专题07 方程与不等式方案选择热点（方程组、一元二次、分式、不等式等方案综合）有关的5类核心题型（方法+题型+实战）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 以“建模-解模-优模”为主线，构建方程与不等式方案选择的全流程方法体系，强化实际情境中数量关系转化与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二元一次方程组+不等式方案|3例题+5题|方程组求基础量+不等式组定范围+整数解筛选|从方程求解到不等式限制，体现“等量关系→不等关系→实际方案”递进| |一元二次方程应用|3例题+5题|等量关系建模+求根验证实际意义|聚焦面积、利润、增长率问题，强化二次方程解的合理性判断| |分式方程问题|3例题+5题|找等量关系列方程+两步检验（增根+实际意义）|突出分式方程转化整式方程的关键，强调验根必要性| |方案选择问题|3例题+5题|列函数关系式+分类讨论或增减性分析|整合一次函数与不等式，实现“方案列举→最优决策”的数学表达|

专题07 方程与不等式方案选择热点 （方程组、一元二次、分式、不等式等方案综合）有关的5类核心题型 目录 第一部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向 第二部分 方法建模 构建方法体系，提供通用工具 【结论背记清单】 方法一 二元一次方程组+不等式方案求解及技巧 方法二 一元二次方程应用问题解题技巧 方法三 分式方程问题解题技巧 方法四 方案选择问题解题技巧 第三部分 题型专攻 实施靶向训练，提升应试效率。 【题型01】二元一次方程组+不等式方案 【题型02】一元二次方程应用问题 【题型03】分式方程问题 【题型04】方案选择问题 第四部分 答题实战 检验学习成效，锤炼应用能力 1. 考向聚焦（精炼概括本专题在中考中的核心考查方向与价值） 核心考向1：基础应用（必考点，基础档）—— 侧重一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）的直接应用，载体为简单实际情境（如计费、采购、配套问题），考查方程/不等式求解，是基础得分点。 核心考向2：方案设计（核心档，高频）—— 结合二元一次方程组+一元一次不等式（组），求解符合条件的所有可行方案，侧重“整数解”限制（如人数、件数），是中考中档题核心题型。 核心考向3：最优方案选择（压轴过渡，高频）—— 结合一次函数（利润、成本、运费等），在可行方案中求最值（最大利润、最小成本），本质是“方程/不等式定范围，一次函数定最值”，贴合中考“数学建模”核心素养。 共性考向：均以“实际情境建模”为核心，设问分层（求解→列方案→选最优），情境贴近生活，侧重运算能力与应用意识，难度适中，是基础与中档题的重要得分模块。 2. 思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板） 瓶颈1：建模能力薄弱，不会将实际情境中的“等量关系”“不等关系”转化为方程/不等式，找不到解题的核心数量关系（如配套问题中的比例关系、计费问题中的分段标准）。 瓶颈2：忽略取值限制，忘记方案问题中自变量的实际意义（如整数、非负、取值范围），导致求出的解不符合题意，或遗漏可行方案。 瓶颈3：最优方案判断失误，不会结合一次函数的增减性判断最值，或混淆“最大”“最小”需求，甚至忽略不等式限定的范围，直接套用函数最值。 瓶颈4：运算与细节失误，解方程/不等式时计算出错，或在列方案、比较方案时遗漏关键条件，导致最终方案或最值判断错误。 结论背记 一、核心基础公式（解题地基，必背） （一）方程基础公式（必考，求未知量核心） 1. 一元一次方程（最基础，所有方案题均会用到） 一般形式：（） 求解公式（万能）： 核心应用：求单一未知量（如单价、数量、速度、进价等），是方案题的第一步（求基础量）。 1. 二元一次方程组（高频，求两个关联未知量） 一般形式：（） 求解方法（中考常用）： 代入消元法：由一个方程得，代入另一个方程，转化为一元一次方程求解； 加减消元法：将两个方程同乘适当系数，消去一个未知数，转化为一元一次方程求解。 核心应用：求两个关联量（如两种商品的单价、两种产品的产量、两种车型的数量等）。 1. 分式方程（中考低频，部分地区考，需注意验根） 一般形式：（，为整式） 求解关键：两边同乘最简公分母，转化为整式方程求解，验根（确保分母不为0，实际方案中需符合题意）。 核心应用：行程问题、工程问题（涉及“速度、时间、路程” “工作效率、工作时间、工作量”）。 1. 一元二次方程（拓展，方案最值偶尔考） 一般形式：（） 求解公式（万能）：（） 核心应用：利润最值、产量最值（结合二次函数，拓展考点）。 （二）不等式（组）基础公式（定范围，筛选方案核心） 1. 一元一次不等式（组） 1. 一元一次不等式一般形式：（或、、，） 1. 求解原则：不等式两边同乘（除）正数，不等号方向不变；同乘（除）负数，不等号方向改变。 1. 一元一次不等式组：由两个或多个一元一次不等式组成，解集为各不等式解集的公共部分（中考必考：求整数解）。 1. 核心应用：确定未知量的取值范围（如数量不能为负、成本不超过预算、产量满足需求等），为方案筛选提供依据。 （三）实际应用核心等量关系（方案题灵魂，必背） 1. 利润相关（中考最高频）： 单件利润=售价-进价（成本）； 总利润=单件利润×销售量=总售价-总成本； 利润率=单件利润进价。 1. 购买/采购相关： 总费用=单件费用×数量； 两种商品总数量=第一种数量+第二种数量； 总预算≥总费用（或≤总费用，根据题意确定）。 1. 生产相关： 总产量=单一产品产量×生产时间； 材料消耗总量=单件材料消耗量×产量； 生产时间≤总工时（或≥最低产量要求）。 1. 行程/工程相关： 路程=速度×时间； 工作量=工作效率×工作时间（通常将总工作量看作1）。 二、万能公式&拓展公式（中考解题神器，全国通用） （1） 通用万能公式（所有方案题均适用） 1.方案建模万能公式： 第一步（求基础量）：设未知数→列方程（组）→求解未知量（单价、效率、进价等）； 第二步（定范围）：根据题意列不等式（组）→求解解集→筛选符合实际意义的整数解（方案数）； 第三步（选最优）：将整数解代入目标表达式（总利润、总费用等）→对比大小→确定最优方案。 2.整数解筛选万能公式： 先求不等式组的解集（如）； 提取解集中的整数（为正整数，结合实际意义：数量、件数、人数等不能为负、不能为小数）； 若有多个整数解，则对应多个方案，逐一验证最优。 （二）分场景万能公式（中考高频场景，直接套用） 场景1：购买方案（中考必考，基础中档） 1.模型识别：题干涉及“两种及以上商品、采购预算、数量要求”，求可行采购方案及最优方案（最低费用）。 2.万能公式： 设未知数：设购买第一种商品件，第二种商品件（或件，简化计算）； 列方程（组）：根据“总数量” “总费用初步关系”列方程，求单价或数量关系； 列不等式：单价单价预算（或≥最低费用），结合、（为整数）； 最优方案：总费用单价单价，根据一次函数增减性（正负），确定取值，求最低。 场景2：利润方案（中考高频，中档压轴） 1.模型识别：题干涉及“进价、售价、销售量、利润要求”，求可行销售方案及最优方案（最大利润）。 2.万能公式： 设未知数：设销售量为件（或涨价/降价元）； 列方程：若已知利润求销量，售价进价总利润； 列不等式：最低销售量（或售价≤最高定价、进价≥最低成本）； 最优利润：总利润售价进价（一次函数）或售价进价销量（二次函数），结合取值范围求最值。 场景3：生产方案（中考高频，中档） 1.模型识别：题干涉及“两种及以上产品、生产工时、材料消耗、产量要求”，求可行生产方案及最优方案（最低成本/最高产量）。 2.万能公式： 设未知数：设生产第一种产品件，第二种产品件； 列不等式组：工时工时总工时，材料材料总材料，、（、为整数）； 最优方案：总费用成本成本（求最低）或总产量（求最高），代入整数解对比。 场景4：计费方案（中考高频，基础） 1.模型识别：题干涉及“两种及以上计费方式（分段计费、套餐计费）”，求不同用量下的最优计费方案。 2.万能公式： 设未知数：设用量为（如用电量、用水量、通话时长）； 列表达式：分别写出两种计费方式的总费用、（分段函数）； 列不等式：分别求解、、的范围； 最优方案：根据的实际取值，选择对应费用最低的计费方式。 场景5：分式方程+不等式方案（拓展，拉分点） 1.模型识别：行程、工程问题，涉及“速度、时间、工作量”，结合不等式求方案。 2.万能公式： 列分式方程：路程速度路程速度总时间（行程）；工作量效率工作量效率总时间（工程）； 验根：确保分母不为0，且解符合实际意义（速度、时间为正）； 列不等式：根据“时间≤规定时间” “效率≥最低效率”确定取值范围，筛选方案。 （2） 拓展公式（中考压轴专用，拉分点） 1.一次函数+不等式最优方案公式： 若目标函数（），为整数，且在范围内； 当时，取最大值，最大；取最小值，最小； 当时，取最小值，最大；取最大值，最小。 2.二次函数+不等式最值公式： 目标函数（），为整数，且在范围内； 当时，顶点在范围内，最小值为顶点纵坐标；顶点不在范围内，取离顶点最近的整数求最值； 当时，顶点在范围内，最大值为顶点纵坐标；顶点不在范围内，取离顶点最近的整数求最值。 3.多变量方案筛选公式：当有3种及以上商品/产品时，优先设一个未知数，用含未知数的式子表示其他量，减少变量，再列不等式组求解。 技法归纳 方法一 二元一次方程组+不等式方案求解及技巧 先设未知数，列二元一次方程组求出关键常量；再根据限制条件列不等式组，求出取值范围，结合实际整数要求，筛选列举出所有可行方案。 例题1 （2026·广西·一模）某非遗文创工坊生产两种壮乡特色手工艺品：壮锦挂件与铜鼓摆件．已知生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元；生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元． (1)每个壮锦挂件、铜鼓摆件的生产成本各是多少元？ (2)该工坊计划一批订单共生产这两种手工艺品个，要求铜鼓摆件的数量不超过壮锦挂件数量的倍．设生产壮锦挂件个，总利润为元．已知每个壮锦挂件利润为元，每个铜鼓摆件利润为元． 求与的函数关系式； 如何安排生产可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元； (2)；生产壮锦挂件个，铜鼓摆件个时利润最大，最大利润为元． 【分析】（）设每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元，根据题意得，然后解方程组即可； （）根据题意列出函数关系式即可； 由题意得，解得，然后根据函数性质可得随的增大而减小，所以当时，最大，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：设每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元， 根据题意，得， 解得， 答：每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元； （2）解：设生产壮锦挂件个，则生产铜鼓摆件个， 根据题意，得， ∴， 即与的函数关系式为； 根据题意，得， 解得， ∵在中，， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴当时，最大，为， 此时铜鼓摆件：个， 即生产壮锦挂件个，铜鼓摆件个时利润最大，最大利润为元． 例题2 （2026·湖南长沙·一模）为满足学生的运动需求，充分发挥课间15分钟的价值，学校计划购置一批羽毛球拍和跳绳若干套．已知购买1副羽毛球拍和4根跳绳共需140元，购买2副羽毛球拍和3根跳绳共需205元． (1)求每副羽毛球拍、每根跳绳的单价； (2)商家活动：羽毛球拍打八折，跳绳不打折．根据学校需求，计划购买两种器材共60件，且羽毛球拍数量不少于跳绳数量的．应如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)每副羽毛球拍单价为80元，每根跳绳单价为15元 (2)购买20副羽毛球拍，40根跳绳时总费用最少，最少费用为1880元 【分析】（1）设每副羽毛球拍单价为元，每根跳绳单价为元，根据题干给出的两种购买总价列出二元一次方程组，求解得到单价； （2）设购买羽毛球拍副，总费用为元，根据优惠规则列出总费用的一次函数解析式，再结合数量限制得到自变量的取值范围，利用一次函数的增减性求出最小总费用和对应的购买方案． 【详解】（1）解：设每副羽毛球拍单价为元，每根跳绳单价为元， 根据题意得 解得 答∶每副羽毛球拍单价为80元，每根跳绳单价为15元； （2）解：设购买羽毛球拍副，总费用为元，则购买跳绳根． 根据优惠规则可得 ∵羽毛球拍数量不少于跳绳数量的， ∴ 解得 随的增大而增大 当取最小值时，取得最小值，此时（元），（根） 答∶购买20副羽毛球拍，40根跳绳时总费用最少，最少费用是1880元． 例题3 （2026·江西宜春·一模）为落实教育部2026年人工智能进中小学课标、教学、评价的部署，推进探究式科学教育，激发学生好奇心与创新实践能力，某校计划采购A、B两类科学实验套装，助力学生在实践中提升科技素养．已知购买1件A种实验器材与2件B种实验器材共需要500元，购买2件A种实验器材与3件B种实验器材共需要850元． (1)求A种实验器材和B种实验器材的单价； (2)该学校计划购买A种实验器材和B种实验器材共180件，总费用不超过30000元，那么最多能购买A种实验器材多少件？ 【答案】(1) A种实验器材单价为200元，B种实验器材单价为150元 (2) 最多能购买A种实验器材60件 【分析】（1）设A种实验器材单价为元，B种实验器材单价为元，根据题干给出的两种购买总费用列出二元一次方程组，求解即可得到两种器材的单价； （2）设购买A种实验器材件，则购买B种实验器材件，根据总费用不超过限额的要求列出一元一次不等式，求解后取最大正整数即可得到结果； 【详解】（1）解：设A种实验器材单价为元，B种实验器材单价为元， 根据题意得， 解得：， 答： A种实验器材单价为200元，B种实验器材单价为150元； （2）解：设购买A种实验器材件，则购买B种实验器材件， 根据题意得， 化简得， 解得， 答： 最多能购买A种实验器材60件． 方法二 一元二次方程应用问题解题技巧 审题梳理等量关系，设未知数列出一元二次方程求解；求出根后结合实际场景（人数、长度、价格、增长率等），舍去负数和不符合题意的解，常考面积、利润、增长率问题。 例题1 （2025·四川广元·一模）某花卉种植园原计划培育个品种的月季，一个品种平均培育株幼苗．现准备多培育几个品种的月季以扩大育苗总量，试验发现，每多培育个品种的月季，每个品种平均培育的幼苗数量就会减少株，而且多培育的品种数量不能超过个． (1)如果要使幼苗总量增加，那么应多培育多少个品种的月季? (2)应多培育多少个品种的月季，幼苗的总量才会达到最大值?求出这个最大值． 【答案】(1)应多培育个品种的月季 (2)应多培育个品种的月季，幼苗的总量才会达到最大值，最大值为株 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的顶点式与最值问题，熟练掌握根据实际等量关系列方程、二次函数顶点式的转化是解题的关键． （1）设多培育的品种数为未知数，根据总苗量的等量关系列一元二次方程，结合限制条件求解． （2）设多培育的品种数为未知数，构建总苗量的二次函数，通过化为顶点式，利用二次函数性质求最大值． 【详解】（1）解：设应多培育个品种的月季． ， 解得，（因，舍去）． 答：应多培育10个品种的月季． （2）解：设多培育个品种的月季时，幼苗总量为． ， 因为，， 所以抛物线开口向下，当时，取最大值． 答：应多培育25个品种的月季，幼苗总量最大值为5625株． 例题2 （2026·安徽宣城·二模）综合与实践如何利用闲置纸板箱制作储物盒根据以下素材，完成探索任务． [素材1]小翼想把家中一个长，宽的区域作为自己的储物空间，用于放置自己的私人物品． [素材2]如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为的长方形纸板．    [素材3]小翼分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作成储物盒． 纸板①的制作方式：在四个角上裁去4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒，如图①；纸板②的制作方式：将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒，如图②．    [任务1]熟悉材料 (1)按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的值为________． 利用任务1计算所得的数据a，进行进一步的探究 [任务2]初步应用 (2)按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． [任务3]储物收纳 (3)按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． (4) 【答案】(1)40 (2)储物盒的容积为 (3)玩具机械狗不能完全放入该储物盒，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和二元一次方程组是解题的关键． （1）根据储物区域的长为，储物盒可以完全放入储物区域，求出图1中的四角裁去小正方形的边长，即可解决问题； （2）设裁去的小正方形的边长为，储物盒的底面积是，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设小长方形的宽为，长为，根据“和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为”，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵储物区域的长为，储物盒可以完全放入储物区域， ∴图①中的四角裁去小正方形的边长为， ； （2）解：由图①知，设小正方形的边长为， 由题意可得， 解得（舍去），， 容积为 答：储物盒的容积为． （3）解：设小长方形的宽为，长为， 由题意可得， 解得（舍去）或， 小长方形的宽为．当，两边恰好重合且无重叠部分，储物盒的高为， 玩具机械狗不能完全放入该储物盒． 例题3 （2026·辽宁大连·一模）2026年某市开展数码产品购新消费补贴活动．补贴范围：个人消费者购买不超过6000元的全新指定品类数码商品，按照商品销售价格的进行一次性立减补贴，最高补贴500元． (1)受购新消费补贴活动影响，指定数码产品供销两旺．某数码经销商一月份的销售额为80万元，三月份的销售额为96.8万元，求该经销商销售额的月平均增长率； (2)一位消费者在购买手机时，获得了500元的补贴，则这部手机的价格最低为多少元（结果保留整数）？ 【答案】(1)该经销商销售额的月平均增长率为 (2)元 【分析】（1）结合一元二次方程的增长率公式进行列方程求解即可． （2）理解题意，设这部手机的价格为x元，再列出不等式，解不等式，结果保留整数，即可作答． 【详解】（1）解：设该经销商销售额的月平均增长率为， 依题意，得 解得（舍去） 答：该经销商销售额的月平均增长率为． （2）解：设这部手机的价格为x元， 依题意得， 解得， ∵结果保留整数， 即结果向上取整至元， ∴这部手机的价格最低为元． 方法三 分式方程问题解题技巧 依据题意找等量关系列分式方程，去分母化为整式方程求解；必须两步检验：先检验是否为分式增根，再检验结果是否符合实际生活意义。 例题1 （2025·山西长治·一模）随着2025春晚的广泛传播，2025春晚吉祥物和相关产品迅速走红．某商店购进的2025蛇年吉祥物——“巳升升”树脂小摆件和“春碗”套装——如意春晚骨瓷碗销量大增．已知一套“春碗”套装比一件吉祥物贵150元，商店第一次购进“春碗”套装的数量是吉祥物数量的，且商店购买“春碗”套装和吉祥物的费用都是4000元． (1)分别求每件吉祥物和每套“春碗”套装的进价． (2)为满足市场需求，商店准备第二次购入“春碗”套装和吉祥物共500件，且购入“春碗”套装的数量不超过吉祥物数量的2倍．若进价不变，每件吉祥物与每套“春碗”套装的售价分别为65元，220元，则分别购入吉祥物和“春碗”套装多少件时，商店获得利润最高？ 【答案】(1)每件吉祥物的进价为50元，每套“春碗”套装的进价为200元 (2)购入吉祥物167件，春碗套装333套时，商店获得利润最高 【分析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一次函数，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． （1）设每件吉祥物的进价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设商店购入吉祥物件，则“春碗”套装件，利润为元，根据题意得到，再求得．进而利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件吉祥物的进价为元，则每套“春碗”套装的进价为元， 根据题意，得， 解得． 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， （元）． 答：每件吉祥物的进价为50元，每套“春碗”套装的进价为200元． （2）解：设商店购入吉祥物件，则“春碗”套装套，利润为元， ， 购入“春碗”套装的数量不超过吉祥物数量的2倍， ，解得． 为正整数， 的最小值为167， ， 当时，有最大值， 此时，． 答：购入吉祥物167件，“春碗”套装333套时，商店获得利润最高． 例题2 （2025·贵州·模拟预测）喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 【答案】(1)甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； (2)乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【分析】（1）设甲车间增加工人前每天加工个，则增加工人后每天加工个，根据题意列出方程解得即可； （2）设乙车间改进技术前每天加工个，根据题意列出分式方程解得即可． 【详解】（1）解：设甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个， 由题意，得， 解得， ， 答：甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； （2）解：设乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个 ， 由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程，弄清题意列出相应方程是解题的关键． 例题3 （2025·重庆·模拟预测）小王来到“魔幻城市”——重庆出差，顺便打卡了各大网红景点，品尝了各种美食，深深地爱上了重庆火锅，于是他准备在返程时购买一些火锅底料．经比较，小王准备购买两款火锅底料，在某商店了解价格时，小王发现每袋款火锅底料的标价比每袋款火锅底料的标价多4元，若只购买一款火锅底料，则用400元购买款火锅底料的袋数与用500元购买款火锅底料的袋数相同． (1)求每袋款火锅底料和每袋款火锅底料的标价分别为多少元． (2)小王原计划购买10袋款火锅底料和10袋款火锅底料．在购买时，该商店正好开始周年庆活动，两款火锅底料均有优惠．其中款火锅底料在标价的基础上每袋降价元，款火锅底料在标价的基础上每袋打六折，于是小王决定多买一些火锅底料送给亲朋好友品尝．最终小王比原计划多购买了袋款火锅底料和袋款火锅底料，付款时，他发现自己购买的所有款火锅底料比所有款火锅底料多花费40元，求的值． 【答案】(1)每袋A款火锅底料标价为16元，每袋B款火锅底料标价为20元 (2)a的值为15 【分析】（1）根据题意设出未知数，结合“每袋款火锅底料的标价比每袋款火锅底料的标价多4元，用400元购买款火锅底料的袋数与用500元购买款火锅底料的袋数相同”列方程求解即可； （2）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设每袋款火锅底料元，则每袋款火锅底料的标价为元， 根据题意得，， 解得，，经检验，是原方程的解， ∴； 答：每袋A款火锅底料标价为16元，每袋B款火锅底料标价为20元. （2）解：由题意可得， ， 整理得， 解得（舍去），； 答：的值为15． 方法四 方案选择问题解题技巧 分别列出每种方案的费用、利润关系式，利用作差比较、不等式对比或一次函数增减性，分类讨论取值范围，从而选出最省钱、收益最大的最优方案。 例题1 （2026·贵州遵义·一模）2026年春晚，银河通用“小盖”、魔法原子“送餐员”等智能机器人展现了强大的分拣与配送能力．某物流中心借鉴春晚技术，引入A、B两类智能分拣机器人来处理该物流中心包裹的分类．已知2台A型机器人每小时的总分拣量是3台B型机器人每小时的总分拣量，1台A型机器人和2台B型机器人每小时共分拣3500件包裹． (1)求A、B两类机器人每小时分别分拣多少件包裹？ (2)该物流中心计划用不超过26万元购买两种智能分拣机器人共10台，且确保每小时的总分拣量不少于12000件，已知A类机器人每台3万元，B类机器人每台2万元，则该物流中心有几种投入方案？ 【答案】(1)A类机器人每小时分拣1500件包裹，B类机器人每小时分拣1000件包裹 (2)该物流中心有3种投入方案 【分析】（1）设A类机器人每小时分拣x件包裹，B类机器人每小时分拣y件包裹，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买A类智能分拣机器人a台，则购买B类智能分拣机器人台，根据题意“总费用不超过26万元，每小时总分拣量不少于12000件”，建立一元一次不等式组，解不等式组得到a的取值范围，最后考虑到a为非负整数，确定一共有3种方案． 【详解】（1）解：设A类机器人每小时分拣x件包裹，B类机器人每小时分拣y件包裹． 由题意得：， ∴解得： 答：A类机器人每小时分拣1500件包裹，B类机器人每小时分拣1000件包裹． （2）解：设购买A类智能分拣机器人a台，则购买B类智能分拣机器人台． 由题意得：， ∴解得：． ∵a为非负整数， ∴a可为4、5、6， ∴该物流中心有3种投入方案． 例题2 （2026·广东深圳·二模）综合与实践 年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元； 5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次； 每台人形机器人每日可服务观众280人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决 (1)求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ (2)采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 【答案】(1)每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元 (2)采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次 【分析】（）设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元，根据题意列出方程组，然后解方程组即可； （）设采购四足机器人台，则采购人形机器人台，根据题意得，求得，设每日总服务人次为，则有，然后通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元， 根据题意得：， 解得：， 答：每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元； （2）解：设采购四足机器人台，则采购人形机器人台， 根据题意得：， 解得：， ，即， ， 设每日总服务人次为， ， ， 随增大而减小， 当取最小值5时，有最大值，此时， 答：采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次． 例题3 （2026·云南文山·一模）仔细阅读下表中的内容，据表中信息完成任务一和任务二． 背景 某学校计划购入A，B两款学习机，辅助日常教学，经过市场调研，了解到这两款学习机的相关信息如下： 信息一： ①购买3台A款学习机和4台B款学习机共需6200元； ②购买2台A款学习机和8台B款学习机共需8400元． ☆任务一 (1)求每台A款学习机，每台B款学习机的价格； 信息二 该校决定购买这两款学习机共50台，配备给部分班级作教学实验，两款都要购买，且购买B款学习机的数量不超过A款的1.5倍． ☆任务二 (2)请为该校提供最省钱的购买方案． 【答案】(1)每台A款学习机的价格是1000元,每台B款学习机的价格是800元 (2)购买20台A款学习机，30台B款学习机，最省钱 【分析】（1）根据购买两款学习机的两组总价条件，列二元一次方程组，求解两款的单价； （2）先设购买款的数量，用它表示款数量和总费用；再根据款数量不超过 款倍的约束条件，求费用函数的最小值，得到最省钱方案． 【详解】（1）解：设每台款学习机的价格是元，每台B款学习机的价格是元． 由题意得，解得， ∴每台款学习机的价格是1000元，每台款学习机的价格是800元． （2）解：设购买台款学习机，台款学习机，总费用为元． 由题意可得：， 解得． 由题意得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，w取得最小值， 此时，，． ∴购买20台款学习机，30台款学习机，最省钱． 【题型01】二元一次方程组+不等式方案（共5题） 1．（2026·河南周口·模拟预测） 背景 校体艺文化周期间，小艾所在的班级也开展各种竞赛活动，需要去商店购买A、B两种款式的运动徽章作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15枚A款徽章、10枚B款徽章，共需230元；若买25枚A款徽章、25枚B款徽章，共需450元． 素材2 该商店搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的八折出售（已知小艾在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的九折出售且包邮． 问题解决： (1)某商店在无促销活动时，求A款徽章和B款徽章的销售单价各是多少元？ (2)小艾计划在促销期间购买A、B两款徽章共40枚，其中A款徽章t枚（），若在线下商店购买，共需要______元；若在线上淘宝店购买，共需要______元．（均用含t的代数式表示） (3)请你帮小艾算一算，在（2）的条件下，两种购买方式只能选一种，请问选择哪种购买方式更合算？ 【答案】(1)A款徽章和B款徽章的销售单价分别是10元、8元 (2)， (3)当购买A款徽章的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算；当购买A款徽章的数量少于15个，线上购买方式更合算；当购买A款徽章的数量为15个时，线上、线下购买方式一样合算 【分析】（1）设A款徽章和B款徽章的销售单价分别是x元、y元，根据买15枚A款徽章、10枚B款徽章，共需230元；买25枚A款徽章、25枚B款徽章，共需450元，列出方程组，即可求解； （2）根据线下商店购买和线上购买的优惠方法列代数式即可； （3）再根据两种购买方式所需费用，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设A款徽章和B款徽章的销售单价分别是x元、y元， 由题意，得， 解得， 答：A款徽章和B款徽章的销售单价分别是10元、8元； （2）解：当小艾在线下商店购买时，需要：元； 当小艾采用线上购买时，需要：元； （3）解：当选线下时，，解得； 又∵， ∴； 当选线上时：，解得， 又∵， ∴； 答：当购买A款徽章的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算；当购买A款徽章的数量少于15个，线上购买方式更合算；当购买A款徽章的数量为15个时，线上、线下购买方式一样合算． 12．（2026·云南·一模）请你根据下列素材，完成有关任务， 背景 某文具店计划购进A，B两种品牌的笔袋． 素材一 A品牌笔袋每个进价比B品牌多5元； 素材二 2个A品牌和3个B品牌笔袋共需85元． 请完成下列任务： (1)求A，B两种品牌笔袋的每个进价； (2)该店计划购进两种品牌笔袋共40个，总进价不超过700元，且A品牌笔袋的数量不少于B品牌的一半，求共有几种进货方案． 【答案】(1)A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为20元，15元 (2)7 【分析】（1）设A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为x元，y元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设该店计划购进A品牌笔袋m个，则购进B品牌笔袋个，根据题意列出一元一次不等式组求解． 【详解】（1）解：设A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为x元，y元， 根据题意得， 解得 答：A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为20元，15元； （2）解：设该店计划购进A品牌笔袋m个，则购进B品牌笔袋个， 根据题意得， 解得 ∴，15，16，17，18，19，20 ∴共有7种进货方案． 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）某中学为改善教学条件，计划采购一批智慧教学设备，有A、B两种型号的智能交互一体机可供选择．已知购买2台A型一体机和1台B型一体机共需20000元，购买3台A型一体机和2台B型一体机共需34000元 (1)求A型一体机和B型一体机的单价各是多少元； (2)根据教学需求，该校计划采购A型和B型一体机共20台，且总预算不超过144000元，问最多可购买B型一体机多少台？ 【答案】(1)A型一体机单价为6000元，B型一体机单价为8000元； (2)最多可购买B型一体机12台． 【分析】（1）设A型一体机的单价是元，B型一体机的单价是元，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设购进B型一体机台，则购进A型一体机台，根据题意列出不等式，据此求解即可． 【详解】（1）解：设A型一体机的单价是元，B型一体机的单价是元， 依题意，得：， 解得：． 答：A型一体机单价为6000元，B型一体机单价为8000元； （2）解：设购进B型一体机台，则购进A型一体机台， 依题意，得：， 解得：． 为整数， 的最大值为12． 答：最多可购买B型一体机12台． 4．（2026·河南周口·一模）河南焦作温县的山药种植历史悠久，所产的“铁棍山药”是享誉全国的地理标志产品．某山药制品专卖店决定采购A，B两种规格的礼盒进行销售，已知关于这两种礼盒的进货信息如下： 信息1：一盒A种礼盒的进价比一盒B种礼盒的进价贵40元； 信息2：用2400元购进的A种礼盒的数量与用1600元购进的B种礼盒的数量相等． (1)求每盒A种礼盒和每盒B种礼盒的进价． (2)为迎接即将举行的河南特色产品展销会，厂家推出优惠活动：每购买一盒A种礼盒，就赠送一盒B种礼盒．已知专卖店计划用于购买礼盒的资金不超过2640元，且B种礼盒的数量比A种礼盒数量的2倍少6盒．设专卖店购买盒A种礼盒．求总费用（元）与之间的函数关系式，并求出最多可以购买多少盒A种礼盒．此时总费用是多少元？ 【答案】(1)A种礼盒进价120元，B种礼盒进价80元． (2) ，最多可以购买15盒A种礼盒，此时总费用为2520元． 【分析】本题考查了实际生活中的二元一次方程和一元一次不等式问题，正确列出对应方程和不等式是解题关键． （1）分别设出A种礼盒和B种礼盒进价，根据两个信息列出二元一次方程组． （2）关键是专卖店最终拥有的 B种礼盒总数是包括买的和送的，但只有买的需要计算费用，根据总费用A种礼盒数量A种礼盒进价B种礼盒数量B种礼盒进价，列出不等式，注意x取正整数． 【详解】（1）解：设A种礼盒进价x元，B种礼盒进价y元，则可列出方程组： 解得 ， 经检验是原方程的解， 答：A种礼盒进价120元，B种礼盒进价80元． （2）解：A种礼盒费用 ，由于买了x盒A种礼盒，故送了x盒B种礼盒，由题意可知， 则需要出钱的B种礼盒数量 ， 若，此时B种礼盒不需要花钱买， 故总费用A种礼盒数量A种礼盒进价，此时最大为5； 若，此时B种礼盒需要花钱买， 故总费用A种礼盒数量A种礼盒进价B种礼盒数量B种礼盒进价 ， 即 ， 令 ， 解得 ， 由于x取正整数， 所以此时最大为15， 综上，最多可以购买15盒A种礼盒，此时总费用 （元） 答：总费用（元）与之间的函数关系式是，最多可以购买15盒A种礼盒，总费用为2520元． 5．（2026·河南商丘·一模）2026年春晚《武BOT》的机器人功夫表演，震撼世界，也凸显了我国在机器人领域的强大实力．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 3 340 3 1 300 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递24万件； B型机器人每台每天可分拣快递20万件． (1)求A，B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共12台，费用不超过800万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)该企业需要购买A型智能机器人4台，购买B型智能机器人8台，能使每天分拣快递的件数最多 【分析】（1）设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，根据信息一中的数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该企业需要购买型智能机器人台，则需要购买型智能机器人台，根据费用不超过800万元，列出一元一次不等式，求出的取值范围，再根据型机器人每台每天可分拣快递24万件，型机器人每台每天可分拣快递20万件，可列出每天分拣的件数与的函数关系，再根据函数的性质得出结论． 【详解】（1）解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元， 由题意得， 解得， 答：型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元． （2）解：设该企业需要购买型智能机器人台，则需要购买型智能机器人台， 由题意，得， 解得， 设每天分拣快递万件， 则， ， 随的增大而增大，当时，最大， 此时， 该企业需要购买型智能机器人4台，购买型智能机器人8台，能使每天分拣快递的件数最多． 【题型02】一元二次方程应用问题（共5题） 1．（2025·四川绵阳·一模）某文具店购进一批纪念册，每本进价为15元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于30元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为20元时，销售量为34本；当销售单价为24元时，销售量为30本． (1)当文具店每周销售这种纪念册获得224元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ (2)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)22元 (2)销售单价定为30元时，利润最大，最大利润为360元 【分析】本题考查了二次函数的销售利润问题，一元二次方程的销售盈利问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设，再结合当销售单价为20元时，销售量为34本；当销售单价为24元时，销售量为30本，得出，根据利润等于单价利润乘数量，进行列式计算，即可作答． （2）根据利润等于单价利润乘数量，得，再结合二次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设， 由题意得 解得 ，， 故， ∵文具店每周销售这种纪念册获得224元的利润 ∴ 则， ∴ 解得， ∵要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于30元， ∴， ∴， ∴当文具店每周销售这种纪念册获得224元的利润时，每本纪念册的销售单价是元． （2）解：依题意， 则开口方向向下，对称轴为直线， 故越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大， ∵要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于30元， ∴， 当时， 即销售单价定为30元时，利润最大，最大利润为360元． 2．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．16周岁以下禁止骑电动车，16周岁以上的市民骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低2元，则月销售量将增加20个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月平均增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价每个应定为75元 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同．据此列出方程，解方程即可； （2）设该品牌头盔的实际售价每个应降低a元，则此时售价为元，月销售利润达到8750元，据此列方程并解方程即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：（舍去） 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价每个应降低a元，则此时售价为元， 由题意得：， 解得：，， 因为需要尽快减少库存，所以选择降价更多的价格，即不合题意，舍去，符合题意 则， 答：该品牌头盔的实际售价每个应定为75元． 3．（2026·山东菏泽·一模）某商店经销甲、乙两种商品，已知甲、乙两种商品的进货单价之和是元，甲商品零售单价比进货单价多元，乙商品零售单价比进货单价的倍少元；按零售单价购买甲商品件和乙商品件，共付了元． (1)甲、乙两种商品的零售单价分别为______元和______元；（直接写出答案） (2)该商店平均每天卖出甲乙两种商品各件，经调查发现，甲种商品零售单价每降元，甲种商品每天可多销售件，商店决定把甲种商品的零售单价下降（）元．在不考虑其他因素的条件下，当为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）令甲、乙两种商品的零售单价分别为元和元，根据题意列出方程组，求解即可； （2）根据题意，根据总利润列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：令甲、乙两种商品的零售单价分别为元和元， 由题意可得方程组， 解得， 故答案为：，． （2）解：甲单件利润为1元，乙单件利润也为元， 根据题意可得， ∴， 化简得， 解得（舍去）或． 当时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元． 4．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】(1)，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元 (2)这天售出了64辆轮椅 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，每天的利润最大，为元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元； （2）当时，， 解得：（不合题意，舍去）； ∴（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅． 5．（2026·广东梅州·模拟预测）某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知米，米，阴影部分为美食摊位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺地毯防污的面积为675平方米． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该美食节共有摊位60个，据调查分析，当每个摊位的日租金为200元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨5元，就会少租出1个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入最多，最大收入是多少元？ 【答案】(1)道路的宽为3米 (2)当每个摊位的日租金上涨50元时，美食节的日租金收入最多，最大收入是12500元 【分析】（1）设道路的宽为米，根据“铺地毯防污的面积为675平方米”列方程求解即可； （2）设日租金上涨元，美食节的日租金收入为w，根据题意表示出w，然后利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：设道路的宽为米， 根据题意得，， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为3米； （2）解：设日租金上涨元，美食节的日租金收入为w， 根据题意得：， ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，w有最大值12500， 答：当每个摊位的日租金上涨50元时，美食节的日租金收入最多，最大收入是12500元． 【题型03】分式方程问题（共5题） 1．（2025·云南·模拟预测）2024年春城文化节“阅见春城·读见我心”——“4·23世界读书日暨春城读书日”全民阅读系列活动于4月21日上午在昆明市文化馆正式启动．活动现场，某旅游推荐达人发布“阅享有一种叫云南的生活”昆明市新型公共文化空间CityWalk漫游活动，向市民推介了漫游阅读线路，市民、游客到各新型公共文化空间获取漫游护照，进行漫游打卡集章，集满8个漫游图章，即可领取精美文创礼物一份．主办方制作了A，B两种文创礼品，已知A 种礼品比B种礼品每件制作成本多20元，预算资金为32000元，其中14000元用于制作A种礼品，其余资金制作B种礼品，且B种礼品的数量是A种礼品的2倍．求A，B两种文创礼品的制作成本． 【答案】奖品的单价为56元，奖品的单价为36元． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设种文创礼品的制作成本为元，则种文创礼品的制作成本为元，由题意：预算资金为元，其中元制作礼品，其余资金制作礼品，且购买种种礼品的数量是种礼品的2倍．列出分式方程然后求解即可． 【详解】解：设种文创礼品的制作成本为元，则种文创礼品的制作成本为元，由题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（元）． 答：种文创礼品的制作成本为56元，种文创礼品的制作成本为36元． 2．（2025·重庆·模拟预测）列方程解应用题：为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经测试，每分钟一名工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少5片，若一名工人采茶6分钟、一台机器人采茶10分钟，共采茶450片． (1)分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数； (2)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采2a片茶叶，工人每分钟比之前多采a片茶叶，这样，一台机器人采1200片茶叶所用的时间是一名工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值． 【答案】(1)一名工人每分钟采茶25片，一台机器人每分钟采茶30片 (2)a的值为5 【分析】本题考查一元一次方程的应用及分式方程的应用，读清题意并根据对应的等量关系列出方程是解此题的关键． （1）通过设未知数，根据采茶总量列出一元一次方程求解工人和机器人每分钟采茶片数； （2）根据提高后的采茶速度和时间关系列出分式方程求解a的值． 【详解】（1）解：设一名工人每分钟采茶x片，则一台机器人每分钟采茶片， ， ， ， 则机器人每分钟采茶：（片）， 即一名工人每分钟采茶25片，一台机器人每分钟采茶30片． （2）解：设机器人提高后每分钟采茶片，工人提高后每分钟采茶片， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 即a的值为5． 3．（2025九年级·广西·专题练习）某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件，已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵1元，用400元购买哪吒挂件的个数恰好与用360元购买敖丙挂件的个数相同． (1)求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元； (2)若该批发商计划购进哪吒、敖丙两种挂件共500个，且决定将哪吒挂件以每个14元，敖丙挂件以每个12元的价格对外出售，若要获得总利润为1800元，应购进哪吒、敖丙两种挂件各多少个？ 【答案】(1)该批发商购进哪吒挂件的单价是10元，敖丙挂件的单价是9元 (2)购进哪吒挂件300个，敖丙挂件200个 【分析】（1）通过设未知数，利用总价单价数量及两种挂件购买数量相同列分式方程求解单价． （2）设两种挂件的购进数量，根据总个数和总利润列二元一次方程组求解． 【详解】（1）解：设敖丙挂件的单价为元，则哪吒挂件的单价为元． 由题意得，， 解得，符合题意， 哪吒挂件单价为元，敖丙挂件单价为9元． （2）解：设购进哪吒挂件m个，敖丙挂件n个．   则， 解得，， 购进哪吒挂件300个，敖丙挂件200个． 【点睛】本题考查了分式方程与二元一次方程组的实际应用，熟练掌握根据等量关系列方程并求解是解题的关键． 4．（2025·山东青岛·二模）为培养学生的阅读素养，给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍，现有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高，用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个． (1)求出A，B两种书架的单价； (2)学校采购时恰逢“五一劳动节”促销：A种书架9折优惠．若购进A种书架数量不少于B种书架数量的，请你设计一种方案，怎么购进A、B两种书架，使学校花费最少？ 【答案】(1)种书架的单价为600元，种书架的单价为500元； (2)购进种书架5个，种书架15个，使学校花费最少． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设种书架的单价为元，则种书架的单价为元，根据用14400元购买种书架的数量比用9000元购买种书架的数量多6个，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进个种书架，则购进个种书架，根据购进种书架数量不少于种书架数量的，列出一元一次不等式，解得，再设购买总费用为元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：设种书架的单价为元，则种书架的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：种书架的单价为600元，种书架的单价为500元； （2）设购进个种书架，则购进个种书架， 由题意得：， 解得：， 设购买总费用为元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值， 此时，， 答：购进种书架5个，种书架15个，使学校花费最少． 5．（2025·辽宁大连·模拟预测）为了使贫困同学能顺利读完九年义务教育，丰华中学组织了捐款活动．小华对八年级（1）班和八年级（2）班两班捐款的情况进行了统计，得到如下三条信息： 信息一：八年级（1）班共捐款300元，八年级（2）班共捐款232元． 信息二：八年级（2）班平均每人捐款钱数是八年级（1）班平均每人捐款钱数的． 信息三：八年级（1）班比八年级（2）班多2人． 请你根据以上三条信息，求出八年级（1）班平均每人捐款多少元． 【答案】八年级（1）班平均每人捐款5元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设八年级（1）班平均每人捐款x元，则八年级（2）班平均每人捐款元，根据八年级（1）班比八年级（2）班多2人列方程求解． 【详解】解：设八年级（1）班平均每人捐款x元，则八年级（2）班平均每人捐款元， 由题意得：， 解这个方程得：， 经检验：是原方程的解，符合题意， 答：八年级（1）班平均每人捐款5元． 【题型04】方案选择问题（共5题） 1．（2026·黑龙江佳木斯·一模）某商场计划购进甲、乙两种品牌的T恤衫，购进甲品牌的T恤衫件、乙品牌的T恤衫件共需元；购进甲品牌的T恤衫件、乙品牌的T恤衫件共需元． (1)这两种品牌的T恤衫的进价各多少元？ (2)商场决定购进甲、乙两种品牌T恤衫共件，总资金不少于元，且购进甲品牌T恤衫至少件，该商场有哪几种进货方案？ (3)若商场决定将甲品牌T恤衫以每件元出售，乙品牌T恤衫以每件元出售，则全部售出后，（）中的进货方案哪种利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)甲品牌T恤衫的进价为元，乙品牌T恤衫的进价为元 (2)方案1：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件；方案：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件；方案：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件 (3)购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件利润最大，最大利润是元 【分析】（）通过设甲、乙品牌T恤衫的进价为未知数，根据两种进货方案的总费用列出二元一次方程组，求解得出两种T恤的进价； （）设购进甲品牌T恤衫的数量为未知数，结合甲的数量限制和总进价不低于元的条件列出不等式组，求解得到符合条件的正整数解，进而确定所有进货方案； （）根据两种T恤的单件利润列出总利润关于甲品牌数量的一次函数，利用一次函数的单调性，结合（）中的取值范围，求出利润的最大值及对应的进货方案． 【详解】（1）解：设甲品牌T恤衫的进价为元，乙品牌T恤衫的进价为元 由题意，得， 解得：， 答：甲品牌T恤衫的进价为元，乙品牌T恤衫的进价为元； （2）解：设购进甲品牌T恤衫件，则购进乙品牌T恤衫件， 根据题意得， 解得， ∵是正整数， ∴，，， ∴，， ∴有种方案 方案：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件； 方案：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件； 方案：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件； （3）解：设总利润为元 ， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，（元）， 答：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件利润最大，最大利润是元． 2．（2026·湖南·模拟预测）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少3元，且用90元购进甲商品的数量与用120元购进乙商品的数量相同． (1)求甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？ (2)若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且乙的数量不超过30个，甲、乙两种商品的售价分别是12元／个和16元／个，将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过350元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 【答案】(1)甲商品进价为每个9元，乙商品进价为每个12元 (2)商场有两种方案，方案①：购进甲商品82个，乙商品29个；方案②：购进甲商品85个，乙商品30个 【分析】（1）设甲商品的进价是元，则乙商品的进价是元，根据用90元购进甲商品的数量与用120元购进乙商品的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设购进乙种商品个，则购进甲种商品个，根据乙的数量不超过30个，销售两种商品的总利润超过350元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设甲商品进价为每个元，则乙商品进价为每个元， 则， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：甲商品进价为每个9元，乙商品进价为每个12元． （2）解：设购进乙商品个，则购进甲商品个 得 解得，其中为正整数， 或30， 则或85， 答：商场有两种方案，方案①：购进甲商品82个，乙商品29个；方案②：购进甲商品85个，乙商品30个． 3．（2026·江苏苏州·模拟预测）在一堂化学活动课前，李老师给同学们布置了一个任务：制作A、B两种化学分子的模型，每个化学分子的模型都需要用到小球和塑料管．老师演示了一下，用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个B分子模型，制作一个A分子模型需要的小球、塑料管数量比为，制作一个B分子模型需要的小球、塑料管数量比为，已知每根塑料管价格是每个小球价格的一半． (1)制作一个A，B分子模型分别需要小球、塑料管的数量各是多少？ (2)李老师说道：“上次的活动课上，我花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多了80．今天我路过文具商店的时候，看到了促销广告：‘每购买3个小球赠送1根塑料管，清理库存，数量有限！小球仅剩1760个，塑料管仅剩1404根．’我向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管，全部用来制作化学分子模型，一个模型和一个模型为一套，至少需要制作65套才够用．”要使得购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套，请你们帮老师算一算，有几种采购方案？（要求：根据题意列出方程、不等式解决问题） 【答案】(1)制作一个A分子模型需要小球10个，塑料管8根，制作一个B分子模型要小球12个，塑料管10根 (2)共有四种方案可选择 【分析】（1）设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根，根据用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个分子模型，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设塑料管的价格是元/根，则小球的价格是元/个，根据花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多80，列出方程式得出塑料管的单价，小球的单价；设采购材料能制作出套模型，则需要用去个小球，根塑料管，根据向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管，列出一元一次不等式，再由题意列出一元一次不等式组，解不等式组进而得出，即可解决问题． 【详解】（1）解：设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根，由题意，得： ， 解得， 答：制作一个分子模型需要小球10个，塑料管8根，制作一个分子模型要小球12个，塑料管10根； （2）解：设塑料管的单价是a元/根，小球的单价是元/个，根据题意得： 解得． 经检验：是原方程的解． 塑料管的单价是元/根，小球的单价是1元/个． 设采购材料能制作出套模型，需要用去个小球，根塑料管． 根据促销活动内容，每购买3个小球赠送1根塑料管， ， 解得． ∵小球仅剩1760个，塑料管仅剩1404根， ∴， 解得， ∴． 至少需要制作65套才够用， ． 综上，． 购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套， 是整数且是正整数， ∵22与3互质， ∴必须是3的倍数， ，69，72，75． 共有四种方案可选择． 4．（2026·广东深圳·模拟预测）学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品．已知购买甲种奖品件和乙种奖品件需花费元，购买甲种奖品件和乙种奖品件需花费元． (1)求甲、乙两种奖品的单价； (2)学校计划购买甲、乙两种奖品共件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的倍，学校分别购买甲、乙两种奖品各多少件才能使总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1) 甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元 (2) 购买甲种奖品件，乙种奖品件时总费用最少，最少总费用为元 【分析】（）设甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元，根据题意，列出方程组求解即可； （）设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为元， 先根据题意列出不等式，求出的取值范围，再求出总费用关于的函数表达式，根据函数增减性即可进行解答． 【详解】（1）解：设甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 故甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元； （2）解：设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为元， 依题意可得：， 解得： ， ∵， ∴随的增大而增大， ∵且m为正整数， ∴当时，， (元)， 答：当学校购买件甲种奖品，件乙种奖品时，花费最少，最小费用为元． 5．（2026·河南郑州·二模）“九年磨一剑，六月试锋芒”，为助力中考，有效缓解学生的考前压力，某中学九年级学生开展了考前减压团体拓展活动，学校准备了“能量传输”类与“鱼跃龙门”类共个小项目，其中“能量传输”类项目比“鱼跃龙门”类项目数的倍少个． (1)“能量传输”类项目和“鱼跃龙门”类项目各有多少个？ (2)“能量传输”和“鱼跃龙门”两类项目的平均用时分别是分钟、分钟（项目转场时间忽略不计），由于时间的限制，在实际拓展活动时，两种类型的项目只能开展个，且“鱼跃龙门”类项目数多于“能量传输”类项目数的一半，活动应该怎么设计能使得所用的时间最少？ 【答案】(1)“能量传输”类项目有个，“鱼跃龙门”类项目有个 (2)开展个“能量传输”类项目，个“鱼跃龙门”类项目，能使得所用的时间最少，为分钟 【分析】（1）设“能量传输”类项目有个，则“鱼跃龙门”类项目有个，根据题意，可列方程，求解即可； （2）设开展“能量传输”类项目个，则开展“鱼跃龙门”类项目为个，活动总用时为分钟，根据题意可得，结合题干条件可求得，因此当时，取得最小值． 【详解】（1）解：设“能量传输”类项目有个，则“鱼跃龙门”类项目有个， 根据题意，可列方程：， 解得， （个）， 答：“能量传输”类项目有个，“鱼跃龙门”类项目有个． （2）解：设开展“能量传输”类项目个，则开展“鱼跃龙门”类项目为个，活动总用时为分钟， 根据题意可得， ， 解得， ∵为整数， ∴， ， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，取得最小值， （个）． 答：开展个“能量传输”类项目，个“鱼跃龙门”类项目，能使得所用的时间最少，为分钟． 1．（2025·云南·模拟预测）随着“碳中和”理念普及，校园旧物回收活动愈发火热．某校初三（1）班学生利用课余时间整理可回收废品，发现改进分类方法后，工作效率大幅提高．已知该班同学改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品．请问该班同学改进前每小时整理多少千克废品？ 【答案】该班同学改进前每小时整理千克废品 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品，进行列分式方程，再解得，即可作答． 【详解】解：依题意，设该班同学改进前每小时整理千克废品， ∵改进后每小时比改进前多整理15千克废品． ∴改进后每小时整理千克废品， 依题意，得 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴该班同学改进前每小时整理千克废品． 2．（2022·广东中山·三模）某超市销售两款保温杯，已知款保温杯的销售单价比款保温杯多10元，用1200元购买款保温杯的数量与用960元购买款保温杯的数量相同． (1)、两款保温杯销售单价各是多少元？ (2)由于需求量大，、两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，款保温杯的进价为每个30元，款保温杯的进价为每个35元，若两款保温杯的销售单价不变，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)款保温杯销售单价是40元，款保温杯销售单价是50元； (2)购进款保温杯40个，款保温杯80个，最大利润是1600元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设款保温杯销售单价是元，则款保温杯销售单价是元，根据用1200元购买款保温杯的数量与用960元购买款保温杯的数量相同，进行列式计算，即可作答． （2）先理解款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，得出，解得，因为款保温杯的进价为每个30元，款保温杯的进价为每个35元，进行列式化简得，结合一次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设款保温杯销售单价是元，则款保温杯销售单价是元， 依题意，得 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元） 答：款保温杯销售单价是40元，款保温杯销售单价是50元； （2）解：设这批保温杯的销售利润是元，购进款保温杯个，则购进款保温杯个， 款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半， ． 解得， 依题意，得． ， 随的增大而减小． 时，取最大值，最大值是（元）． 此时， 答：购进款保温杯40个，款保温杯80个，才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是1600元． 3．（2026·山西运城·二模）近年来，我国航天事业在多个领域取得了举世瞩目的成就．一家玩具店看准商机，特推出“神舟”和“天宫”模型积木．已知购进3盒“神舟”模型积木和1盒“天宫”模型积木共需210元；购进1盒“神舟”模型积木和2盒“天宫”模型积木共需170元． (1)求每盒“神舟”模型积木和每盒“天宫”模型积木的进价． (2)店家计划再次购进这两种模型积木共40盒，且购进“神舟”模型积木的盒数不少于购进“天宫”模型积木盒数的．在进价和售价不变的情况下，每盒“神舟”模型积木可盈利15元，每盒“天宫”模型积木可盈利18元．店家应如何进货才能获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)每盒“神舟”模型积木的进价为50元，每盒“天宫”模型积木的进价为60元 (2)购进“神舟”模型积木10盒，“天宫”模型积木30盒时获利最大，最大利润为690元 【分析】（1）设每盒“神舟”模型积木的进价为元，每盒“天宫”模型积木的进价为元，根据“购进3盒“神舟”模型积木和1盒“天宫”模型积木共需210元；购进1盒“神舟”模型积木和2盒“天宫”模型积木共需170元．”列出方程组，即可求解； （2）设购进“神舟”模型积木盒，利润为元，则购进“天宫”模型积木盒，先求出m的取值范围，再根据题意，列出w关于m的函数关系式，然后根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设每盒“神舟”模型积木的进价为元，每盒“天宫”模型积木的进价为元， 依题意，得， 解得， 答：每盒“神舟”模型积木的进价为50元，每盒“天宫”模型积木的进价为60元． （2）解：设购进“神舟”模型积木盒，利润为元，则购进“天宫”模型积木盒， 依题意，得， 解得， 又， 且为整数， ， 随的增大而减小， ∴当时，最大，此时（元）， （盒）， 答：购进“神舟”模型积木10盒，“天宫”模型积木30盒时获利最大，最大利润为690元． 4．（2025·辽宁盘锦·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 【答案】(1)A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元 (2)此次购进至少要花元钱 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）设购进A种哪吒玩偶的单价是x元，则购进B种哪吒玩偶的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合购进两种玩偶的数量共15个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即购进A种哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出购进B种哪吒玩偶的单价； （2）设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个，根据购进A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元，利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设A种哪吒玩偶的单价为元，则B种哪吒玩偶的单价为元． 根据题意，得： 解得： 经检验：是原分式方程的解 B种：元 答：A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元． （2）解：设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个 根据题意，得： 解得： 设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元， 花费 整理，得： ∵，当时，随的增大而减小 ∴当时，取得最小值，最小值元 答：此次购进至少要花元钱． 5．（2026·湖北武汉·一模）学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动．收集信息如下： 信息1：客运公司有，两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，辆型客车载客人数和辆型客车载客人数相同，辆型客车和辆型客车共载客人． 信息2：型客车租车费用固定为元辆；型客车租一辆车的费用为元，每多租一辆，型客车租车单价减少元． 信息3：学校参加实践活动的师生共有人；租用，两种型号客车共辆，其中型客车不少于辆． 问题解决： (1)求，两种型号每辆车满员时的载客人数； (2)设租用型客车（单位：辆），本次实践活动的租车总费用是（单位：元），求与的函数关系式；（租车总费用租用型客车的费用租用型客车的费用） (3)设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，请说明理由． 【答案】(1)型客车每辆满员载客人，型客车每辆满员载客人 (2) （，且为整数）． (3)租用型客车辆，型客车辆时，租车总费用最少． 【分析】（1）根据题干给出的载客数量关系列二元一次方程组求解， （2）根据租车费用规则，结合载客要求和型客车数量限制，推导总费用与的函数关系式及自变量取值范围， （3）利用二次函数的性质，结合的整数取值，计算得到总费用最少的租车方案． 【详解】（1）解：设型客车每辆满员载客人，型客车每辆满员载客人． 根据题意得 解得 答：型客车每辆满员载客人，型客车每辆满员载客人． （2）解：设租用型客车辆，则租用型客车 辆． 根据总载客量不小于人，得 解得 ∵A型客车不少于9辆 ∴ ，解得 ∵为正整数， ∴，且为整数 根据租车总费用规则，得 整理得 即与的函数关系式为 （，且为整数）． （3）解： ∵， ∴二次函数开口向下，顶点是最大值点，离对称轴越远，越小 ∵ ∴时，取得最小值 此时A型客车数量为 （辆），满足 的要求 答：租用型客车辆，型客车辆时，租车总费用最少． 6．（2026·山西阳泉·一模）某初中八年级1班学生在博物馆进行研学活动，博物馆有人工讲解与智能AI讲解两种讲解服务可供选择，人工讲解每个小组可以请一位讲解员，费用由组员均摊，优点是可以随时与讲解员互动，但价格较高；智能AI讲解需组内每位同学租赁语音导览器，不能互动但价格较低．八年级1班共有7个小组，每组6人．若有4个组选择人工讲解、3个组选择智能AI讲解，所需总费用为1500元；若有2个组选择人工讲解，5个组选择智能AI讲解，所需总费用为1380元． (1)分别求请一位人工讲解员和租赁一个语音导览器的单价； (2)若要求此次讲解的总费用不高于1600元，请问至少有几个组选择智能AI讲解？ 【答案】(1)请一位人工讲解员的单价为240元，租赁一个语音导览器的单价为30元 (2)至少有2个组选择智能AI讲解． 【分析】（1）设请一位人工讲解员的单价为元，租赁一个语音导览器的单价为，列方程组求解即可； （2）设有个组选择智能AI讲解，根据“此次讲解的总费用不高于1600元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设请一位人工讲解员的单价为元，租赁一个语音导览器的单价为元． ， 解得：． 答：请一位人工讲解员的单价为240元，租赁一个语音导览器的单价为30元． （2）解：设有个组选择智能AI讲解． ∵此次讲解的总费用不高于1600元， ∴， 解得， 为整数， ． 答：至少有2个组选择智能AI讲解． 7．（2026·山东聊城·一模）在“助力家乡文旅发展”的综合实践活动中，某校数学兴趣小组的同学们主动为家乡的网红民宿出谋划策．活动中，某小组为家乡的一家民宿设计宣传海报． 素材1 海报原是长、宽的矩形，为了贴在民宿的接待区墙面更美观，学生们决定给海报加一个“上下左右宽度相等”的边框，且添加边框后的整个图形的面积为． 素材2 这家民宿共有30间客房．学生们协助民宿老板做定价调研：旅游旺季时，若客房定价为190元/天，所有客房都会住满；每将定价提高10元，就会空出1间客房．另外，对于有人入住的客房，民宿要给每间客房每天花费20元的用品费．现设每间客房的定价提高了x元．（x是10的整数倍） (1)任务1：求民宿宣传海报四周所加边框的宽； (2)任务2：要使这家民宿每天纯收入最大，且让老板节省人力，则每间客房的定价应为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）设民宿宣传海报四周所加边框的宽为，根据长方形面积公式列一元二次方程，解方程即可； （2）设每天民宿纯收入为元，列出y关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设民宿宣传海报四周所加边框的宽为， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或（不合题意，舍去）． 答：民宿宣传海报四周所加边框的宽为． （2）解：设每天民宿纯收入为元，由题意可得： ． ， 抛物线开口向下，有最大值， ∵x是10的整数倍， ∴当时，（元），此时入住房间（间） 当时，（元），此时入住房间（间） ∵或时纯收入一样，但要让老板节省人力，则入住房间数应该少一些， ∴， ∴定价为（元） 答：使这家民宿每天纯收入最大，且让老板节省人力，则每间客房的定价应为元． 8．（2025·山西·一模）2024年1月上旬，太原市城市轨道交通1号线一期工程首列车在中车大连公司正式下线．为保障轨道交通1号线的顺利通车，某工厂加急生产一批零件，需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务．求实际每天生产的零件个数和实际完成任务的天数． 【答案】实际每天生产的零件个数为200个，实际完成任务的天数为20天 【分析】 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设原计划每天生产零件x个，由需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务列出方程，解方程即可． 【详解】 解：设原计划每天生产零件x个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ∴（个）， 则实际完成任务的天数为：（天）， 答：实际每天生产的零件个数为200个，实际完成任务的天数为20天． 9．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为 (2)购买的这种健身器材的套数为200套 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 10．（2025·广东深圳·三模）某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 (2)购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键： （1）设B型机器人模型单价为x元，根据用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， （元）． 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元． （2）解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台． 根据题意，得， 解得． 设共花费w元， 则， ∵， ∴w随m的减小而减小， ∵， ∴当时，w值最小． ， （台）． 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元． 11．（2025·贵州遵义·模拟预测）某科技公司专注于无人机的研发与生产．公司计划升级生产设备以提高无人机产量．新设备的安装调试需要一定时间，在此期间，旧设备持续生产，已知旧设备生产200架无人机所用时间与新设备生产300架无人机所用时间相同．新设备每天比旧设备多生产20架无人机． (1)求新、旧设备每天分别生产多少架无人机？ (2)该公司生产的某型号民用无人机投入市场后，经过市场调研发现，当每架无人机售价定为x元时，每月的销售量y（架）与售价x（元）之间满足函数关系．已知每架无人机的成本为200元，每架无人机应如何定价，才能使利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)旧设备每天生产 架无人机，新设备每天生产 架无人机； (2)每架无人机定价为 元时，利润最大，最大利润为 元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，二次函数的应用； （1）设旧设备每天生产 架无人机，则新设备每天生产 架无人机．已知旧设备生产 200 架无人机所用时间与新设备生产 300 架无人机所用时间相同．根据时间等于工作量除以生产效率，可列分式方程求解， （2）设每月获得的利润为，根据总利润 （售价 成本） 销售量，可得，进而根据二次函数的性质即可求出最大值． 【详解】（1）（1）设旧设备每天生产 架无人机，则新设备每天生产 架无人机．依题意得： 解并检验得： 新设备每天生产 架无人机． 答：旧设备每天生产 架无人机，新设备每天生产 架无人机． （2）设每月获得的利润为，依题意可得： ∵二次项系数 ，开口向下，有最大值，最大值在顶点处取得． ，即售价为 350 元时，利润最大． （元） 答：每架无人机定价为 元时，利润最大，最大利润为 元． 12．（24-25八年级上·重庆江北·期末）为了提高学生的体育活动参与度，增强学生的身体素质，某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室．学校预算资金为1900元，且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的倍．若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件． (1)分别求出A型和B型运动器材每件的价格； (2)购买当日恰逢促销，A型运动器材按原价的八折销售．已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，那么该学校共有哪些不同的购买方案？ 【答案】(1)A型运动器材每件的价格为25元，B型运动器材每件的价格为30元 (2)该学校共有3种不同的购买方案：①购买A型运动器材50件，购买B型运动器材30件；②购买A型运动器材51件，购买B型运动器材29件；③购买A型运动器材52件，购买B型运动器材28件 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设A型运动器材每件的价格为x元，则B型运动器材每件的价格元，根据学校预算资金为1900元，若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设购买A型运动器材y件，则购买B型运动器材件，根据A型运动器材按原价的八折销售，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，结合（1）的结果，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设A型运动器材每件的价格为x元，则B型运动器材每件的价格元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：A型运动器材每件的价格为25元，B型运动器材每件的价格为30元； （2）设购买A型运动器材y件，则购买B型运动器材件， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 该学校共有3种不同的购买方案：①购买A型运动器材50件，购买B型运动器材30件；②购买A型运动器材51件，购买B型运动器材29件；③购买A型运动器材52件，购买B型运动器材28件． 13．（2026·江苏无锡·一模）某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． (1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，，围成这样的矩形养殖区符合题意 (2)面积不能达到，见解析 【分析】（1）设，则，根据“养殖区的面积计划为”列方程求解即可； （2）设，则，，根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断即可． 【详解】（1）解：设，则． 由题意得：． 解得，． ，即， ∴， ， ∴， ∴，，围成这样的矩形养殖区符合题意； （2）解：设，则，， 由题意得：， 整理得， ， 方程无解， ∴面积不能达到． 14．（2025·贵州遵义·一模）一部名为《南京照相馆》的电影于7月25日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习： 〖素材1〗某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9万元． 〖素材2〗某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天售出200本．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本． 问题解决： (1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？ (2)根据素材2，使每天销量达到400本时，应降多少元？ (3)根据素材2，商家每天固定成本为300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)5 (3)售价为元时，每天最大利润为3310元 【分析】（1）设从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为x，依素材1列方程求解即可； （2）设应降y元，依素材2可列方程求解； （3）设售价为m元，每天利润为W元，依素材2，可得W关于m的二次函数关系，根据二次函数的性质即可求解． 本题考查列一元一次方程和一元二次方程解应用题，以及二次函数性质的应用． 【详解】（1）解：设从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为x， 依素材1，可得：， 解得，（不合题意，舍去）． 答：从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为． （2）解：设应降y元，依素材2，可列方程， 解得． 答：应降5元． （3）解：设售价为m元，每天利润为W元，依素材2，可得： ， 当时，W取得最大值为3310． 答：售价为元时，每天最大利润为3310元． 15．（2025·四川雅安·中考真题）为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚．小强家也在墙上安装了一伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高为． (1)如图2，墙上有一扇窗户（），某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚的宽度为，此时______． (2)如图3，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角，被遮挡形成的阴影，则展开后的遮阳棚______．（参考数据：，，） (3)小强的爸爸准备将房后一块长，宽的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路（如图4），并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算，根据，求解即可． （2）过点作于点M，则四边形是矩形，根据，求解即可． （3）设小路的宽为，根据题意，得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 的宽度为， ， ． （2）解：过点作于点M， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ． （3）解：设小路的宽为， 根据题意，得， 整理，得， ， 解得，（大于16，舍去）， 答：小路的宽为． 16．（2026·河南周口·模拟预测）春联承载着中国人对新一年的美好祝愿和期盼．年马年来临之前，小颖家的文具店计划购进套春联，“手写春联”进价元套，“印刷春联”进价元套． (1)若小颖家购进这批春联共用了元，求“手写春联”和“印刷春联”各购进了多少套； (2)若购进“手写春联”不能少于“印刷春联”的倍，且购进的总费用最低，应如何选购？ (3)若采取（）中的选购方案，且均按元套的价格全部售出，请计算出此次盈利情况． 【答案】(1)“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套； (2)“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套时购进的总费用最低； (3)此次盈利元． 【分析】（）设“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套，根据题意得，然后解方程组即可； （）设购进的总费用为元，“手写春联”购进了套，则“印刷春联”购进了套，由题意得，又由购进“手写春联”不能少于“印刷春联”的倍，求得，再通过一次函数的性质即可求解； （）根据题意得此次盈利为，然后通过有理数运算法则即可求解． 【详解】（1）解：设“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套， 根据题意得：， 解得：， 答：“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套； （2）解：设购进的总费用为元，“手写春联”购进了套，则“印刷春联”购进了套， 由题意得：， ∵购进“手写春联”不能少于“印刷春联”的倍， ∴，解得：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，最小， 此时“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套； （3）解：由（）得：“手写春联”购进了套，“印刷春联”购进了套， ∴此次盈利 （元）， 答：此次盈利元． 17．（2026·云南保山·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为深入推进乡村振兴战略，助力乡村产业发展，某合作社推出云南特色苹果销售业务，主营甲、乙两个品种的苹果． 素材一 2箱甲种苹果和1箱乙种苹果的售价之和为280元； 素材二 3箱甲种苹果和2箱乙种苹果的售价之和为460元； 素材三 某公司计划从该合作社购买甲乙两种苹果共200箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果箱数的3倍． 请完成下列任务： (1)每箱甲种苹果，每箱乙种苹果的售价分别是多少元？ (2)给出该公司最节省费用的购买方案． 【答案】(1)每箱甲种苹果售价100元.每箱乙种苹果售价80元 (2)最节省费用的购买方案为购买甲种苹果50箱，乙种苹果150箱 【分析】（1）设每箱甲种苹果的售价是元，每箱乙种苹果的售价是元，根据题中的等量关系，列出方程组，求解即可； （2）设购买甲种苹果箱，总费用为元，则购买乙种苹果箱，先根据题意，列出不等式，得，再根据题意得，最后根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设每箱甲种苹果的售价是元，每箱乙种苹果的售价是元， 由题可列，， 解得， 则每箱甲种苹果售价100元.每箱乙种苹果售价80元； （2）解：设购买甲种苹果箱，总费用为元，则购买乙种苹果箱， ，解得， ， ，随的增大而增大， 当时，取得最小值，则， 该公司最节省费用的购买方案是购买甲种苹果50箱，乙种苹果150箱． 18．（2026·黑龙江绥化·二模）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．端午节前夕，某超市打算购进甲、乙两种畅销的粽子，已知购进2箱甲种粽子和1箱乙种粽子需用128元；购进1箱甲种粽子和4箱乙种粽子需用176元． (1)求甲种粽子每箱的进价和乙种粽子每箱的进价各是多少元； (2)超市计划用不超过7680元的资金购进甲、乙两种粽子共200箱，其中甲种粽子的数量不低于乙种粽子数量的，则超市共有几种购进方案？当购进两种粽子各多少箱时，所需资金最少？最少资金是多少元？ (3)该超市租用大、小两辆货车运输粽子，两车同时出发，途经休息区时大货车休息1小时后加速行驶，而小货车没有休息继续原速行驶，结果大货车比小货车早到达超市0.5小时，大、小两车离出发地的路程（单位：千米）与小货车出发的时间（单位：小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： ①大货车休息前的速度为__________千米∕时；小货车的速度为__________千米∕时； ②请直接写出小货车出发多少小时两车相距30千米． 【答案】(1)甲种粽子每箱进价元，乙种粽子每箱进价元 (2)共6种方案，购进甲种粽子75箱，乙种粽子125箱时，所需资金最少为元 (3)①75，60；②出发，3，小时 【分析】（1）设甲种粽子每箱的进价是x元，则乙种粽子每箱的进价是y元，根据题意可得二次方程，解方程即可； （2）设购进甲种粽子m箱，则购进乙种粽子箱，根据题意可得关于m的一元一次不等式组，解不等式组可得m的取值范围，m取整数即可得购进方案；设所需资金为W，根据题意得：，根据一次函数的性质求最小值即可； （3）①根据甲车出发2小时，甲车的路程为150千米，乙车出发2.5小时，乙车的路程为150千米，利用路程除以时间，即可得解； ②先根据图象求出大货车休息后的速度，再分三种情况：大货车休息前；大货车休息后再次出发前；大货车再次出发后；分别列方程求解． 【详解】（1）解：设甲种粽子每箱的进价是x元，则乙种粽子每箱的进价是y元． ， 解得， 答：甲种粽子每箱的进价是48元，乙种粽子每箱的进价是32元； （2）解：设购进甲种粽子m箱，则购进乙种粽子箱， ， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以取75，76，77，78，79，80， ∴该商店有6种进货方案； 设所需资金为W元，根据题意得： ， ∵， ∴时，所需资金W最小， 此时，， 答：购进甲种粽子75箱，乙种粽子125箱时，所需资金最少为元； （3）解：①根据题意，得： 大货车休息前的速度为千米/时； 小货车的速度为千米/时； ②当时，大货车开始休息； 当时，大货车休息后再次出发； 小货车到达超市时间，大货车到达超市时间， ∴大货车休息后的速度为千米/时； 大货车休息前： ∵两车相距30千米， ∴， 解得：； 大货车休息后再次出发前： ， 解得：； 大货车再次出发后，大货车行驶与起点的距离 ∴， 解得：或； 即出发2小时或3小时或小时两车相距30千米． 19．（2026·湖北鄂州·模拟预测）近年来，我国人形机器人不断取得新的突破，许多中学生也在心中种下了一个科技梦．某玩具店有A，B两款热销的机器人玩具，若购买1个A款机器人玩具和2个B款机器人玩具共花费270元，购买2个A款机器人玩具比购买1个B款机器人玩具多花费140元． (1)求A，B两款机器人玩具的单价； (2)某机器人社团计划购买A，B两款机器人玩具共14个（两款都购买），恰逢该玩具店周年店庆，A款机器人玩具打八折，B款机器人玩具打九折． ①若预算不超过1200元，则最多购买A款机器人玩具多少个？ ②若购买A款机器人玩具的数量不少于B款机器人玩具的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)A款机器人玩具的单价为110元，B款机器人玩具的单价为80元． (2)①最多购买A款机器人玩具12个；②当购买A款机器人玩具11个，则购买B款机器人玩具3个最省钱． 【分析】（1）设A款机器人玩具的单价为x元，B款机器人玩具的单价为y元，根据题中的等量关系列方程组求解即可； （2）①设购买A款机器人玩具m个，则B款机器人玩具个，再根据“预算不超过1200元”列不等式解题即可；②设购买A款机器人玩具n个，则B款机器人玩具个，列不等式求出n的取值范围，然后取整数设计方案即可． 【详解】（1）解：设A款机器人玩具的单价为x元，B款机器人玩具的单价为y元， 由题意得：，解得：， 答：A款机器人玩具的单价为110元，B款机器人玩具的单价为80元． （2）解：①设购买A款机器人玩具m个，则B款机器人玩具个， 由题意得：， 解得：， ∵m取正整数， ∴m的最大值为12， 答：最多购买A款机器人玩具12个． ②设购买A款机器人玩具n个，则B款机器人玩具个， 由题意得：，解得：， ∴， ∵n取正整数， ∴n可取的值为11，12，13， 方案一：购买A款机器人玩具11个，则购买B款机器人玩具3个； 总费用：元； 方案二：购买A款机器人玩具12个，则购买B款机器人玩具2个； 总费用：元， 方案三：购买A款机器人玩具13个，则购买B款机器人玩具1个； 总费用：元， ∵， ∴当购买A款机器人玩具11个，则购买B款机器人玩具3个最省钱． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 方程与不等式方案选择热点 （方程组、一元二次、分式、不等式等方案综合）有关的5类核心题型 目录 第一部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向 第二部分 方法建模 构建方法体系，提供通用工具 【结论背记清单】 方法一 二元一次方程组+不等式方案求解及技巧 方法二 一元二次方程应用问题解题技巧 方法三 分式方程问题解题技巧 方法四 方案选择问题解题技巧 第三部分 题型专攻 实施靶向训练，提升应试效率。 【题型01】二元一次方程组+不等式方案 【题型02】一元二次方程应用问题 【题型03】分式方程问题 【题型04】方案选择问题 第四部分 答题实战 检验学习成效，锤炼应用能力 1. 考向聚焦（精炼概括本专题在中考中的核心考查方向与价值） 核心考向1：基础应用（必考点，基础档）—— 侧重一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）的直接应用，载体为简单实际情境（如计费、采购、配套问题），考查方程/不等式求解，是基础得分点。 核心考向2：方案设计（核心档，高频）—— 结合二元一次方程组+一元一次不等式（组），求解符合条件的所有可行方案，侧重“整数解”限制（如人数、件数），是中考中档题核心题型。 核心考向3：最优方案选择（压轴过渡，高频）—— 结合一次函数（利润、成本、运费等），在可行方案中求最值（最大利润、最小成本），本质是“方程/不等式定范围，一次函数定最值”，贴合中考“数学建模”核心素养。 共性考向：均以“实际情境建模”为核心，设问分层（求解→列方案→选最优），情境贴近生活，侧重运算能力与应用意识，难度适中，是基础与中档题的重要得分模块。 2. 思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板） 瓶颈1：建模能力薄弱，不会将实际情境中的“等量关系”“不等关系”转化为方程/不等式，找不到解题的核心数量关系（如配套问题中的比例关系、计费问题中的分段标准）。 瓶颈2：忽略取值限制，忘记方案问题中自变量的实际意义（如整数、非负、取值范围），导致求出的解不符合题意，或遗漏可行方案。 瓶颈3：最优方案判断失误，不会结合一次函数的增减性判断最值，或混淆“最大”“最小”需求，甚至忽略不等式限定的范围，直接套用函数最值。 瓶颈4：运算与细节失误，解方程/不等式时计算出错，或在列方案、比较方案时遗漏关键条件，导致最终方案或最值判断错误。 结论背记 一、核心基础公式（解题地基，必背） （一）方程基础公式（必考，求未知量核心） 1. 一元一次方程（最基础，所有方案题均会用到） 一般形式：（） 求解公式（万能）： 核心应用：求单一未知量（如单价、数量、速度、进价等），是方案题的第一步（求基础量）。 1. 二元一次方程组（高频，求两个关联未知量） 一般形式：（） 求解方法（中考常用）： 代入消元法：由一个方程得，代入另一个方程，转化为一元一次方程求解； 加减消元法：将两个方程同乘适当系数，消去一个未知数，转化为一元一次方程求解。 核心应用：求两个关联量（如两种商品的单价、两种产品的产量、两种车型的数量等）。 1. 分式方程（中考低频，部分地区考，需注意验根） 一般形式：（，为整式） 求解关键：两边同乘最简公分母，转化为整式方程求解，验根（确保分母不为0，实际方案中需符合题意）。 核心应用：行程问题、工程问题（涉及“速度、时间、路程” “工作效率、工作时间、工作量”）。 1. 一元二次方程（拓展，方案最值偶尔考） 一般形式：（） 求解公式（万能）：（） 核心应用：利润最值、产量最值（结合二次函数，拓展考点）。 （二）不等式（组）基础公式（定范围，筛选方案核心） 1. 一元一次不等式（组） 1. 一元一次不等式一般形式：（或、、，） 1. 求解原则：不等式两边同乘（除）正数，不等号方向不变；同乘（除）负数，不等号方向改变。 1. 一元一次不等式组：由两个或多个一元一次不等式组成，解集为各不等式解集的公共部分（中考必考：求整数解）。 1. 核心应用：确定未知量的取值范围（如数量不能为负、成本不超过预算、产量满足需求等），为方案筛选提供依据。 （三）实际应用核心等量关系（方案题灵魂，必背） 1. 利润相关（中考最高频）： 单件利润=售价-进价（成本）； 总利润=单件利润×销售量=总售价-总成本； 利润率=单件利润进价。 1. 购买/采购相关： 总费用=单件费用×数量； 两种商品总数量=第一种数量+第二种数量； 总预算≥总费用（或≤总费用，根据题意确定）。 1. 生产相关： 总产量=单一产品产量×生产时间； 材料消耗总量=单件材料消耗量×产量； 生产时间≤总工时（或≥最低产量要求）。 1. 行程/工程相关： 路程=速度×时间； 工作量=工作效率×工作时间（通常将总工作量看作1）。 二、万能公式&拓展公式（中考解题神器，全国通用） （1） 通用万能公式（所有方案题均适用） 1.方案建模万能公式： 第一步（求基础量）：设未知数→列方程（组）→求解未知量（单价、效率、进价等）； 第二步（定范围）：根据题意列不等式（组）→求解解集→筛选符合实际意义的整数解（方案数）； 第三步（选最优）：将整数解代入目标表达式（总利润、总费用等）→对比大小→确定最优方案。 2.整数解筛选万能公式： 先求不等式组的解集（如）； 提取解集中的整数（为正整数，结合实际意义：数量、件数、人数等不能为负、不能为小数）； 若有多个整数解，则对应多个方案，逐一验证最优。 （二）分场景万能公式（中考高频场景，直接套用） 场景1：购买方案（中考必考，基础中档） 1.模型识别：题干涉及“两种及以上商品、采购预算、数量要求”，求可行采购方案及最优方案（最低费用）。 2.万能公式： 设未知数：设购买第一种商品件，第二种商品件（或件，简化计算）； 列方程（组）：根据“总数量” “总费用初步关系”列方程，求单价或数量关系； 列不等式：单价单价预算（或≥最低费用），结合、（为整数）； 最优方案：总费用单价单价，根据一次函数增减性（正负），确定取值，求最低。 场景2：利润方案（中考高频，中档压轴） 1.模型识别：题干涉及“进价、售价、销售量、利润要求”，求可行销售方案及最优方案（最大利润）。 2.万能公式： 设未知数：设销售量为件（或涨价/降价元）； 列方程：若已知利润求销量，售价进价总利润； 列不等式：最低销售量（或售价≤最高定价、进价≥最低成本）； 最优利润：总利润售价进价（一次函数）或售价进价销量（二次函数），结合取值范围求最值。 场景3：生产方案（中考高频，中档） 1.模型识别：题干涉及“两种及以上产品、生产工时、材料消耗、产量要求”，求可行生产方案及最优方案（最低成本/最高产量）。 2.万能公式： 设未知数：设生产第一种产品件，第二种产品件； 列不等式组：工时工时总工时，材料材料总材料，、（、为整数）； 最优方案：总费用成本成本（求最低）或总产量（求最高），代入整数解对比。 场景4：计费方案（中考高频，基础） 1.模型识别：题干涉及“两种及以上计费方式（分段计费、套餐计费）”，求不同用量下的最优计费方案。 2.万能公式： 设未知数：设用量为（如用电量、用水量、通话时长）； 列表达式：分别写出两种计费方式的总费用、（分段函数）； 列不等式：分别求解、、的范围； 最优方案：根据的实际取值，选择对应费用最低的计费方式。 场景5：分式方程+不等式方案（拓展，拉分点） 1.模型识别：行程、工程问题，涉及“速度、时间、工作量”，结合不等式求方案。 2.万能公式： 列分式方程：路程速度路程速度总时间（行程）；工作量效率工作量效率总时间（工程）； 验根：确保分母不为0，且解符合实际意义（速度、时间为正）； 列不等式：根据“时间≤规定时间” “效率≥最低效率”确定取值范围，筛选方案。 （2） 拓展公式（中考压轴专用，拉分点） 1.一次函数+不等式最优方案公式： 若目标函数（），为整数，且在范围内； 当时，取最大值，最大；取最小值，最小； 当时，取最小值，最大；取最大值，最小。 2.二次函数+不等式最值公式： 目标函数（），为整数，且在范围内； 当时，顶点在范围内，最小值为顶点纵坐标；顶点不在范围内，取离顶点最近的整数求最值； 当时，顶点在范围内，最大值为顶点纵坐标；顶点不在范围内，取离顶点最近的整数求最值。 3.多变量方案筛选公式：当有3种及以上商品/产品时，优先设一个未知数，用含未知数的式子表示其他量，减少变量，再列不等式组求解。 技法归纳 方法一 二元一次方程组+不等式方案求解及技巧 先设未知数，列二元一次方程组求出关键常量；再根据限制条件列不等式组，求出取值范围，结合实际整数要求，筛选列举出所有可行方案。 例题1 （2026·广西·一模）某非遗文创工坊生产两种壮乡特色手工艺品：壮锦挂件与铜鼓摆件．已知生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元；生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元． (1)每个壮锦挂件、铜鼓摆件的生产成本各是多少元？ (2)该工坊计划一批订单共生产这两种手工艺品个，要求铜鼓摆件的数量不超过壮锦挂件数量的倍．设生产壮锦挂件个，总利润为元．已知每个壮锦挂件利润为元，每个铜鼓摆件利润为元． 求与的函数关系式； 如何安排生产可获得最大利润？最大利润是多少元？ 例题2 （2026·湖南长沙·一模）为满足学生的运动需求，充分发挥课间15分钟的价值，学校计划购置一批羽毛球拍和跳绳若干套．已知购买1副羽毛球拍和4根跳绳共需140元，购买2副羽毛球拍和3根跳绳共需205元． (1)求每副羽毛球拍、每根跳绳的单价； (2)商家活动：羽毛球拍打八折，跳绳不打折．根据学校需求，计划购买两种器材共60件，且羽毛球拍数量不少于跳绳数量的．应如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 例题3 （2026·江西宜春·一模）为落实教育部2026年人工智能进中小学课标、教学、评价的部署，推进探究式科学教育，激发学生好奇心与创新实践能力，某校计划采购A、B两类科学实验套装，助力学生在实践中提升科技素养．已知购买1件A种实验器材与2件B种实验器材共需要500元，购买2件A种实验器材与3件B种实验器材共需要850元． (1)求A种实验器材和B种实验器材的单价； (2)该学校计划购买A种实验器材和B种实验器材共180件，总费用不超过30000元，那么最多能购买A种实验器材多少件？ 方法二 一元二次方程应用问题解题技巧 审题梳理等量关系，设未知数列出一元二次方程求解；求出根后结合实际场景（人数、长度、价格、增长率等），舍去负数和不符合题意的解，常考面积、利润、增长率问题。 例题1 （2025·四川广元·一模）某花卉种植园原计划培育个品种的月季，一个品种平均培育株幼苗．现准备多培育几个品种的月季以扩大育苗总量，试验发现，每多培育个品种的月季，每个品种平均培育的幼苗数量就会减少株，而且多培育的品种数量不能超过个． (1)如果要使幼苗总量增加，那么应多培育多少个品种的月季? (2)应多培育多少个品种的月季，幼苗的总量才会达到最大值?求出这个最大值． 例题2 （2026·安徽宣城·二模）综合与实践如何利用闲置纸板箱制作储物盒根据以下素材，完成探索任务． [素材1]小翼想把家中一个长，宽的区域作为自己的储物空间，用于放置自己的私人物品． [素材2]如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为的长方形纸板．    [素材3]小翼分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作成储物盒． 纸板①的制作方式：在四个角上裁去4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒，如图①；纸板②的制作方式：将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒，如图②．    [任务1]熟悉材料 (1)按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的值为________． 利用任务1计算所得的数据a，进行进一步的探究 [任务2]初步应用 (2)按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． [任务3]储物收纳 (3)按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． (4) 例题3 （2026·辽宁大连·一模）2026年某市开展数码产品购新消费补贴活动．补贴范围：个人消费者购买不超过6000元的全新指定品类数码商品，按照商品销售价格的进行一次性立减补贴，最高补贴500元． (1)受购新消费补贴活动影响，指定数码产品供销两旺．某数码经销商一月份的销售额为80万元，三月份的销售额为96.8万元，求该经销商销售额的月平均增长率； (2)一位消费者在购买手机时，获得了500元的补贴，则这部手机的价格最低为多少元（结果保留整数）？ 方法三 分式方程问题解题技巧 依据题意找等量关系列分式方程，去分母化为整式方程求解；必须两步检验：先检验是否为分式增根，再检验结果是否符合实际生活意义。 例题1 （2025·山西长治·一模）随着2025春晚的广泛传播，2025春晚吉祥物和相关产品迅速走红．某商店购进的2025蛇年吉祥物——“巳升升”树脂小摆件和“春碗”套装——如意春晚骨瓷碗销量大增．已知一套“春碗”套装比一件吉祥物贵150元，商店第一次购进“春碗”套装的数量是吉祥物数量的，且商店购买“春碗”套装和吉祥物的费用都是4000元． (1)分别求每件吉祥物和每套“春碗”套装的进价． (2)为满足市场需求，商店准备第二次购入“春碗”套装和吉祥物共500件，且购入“春碗”套装的数量不超过吉祥物数量的2倍．若进价不变，每件吉祥物与每套“春碗”套装的售价分别为65元，220元，则分别购入吉祥物和“春碗”套装多少件时，商店获得利润最高？ 例题2 （2025·贵州·模拟预测）喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 例题3 （2025·重庆·模拟预测）小王来到“魔幻城市”——重庆出差，顺便打卡了各大网红景点，品尝了各种美食，深深地爱上了重庆火锅，于是他准备在返程时购买一些火锅底料．经比较，小王准备购买两款火锅底料，在某商店了解价格时，小王发现每袋款火锅底料的标价比每袋款火锅底料的标价多4元，若只购买一款火锅底料，则用400元购买款火锅底料的袋数与用500元购买款火锅底料的袋数相同． (1)求每袋款火锅底料和每袋款火锅底料的标价分别为多少元． (2)小王原计划购买10袋款火锅底料和10袋款火锅底料．在购买时，该商店正好开始周年庆活动，两款火锅底料均有优惠．其中款火锅底料在标价的基础上每袋降价元，款火锅底料在标价的基础上每袋打六折，于是小王决定多买一些火锅底料送给亲朋好友品尝．最终小王比原计划多购买了袋款火锅底料和袋款火锅底料，付款时，他发现自己购买的所有款火锅底料比所有款火锅底料多花费40元，求的值． 方法四 方案选择问题解题技巧 分别列出每种方案的费用、利润关系式，利用作差比较、不等式对比或一次函数增减性，分类讨论取值范围，从而选出最省钱、收益最大的最优方案。 例题1 （2026·贵州遵义·一模）2026年春晚，银河通用“小盖”、魔法原子“送餐员”等智能机器人展现了强大的分拣与配送能力．某物流中心借鉴春晚技术，引入A、B两类智能分拣机器人来处理该物流中心包裹的分类．已知2台A型机器人每小时的总分拣量是3台B型机器人每小时的总分拣量，1台A型机器人和2台B型机器人每小时共分拣3500件包裹． (1)求A、B两类机器人每小时分别分拣多少件包裹？ (2)该物流中心计划用不超过26万元购买两种智能分拣机器人共10台，且确保每小时的总分拣量不少于12000件，已知A类机器人每台3万元，B类机器人每台2万元，则该物流中心有几种投入方案？ 例题2 （2026·广东深圳·二模）综合与实践 年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元； 5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次； 每台人形机器人每日可服务观众280人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决 (1)求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ (2)采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 例题3 （2026·云南文山·一模）仔细阅读下表中的内容，据表中信息完成任务一和任务二． 背景 某学校计划购入A，B两款学习机，辅助日常教学，经过市场调研，了解到这两款学习机的相关信息如下： 信息一： ①购买3台A款学习机和4台B款学习机共需6200元； ②购买2台A款学习机和8台B款学习机共需8400元． ☆任务一 (1)求每台A款学习机，每台B款学习机的价格； 信息二 该校决定购买这两款学习机共50台，配备给部分班级作教学实验，两款都要购买，且购买B款学习机的数量不超过A款的1.5倍． ☆任务二 (2)请为该校提供最省钱的购买方案． 【题型01】二元一次方程组+不等式方案（共5题） 1．（2026·河南周口·模拟预测） 背景 校体艺文化周期间，小艾所在的班级也开展各种竞赛活动，需要去商店购买A、B两种款式的运动徽章作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15枚A款徽章、10枚B款徽章，共需230元；若买25枚A款徽章、25枚B款徽章，共需450元． 素材2 该商店搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的八折出售（已知小艾在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的九折出售且包邮． 问题解决： (1)某商店在无促销活动时，求A款徽章和B款徽章的销售单价各是多少元？ (2)小艾计划在促销期间购买A、B两款徽章共40枚，其中A款徽章t枚（），若在线下商店购买，共需要______元；若在线上淘宝店购买，共需要______元．（均用含t的代数式表示） (3)请你帮小艾算一算，在（2）的条件下，两种购买方式只能选一种，请问选择哪种购买方式更合算？ 12．（2026·云南·一模）请你根据下列素材，完成有关任务， 背景 某文具店计划购进A，B两种品牌的笔袋． 素材一 A品牌笔袋每个进价比B品牌多5元； 素材二 2个A品牌和3个B品牌笔袋共需85元． 请完成下列任务： (1)求A，B两种品牌笔袋的每个进价； (2)该店计划购进两种品牌笔袋共40个，总进价不超过700元，且A品牌笔袋的数量不少于B品牌的一半，求共有几种进货方案． 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）某中学为改善教学条件，计划采购一批智慧教学设备，有A、B两种型号的智能交互一体机可供选择．已知购买2台A型一体机和1台B型一体机共需20000元，购买3台A型一体机和2台B型一体机共需34000元 (1)求A型一体机和B型一体机的单价各是多少元； (2)根据教学需求，该校计划采购A型和B型一体机共20台，且总预算不超过144000元，问最多可购买B型一体机多少台？ 4．（2026·河南周口·一模）河南焦作温县的山药种植历史悠久，所产的“铁棍山药”是享誉全国的地理标志产品．某山药制品专卖店决定采购A，B两种规格的礼盒进行销售，已知关于这两种礼盒的进货信息如下： 信息1：一盒A种礼盒的进价比一盒B种礼盒的进价贵40元； 信息2：用2400元购进的A种礼盒的数量与用1600元购进的B种礼盒的数量相等． (1)求每盒A种礼盒和每盒B种礼盒的进价． (2)为迎接即将举行的河南特色产品展销会，厂家推出优惠活动：每购买一盒A种礼盒，就赠送一盒B种礼盒．已知专卖店计划用于购买礼盒的资金不超过2640元，且B种礼盒的数量比A种礼盒数量的2倍少6盒．设专卖店购买盒A种礼盒．求总费用（元）与之间的函数关系式，并求出最多可以购买多少盒A种礼盒．此时总费用是多少元？ 5．（2026·河南商丘·一模）2026年春晚《武BOT》的机器人功夫表演，震撼世界，也凸显了我国在机器人领域的强大实力．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 3 340 3 1 300 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递24万件； B型机器人每台每天可分拣快递20万件． (1)求A，B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共12台，费用不超过800万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【题型02】一元二次方程应用问题（共5题） 1．（2025·四川绵阳·一模）某文具店购进一批纪念册，每本进价为15元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于30元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为20元时，销售量为34本；当销售单价为24元时，销售量为30本． (1)当文具店每周销售这种纪念册获得224元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ (2)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 2．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．16周岁以下禁止骑电动车，16周岁以上的市民骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低2元，则月销售量将增加20个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ 3．（2026·山东菏泽·一模）某商店经销甲、乙两种商品，已知甲、乙两种商品的进货单价之和是元，甲商品零售单价比进货单价多元，乙商品零售单价比进货单价的倍少元；按零售单价购买甲商品件和乙商品件，共付了元． (1)甲、乙两种商品的零售单价分别为______元和______元；（直接写出答案） (2)该商店平均每天卖出甲乙两种商品各件，经调查发现，甲种商品零售单价每降元，甲种商品每天可多销售件，商店决定把甲种商品的零售单价下降（）元．在不考虑其他因素的条件下，当为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元？ 4．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 5．（2026·广东梅州·模拟预测）某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知米，米，阴影部分为美食摊位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺地毯防污的面积为675平方米． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该美食节共有摊位60个，据调查分析，当每个摊位的日租金为200元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨5元，就会少租出1个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入最多，最大收入是多少元？ 【题型03】分式方程问题（共5题） 1．（2025·云南·模拟预测）2024年春城文化节“阅见春城·读见我心”——“4·23世界读书日暨春城读书日”全民阅读系列活动于4月21日上午在昆明市文化馆正式启动．活动现场，某旅游推荐达人发布“阅享有一种叫云南的生活”昆明市新型公共文化空间CityWalk漫游活动，向市民推介了漫游阅读线路，市民、游客到各新型公共文化空间获取漫游护照，进行漫游打卡集章，集满8个漫游图章，即可领取精美文创礼物一份．主办方制作了A，B两种文创礼品，已知A 种礼品比B种礼品每件制作成本多20元，预算资金为32000元，其中14000元用于制作A种礼品，其余资金制作B种礼品，且B种礼品的数量是A种礼品的2倍．求A，B两种文创礼品的制作成本． 2．（2025·重庆·模拟预测）列方程解应用题：为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经测试，每分钟一名工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少5片，若一名工人采茶6分钟、一台机器人采茶10分钟，共采茶450片． (1)分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数； (2)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采2a片茶叶，工人每分钟比之前多采a片茶叶，这样，一台机器人采1200片茶叶所用的时间是一名工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值． 3．（2025九年级·广西·专题练习）某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件，已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵1元，用400元购买哪吒挂件的个数恰好与用360元购买敖丙挂件的个数相同． (1)求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元； (2)若该批发商计划购进哪吒、敖丙两种挂件共500个，且决定将哪吒挂件以每个14元，敖丙挂件以每个12元的价格对外出售，若要获得总利润为1800元，应购进哪吒、敖丙两种挂件各多少个？ 4．（2025·山东青岛·二模）为培养学生的阅读素养，给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍，现有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高，用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个． (1)求出A，B两种书架的单价； (2)学校采购时恰逢“五一劳动节”促销：A种书架9折优惠．若购进A种书架数量不少于B种书架数量的，请你设计一种方案，怎么购进A、B两种书架，使学校花费最少？ 5．（2025·辽宁大连·模拟预测）为了使贫困同学能顺利读完九年义务教育，丰华中学组织了捐款活动．小华对八年级（1）班和八年级（2）班两班捐款的情况进行了统计，得到如下三条信息： 信息一：八年级（1）班共捐款300元，八年级（2）班共捐款232元． 信息二：八年级（2）班平均每人捐款钱数是八年级（1）班平均每人捐款钱数的． 信息三：八年级（1）班比八年级（2）班多2人． 请你根据以上三条信息，求出八年级（1）班平均每人捐款多少元． 【题型04】方案选择问题（共5题） 1．（2026·黑龙江佳木斯·一模）某商场计划购进甲、乙两种品牌的T恤衫，购进甲品牌的T恤衫件、乙品牌的T恤衫件共需元；购进甲品牌的T恤衫件、乙品牌的T恤衫件共需元． (1)这两种品牌的T恤衫的进价各多少元？ (2)商场决定购进甲、乙两种品牌T恤衫共件，总资金不少于元，且购进甲品牌T恤衫至少件，该商场有哪几种进货方案？ (3)若商场决定将甲品牌T恤衫以每件元出售，乙品牌T恤衫以每件元出售，则全部售出后，（）中的进货方案哪种利润最大？最大利润是多少？ 2．（2026·湖南·模拟预测）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少3元，且用90元购进甲商品的数量与用120元购进乙商品的数量相同． (1)求甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？ (2)若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且乙的数量不超过30个，甲、乙两种商品的售价分别是12元／个和16元／个，将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过350元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 3．（2026·江苏苏州·模拟预测）在一堂化学活动课前，李老师给同学们布置了一个任务：制作A、B两种化学分子的模型，每个化学分子的模型都需要用到小球和塑料管．老师演示了一下，用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个B分子模型，制作一个A分子模型需要的小球、塑料管数量比为，制作一个B分子模型需要的小球、塑料管数量比为，已知每根塑料管价格是每个小球价格的一半． (1)制作一个A，B分子模型分别需要小球、塑料管的数量各是多少？ (2)李老师说道：“上次的活动课上，我花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多了80．今天我路过文具商店的时候，看到了促销广告：‘每购买3个小球赠送1根塑料管，清理库存，数量有限！小球仅剩1760个，塑料管仅剩1404根．’我向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管，全部用来制作化学分子模型，一个模型和一个模型为一套，至少需要制作65套才够用．”要使得购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套，请你们帮老师算一算，有几种采购方案？（要求：根据题意列出方程、不等式解决问题） 4．（2026·广东深圳·模拟预测）学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品．已知购买甲种奖品件和乙种奖品件需花费元，购买甲种奖品件和乙种奖品件需花费元． (1)求甲、乙两种奖品的单价； (2)学校计划购买甲、乙两种奖品共件，其中购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的倍，学校分别购买甲、乙两种奖品各多少件才能使总费用最少？并求出最少总费用． 5．（2026·河南郑州·二模）“九年磨一剑，六月试锋芒”，为助力中考，有效缓解学生的考前压力，某中学九年级学生开展了考前减压团体拓展活动，学校准备了“能量传输”类与“鱼跃龙门”类共个小项目，其中“能量传输”类项目比“鱼跃龙门”类项目数的倍少个． (1)“能量传输”类项目和“鱼跃龙门”类项目各有多少个？ (2)“能量传输”和“鱼跃龙门”两类项目的平均用时分别是分钟、分钟（项目转场时间忽略不计），由于时间的限制，在实际拓展活动时，两种类型的项目只能开展个，且“鱼跃龙门”类项目数多于“能量传输”类项目数的一半，活动应该怎么设计能使得所用的时间最少？ 1．（2025·云南·模拟预测）随着“碳中和”理念普及，校园旧物回收活动愈发火热．某校初三（1）班学生利用课余时间整理可回收废品，发现改进分类方法后，工作效率大幅提高．已知该班同学改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品．请问该班同学改进前每小时整理多少千克废品？ 2．（2022·广东中山·三模）某超市销售两款保温杯，已知款保温杯的销售单价比款保温杯多10元，用1200元购买款保温杯的数量与用960元购买款保温杯的数量相同． (1)、两款保温杯销售单价各是多少元？ (2)由于需求量大，、两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的一半，款保温杯的进价为每个30元，款保温杯的进价为每个35元，若两款保温杯的销售单价不变，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 3．（2026·山西运城·二模）近年来，我国航天事业在多个领域取得了举世瞩目的成就．一家玩具店看准商机，特推出“神舟”和“天宫”模型积木．已知购进3盒“神舟”模型积木和1盒“天宫”模型积木共需210元；购进1盒“神舟”模型积木和2盒“天宫”模型积木共需170元． (1)求每盒“神舟”模型积木和每盒“天宫”模型积木的进价． (2)店家计划再次购进这两种模型积木共40盒，且购进“神舟”模型积木的盒数不少于购进“天宫”模型积木盒数的．在进价和售价不变的情况下，每盒“神舟”模型积木可盈利15元，每盒“天宫”模型积木可盈利18元．店家应如何进货才能获利最大？最大利润是多少？ 4．（2025·辽宁盘锦·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 5．（2026·湖北武汉·一模）学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动．收集信息如下： 信息1：客运公司有，两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，辆型客车载客人数和辆型客车载客人数相同，辆型客车和辆型客车共载客人． 信息2：型客车租车费用固定为元辆；型客车租一辆车的费用为元，每多租一辆，型客车租车单价减少元． 信息3：学校参加实践活动的师生共有人；租用，两种型号客车共辆，其中型客车不少于辆． 问题解决： (1)求，两种型号每辆车满员时的载客人数； (2)设租用型客车（单位：辆），本次实践活动的租车总费用是（单位：元），求与的函数关系式；（租车总费用租用型客车的费用租用型客车的费用） (3)设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，请说明理由． 6．（2026·山西阳泉·一模）某初中八年级1班学生在博物馆进行研学活动，博物馆有人工讲解与智能AI讲解两种讲解服务可供选择，人工讲解每个小组可以请一位讲解员，费用由组员均摊，优点是可以随时与讲解员互动，但价格较高；智能AI讲解需组内每位同学租赁语音导览器，不能互动但价格较低．八年级1班共有7个小组，每组6人．若有4个组选择人工讲解、3个组选择智能AI讲解，所需总费用为1500元；若有2个组选择人工讲解，5个组选择智能AI讲解，所需总费用为1380元． (1)分别求请一位人工讲解员和租赁一个语音导览器的单价； (2)若要求此次讲解的总费用不高于1600元，请问至少有几个组选择智能AI讲解？ 7．（2026·山东聊城·一模）在“助力家乡文旅发展”的综合实践活动中，某校数学兴趣小组的同学们主动为家乡的网红民宿出谋划策．活动中，某小组为家乡的一家民宿设计宣传海报． 素材1 海报原是长、宽的矩形，为了贴在民宿的接待区墙面更美观，学生们决定给海报加一个“上下左右宽度相等”的边框，且添加边框后的整个图形的面积为． 素材2 这家民宿共有30间客房．学生们协助民宿老板做定价调研：旅游旺季时，若客房定价为190元/天，所有客房都会住满；每将定价提高10元，就会空出1间客房．另外，对于有人入住的客房，民宿要给每间客房每天花费20元的用品费．现设每间客房的定价提高了x元．（x是10的整数倍） (1)任务1：求民宿宣传海报四周所加边框的宽； (2)任务2：要使这家民宿每天纯收入最大，且让老板节省人力，则每间客房的定价应为多少元？ 8．（2025·山西·一模）2024年1月上旬，太原市城市轨道交通1号线一期工程首列车在中车大连公司正式下线．为保障轨道交通1号线的顺利通车，某工厂加急生产一批零件，需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务．求实际每天生产的零件个数和实际完成任务的天数． 9．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 10．（2025·广东深圳·三模）某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 11．（2025·贵州遵义·模拟预测）某科技公司专注于无人机的研发与生产．公司计划升级生产设备以提高无人机产量．新设备的安装调试需要一定时间，在此期间，旧设备持续生产，已知旧设备生产200架无人机所用时间与新设备生产300架无人机所用时间相同．新设备每天比旧设备多生产20架无人机． (1)求新、旧设备每天分别生产多少架无人机？ (2)该公司生产的某型号民用无人机投入市场后，经过市场调研发现，当每架无人机售价定为x元时，每月的销售量y（架）与售价x（元）之间满足函数关系．已知每架无人机的成本为200元，每架无人机应如何定价，才能使利润最大？最大利润是多少？ 12．（24-25八年级上·重庆江北·期末）为了提高学生的体育活动参与度，增强学生的身体素质，某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室．学校预算资金为1900元，且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的倍．若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件． (1)分别求出A型和B型运动器材每件的价格； (2)购买当日恰逢促销，A型运动器材按原价的八折销售．已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，那么该学校共有哪些不同的购买方案？ 13．（2026·江苏无锡·一模）某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． (1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 14．（2025·贵州遵义·一模）一部名为《南京照相馆》的电影于7月25日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习： 〖素材1〗某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9万元． 〖素材2〗某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天售出200本．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本． 问题解决： (1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？ (2)根据素材2，使每天销量达到400本时，应降多少元？ (3)根据素材2，商家每天固定成本为300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？ 15．（2025·四川雅安·中考真题）为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚．小强家也在墙上安装了一伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高为． (1)如图2，墙上有一扇窗户（），某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚的宽度为，此时______． (2)如图3，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角，被遮挡形成的阴影，则展开后的遮阳棚______．（参考数据：，，） (3)小强的爸爸准备将房后一块长，宽的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路（如图4），并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为，求x的值． 16．（2026·河南周口·模拟预测）春联承载着中国人对新一年的美好祝愿和期盼．年马年来临之前，小颖家的文具店计划购进套春联，“手写春联”进价元套，“印刷春联”进价元套． (1)若小颖家购进这批春联共用了元，求“手写春联”和“印刷春联”各购进了多少套； (2)若购进“手写春联”不能少于“印刷春联”的倍，且购进的总费用最低，应如何选购？ (3)若采取（）中的选购方案，且均按元套的价格全部售出，请计算出此次盈利情况． 17．（2026·云南保山·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为深入推进乡村振兴战略，助力乡村产业发展，某合作社推出云南特色苹果销售业务，主营甲、乙两个品种的苹果． 素材一 2箱甲种苹果和1箱乙种苹果的售价之和为280元； 素材二 3箱甲种苹果和2箱乙种苹果的售价之和为460元； 素材三 某公司计划从该合作社购买甲乙两种苹果共200箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果箱数的3倍． 请完成下列任务： (1)每箱甲种苹果，每箱乙种苹果的售价分别是多少元？ (2)给出该公司最节省费用的购买方案． 18．（2026·黑龙江绥化·二模）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．端午节前夕，某超市打算购进甲、乙两种畅销的粽子，已知购进2箱甲种粽子和1箱乙种粽子需用128元；购进1箱甲种粽子和4箱乙种粽子需用176元． (1)求甲种粽子每箱的进价和乙种粽子每箱的进价各是多少元； (2)超市计划用不超过7680元的资金购进甲、乙两种粽子共200箱，其中甲种粽子的数量不低于乙种粽子数量的，则超市共有几种购进方案？当购进两种粽子各多少箱时，所需资金最少？最少资金是多少元？ (3)该超市租用大、小两辆货车运输粽子，两车同时出发，途经休息区时大货车休息1小时后加速行驶，而小货车没有休息继续原速行驶，结果大货车比小货车早到达超市0.5小时，大、小两车离出发地的路程（单位：千米）与小货车出发的时间（单位：小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： ①大货车休息前的速度为__________千米∕时；小货车的速度为__________千米∕时； ②请直接写出小货车出发多少小时两车相距30千米． 19．（2026·湖北鄂州·模拟预测）近年来，我国人形机器人不断取得新的突破，许多中学生也在心中种下了一个科技梦．某玩具店有A，B两款热销的机器人玩具，若购买1个A款机器人玩具和2个B款机器人玩具共花费270元，购买2个A款机器人玩具比购买1个B款机器人玩具多花费140元． (1)求A，B两款机器人玩具的单价； (2)某机器人社团计划购买A，B两款机器人玩具共14个（两款都购买），恰逢该玩具店周年店庆，A款机器人玩具打八折，B款机器人玩具打九折． ①若预算不超过1200元，则最多购买A款机器人玩具多少个？ ②若购买A款机器人玩具的数量不少于B款机器人玩具的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $