4.3探索三角形全等的条件（课时3） 教学设计 2025--2026学年北师大版七年级数学下册

第四章 三角形 北师大版(2024) 4.3探索三角形全等的条件(课时3) 一、教学目标 1.探索并正确理解三角形全等的条件“SAS”； 2.会用三角形全等的条件“SAS”说明两个三角形全等； 3.在给出两边及其夹角的条件下，能够利用尺规作出三角形. 二、教学重点及难点 重点：掌握三角形全等的条件“SAS”，并能已知两边及其夹角利用尺规作出三角形. 难点：能够运用三角形全等的“SAS”条件进行判定与相关计算.. 三、教学过程 【知识回顾】 判定方法 简称 图示 两角及其夹边分别相等 ASA 两角分别相等且其中一组等角的对边相等 AAS 三边分别相等 SSS 设计意图：快速回顾三角形全等的三种判定定理，以表格形式梳理识记，条理清晰、便于对比记忆；夯实几何基础旧知，为本节课的学习做好铺垫，强化几何知识体系的连贯性. 【新知导入】 教师提出：如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢？ 学生回答：有两种情况：(1)两边及两边所夹的角；(2)两边及其中一边的对角. 教师追问：两种情况得到的三角形都是全等的吗？ 设计意图：以问题链形式展开新知导入，引导学生自主分类梳理“两边及一角”的两种位置关系，引发认知思考与探究疑问；在对比辨析中制造认知冲突，自然引出本节课探究内容，激发学生求知欲与探究兴趣. 【探究新知】 教师提出：如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，情况会怎样呢？ 小组合作：四人一组，任意选择两条线段和一个角作为三角形的两边及其夹角，并用尺规作出这个三角形. 教师通过ppt展示例图，规范作法. 已知三角形的两条边分别为2.5cm和3.5cm，它们所夹的角为40.如图，△ABC即为所求. 教师提出：将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等的？ 学生通过对比进行回答：所画的三角形都全等. 设计意图：依托小组合作、尺规作图、动手裁剪对比的实践活动，让学生亲身经历操作、观察、验证的探究过程，直观感知两边及其夹角对应相等时三角形唯一确定且彼此全等.以动手实操代替被动听讲，激发探究兴趣，培养动手操作、合作交流与几何直观能力，为正式得出SAS全等判定定理积累感性经验. 通过上述探究，教师进行总结，学生做笔记. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. (简写成“边角边”或“SAS”) 几何语言：在△ABC和△A′B′C′中， ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). 设计意图：结合动手探究的实验结论，抽象概括出SAS全等判定定理，规范几何文字表述与标准几何推理格式；帮助学生完成从动手操作的直观感知到几何定理的理性认知过渡，规范几何证明书写，夯实逻辑推理基础. 教师提出：通过刚才的探究过程，我们可以得到“已知三角形的两边及其夹角，利用尺规作这个三角形”的方法和步骤. 已知：线段a，c，∠α． 求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α． 教师引导学生进行作图，规范作图步骤. 作法：(1)作线段BC＝a； (2)以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC＝∠α； (3)在射线BD上截取线段BA＝c； (4)连接AC．△ABC就是所求作的三角形． 设计意图：结合SAS定理，完整示范已知两边及其夹角作三角形的规范作图步骤，引导学生掌握尺规作图的标准流程与操作要点；进一步印证两边及其夹角确定，三角形形状、大小唯一，深化对SAS判定定理的理解；培养学生规范作图的能力与严谨的几何思维. 教师提出：如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角，情况会怎样呢？ 如图，已知△ABC的边AB和边长为l的AC边，以及AC边的对角∠B，你能用尺规确定顶点C的位置吗？由此有什么发现？ 同桌之间进行合作，根据已知条件作图，把所作的三角形与同桌作的进行比较.形成共识后教师选取学生代表进行回答. 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等. 所以它不能作为判定两三角形全等的条件． 设计意图：通过同桌合作作图、对比验证，探究两边及其中一边的对角的情况，与前面SAS形成鲜明对比；借助直观作图结果，让学生自主发现SSA无法唯一确定三角形形状大小，不能作为全等判定依据.有效破除易错认知，厘清SAS与SSA的本质区别，培养学生动手实践、对比辨析与严谨推理的几何思维，规避后续证明中的常见错误. 【例题练习】 1.如图，AB∥CD，并且AB＝CD，那么△ABD与△CDB全等吗？请说明理由. 解：因为AB∥CD， 根据“两直线平行，内错角相等”，所以∠1＝∠2. 在△ABD与△CDB中，因为AB＝CD，∠1＝∠2，BD＝DB， 根据三角形全等的判定条件“SAS”，所以△ABD≌△CDB． 2.如图，AC与BD相交于点O，且OA＝OB，OC＝OD. (1)△AOD与△BOC全等吗？请说明理由. (2)△ACD 与△BDC全等吗？为什么？ 解：(1)因为∠AOD与∠BOC是对顶角， 根据“对顶角相等”，所以∠AOD＝∠BOC. 在△AOD与△BOC中，因为OA＝OB，∠AOD＝∠BOC，OD＝OC， 根据三角形全等的判定条件“SAS”，所以△AOD≌△BOC． 解：(2)由(1)可知，△AOD≌△BOC， 根据“全等三角形的对应边相等”，所以AD＝BC. 因为OA＝OB，OC＝OD，AC＝OA＋OC，BD＝OB＋OD 所以AC＝BD. 在△ACD与△BDC中，因为AD＝BC，AC＝BD，DC＝CD， 根据三角形全等的判定条件“SSS”，所以△ACD≌△BDC． 设计意图：选取两道典型例题，巩固新知.通过规范完整的几何推理书写示范，强化学生几何证明的逻辑条理与答题格式.帮助学生学会挖掘题干隐藏条件、灵活选用判定方法，突破几何证明的难点，提升综合推理与知识迁移应用能力. 四、随堂练习 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 设计意图：通过练习，进一步巩固所学新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.三角形全等的判定—SAS； 2.已知三角形的两边及其夹角，利用尺规作这个三角形； 3.两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等. 六、板书设计 探索三角形全等的条件(课时3) 学科网（北京）股份有限公司 $