 对于D，在原图形中，过作交于点，则， 由勾股定理得， 故四边形的周长为：，即D正确； 4. 如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意， . 故选：D 5. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求得，根据向量的坐标运算结合投影向量的定义分析求解. 【详解】由题意可得：，则， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故选：D. 6. 已知直三棱柱 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝ 7. 如图，已知正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解法一 连接，，设，根据向量的线性运算用，表示出，然后结合三角函数的性质即可求得结果． 解法二 以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，根据数量积的坐标表示得到，再结合三角函数的性质即可求得结果． 解法三 借助向量投影的知识将转化，找到取得最值时点的位置，即可求得结果． 【详解】解法一 ：如图所示： 连接，设，连接，依题意得，，，， 则， ． 因为，所以，（三角函数的有界性） 所以． 故选：C． 解法二 如图， 以为坐标原点，以直线为轴，过且和垂直的直线为轴建立平面直角坐标系， 则依题意可得，，， 因为圆的半径为1，所以可设， 所以，，所以， 又，（三角函数的有界性） 所以． 故选：C． 解法三 如图所示： 设，则． 可看成是在上的投影， 当点与重合时最小，最小值为， 当点与重合时最大，最大值为0， 故． 故选：C． 8. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，则AC＝（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】在中，设，根据题意利用正弦定理可得，然后利用余弦定理即可求解. 【详解】在中，，设，则， 由正弦定理可知，，即，则， 在中，， ，又，则，故， 故选：B. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知都是复数，下列选项中正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则是实数 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的相关定义，以及复数的运算公式，即可求解. 【详解】若，则或，故A正确； 若， ，满足，但，故B错误； 若，则是实数，故C正确； 若，则，得或，所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是等腰直角三角形 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，因为在中，由正弦定理可得等价于，又因三角形中大边对大角，故等价于，选项A正确； 对于B，因为，所以或，即或，是等腰三角形或直角三角形，选项B错误； 对于C，由可以确定是锐角，但不能确定和的大小，所以不能判断是锐角三角形，选项C错误； 对于D，由正弦定理，结合条件， 得，， ，，，，又，， 所以，，所以是等腰直角三角形，选项D正确. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 已知向量，，且，则 B. 向量，，则“的夹角为锐角”是“”的充要条件 C. 若，、分别表示、的面积，则 D. 在中，向量与满足，且，则为等边三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平面向量垂直的坐标表示，即可判断A，由向量的坐标运算即可判断B，由向量的线性运算结合三角形重心的性质即可判断CD. 【详解】对于A，由，故，故，故A正确； 对于B，由的夹角为锐角，得，且不共线，则， 解得且，所以“，的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件， 故B错误； 对于C，如图 设，，由 得， 取的中点，连接，则有，所以，即，则点为的重心， 设，，的面积分别为，则，，的面积分别为，由重心的性质可知， 所以，则，故C正确； 对于D，如图，作的内角平分线与相交于点， 因为为的单位方向向量，为的单位方向向量，所以， 所以， 所以.即，所以为等腰三角形，又因为，且，所以， 即为等边三角形，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题92分） 三. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量的夹角为，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，根据模长的平方关系结合数量积运算律求解即可. 【详解】因为向量的夹角为，，， 则， 可得， 所以. 故答案为：. 13. 在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的顶点是圆柱的下底面中心，这个几何体的表面积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得挖去的圆锥的母线长，从而得到圆锥的侧面积，再求圆柱的侧面积和一个底面积，即可求解几何体的表面积. 【详解】解：挖去圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为， 圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面积为， 故几何体的表面积为. 故答案为：. 14. 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心，已知，则当角C取到最大值时△ABC的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】取AC的中点D，得到OD⊥AC，利用向量的数量积求解得到，用余弦定理和基本不等式得到的最小值，从而得到角C取到最大值时，再使用三角形面积公式进行求解出结果. 【详解】设AC的中点为D，因为点O为其外接圆的圆心，所以OA=OB=OC，连接OD，由三线合一得：OD⊥AC，则即，所以，由知，角C为锐角，故，因为，所以由基本不等式得：，当且仅当，即时等号成立，此时角C取到最大值，，，△ABC的面积为. 故答案为： 四. 解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 知复数，复数在复平面内对应的点为 （1）若复数是关于的方程的一个根，，求的值： （2）若复数满足，求复数的共轭复数. 【答案】（1）20 （2） 【解析】 【分析】（1）将代入一元二次方程即可得到方程组，解出即可； （2）根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案. 【小问1详解】 由题意得， 因为复数是关于的方程的一个根， 所以， ， ， 解得，所以. 【小问2详解】 ， . 16. 已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中. （1）若，且，求； （2）若，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值. 【答案】（1）或 （2），此时 【解析】 【分析】（1）先设,根据坐标求模公式，即可求解. (2) 根据题意，条件可化简为，再根据基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为，且，所以设， 所以， 解得， 所以或. 【小问2详解】 由，得， 所以， 因为，，可得， 因为，所以， 当且仅当，时取等号. 所以. 设与夹角为，则此时. 17. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 问题：的内角，，的对边分别为，，.已知______. （1）求； （2）若为的中点，，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据所选条件，利用正弦定理将边化角，再利用和（差）角公式及同角三角函数的基本关系计算可得； （2）依题意可得，将两边平方根据数量积的运算律求出，再利用面积公式计算可得； 【小问1详解】 解：若选①， 由正弦定理可得，因为， 所以，即， 因为，所以，所以，则. 若选②，则， 由正弦定理可得，又， 所以，即，因为，所以. 若选③，则， 由正弦定理可得， 即， 所以， 所以，又， 所以，因为，所以. 【小问2详解】 解：因为为的中点，所以，因为， 所以， 即，解得或（舍去）， 所以. 18. 如图是在沿海海面上相距海里的两个哨所，位于的正南方向.哨所在凌晨1点发现其南偏东方向处有一艘走私船，同时，哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于点南偏西的点，且与相距海里，试求： （1）刚发现走私船时，走私船与哨所的距离； （2）刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？ （3）若缉私艇得知走私船以海里/时的速度从向北偏东方向逃窜，立即以30海里/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？ 【答案】（1） （2）走私船距缉私艇30海里，在缉私艇的北偏东方向上 （3）小时 【解析】 【分析】（1）在中根据正弦定理可得结果； （2）在中根据余弦定理可得结果； （3）在中由余弦定理可得结果. 【小问1详解】 由在的南偏东，在的东北偏方向，在中， ，由正弦定理得， ， 代入上式得：海里． 答：走私船与观测点的距离为海里； 【小问2详解】 在中，海里，海里，， ． ， ，解得海里， 又， 且，所以， 故刚发现走私船时，走私船距缉私艇30海里，在缉私艇的北偏东方向上． 【小问3详解】 设小时后缉私艇在处追上走私船，则， 又，， 在中，由余弦定理得， ，化简得 解得．故缉私艇至少需要小时追上走私船． 19. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. （1）若，，求该几何体的体积. （2）若正四棱锥的侧棱长为，， （i）求正四棱锥的侧面积. （ii）若，分别是线段，上的动点，求的最小值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）代入四棱锥和四棱柱的体积公式，即可求解； （2）（ⅰ）根据条件求四棱锥的底边长以及斜高，即可求解；（ⅱ）利用展开图，即可两点间距离，即可求解. 【小问1详解】 由条件可知，正四棱柱的高， 所以正四棱柱的体积为， 三棱锥的体积为， 所以该几何体的体积为； 【小问2详解】 （ⅰ），所以， 正四棱锥侧面的高为， 所以正四棱锥的侧面积为； （ⅱ）如图，将长方形，和展开在一个平面， ，，设 ，， ，所以， 所以， ， 当四点共线时，最短， 所以 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦泉五校2025-2026学年高一年级第二学期期中联考 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分 审核人：英林中学 ） 试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 2. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 3. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长为 4. 如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直三棱柱 A. B. C. D. 7. 如图，已知正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，则AC＝（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知都是复数，下列选项中正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则是实数 D. 若，则 10. 的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是等腰直角三角形 11. 下列说法正确的是（ ） A. 已知向量，，且，则 B. 向量，，则“的夹角为锐角”是“”的充要条件 C. 若，、分别表示、的面积，则 D. 在中，向量与满足，且，则为等边三角形 第II卷（非选择题92分） 三. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量的夹角为，，，则________． 13. 在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的顶点是圆柱的下底面中心，这个几何体的表面积为____________. 14. 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心，已知，则当角C取到最大值时△ABC的面积为___________. 四. 解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 知复数，复数在复平面内对应的点为 （1）若复数是关于的方程的一个根，，求的值： （2）若复数满足，求复数的共轭复数. 16. 已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中. （1）若，且，求； （2）若，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值. 17. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 问题：的内角，，的对边分别为，，.已知______. （1）求； （2）若为的中点，，，求的面积. 18. 如图是在沿海海面上相距海里的两个哨所，位于的正南方向.哨所在凌晨1点发现其南偏东方向处有一艘走私船，同时，哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于点南偏西的点，且与相距海里，试求： （1）刚发现走私船时，走私船与哨所的距离； （2）刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？ （3）若缉私艇得知走私船以海里/时的速度从向北偏东方向逃窜，立即以30海里/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？ 19. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. （1）若，，求该几何体的体积. （2）若正四棱锥的侧棱长为，， （i）求正四棱锥的侧面积. （ii）若，分别是线段，上的动点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $