精品解析：四川成都市2025-2026学年度(下)模拟考试 九年级数学

2025-2026学年度（下）模拟考试九年级数学 注意事项： 1．全套试卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，请考生将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方，考试结束，监考人员将答题卡收回． 3．选择题部分使用2B铅笔填涂；非选择题部分使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 以下4个数中，最小的数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用有理数大小比较规则即可求解，规则为正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的数更小． 【详解】解：∵正数大于一切负数， ∴正数和一定大于负数和， 又∵，，且， ∴， ∴四个数中最小的数是． 2. 如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：它的俯视图是 3. 2026年1月23日，成都市统计局、国家统计局成都调查队联合发布2025年成都经济运行情况．数据显示，2025年，全市地区生产总值为亿元，比上年增长．其中数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中 ， 为整数，据此求解即可． 【详解】解：∵亿， ∴． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类项定义、合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项正确，符合题意． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都相等 B. 矩形的对角线相互垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查特殊平行四边形的性质，根据各图形的性质逐一判断选项正误即可得到答案． 【详解】解：∵菱形的对角相等、邻角互补，四个内角不都相等， ∴A错误； ∵矩形的对角线相等但不互相垂直，∴B错误； ∵正方形的每一条对角线平分一组对角，符合正方形的性质，∴C正确； ∵平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，∴D错误． 6. 如图，正五边形 内接于 ，连接，，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正五边形的性质求出圆心角的度数，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图： ∵五边形是正五边形， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 故选：D． 7. 现有大、小两种容器共20个，每个大容器容积为40升，每个小容器容积为30升，现有液体720升，将液体全部装入容器中，容器空余的容量恰为20升．问应配置大容器多少个，才符合要求？设配置大容器 个，根据题意列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得小容器数量为个，再根据“每个大容器容积为40升，每个小容器容积为30升且现有液体720升，将液体全部装入容器中，容器空余的容量恰为20升”进行列方程即可． 【详解】解：∵设大容器有 个，且总共有20个容器， ∴小容器数量为个， ∵每个大容器容积为40升，每个小容器容积为30升， ∴大容器总容积：升，小容器总容积：升， ∴所有容器的总容积为：升， 根据题意得，． 8. 已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的图象和反比例函数的图象经过的象限，判断出a、b、c的符号，进而确定二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点的位置，再结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴二次函数 的图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴二次函数 的图象与y轴交于负半轴， ∴四个函数图象中，只有A选项中的函数图象符合题意． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴ 解得： 10. 某学校美术课期末综合成绩由平时作业成绩、上课表现成绩以及期末测评成绩组成，分别占比 ，其中平时作业80分，上课表现90分，期末测评95分，最终期末综合成绩为______分． 【答案】 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，进行计算即可． 【详解】解：最终期末综合成绩为：（分） 11. 如图，反比例函数与一次函数交于点，点 ，若，，当时， 的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】由图像可知，反比例函数 与一次函数 交于 、 两点； 即一次函数图像在反比例函数图像下方，结合图像直接读出   的取值范围． 【详解】解：由图像，反比例函数 （ ， ）与一次函数 交于点 ， 观察图像，当  时，一次函数图像在反比例函数图像下方，即 ； 当   时，一次函数图像在反比例函数图像上方，即 ​； 当  时，一次函数图像在反比例函数图像下方，即 ​；  当 ​ 时， 的取值范围是 或 ． 12. 如图，和是以 为位似中心的位似图形，已知的面积为1，，则的面积为______． 【答案】 4 【解析】 【分析】由位似图形的性质，位似比等于对应点到位似中心的距离之比；由 得 ，即位似比为  ；位似图形面积比等于位似比的平方，从而求出   的面积． 【详解】解：和  是以  为位似中心的位似图形， ，且位似比为 ， ， ，  位似比 ​， 位似图形面积比等于位似比的平方， ​， ， ． 13. 如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以 为圆心，小于 长为半径作弧，分别交线段 ，于点 ，；②分别以 ，为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点 （ 在平行四边形内），连接交于 ，若，，则平行四边形的周长为______． 【答案】16 【解析】 【分析】由作图步骤知  是 的角平分线；由平行四边形性质  得 ；结合角平分线得 ，从而 ；再由 求出 ，进而求周长． 【详解】解：由作图可知，是  的角平分线，， ∵四边形 是平行四边形， ， ，， （两直线平行，内错角相等）， ， （等角对等边）， ， ， ， ，  平行四边形  的周长 ． 三、解答题（共48分） 14. 计算与解不等式组 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 由①得，； 由②得， ， ∴原不等式组的解集为 ． 15. 某校开展各项体育比赛后，同学们的运动热情高涨，因此学校拟开设，A：足球，B：排球，C：篮球，D：乒乓球4个项目供学生开展体育活动并安排相关教师进行指导，随机调查了部分同学的爱好（每人只选一项运动）．把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息解决以下问题： （1）本次调查共抽取了______名学生，其中爱好篮球的人数有______名学生； （2）在扇形统计图中，求爱好乒乓球对应的圆心角度数； （3）该校3000人，根据调查结果，请你估计喜欢足球和排球的学生共有多少名？ 【答案】（1）， （2） （3） 名 【解析】 【分析】（1）由A的人数除以占比求解抽取的总人数，再由总人数乘以C的占比求解爱好篮球的人数； （2）用乘以爱好乒乓球的占比即可求解圆心角； （3）用样本估计总体整体的方法求解即可． 【小问1详解】 解： （名）， （名）， ∴本次调查共抽取了名学生，其中爱好篮球的人数有名学生； 【小问2详解】 解：爱好乒乓球对应的圆心角度数为 ； 【小问3详解】 解：样本中爱好排球的人数为： （名）， ∴（名） 答：估计喜欢足球和排球的学生共有 名． 16. 九天楼位于成都市塔子山公园浅丘顶部，原名散花楼，始建于隋末，由蜀王杨秀建造，后湮没无存．1995年启动重建工程，1997年竣工，其名取自李白《登锦城散花楼》诗句“如上九天游”．小明同学学习了综合实践课程后，决定利用所学知识与技能测量塔子山公园的九天楼高度．首先利用无人机飞到距地面106米（米）点C处，此时测得塔顶A的俯角为 ，无人机向后退米（米）到点 ，此时测得塔顶A的俯角为，已知、 、 在同一水平直线上， 于，求九天楼高度（即 的长）．（，，， ） 【答案】九天楼高度为70米 【解析】 【分析】设九天楼高度 米，得．在两个直角三角形中，由、分别表示、 ，根据无人机向后退米到点 ，列方程，求解即可． 【详解】解：设九天楼高度 米， ∵无人机高度米， ∴塔顶到无人机水平线的垂直距离为：米， ∵ ， ∴和均为直角三角形， ∵在C处俯角为 ，即， ∴， ∴ ， ∵在D处俯角为，即， ∴， ∴， 由题意得，（米）， ∴ 解得． 17. 如图， 为直角三角形， ，，，以 为圆心，为半径作圆， 交于点 ，延长 交 于 ，连接．将沿直线 翻折，点 的对应点 落在 上，连接，交 于点，连接． （1）求证： ； （2）求线段的长与的值． 【答案】（1） 解：由翻折的性质可知， ， ． 点C，O，A在同一直线上， ， ． ， ， ， 又， ， ． ； （2）线段的长为，的值为 【解析】 【分析】（1）由翻折性质得 ，故 ．结合 、 ，通过角度推导得 ，内错角相等，则可证明 ； （2）在 中得 ，作 ，由面积法得，用勾股定理算得．再证 得，由 得 ，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在 中， ， ， 点 在 上， ， 过点作 于点，如图， ， 解得， 在 中， ， ， 在 中， ， 过点 作于点 ，过点 作 于点 ，如图， 在 中，， 又∵， ∴， 在 中，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ． 由（1）得， ， ∴ ． 在 中， ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴， ∴， ∴． ， ． ． 答：线段的长为，的值为． 【点睛】本题以圆的翻折变换为背景，核心是利用轴对称性转化角的关系，结合等腰三角形、全等与相似三角形的性质，通过面积法和勾股定理求解线段长度与比例． 18. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、 两点，与 轴交于点 ，与 轴交于点 ． （1）求反比例函数的表达式和点 坐标； （2）坐标轴上是否存在一点 ，使得 ，如果存在，请求出 点坐标，如果不存在，请说明理由； （3）P为反比例函数图象第一象限上一点，连接 、 、 、、 ，当时，求直线 解析式． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入得得出，联立反比例函数与直线解析式，解方程，即可求解； （2）分 在 轴和在 轴两种情况讨论，根据 ，利用两点距离公式建立方程，解方程，即可求解； （3）设，过点 作交 轴于点 ，交 轴于点，分别求得，，根据，，建立方程求得 的坐标，再求得直线 的解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得， ， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 联立， 解得：或， ∴， 【小问2详解】 解：①当 在 轴上时，设， ∵ ，，， ∴， 解得：， ∴， ②当 在 轴上时，设， ∵ ，，， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或； 【小问3详解】 解：如图，设，过点 作交 轴于点 ，交 轴于点，连接, 设解析式为 ∴ 解得： ∴的解析式为 当时， 解得： ∴ ∵，则直线的解析式为 同理可得直线的解析式为 当时， 解得： ∴ ∵与 轴交于点 ． 当时，， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 解得： （舍去）或 ， ∴ 设直线 的解析式为 代入，得， 解得： ∴直线 的解析式为 B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】先由已知方程得到的值，再将所求代数式变形为含的形式，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 20. 一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字 ，，1，2．随机摸出一个小球记作 ，不放回，再随机摸出一个小球记作 ，则满足的概率为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用列表法列举所有等可能的结果，找出满足 的结果数，再根据概率公式计算即可． 【详解】解： 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 由表可知，共有种等可能的结果， 其中满足 的结果有 种， 则满足条件的概率为． 故答案为：． 21. 如图，等边的边长为2，以为直径在上方作半圆，则半圆与重叠部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设 交半圆 于点，连接 、 ，由 且 ，得 和 均为等边三角形，从而 ，进而 ；根据 重叠部分面积 的面积扇形的面积的面积求解即可． 【详解】解：设 交半圆 于，连接 、 ， 是等边三角形，边长为 ， ， ， ， ，， 是等边三角形，， 同理 是等边三角形，， ， 扇形 的面积 ， 过点 作于点， ，， 的面积 ， 同理求得的面积为 重叠部分面积 的面积扇形的面积的面积． 22. 如图，菱形，点 是边上一点，连接 交对角线于点 ，，，点为线段上一动点（不与端点重合），作点 关于直线对称点，连接、，当取最小值时，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先设，由此可得，再根据三点共线可得的最小值，再利用勾股定理可求解 的值，根据相似三角形的性质可得 与 的长度，再结合勾股定理可求解的长度，由此可求解的长度，进而进行比值即可． 【详解】解：设， 由，则， ∵作点 关于直线对称点， ∴点的运动轨迹是以点 为圆心，为半径的圆， 当取最小值时，则有点三点共线， 连接 交于点 ，过点 分别作， 连接，连接 并延长 交 的延长线于点，如图， 在菱形中，，且， 在中，， ∴，则， ∴， ∴菱形的边长为25，即， 由翻折可知，， 又， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， 则有，即，可得， 同理可得， 则有，即，可得， ∵， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， 在菱形中，，则， ∴， 由翻折可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 则． 23. 已知， ，是二次函数图象上的任意三点，若对于，恒有且不存在的情形，则 的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据题意可知函数在范围内所有点的函数值都小于，分 和 两种情况结合二次函数的性质求解即可． 【详解】解：因为 是二次函数，所以 二次函数的对称轴为： 由题意，对于，不存在， 所以，对称轴不在范围，且范围内所有点的函数值都小于（是处的函数值） 分两种情况讨论： 1. 当 时，抛物线开口向上 对称轴，对称轴在右侧，在内， 随 的增大而减小，满足不存在， 因为开口向上，离对称轴越远，函数值越大，在内点到对称轴的最大距离为 点到对称轴的距离为 要使所有区间内，需 解得，符合 的条件； 2. 当 时，抛物线开口向下， 对称轴不在内，则 或， 即或， ①当时，对称轴 ，时的图象在对称轴右侧， 随 的增大而减小，满足不存在， 开口向下，离对称轴越近，函数值越大，区间内点到对称轴的最小距离为， 点到对称轴的距离为， 要使所有区间内，需， 解得，与矛盾，此情况无解， ② 当时，对称轴，时的图象在对称轴左侧， 随 的增大而增大，满足不存在， 开口向下，离对称轴越近，函数值越大，区间内点到对称轴的最小距离为， 点到对称轴的距离为， 要使所有区间内，需，即， 等价于， 解得，符合的条件， 综上， 的取值范围是或． 二、解答题（30分） 24. 某校组织师生前往成都未来科技城开展“人工智能与生活”项目式研学活动．在准备过程中，同学们收集了以下租车信息： 信息一：现有甲、乙两种型号的智能电动观光车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆甲型车和3辆乙型车可载客180人；租用4辆甲型车和1辆乙型车可载客210人； 信息二：甲型车每辆租金为2000元，乙型车每辆租金为1500元； 信息三：租车公司推出优惠活动：若租用甲型车 辆，则每辆甲型车的租金减少元；学校计划租用甲、乙两种型号车共10辆，请根据以上信息解决以下问题： （1）甲、乙两种型号的智能电动观光车每辆载客量分别是多少人？ （2）设租用甲型车 辆，租车总费用为 元，求 与 之间的函数表达式，当时，求出本次研学活动学校的最少租车费用． 【答案】（1） 甲型号智能电动观光车每辆载客量为45人，乙型号智能电动观光车每辆载客量为30人 （2） 函数表达式为（ 且 为整数），最少租车费用为14400元 【解析】 【分析】（1）根据题干给出的两种载客情况设未知数列方程组求解即可． （2）根据租车优惠规则表示出总费用，整理得到函数表达式，再根据二次函数的增减性，在给定区间内求出最小值即可． 【小问1详解】 解：设甲型号观光车每辆载客 人，乙型号观光车每辆载客 人， 根据题意可得，解得， 答：甲型号智能电动观光车每辆载客量为45人，乙型号智能电动观光车每辆载客量为30人． 【小问2详解】 解：已知租用甲型车 辆，则租用乙型车辆． 则租车总费用， 对于二次函数，其中， 所以函数图象开口向下，对称轴为． 因为对称轴，且在对称轴右侧，随 的增大而减小， 所以当时，有最小值． 把代入可得（元）． 答：与 之间的函数表达式为， 当时，本次研学活动学校的最少租车费用为元． 25. 如图，在中，，边绕点 顺时针旋转度至，连接、、分别交、于点 、． （1）【特例感知】当时，证明： ； （2）【问题探究】在（1）的条件下，若，，求的长度； （3）【拓展延伸】若 ， ，当时，求的值．（用含 、 的代数式表示） 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ， ， ∵ ∴ 由旋转可得， ， ∴ ， ， ∵ ∴， ∴ ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质以及旋转的性质证明即可； （2）连接，过点 作交延长线于点 ，先得到点三点共线，然后证明，求出 ，则，然后解 ，求出，，再对 运用勾股定理求解，最后根据比例线段求解即可； （3）设，则 ， ，由平行可得 ，求出，再证明 即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，过点 作交延长线于点 ， ∵ ， ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∵在中， ∴ ∴点三点共线， ∵在中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ， ∴ ， ∴， ∵ ∴； 【小问3详解】 解：∵ ， ， ∴设， 则 ， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∵平行四边形中， ， ∴ ， ∵ ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 26. 如图，以为顶点的抛物线 经过原点，直线交抛物线于点、 （点在点 左侧），交 轴于点 ，点 为直线下方抛物线上一动点． （1）求抛物线表达式； （2）当 时，求当 面积最大值时点 的坐标； （3）定义：线段中点 的轨迹为抛物线 的“伴生曲线U”．直线 经过（2）中的点 且与“伴生曲线U”有且只有一个交点，求出 的值． 【答案】（1） （2）点 的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）已知抛物线顶点为且过原点，设顶点式，将代入，解得，故抛物线表达式为； （2）由直线得，证得，结合根与系数的关系求得，得到直线解析式；再用割补法表示 的面积，转化为二次函数求最值，得； （3）设中点，用中点公式表示，代入直线得“伴生曲线U”：；根据直线过 点得，联立后令判别式，解得． 【小问1详解】 解：∵为抛物线 的顶点， ∴设抛物线的解析式为， 将原点代入得， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时， 解得， ， 过A，C分别作 轴的垂线，垂足为M，N，如图， ∴， ， ， ， 设， ∴， ∴，即， 联立， ∴ ， ，， 将代入中， 得 解得， 将和代入中， 得 解得或， 由图可得，， 又∵， ， ∴ ， 直线的解析式为． 由题意得，设， 过 作 轴交于点 ，连接，如图， ∴， ∴ ， 由图可得， ， ∵为定值， ∴当时， 最大，此时 面积最大， ∴， 点 的坐标为； 【小问3详解】 解：设， 由（2）知， 为中点， ， ∴， 点 在直线上， ∴将代入得， ， 伴生曲线U为， ∵直线 过， ∴ 解得， ∴， 联立直线与伴生曲线得， ， ∵直线与伴生曲线有且只有一个交点， ∴， 解得． 【点睛】本题是二次函数综合题，核心是将几何关系转化为代数方程：用顶点式求抛物线解析式，通过相似与韦达定理确定直线方程，利用二次函数性质求面积最值，再结合轨迹思想与判别式法解决“伴生曲线”的交点问题，体现了数形结合与转化思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（下）模拟考试九年级数学 注意事项： 1．全套试卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，请考生将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方，考试结束，监考人员将答题卡收回． 3．选择题部分使用2B铅笔填涂；非选择题部分使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 以下4个数中，最小的数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年1月23日，成都市统计局、国家统计局成都调查队联合发布2025年成都经济运行情况．数据显示，2025年，全市地区生产总值为亿元，比上年增长．其中数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都相等 B. 矩形的对角线相互垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 6. 如图，正五边形 内接于 ，连接，，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 现有大、小两种容器共20个，每个大容器容积为40升，每个小容器容积为30升，现有液体720升，将液体全部装入容器中，容器空余的容量恰为20升．问应配置大容器多少个，才符合要求？设配置大容器 个，根据题意列出方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是______． 10. 某学校美术课期末综合成绩由平时作业成绩、上课表现成绩以及期末测评成绩组成，分别占比 ，其中平时作业80分，上课表现90分，期末测评95分，最终期末综合成绩为______分． 11. 如图，反比例函数与一次函数交于点，点，若，，当时， 的取值范围是______． 12. 如图， 和是以 为位似中心的位似图形，已知 的面积为1，，则的面积为______． 13. 如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以为圆心，小于 长为半径作弧，分别交线段 ，于点 ，；②分别以 ，为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点（在平行四边形内），连接交于 ，若，，则平行四边形的周长为______． 三、解答题（共48分） 14. 计算与解不等式组 （1）； （2）． 15. 某校开展各项体育比赛后，同学们的运动热情高涨，因此学校拟开设，A：足球，B：排球，C：篮球，D：乒乓球4个项目供学生开展体育活动并安排相关教师进行指导，随机调查了部分同学的爱好（每人只选一项运动）．把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息解决以下问题： （1）本次调查共抽取了______名学生，其中爱好篮球的人数有______名学生； （2）在扇形统计图中，求爱好乒乓球对应的圆心角度数； （3）该校3000人，根据调查结果，请你估计喜欢足球和排球的学生共有多少名？ 16. 九天楼位于成都市塔子山公园浅丘顶部，原名散花楼，始建于隋末，由蜀王杨秀建造，后湮没无存．1995年启动重建工程，1997年竣工，其名取自李白《登锦城散花楼》诗句“如上九天游”．小明同学学习了综合实践课程后，决定利用所学知识与技能测量塔子山公园的九天楼高度．首先利用无人机飞到距地面106米（米）点C处，此时测得塔顶A的俯角为 ，无人机向后退米（米）到点 ，此时测得塔顶A的俯角为，已知、 、 在同一水平直线上， 于，求九天楼高度（即 的长）．（，，， ） 17. 如图， 为直角三角形， ，， ，以 为圆心，为半径作圆， 交于点 ，延长 交 于 ，连接．将沿直线 翻折，点 的对应点 落在 上，连接，交 于点，连接 ． （1）求证： ； （2）求线段的长与的值． 18. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点 ，与 轴交于点 ． （1）求反比例函数的表达式和点坐标； （2）坐标轴上是否存在一点 ，使得 ，如果存在，请求出 点坐标，如果不存在，请说明理由； （3）P为反比例函数图象第一象限上一点，连接 、 、 、、 ，当时，求直线 解析式． B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知，则______． 20. 一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字 ，，1，2．随机摸出一个小球记作，不放回，再随机摸出一个小球记作 ，则满足的概率为______． 21. 如图，等边 的边长为2，以为直径在上方作半圆，则半圆与 重叠部分的面积为______． 22. 如图，菱形，点 是边上一点，连接 交对角线于点 ，，，点为线段上一动点（不与端点重合），作点 关于直线对称点，连接、，当取最小值时，则______． 23. 已知， ，是二次函数图象上的任意三点，若对于，恒有且不存在的情形，则的取值范围是______． 二、解答题（30分） 24. 某校组织师生前往成都未来科技城开展“人工智能与生活”项目式研学活动．在准备过程中，同学们收集了以下租车信息： 信息一：现有甲、乙两种型号的智能电动观光车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆甲型车和3辆乙型车可载客180人；租用4辆甲型车和1辆乙型车可载客210人； 信息二：甲型车每辆租金为2000元，乙型车每辆租金为1500元； 信息三：租车公司推出优惠活动：若租用甲型车 辆，则每辆甲型车的租金减少元；学校计划租用甲、乙两种型号车共10辆，请根据以上信息解决以下问题： （1）甲、乙两种型号的智能电动观光车每辆载客量分别是多少人？ （2）设租用甲型车 辆，租车总费用为元，求与 之间的函数表达式，当时，求出本次研学活动学校的最少租车费用． 25. 如图，在中，，边绕点 顺时针旋转度至 ，连接、、分别交、于点 、． （1）【特例感知】当时，证明： ； （2）【问题探究】在（1）的条件下，若， ，求的长度； （3）【拓展延伸】若 ， ，当时，求的值．（用含、 的代数式表示） 26. 如图，以为顶点的抛物线 经过原点，直线交抛物线于点、 （点在点 左侧），交 轴于点 ，点为直线下方抛物线上一动点． （1）求抛物线表达式； （2）当 时，求当 面积最大值时点的坐标； （3）定义：线段中点 的轨迹为抛物线 的“伴生曲线U”．直线 经过（2）中的点且与“伴生曲线U”有且只有一个交点，求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $