精品解析：福建厦门第一中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

福建省厦门第一中学2025－2026学年度 第二学期期中考试 高一年数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若球的表面积扩大到原来的9倍，那么该球的体积扩大到原来的（ ）倍 A. 9 B. 27 C. 81 D. 729 【答案】B 【解析】 【分析】由球的表面积和体积公式可知，球的表面积之比为半径比的平方，体积比为半径比的立方. 【详解】设扩大后球半径分别为，而球原来的半径为， 由表面积之比为，得， 则体积之比为. 故选：B. 2. 如图所示，已知正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图，则其原图形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法还原图形，结合图形求解. 【详解】根据斜二测画法还原得下图： 因为四边形是边长为的正方形，则，所以，， 又因为，，则， 同理可得，， 因此，原图形的周长为. 故选：B. 3. 已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】，，所以当时，成立，即充分性成立；当时， 不一定成立，可能是异面直线，故必要性不成立；所以是的充分不必要条件， 故选：A 4. 复数的值是（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘方运算可得答案. 【详解】= . 故选：A． 5. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由投影向量的定义可得，再由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，即， 所以，又，则， 又，则， 所以. 故选：C 6. 如图，和分别为圆台上下底面中心，且，在轴截面中，为正三角形.若，则圆台的表面积为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为为正三角形，，所以， 又因为，所以， 即圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，圆台的高为，可得圆台的母线长为， 所以圆台的表面积为. 7. 在中，，是中点，中线，则面积的最大值是（   ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】解法1，设，利用余弦定理可得，令，可得，利用三角变换和三角函数性质求得，得解； 解法2，作，则是的重心，设，可得，，根据运算，结合三角函数性质得解； 解法3，作，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，设，，可得，由三角形面积公式结合基本不等式求解. 【详解】解法1：令，在内由余弦定理，可知 ，化简得：，故， 所以的面积，令，所以， 又， 所以，所以，所以，当且仅当时，取等号. 解法2：如图，作，垂足为，交于，则是的重心，， 设，所以，，故的面积等于， 所以的面积，当且仅当时取等号. 解法3：如图，作，垂足为，以为原点，为轴建立平面直角坐标系. 设，，则，， 所以的面积，当且仅当时取等号. 8. 如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用转化法求得数量积，即可得最值. 【详解】 如图所示，易知，，， 过点作于点，则四边形为矩形， 则， 又， 所以， 即的最大值为， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，正四棱台中，下列说法正确的是（ ） A. 和异面 B. 和共面 C. 平面平面 D. 平面与平面相交 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由异面直线的性质可判断；对于B，由基本事实1的推论可判断；对于CD，由基本事实3判断. 【详解】对于A，在四棱台中，， 所以与确定平面， 因为与相交，且与平面相交，由所以和异面，故A正确； 对于B，在正四棱台中，， 所以与确定平面，所以和共面，故B正确； 对于C，因为面，而面，面， 由基本事实3可知，平面与平面相交，故C错误； 对于D，因为在正四棱台中，， 所以与可以确定一个平面， 又因为，所以与交于一点设为， 所以，而平面，所以平面， 又，而平面，所以平面， 由基本事实3可知，平面与平面相交，故D正确. 故选：ABD 10. 一货轮在A处，测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时24的速度继续沿正北方向匀速航行，40分钟后到达处，此时测得货轮与灯塔S相距，则灯塔S可能在处的（ ） A. 北偏东方向 B. 南偏东方向 C. 北偏东方向 D. 南偏东方向 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意利用正弦定理运算求解. 【详解】如图所示，由题意得，，， 则，解得， 且，所以或， 如图所示：则有： 当货轮在处时，，所以； 当货轮在处时，，所以； 综上所述：灯塔S在处的北偏东或南偏东方向. 故选：BC. 11. 满足下列条件的四面体存在的是（ ） A. 1条棱长为，其余5条棱长均为1 B. 1条棱长为1，其余5条棱长均为 C. 2条棱长为，其余4条棱长均为1 D. 2条棱长为1，其余4条棱长均为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A和B，作图，设棱，取其对棱的中点，在中利用三边关系列式子，求出的范围，从而判断四面体是否存在.对于选项C和D，分两种情况讨论，①当长为的两条棱为相对棱时，取的中点，在中利用三边关系列式子，求出的范围；②当长为的两条棱有公共顶点时，取的中点，在中利用三边关系列式子，求出的范围；从而判断四面体是否存在. 【详解】选项A：设四面体有1条棱长为，5条棱长为1， 如图1，四面体满足，， 取的中点，连接，，则， 由三角形的三边关系知，， 所以，即，故A错误； 选项B：与选项A同理可得，当四面体有1条棱长为，5条棱长为时， 因为，所以B正确； 选项C：设四面体有2条棱长为，4条棱长为1，分两种情况： ①当长为的两条棱为相对棱时， 如图2，不妨设为，， 取的中点，连接，，则， 由三角形的三边关系知，， 所以，解得，不符合题意； ②当长为的两条棱有公共顶点时， 如图3，不妨设， 取的中点，连接，， 则，， 由三角形的三边关系知，， 所以，解得； 综上可知，. 因为，所以C正确； 选项D：与选项C同理可得， 当四面体有2条棱长为，4条棱长为时，， 因为，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知i是虚数单位，2＋i是关于x的方程（其中a，b）的一个根，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，方程的另一个根为，再结合韦达定理求解即可． 【详解】由是关于x的方程的一个根，则另一个根为， ，解得， 所以． 13. 某校学生兴趣小组想要测量校内一座雕像的高度，他们选取与雕像底部在同一平面内的三个在一条直线上的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶点的仰角分别为，，，米，则雕像高为________米. 【答案】 【解析】 【详解】令，由在处测得雕像顶点的仰角分别为，垂直于地面， 得，在与中，， 因此，整理得，解得， 所以雕像高为米. 14. 蜜蜂将窝造成正六边形是一种基于数学、物理学和生物学的综合选择，旨在最大化资源的利用，同时确保蜂巢的结构稳定性和功能性，小明作出它的部分平面图（三个全等的正六边形），若，则______________；若，则______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合正六边形的性质以及平面向量的线性运算即可得到结果；再将分别用表示出来，结合向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】观察图形可知，三点共线，且， 因为， 且， 则， 所以，即； 由正六边形的性质可得 ， 所以 . 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在复平面内，复数对应的点为. （1）若为纯虚数，求的值； （2）设为坐标原点，为虚轴负半轴上任意一点，若向量与的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得，再利用复数的分类，即可求解； （2）设，根据条件，利用向量的夹角公式，得，即可求解. 【小问1详解】 由已知得， 为纯虚数，， 解得. 【小问2详解】 设，则， 又， 由，夹角为锐角得：，且与不共线， ， 解得且， 故的取值范围为. 16. 如图，在正四棱柱中，，，H，G，E分别为AD，AB，BC的中点. （1）求证：平面； （2）求点B到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接HE，先证四边形为平行四边形得，再由线面平行的判定定理证明结论； （2）应用等体积法有，利用棱锥的体积公式列方程求点面距离. 【小问1详解】 连接HE，因为四边形ABCD是正方形，且H，E分别为AD，BC的中点 所以且，又且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由题设， 在中，，， 得， ， ， 设点B到平面的距离为h，又， 所以，则，从而. 17. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），，分别是上、下底面的中心，且满足. （1）若，求该几何体的体积. （2）若正四棱锥的侧面是正三角形 ①求正四棱锥的侧面积. ②若，分别是线段，上的动点，求的最小值. 【答案】（1）312 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用锥体、柱体体积公式计算得解. （2）①利用正棱锥的侧面积公式计算即可；②将矩形，正和展开置于同一平面内，利用两点间距离最短求解. 【小问1详解】 依题意，正四棱柱的高，则正四棱柱的体积为， 正四棱锥的体积为， 所以该几何体的体积为. 【小问2详解】 ①设，则，而，且为正三角形， 则，由，得， 正四棱锥侧面的高为， 所以正四棱锥的侧面积为. ②将长方形，和展开在一个平面， ，， ，， 由几何意义知，， 当且仅当重合于点时，最短， 所以的最小值为. 18. 在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质四棱锥模型，为正三角形，，，为线段的中点． （1）求证：平面； （2）过点的平面交于点，沿平面将木质四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，请你完成以下两件事情： ①在木料表面应该怎样画线？（在答题卡的图上画线要保留辅助线，并写出作图步骤）； ②在木质四棱锥模型中确定点的位置，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）①答案见解析；②位置见解析， 【解析】 【分析】（1）取为的中点，连接，，由题意可证，平面，平面，即可得：平面平面，再利用面面平行证线面平行即可； （2）①根据平面的基本性质即可确定在木料表面应该怎样画线；②过点作交于点，由题意可证四点共面，再根据平行线所截线段成比例即可求解. 【小问1详解】 记为的中点，连接，，如图， 因为分别为的中点，所以为的中位线， 所以，因为平面平面， 所以平面； 又因为为正三角形，所以， 又为中点，所以， 又为等腰三角形，，所以， 所以，即， 所以，又平面平面， 所以平面； 又，平面，平面， 故平面平面， 又因为平面，故平面． 【小问2详解】 ①延长、相交于点，连接交于点，连接， ②过点作交于点，如图， 因为平面，平面，平面平面， 所以，此时四点共面， 由（1）可知： ，，， 得， 故，又因为，所以， 则有，故． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于通过平面的基本性质确定点，再过点作交于点，由平行线所截线段成比例即可求解比例关系. 19. 在平面几何中，三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点，其定义如下：记的内角所对的边分别为，平面内一点到三边的距离满足，称点为的“莱莫恩点”. （1）若在中，，求常数的值； （2）求证：； （3）若，试判断的形状，并说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）等腰三角形或直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题设数据先得到，再结合“莱莫恩点”的定义求解即可； （2）结合（1）可得，延长交于点，进而得到，，进而求证即可； （3）由结合（2）可得，进而分、两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 连接，将分割为， 根据“莱莫恩点”的定义，点到三边的距离分别为. 所以 . 代入已知数据，得，故. 【小问2详解】 由（1）可知，点到三边的距离分别为， 则. 如图，延长交于点，根据面积法可知， 所以. 另一方面，因为与同底，所以到的距离之比等于三角形面积之比， 即，所以. 所以. 【小问3详解】 为等腰三角形或直角三角形，理由如下： 由可知， 由（2）知，所以， 展开得， 又因为，所以. 因为，所以有以下两种情况： 当时，即，此时为等腰三角形； 当时，即，此时为直角三角形. 综上所述，为等腰三角形或直角三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门第一中学2025－2026学年度 第二学期期中考试 高一年数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若球的表面积扩大到原来的9倍，那么该球的体积扩大到原来的（ ）倍 A. 9 B. 27 C. 81 D. 729 2. 如图所示，已知正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图，则其原图形的周长为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 复数的值是（　　） A. B. 1 C. D. 5. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 如图，和分别为圆台上下底面中心，且，在轴截面中，为正三角形.若，则圆台的表面积为（   ） A. B. C. D. 7. 在中，，是中点，中线，则面积的最大值是（   ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 8. 如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，正四棱台中，下列说法正确的是（ ） A. 和异面 B. 和共面 C. 平面平面 D. 平面与平面相交 10. 一货轮在A处，测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时24的速度继续沿正北方向匀速航行，40分钟后到达处，此时测得货轮与灯塔S相距，则灯塔S可能在处的（ ） A. 北偏东方向 B. 南偏东方向 C. 北偏东方向 D. 南偏东方向 11. 满足下列条件的四面体存在的是（ ） A. 1条棱长为，其余5条棱长均为1 B. 1条棱长为1，其余5条棱长均为 C. 2条棱长为，其余4条棱长均为1 D. 2条棱长为1，其余4条棱长均为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知i是虚数单位，2＋i是关于x的方程（其中a，b）的一个根，则______． 13. 某校学生兴趣小组想要测量校内一座雕像的高度，他们选取与雕像底部在同一平面内的三个在一条直线上的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶点的仰角分别为，，，米，则雕像高为________米. 14. 蜜蜂将窝造成正六边形是一种基于数学、物理学和生物学的综合选择，旨在最大化资源的利用，同时确保蜂巢的结构稳定性和功能性，小明作出它的部分平面图（三个全等的正六边形），若，则______________；若，则______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在复平面内，复数对应的点为. （1）若为纯虚数，求的值； （2）设为坐标原点，为虚轴负半轴上任意一点，若向量与的夹角为锐角，求的取值范围. 16. 如图，在正四棱柱中，，，H，G，E分别为AD，AB，BC的中点. （1）求证：平面； （2）求点B到平面的距离. 17. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），，分别是上、下底面的中心，且满足. （1）若，求该几何体的体积. （2）若正四棱锥的侧面是正三角形 ①求正四棱锥的侧面积. ②若，分别是线段，上的动点，求的最小值. 18. 在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质四棱锥模型，为正三角形，，，为线段的中点． （1）求证：平面； （2）过点的平面交于点，沿平面将木质四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，请你完成以下两件事情： ①在木料表面应该怎样画线？（在答题卡的图上画线要保留辅助线，并写出作图步骤）； ②在木质四棱锥模型中确定点的位置，求的值． 19. 在平面几何中，三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点，其定义如下：记的内角所对的边分别为，平面内一点到三边的距离满足，称点为的“莱莫恩点”. （1）若在中，，求常数的值； （2）求证：； （3）若，试判断的形状，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $