2026年中考数学一轮专项复习 基础解答题 题组训练（重庆适用）

2026年中考数学 基础解答题 题组训练（解析版） 目 录 【题组一】 1 【题组二】 5 【题组三】 8 【题组四】 12 【题组五】 16 【题组六】 20 【题组七】 23 【题组八】 27 【题组九】 31 【题组十】 34 【题组十一】 38 【题组十二】 41 【题组十三】 45 【题组十四】 50 【题组十五】 54 【题组十六】 58 【题组十七】 61 【题组十八】 65 【题组十九】 69 【题组二十】 72 【题组一】 1．解不等式组：． 解：解不等式①，得：_____________； 解不等式②，得：_____________； 将不等式①和②的解集在数轴上表示如下： 该不等式组的解集为：_______． 【答案】，，数轴见解析， 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再将不等式①和②的解集在数轴上表示，然后再取两个不等式解集的公共部分即可． 【详解】解：解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， 将不等式①和②的解集在数轴上表示如下： 该不等式组的解集为． 2．如图，在四边形中，． (1)用尺规完成基本作图：作对角线的垂直平分线，交于点，分别交、于点、，连接、．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形，请根据以下思路完成填空： 证明：∵ ①　　　， 垂直平分 ， 在和中， ， ∴△BON≌△DOM（ASA）， ③　　　， ∵ ④　　， 又， 平行四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④四边形为平行四边形 【分析】（1）根据线段垂直平分线的基本作图方法，作图即可； （2）先证明，得出，再证明四边形为平行四边形，最后证明四边形为菱形即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的线段的垂直平分线； （2）证明：∵， ， 垂直平分， ，， 在和中， ， ∴， ， ∵， 四边形为平行四边形， 又， 平行四边形是菱形． 3．某校开展了关于“厨艺，电工，木工，园艺，编织”五大劳动课程知识竞赛．现从七、八年级学生的竞赛成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级学生竞赛成绩在B组的数据为：83，84，85，86，86，88，89 八年级20名学生的竞赛成绩为：62，65，68，72，74，75，78，80，82，85，87，88，90，92，94，95，98，100，100，100 抽取的七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 99 八年级 86 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条即可）； (3)该校七年级有学生1500人，八年级有学生1300人，请估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到90分及以上的学生人数共有多少人？ 【答案】(1)85.5；100；30 (2)八年级学生的知识竞赛成绩较好，理由见解析 (3)970人 【分析】（1）求出七年级学生竞赛成绩在A组的百分比，可求出m的值，再根据中位数的定义可得a的值，根据众数的定义求出b的值，即可； （2）根据中位数的意义解答即可； （3）根据样本估计总体解答即可． 【详解】（1）解：，即， ∴七年级学生竞赛成绩在A组的数据为， ∴把这20个数据从大到小排列，位于第10位和第11位的分别为86，85， ∴； ∵八年级20名学生的竞赛成绩中100分出现的次数最多， ∴； （2）解：八年级学生的知识竞赛成绩较好，理由如下： ∵两个年级成绩的平均数一样，但七年级成绩的中位数，众数均低于八年级， ∴八年级学生的知识竞赛成绩较好； （3）解：人， 即此次知识竞赛成绩达到90分及以上的学生人数共有970人． 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据整式的混合运算法则以及分式的混合运算法则进行化简，再根据负整数指数幂、零指数幂求出的值，代入化简后的式子计算即可得出结果． 【详解】解： ， 当时， 原式． 5．某科技公司为训练多模态模型，需要采购两种数据：文本数据和图像数据． (1)公司用90元购买图像数据的数量比用同样金额购买文本数据的数量少3份．已知每份图像数据的单价是每份文本数据单价的1.5倍．求每份文本数据的单价是多少元？ (2)该公司的服务器集群每天同时处理两种数据．已知一次配套训练需要3份文本数据和2份图像数据，每台服务器每天可处理100份文本数据或200份图像数据．公司共有40台服务器，为使每天处理的两类数据数量恰好配套，应安排多少台服务器处理文本数据？ 【答案】(1)每份文本数据的单价为元 (2)应安排台服务器处理文本数据 【分析】（1）设每份文本数据的单价为元，则每份图像数据的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）设应安排台服务器处理文本数据，则安排台服务器处理图像数据，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设每份文本数据的单价为元，则每份图像数据的单价为元， 由题意可得：, 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴每份文本数据的单价为元； （2）解：设应安排台服务器处理文本数据，则安排台服务器处理图像数据， 由题意可得：， 解得：， ∴应安排台服务器处理文本数据． 【题组二】 6．求不等式组：的所有整数解． 【答案】，，，0． 【分析】分别解两个不等式，再求交集，再找符合条件的整数解． 【详解】解：解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以，原不等式组的解集为． 因此，满足原不等式组的所有整数解是，，，0． 7．如图，已知中，点在边上，且，连接． (1)请用尺规作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程： 证明：平分， ① ， 在和中， ， ， ③ ， ，，， ， ④ ， ． 【答案】(1)见解析 (2)①，，③，④ 【分析】（1）按尺规作图规范作角平分线和等长线段； （2）利用角平分线证明角相等，通过证三角形全等，结合三角形外角性质进行等量代换，得同位角相等，进而证得． 【详解】（1）解：如图为的角平分线和点． （2）证明：平分， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， ． 故答案为：①，，③，④． 8．学校科技节中，“编程挑战赛”引来众多编程爱好者参与，比赛分初赛和决赛，初赛成绩优秀（高于或等于90分）的选手进入决赛．统计小组从八年级和九年级参与“编程挑战赛”初赛的选手中各随机选出20名选手的比赛成绩进行分析，并将选手成绩分为A、B、C、D四个等级（单位：分），分别是： A．    B．    C．    D． 下面给出了部分信息： 其中，八年级C等级的成绩为：81，82，83，86，87，88，89 九年级选手的成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96 八年级选手成绩扇形统计图 八、九年级选手成绩平均数、中位数、众数、方差： 学生 平均数 中位数 众数 方差 八年级 85.2 a 91 91.76 九年级 85.2 86 b 59.66 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)根据以上数据，你认为在此次初赛中，哪个年级选手的成绩更好？说明理由（一条理由即可）； (3)若初赛时八年级有80名选手参赛，九年级有100名选手参赛，请估计两个年级初赛选手中进入决赛的选手共有多少人？ 【答案】(1)；88；40 (2)八年级的成绩更好，理由见解析 (3)62人 【分析】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键． （1）分别根据中位数和众数的定义可得和的值，用1分别减去其它三个等级所占百分比即可得出的值； （2）依据表格中平均数、中位数、众数作出判断即可； （3）用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：八年级20名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87、88，故中位数； 九年级20名同学的成绩出现次数最多的是88，故众数； 由题意可得，故， 故答案为：；88；40； （2）解：八年级的成绩更好，理由：两个年级的平均数相同，而八年级的成绩的中位数和众数均大于九年级； （3）解：（人）， 答：估计两个年级初赛选手中进入决赛的选手共有62人． 9．先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，分式的混合运算法则进行计算，根据特殊角的三角函数值，零指数幂的法则求出的值，再代入计算即可． 【详解】解： 原式 =， ， 将代入，原式． 10．某工厂计划生产文创产品“穿楼积木”10000套，安排甲、乙两车间完成任务，乙车间生产“穿楼积木”的数量比甲车间生产“穿楼积木”的数量的2倍少2000套． (1)求甲、乙两车间各生产多少套“穿楼积木”？ (2)在生产过程中，乙车间每天生产“穿楼积木”的数量是甲车间每天生产“穿楼积木”数量的1.2倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前2天完成任务，求甲车间每天生产多少套“穿楼积木”？ 【答案】(1)甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套 (2)甲车间每天生产套“穿楼积木” 【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套，结合题意列式求解即可； （2）设甲车间每天生产套“穿楼积木”，则乙车间每天生产套“穿楼积木”，由此列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套， ∴， 解得，， ∴（套）， ∴甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套； （2）解：设甲车间每天生产套“穿楼积木”，则乙车间每天生产套“穿楼积木”， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴甲车间每天生产套“穿楼积木”． 【题组三】 11．解不等式组，并写出所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解为 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再确定两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后找出解集内的所有整数即可． 【详解】解： ， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 所以，不等式组的解集为， 所以，不等式组的所有整数解为． 12．在学习了三角形和四边形的相关知识后，小南继续进行深入研究：如图，在矩形中，是对角线，请根据他的思路完成以下作图和推理填空： (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点，分别交边，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求证：． 证明：四边形是矩形， ，_____①_____， ． 垂直平分， ，____②_____， ， ， ___③___， ， ． 在中，， ____④__， ． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）根据尺规作线段垂直平分线的作图步骤画图即可； （2）根据题干证明思路，结合直角三角形的性质等相关知识解答即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：四边形是矩形， ，， ． 垂直平分， ，， ， ， ， ， ． 在中，， ， ． 13．中考体考临近，为掌握本校九年级学生的体育训练情况，小开从甲、乙班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行了整理、描述和分析（成绩用x表示，满分50，共分为四组：A．，B．， C．，D．），下面给出了部分信息： 甲班20名学生的体测成绩在分数段的数据为：47，48，48，49，49，49，49，49， 乙班20名学生的体测成绩为：40，44，45，45，46，47， 47，48，48，48，49，49，49，49，49，50，50，50，50． 甲、乙两班抽取的学生体测成绩统计表 甲班 乙班 平均数 47.6 47.6 众数 50 b 中位数 a 48.5 方差 18.24 6.14 (1)上述表中，______，______，请补全条形统计图； (2)根据上述数据，你认为甲、乙两班中哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)该校三个校区九年级共有3600名学生参加本月体测，根据以上信息，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？ 【答案】(1)49；49；图见解析 (2)甲班成绩较好，理由见解析 (3)估计这次体测成绩为满分的学生人数是1170人 【分析】（1）根据中位数的意义，将甲班的抽查的20人成绩排序找出处在中间位置的两个数的平均数即可为中位数，从乙班成绩中找出出现次数最多的数即为众数，再由甲班总人数可得D组人数，从而补全统计图； （2）根据题意和表格中的数据，甲班的平均数与乙班一样，根据中位数，众数可以分析得出； （3）根据题意，计算出两班级达到满分人数的百分比，然后乘以总人数即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意得：甲班学生成绩处在中间位置的两个数是分数段的最后两个数：49，49． 故中位数． ∵乙班20名学生的体测成绩49出现了5次，最多次． ∴． 由题意，∵共抽取了20名学生， ∴D组人数为：（名），故可补全条形统计图如下． （2）解：甲班成绩较好，理由：甲班的平均数与乙班一样、但中位数，众数均大于乙班； （3）解：20个人中，甲班满分的有9人，乙班满分4人． ∴估计这次体测成绩为满分的学生人数是：（人）． 答：估计这次体测成绩为满分的学生人数是1170人． 14．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【详解】解： ． ． 原式 ． ， 原式 ． 15．列方程解下列问题： 骐骥驰骋，智造未来！某工厂使用两种型号的机器人检测零件．已知A型每小时比B型多检测50个零件，且A型3小时检测的零件数比B型4小时检测的零件数少250个． (1)求A，B两种型号的机器人每小时各检测多少个零件？ (2)对机器人进行升级后，A型每小时检测的零件数是B型的倍．若升级后的A，B型机器人各检测8100个零件，且B型比A型多用3小时，求B型机器人较升级前每小时多检测多少个零件？ 【答案】(1)A型机器人每小时检测450个零件，B型机器人每小时检测400个零件． (2)B型机器人较升级前每小时多检测50个零件． 【分析】（1）设B型机器人每小时检测x个零件，则A型每小时检测个零件，再根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设升级后B型机器人每小时检测y个零件，则升级后A型每小时检测个零件，再根据题意列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设B型机器人每小时检测x个零件，则A型每小时检测个零件， 根据题意列方程：，解得：， 则A型每小时检测个． 答：A型每小时检测450个零件，B型每小时检测400个零件． （2）解：设升级后B型机器人每小时检测y个零件，则升级后A型每小时检测个零件， 根据题意列方程： ， 整理解得：， 经检验是原方程的解，符合题意． 升级前B型每小时检测400个，因此增量为：个． 答：B型机器人较升级前每小时多检测50个零件． 【点睛】找到等量关系、正确列出方程是解题的关键． 【题组四】 16．解不等式组：． 解：解不等式①，得____ 解不等式②，得____ 将不等式①，②的解集表示在数轴上，如图所示： ∴不等式组的解集为______ 【答案】，，数轴见解析， 【分析】先分别求解一元一次不等式，在数轴上表示解集，由此可得不等式组的解集． 【详解】解：不等式组为， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 将不等式①，②的解集表示在数轴上，如图所示： ∴不等式组的解集为． 17．为了加深对矩形的判定方法的掌握，某兴趣小组研究了下面的命题，请完成以下作图和填空： 如图，在四边形中，，连接，，． (1)尺规作图：作的角平分线分别与、相交于点E，F．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，若F为中点，求证：四边形是矩形．（请完成下面的填空） 证明：是中点 ①______ ②______ 在与中 ， ， ， 又且平分 ，③______， 又 ④______ 又 四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④四边形是平行四边形 【分析】（1）用尺规作的角平分线，分别交，于点，即可； （2）通过条件先证明，可以得出，结合等腰三角形三线合一，可进一步推导出四边形是矩形． 【详解】（1）解：如图所示即为所求： （2）证明：是中点 ， ， 在与中 ， ， ， 又且平分， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， 又 四边形是矩形． 18．4月22日是世界地球日，主题是倡导环保，守护我们共同的家园．为了增加我校学生对环保的重视程度，学校举行了环保知识竞答．现从我校七、八年级学生中各随机抽取20名同学的竞答成绩，并对竞答成绩进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：，，，），下面给出了部分信息： 抽取的七年级学生的竞答成绩中等级所有数据：89，85，85，87，87，83； 抽取的八年级学生的竞答成绩：68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100 七、八年级所抽学生竞答成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 88 a 96 八年级 88 87 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对环保的重视程度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)我校七、八年级共有3000名学生，请估计我校七、八年级学生知识竞答分数为等级（）的学生共有多少人？ 【答案】(1)88；98；45 (2)我认为七年级对环保的重视程度更高、理由见解析 (3)1275人 【分析】（1）根据统计图和统计表解题即可； （2）比较七八年级的平均数和中位数即可； （3）用样本估计总体． 【详解】（1）解：由图可知，七年级等级有人，等级有人，等级有人， ∴等级有人； ∴中位数是等级从小到大排列后的第个和第个数的平均数， 等级所有数据从小到大排列：83，85，85，87，87，89， ∴ ； ， ∴； 由八年级学生成绩可知，出现的次数最多， ∴； （2）解：我认为七年级对环保的重视程度更高．因为七、八年级的平均数都为88，但七年级的中位数88大于八年级的中位数87； （3）解：八年级等级的人数有人，七年级等级的人数有9人， （人）， ∴我校七、八年级学生知识竞答分数为等级的学生约1275人． 19．先化简再求值： ，其中 【答案】化简为，值为1 【分析】本题考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数值及负指数幂的计算，先根据分式的混合运算法则化简原式，再把化简后的的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 ， ， 原式． 20．嘉利华烘焙推出了两款新颖的特色甜品，一款是“蓝莓云朵塔”，另一款是“海盐奥利奥”．已知2盒“蓝莓云朵塔”和5盒“海盐奥利奥”总售价为240元；3盒“蓝莓云朵塔”和4盒“海盐奥利奥”总售价为234元． (1)求每盒“蓝莓云朵塔”和“海盐奥利奥”各自的售价； (2)奶油是制作甜品的主要原料之一，蛋糕店老板发现今年第三季度平均每千克奶油的价格比第二季度上涨了，第三季度花6000元买到的奶油数量比第二季度花同样的钱买到的奶油数量少了12千克，求第三季度平均每千克奶油的价格． 【答案】(1)每盒“蓝莓云朵塔”的售价是30元，每盒“海盐奥利奥”的售价是36元 (2)125元 【分析】（1）设每盒“蓝莓云朵塔”的单价是元，每盒“海盐奥利奥”的单价是元，利用总价=单价×数量，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设第二季度平均每千克奶油的价格是元，则第三季度平均每千克奶油的价格是元，利用数量=总价÷单价，结合第三季度花6000元买到的奶油数量比第二季度花同样的钱买到的奶油数量少了12千克，可列出关于的分式方程，解之经检验后可得出第二季度奶油的单价，再将其代入中，即可求出第三季度奶油的单价． 【详解】（1）解：设每盒“蓝莓云朵塔”的单价是元，每盒“海盐奥利奥的单价是元， 由题意得：，解得． 答：每盒“蓝莓云朵塔”的售价是30元，每盒“海盐奥利奥”的售价是36元． （2）解：设第二季度平均每千克奶油的价格是元，则第三季度平均每千克奶油的价格是元， 由题意得：，解得． 经检验：是原方程的解且符合题意． （元）． 答：第三季度平均每千克奶油的价格是125元． 【题组五】 21．解不等式组：，并求该不等式组所有整数解的和． 【答案】 不等式组的解集为，不等式组所有整数解的和为 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，再找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可解答． 【详解】解： 由①得，， 整理得，， 解得，， 得，， 整理得，， 解得，， 该不等式组的解集为， 该不等式组的整数解为：，，， 不等式组所有整数解的和． 22．在学习了四边形的性质后，小全和小善进行了拓展探究．如图，在四边形中，，点是上的一点，且： (1)作的平分线交直线于点，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)根据（）中作图，小全猜测四边形是菱形，小善写出了如下不完整的证明思路，请你帮助他们把证明过程补充完整． 证明：平分，①__________ 在四边形中，， ②__________，， ③__________． ，． ，四边形是④__________， 又，四边形是菱形． 【答案】(1)图见解析； (2)；；；平行四边形． 【分析】（1）以点为圆心，小于为半径画弧分别交、，再分别以交点为圆心，合适的半径画弧相交，连接点及该交点并延长交直线于点，连接即可； （2）结合角平分线定义和平行线性质推得，从而得到，，由对边平行且相等证得四边形是平行四边形，再结合即可得证． 【详解】（1）解：如下图所示： （2）解：平分， ， 在四边形中，， ， ， ， ， ， 四边形是④平行四边形， 又， 四边形是菱形． 23．国际数学日是联合国教科文组织于2019年设立的全球性节日，定于每年3月14日（即圆周率日，）．在2026年国际数学日到来之际，某校举办了“数学节”竞赛活动．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：61，63，65，68，72，73，76，81，85，86，88，88，88，89，92，94，95，97，99，100． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：84，83，81，89，88，87． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83 83 中位数 87 众数 91 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有2000名学生，八年级有1600名学生参加了此次竞赛活动，估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀的学生人数一共是多少？ 【答案】(1) (2)八年级学生的竞赛成绩较好，理由见详解 (3)1240名 【分析】（1）结合中位数的定义进行分析列式计算，得，结合众数的定义，得，再求出，即可作答． （2）结合两个年级的平均数，中位数，众数进行分析，即可作答． （3）运用样本估计总体列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，83，84，87，88，89． 先把八年级的竞赛成绩按从小到大排序，中位数是位于第名和第名的成绩之间， ∴， 观察七年级20名学生的竞赛成绩中分出现次数最多，且为3次， ∴， 则， ∴； ∴． （2）解：八年级学生的竞赛成绩较好，理由如下： ∵七，八年级学生的成绩的平均数都是分，八年级学生的成绩的中位数高于七年级学生的成绩的中位数，八年级学生的成绩的众数高于七年级学生的成绩的众数， ∴八年级学生的竞赛成绩较好． （3）解：依题意，（名）， ∴该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀的学生人数一共是名． 24．先化简，再求值：，其中 【答案】； 【分析】原式根据分式的混合运算法则进行化简得最简结果，再求出的值，代入化简结果进行计算即可． 【详解】解： ； 又， ∴原式． 25．某加工车间45名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓1200个或螺母900个，两个螺栓要配三个螺母， (1)为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺栓，多少工人生产螺母？ (2)若每一个螺栓的销售利润是元，每一个螺母的销售利润是元，工厂给车间规定每月的销售利润不少于20万元，那么45名工人每月至少加工多少天才能完成车间任务？ 【答案】(1)应该分配15名工人生产螺栓，30名工人生产螺母 (2)45名工人每月至少加工28天才能完成车间任务． 【分析】（1）设生产螺栓的工人数为x，则生产螺母的工人数为，根据两个螺栓要配三个螺母列方程求解即可； （2）先求出每天的利润，再根据销售利润不少于20万元列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设生产螺栓的工人数为x，则生产螺母的工人数为， 根据题意，得， 解得， 生产螺母的工人数为 (人)． 答：应该分配15名工人生产螺栓，30名工人生产螺母． （2）解：每天生产螺栓的数量为 (个)， 每天生产螺母的数量为 (个)．每天的利润为 (元)． 设每月加工t天， 由题意，得， 解得， 因为t为整数，所以至少需要加工28天． 答：45名工人每月至少加工28天才能完成车间任务． 【题组六】 26．解不等式组：． 【答案】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据解集规律“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式①得， 解不等式②得 ， ∴不等式组的解集是． 27．如图，在中，，，点F为线段上一点，连接，过点C作，交的延长线于点E，且． (1)尺规作图：过点B作的垂线，垂足为点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：点D为的中点． 证明：，， ． ， ． 在中，． __________． 在与中， ． ___________． ， ， 即点D为的中点． 【答案】(1)图见解析 (2)，， 【分析】（1）根据高线的作法作图即可； （2）根据垂直可得直角，再由等量代换可得，根据角角边的证明方法证明与全等，由此可得，由此可证明． 【详解】（1）解：以点B为圆心，长为半径画弧与交于两点， 分别以这两点为圆心以大于这两点间距离的为半径在两侧画弧相交， 连接两侧交点，必定经过B点，与相交于D点， 此时，如图， （2）证明：，， ． ， ． 在中，． ． 在与中， ． ． ， ， 即点D为的中点． 故答案为：，，． 28．为普及网络安全知识，增强青少年网络安全防范意识，某校面向全校学生开展了网络安全知识竞赛活动．在竞赛结束后，现从八年级和九年级参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：未达标，良好，优秀，卓越），下面给出了部分信息： 八年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86， 86，86，86，88，91，91，94，95，96，99； 九年级学生成绩属于优秀的数据为：89，88，87，86，84，83，81． 八、九年级学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 86 b 九年级 a 91 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_________，_________，_________； (2)根据以上数据，你认为哪个年级对网络安全知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可） (3)该校九年级共有学生1050名，随机抽取了九年级80%的学生参加此次网络安全知识竞赛活动，估计九年级参加活动的学生中成绩为优秀和卓越（80分及以上）的学生有多少人？ 【答案】(1)，86，40 (2)九年级成绩较好，理由见解析 (3)630人 【分析】（1）根据扇形信息，用20分别乘上未达标、良好的占比可得未达标2人，良好3人，结合中位数、众数的定义以及扇形统计图中求百分比进行解答即可； （2）运用中位数进行作决策，即可作答； （3）用1050乘上可求得抽取的人数，然后再乘以本次调查的（80分及以上）所占的比例即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知，九年级未达标有：（人）， 良好的有：（人）， ∵把被抽取九年级20名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87，88， ∴中位数； ∵在被抽取的八年级20名学生的数学竞赛成绩中，86分出现的次数最多， ∴众数． ，故． （2）解：九年级成绩较好，理由：因为九年级学生成绩的中位数比八年级的高，所以九年级成绩较好． （3）解：（人）． 答：九年级参加活动的学生中成绩为优秀和卓越（80分及以上）的学生有630人． 29．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先展开化简，然后再确定代入求值即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 30．列方程解下列问题：某工厂生产甲、乙两种产品．每天生产的甲产品比每天生产的乙产品多300个：2天生产的甲产品比3天生产的乙产品多400个． (1)求该工厂每天生产的甲、乙产品各多少个？ (2)为了满足市场需求，工厂进行技术改造．改造后，每天生产乙产品增加的数量比每天生产甲产品增加的数量的多50个．若生产4800个甲产品的天数比生产3200个乙产品所需的天数少2天，求每天生产甲产品增加的数量． 【答案】(1)该工厂每天生产甲产品500个，乙产品200个． (2)每天生产甲产品增加的数量是300个． 【分析】（1）根据甲乙日产量的数量关系设未知数，利用“2天生产的甲产品比3天生产的乙产品多400个”的条件列一元一次方程求解； （2）设甲产品日增加量为未知数，根据增加量的关系表示出改造后甲乙的日产量，再利用生产天数的数量关系列分式方程，检验后得到结果． 【详解】（1）解：设该工厂每天生产乙产品个，则每天生产甲产品个． 根据题意列方程得 解得 则 答：该工厂每天生产甲产品500个，乙产品200个． （2）解：设每天生产甲产品增加的数量为个，则每天生产乙产品增加的数量为个． 改造后每天生产甲产品数量为个，每天生产乙产品数量为个． 根据题意列方程得 解得 检验：当时，，所以是原方程的解，且符合题意． 答：每天生产甲产品增加的数量是300个． 【题组七】 31．求不等式组：的所有整数解． 【答案】、0、1 【详解】解： 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为， ∴整数解为、0、1． 32．小红学习了菱形和尺规作图后，进行了拓展性研究，她发现了菱形的一种作图方法，以下是她的探究过程，请完成其中的作图和推理填空： (1)用尺规完成以下作图：作的平分线交于点，作线段的垂直平分线分别交，，于点，，，连接，． (2)已知：在中，平分，垂直平分．求证：四边形是菱形． 证明：∵垂直平分， ∴ ，①________． ∵平分， ∴②________． 在和中， ∴． ∴④________． ∴． ∴四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【分析】（1）根据尺规作角平分线和线段的垂直平分线的步骤作图即可； （2）先由线段的垂直平分线得到，，再证明，即可求证． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵垂直平分， ∴ ，． ∵平分， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是菱形． 33．为提升学生的科学素养，某校七、八年级学生参加了科学知识竞赛．现从七、八年级参赛学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制均为整数）进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级抽取的20名学生竞赛成绩：98，97，93，93，92，90，89，89，89，86，86，83，82，81，76，75，74，72，70，65．八年级抽取的20名学生中B等级学生竞赛成绩：89，88，87，86，88，83，81． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 84 84 中位数 86 b 众数 a 91 根据以上信息，解答下列问题 (1)上述图表中，________，________，________； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的科普知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有1200名学生、八年级有1000名学生参加了此次竞赛，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数总共是多少？ 【答案】(1)，，； (2)见解析； (3)估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为等的学生人数总共是人． 【分析】（）先根据众数、中位数的定义即可求出的值，求出八年级学生竞赛成绩为等级的人数所占比即可求出的值； （）七年级和八年级平均数都是分，但八年级竞赛成绩的中位数和众数都比七年级的学生的高，故八年级的学生竞赛成绩更好； （）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：由七年级学生竞赛成绩可知出现的次数最多，出现次， ∴， ∵八年级学生的竞赛成绩在等级的数据有个， ∴八年级学生的竞赛成绩在等级的数据占总数的， ∴八年级学生的竞赛成绩在等级的数据占， ∴， 八年级学生的竞赛成绩在等级的人数有（人），八年级学生的竞赛成绩在等级的数据可知，从高到低排列为，89，88，88，87，86，83，81， ∴八年级学生的竞赛成绩落在等级的数据，即第名成绩是，第名是， ∴八年级学生竞赛成绩的中位数是； （2）解：七年级和八年级平均数都是分，但八年级的竞赛成绩的中位数和众数都比七年级高， 故八年级的学生竞赛成绩更好； （3）解：（人）， 答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为等的学生人数总共是人． 34．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再用特殊角三角函数的值以及零次幂求得a的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ； ； ． 35．2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛（WSBK）葡萄牙站SSP组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈，也瞬间点燃了国内消费市场的热情．“张雪机车”3月A、B两种型号的摩托车订单量共3800台，两连冠后4月的订单暴增，A型号订单量增加200%，B型号订单量增加100%，4月两种型号的摩托车订单量共9400辆． (1)求3月A、B两种型号的摩托车订单量各是多少辆？ (2)4月的摩托车订单出厂前需要统一进行交付前检查“张雪机车”安排甲、乙两个质检组同时开始工作，甲组负责检查A型摩托车，乙组负责检查B型摩托车．已知甲组每天检查A型号的数量是乙组每天检查B型号数量的1.8倍，最终甲组比乙组提前20天完成检查任务．求乙组每天检查B型号摩托车多少台？ 【答案】(1)3月A型号摩托车订单量为1800台，B型号摩托车订单量为2000台. (2)乙组每天检查B型号摩托车50台. 【分析】本题考查二元一次方程组和分式方程的实际应用. （1）设出3月A、B两种型号的订单量，根据题干给出的3月总订单量和4月总订单量的条件列出二元一次方程组，求解即可得到结果. （2）先根据第一问结果算出4月两种型号的订单量，再设乙组每天检查的数量，根据甲乙完成任务的时间差列出分式方程，求解检验后即可得到结果. 【详解】（1）解 ：设3月A型号摩托车订单量为x台，B型号摩托车订单量为y台. 根据题意可得 ，整理第二个方程得， 解得 ， 答：3月A型号摩托车订单量为1800台，B型号摩托车订单量为2000台. （2）解：由（1）可得，4月A型号订单量为（台）， 4月B型号订单量为（台）. 设乙组每天检查B型号摩托车m台，则甲组每天检查A型号摩托车台. 根据题意可得， 解得，经检验是分式方程的解， 故乙组每天检查B型号摩托车50台. 【题组八】 36．求不等式组：的所有整数解． 解：解不等式①，得_________________， 解不等式②，得_________________， 原不等式组的解集为_________________， 满足条件的所有整数解为____________________． 【答案】；；； 【分析】根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，然后确定整数解计算即可． 【详解】解：∵ ∴解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为． 37．如图，已知中，点在边上，且，连接． (1)请你利用尺规作图，在边上截取，作的平分线交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程： 证明：平分， ． 在和中， ． ②__________． ， ． ③__________． ． 【答案】(1)见解析 (2)，； 【分析】（1）利用圆规截取，角的平分线基本作图，求解即可． （2）根据三角形全等的判定和性质，平行线的判定证明即可； 【详解】（1）解：根据题意，作图如下： 则Ｅ，Ｆ即为所求； （2）证明：平分， ． 在和中， ． ． ， ． ． ． 38．百度推出了“文心一言” 聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：组不满意组比较满意组满意，D组非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对甲款聊天机器人的评分数据：60，65，65，71，74，76，80，82，84，84，85，85，92，92，92，92，96，96，97，98． 抽取的对乙款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：82，88，83，87，80，89 抽取的对甲，乙款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲 乙 93 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表：_____，_____；_____； (2)通过以上数据分析，你认为甲，乙款聊天机器人中哪一款的使用满意度更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)在此次测验中，共有2000人参加对甲，乙款聊天机器人使用满意度评分，估计此次测验中对聊天机器人非常满意的共有多少人？ 【答案】(1)40，， (2)乙款聊天机器人的使用满意度更好； (3)800人 【分析】（1）根据中位数，众数的定义，扇形中某项目所占百分数等于频数除以样本容量，解答即可； （2）利用中位数，众数决策求解即可； （3）利用样本估计总体思想求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得对乙款聊天机器人的评分数据C组占比为：， D组占比为：， 故， 根据题意，得A等级：（人），B等级：（人） C等级：80，82， 83，87，88， 89有6人， 故中位数是， 由对甲款聊天机器人的评分数据：60，65，65，71，74，76，80，82，84，84，85，85，92，92，92，92，96，96，97，98． 故众数． （2）解：乙款聊天机器人的使用满意度更好，乙的中位数，众数都高于甲的，平均数相等，故喜欢乙款． （3）解：根据题意，得甲款聊天机器人非常满意的人数为 8，占比为：； 乙款聊天机器人非常满意的占比为 ； 此次测验中对聊天机器人非常满意的共有（人）， 答：对聊天机器人非常满意的共有800人． 39．先化简，再求值：，其中 【答案】，4 【分析】先按照分式混合运算顺序化简原式，再根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则计算出的值，代入化简后的式子即可求出结果． 【详解】解： ， ， 将代入化简后的式子得： 原式． 40．列方程解下列问题： 某农场去年春季种植苹果和桃子共收获．今年春季苹果产量比去年增加，桃子产量比去年增加，苹果和桃子的总产量比去年增加． (1)去年春季苹果和桃子的产量各多少千克？ (2)今年春季收获果实时，该农场安排两组工人分别采摘苹果和桃子，每小时采摘苹果的质量是采摘桃子质量的倍，两组工人同时开始劳动，结果采摘桃子的工人比采摘苹果的工人提前15分钟完成采摘任务．问采摘苹果组的工人每小时采摘苹果多少千克？ 【答案】(1)去年春季苹果产量为，桃子产量为. (2)采摘苹果组的工人每小时采摘苹果 【分析】（1）设去年春季苹果产量为，桃子产量为.根据题意，得，解答即可； （2）设每小时采摘桃子的质量为，则每小时采摘苹果的质量是，根据题意，，解答即可． 【详解】（1）解：设去年春季苹果产量为，桃子产量为. 根据题意，得， 解得， 答：去年春季苹果产量为，桃子产量为. （2）解：设每小时采摘桃子的质量为，则每小时采摘苹果的质量是， 根据题意，， 解得， 经检验，是原方程的根， 此时， 答：采摘苹果组的工人每小时采摘苹果． 【题组九】 41．求不等式组：的所有整数解之和． 【答案】10 【分析】先分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，再在解集中找出所有整数解，求和即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为， 它们的和为． 42．学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 【答案】第一步：作图见解析；第二步：①；②；③ 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 第一步：根据题意作出图形即可； 第二步：利用证明，得出即可解答． 【详解】解：第一步：作图如下： ； 第二步：证明：，， ． 在和中， ， ． , 平分． 43．重庆高新区在“非遗贺新春寻味中国年”2026年春节系列活动期间，同步推荐了多条文旅体验路线，包括九凤山、虎峰山风景区提供的森林康养徒步，以及走马古镇、成渝古驿道等历史资源与春节活动联动，增添文化内涵其中整合推出的“古道寻踪”（简称A线）和“艺术体验”（简称B线）两条主题线路最受欢迎．某单位积极响应这一政策，组织职工对A，B两条线路进行了体验满意度评分测验（每名职工仅对一条线路进行评分），并从中各随机抽取20份评分数据，进行整理、描述和分析（评分采用整数表示，满分100分，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意，以下是部分信息单位：分）： 抽取的A线评分数据中“满意”等级的数据：84，86，86，87，87，88； 抽取的B线评分数据：66，67，68，83，85，86，86，87，87，88，88，89，95，96，96，96，98，99，100，100； 抽取的A，B线的评分统计 线路 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 88 c 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中__________， __________， __________； (2)根据以上数据，你认为哪条线路更受职工喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)此次测验有100名职工对A线进行评分，有80名职工对B线进行评分，请估计对两条线路不满意的共有多少人？ 【答案】(1)20；87；96 (2)B条线路更受职工喜爱，理由见解析 (3)22人 【分析】（1）根据已知数据的百分比即可求出a的值，根据中位数的定义即可求出b的值，根据众数的定义即可求出c的值； （2）根据非常满意的占比进行解答即可； （3）根据样本估计总体的知识进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，， 即， A线不满意和比较满意的人数为人，满意的人数为人， ∵中位数为第个和个数据的平均数， ∴， 抽取的对B线评分数据中出现次数最多的是96，即， （2）解：我认为B条线路更受职工喜爱，理由如下： 因为A线评分统计中“非常满意”所占百分比等于B线评分统计中“非常满意”所占百分比，而B线评分统计中“满意”的人数9人多于A线评分统计中“满意”的人数6人， 所以B条线路更受职工喜爱； （3）解：人， 答：估计两条线路不满意的共有22人． 44．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算分式的除法及整式的乘法，再根据二次根式的乘法和立方根求出x的值，最后代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， ， 原式． 45．列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 【答案】(1)该厂每天生产的甲文创产品数量为个，乙文创产品数量是个 (2)每天乙文创产品增加的数量是个 【分析】本题考查一元一次方程和分式方程的应用，正确理解题意，根据等量关系列方程是解题的关键． （1）设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设该厂每天乙文创产品增加的数量是个，根据“生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天”列分式方程解答即可． 【详解】（1）解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个． ， 解得：， 则甲文创产品数量为个， 答：该厂每天生产的乙文创产品数量是个，则甲文创产品数量为个． （2）解：设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个． ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 答：每天乙文创产品增加的数量是个． 【题组十】 46．解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有负整数解． 【答案】，数轴见解析，所有负整数解是 【分析】先求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分作为不等式组的解集，即可在数轴上画出解集，即可写出负整数解． 【详解】解： 由①得，； 由②得，， ∴不等式组的解集为， 所有负整数解是， 数轴表示为： 47．如图，在平行四边形中，E为线段延长线上的一点，连接．请完成以下作图和填空： (1)在平行四边形的外部，用尺规作，且交直线于点F，连接，． (2)在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴___①___， ∵，，∴___②___， 在和中，，∴， ∴___③___，，∴___④___，∴四边形是平行四边形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据题意作图即可． （2）根据题中思路求解即可． 【详解】（1）解：即为所求． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴①， ∵，， ∴②， 在和中，， ∴， ∴③，， ∴④， ∴四边形是平行四边形． 48．在观看了2025年国庆大阅兵后，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：82，83，85，86，87，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 11.0 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的_________，_________，_________； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校八年级有800名，九年级有700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】(1)，， (2)八年级学生的知识竞赛成绩更好，理由见解析； (3)估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有755人． 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据中位数、方差的意义求解即可； （3）八、九年级人数分别乘以对应年级样本中优秀人数所占比例，相加即可． 【详解】（1）解：根据数据，八年级20名学生的竞赛成绩中，93出现次数最多， 所以众数， 由题知，九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个， 所以占，则， 根据扇形图可知，竞赛成绩在C、D占，共名学生， 又20名学生竞赛成绩的中位数为从小到大排列第10、11位的平均值， 所以中位数， 故答案为：93；87.5；30． （2）解：八年级学生的知识竞赛成绩更好， 理由：两个年级的平均数相同，八年级的中位数高于九年级，方差小于九年级． （3）解：根据数据，八年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又八年级有800名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； 九年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又九年级有700名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； （人）． 答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有755人． 49．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】掌握分式的化简求值、二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值是解题的关键，先根据分式的运算法则 把分式化简，再把的值代入化简后的分式中计算． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 50．为迎接我县景颇族目瑙纵歌节，某商家第一次用6600元购进一批舞蹈扇，深受顾客喜爱，很快售完．第二次又以8000元购进同款舞蹈扇，第一次购进每把舞蹈扇的价格是第二次的倍，且第二次比第一次多购进200把． (1)求第二次购进每把舞蹈扇的价格； (2)商家以每把15元的价格进行销售，当第二次售出时，决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于3840元，则剩余的舞蹈扇每把售价至少要多少元？ 【答案】(1)第二次购进每把舞蹈扇的价格为10元 (2)剩余的舞蹈扇每把的售价至少为14元 【分析】（1）设第二次购进每把舞蹈扇的价格为元；那么第一次购进每把舞蹈扇的价格为元，根据“第二次比第一次多购进200把”列方程求解即可． （2）设剩余的舞蹈扇每把的售价至少为元，根据“第二次的销售利润不低于3840元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设第二次购进每把舞蹈扇的价格为元；那么第一次购进每把舞蹈扇的价格为元． 根据题意得， 两边同乘得：， ∴， 解得：， 检验：当时，，所以是原方程的解． 答：第二次购进每把舞蹈扇的价格为10元． （2）解：设剩余的舞蹈扇每把的售价至少为元． 根据题意得， 整理得， ∴， 解得：， 答：剩余的舞蹈扇每把的售价至少为14元． 【题组十一】 51．解不等式组：，并写出所有整数解． 【答案】，所有整数解为 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为． 52．如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，于点E． (1)用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线，交于点F．（只保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，若，求证：四边形为矩形．（请完成下面的填空） 证明：∵，， ∴，， ∴①______， 在和中， ， ∴， ∴③______， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴④______， ∴四边形是矩形； 【答案】(1)作图见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）以点D为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，分别以该两点为圆心，大于该两点距离的一半为半径在下方画弧，两弧交于一点，最后连接点D和该点，与交点F，则点F为的垂足； （2）利用已知条件证明，得到，再结合平行四边形的性质证得，从而得证结论． 【详解】（1）解：如图所示，垂线即为所求： （2）证明：∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形． 53．体考将近，某校在九年级甲、乙两个班各随机抽取了20名学生的立定跳远成绩进行统计．成绩均不低于6分，用x表示，共分为四组： （A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 甲班20名学生的成绩是：6，8，9，9，9，10，10，10，11，11，12，13，13，13，13，14，14，15，15，15． 乙班20名学生的成绩在C组中的数据是：12，12，13，14，14． 甲、乙两个班级抽取的学生成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 甲 a 乙 b 15 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______；______；______； (2)根据以上数据分析，你认为哪个班级学生的立定跳远成绩更好？请说明理由： （写一条） (3)若该校九年级共有1600人，且得分在12分及以上为优秀，请估计九年级学生立定跳远成绩达到优秀的人数． 【答案】(1)13，12，30 (2)乙班成绩更好，理由：乙班的中位数（或众数）高于甲班 (3)840人 【分析】（1）甲班20个成绩中13出现4次为众数，得，乙班根据扇形图求出，将乙班20个成绩从小到大排列，第10、11个数的平均数为中位数； （2）从平均数、中位数、众数三个角度比较两班成绩，选择合适的统计量说明哪个班更好； （3）先求出两班40人中优秀的总人数，计算优秀率，再用样本优秀率估计九年级1600人中优秀的人数． 【详解】（1）解：甲班20名学生成绩中，13出现次数最多， ， 乙班20名学生的成绩在C组所占百分比， ，即， 乙班各组人数：A组：人，B组：人，C组：5人，D组：人， 乙班成绩排序后，中位数为第10、11个数的平均数： ∵A组6人，B组3人， ∴第10、11个数在组， ； （2）解：乙班成绩更好，理由： 从平均数看，两班都是11.5，相同， 从中位数看，乙班甲班11.5，乙班更好， 从众数看，乙班甲班13，乙班更好， 答：乙班成绩更好，理由：乙班的中位数（或众数）高于甲班； （3）解：人， 答：估计九年级学生立定跳远成绩达到优秀的人数为840人． 54．先化简，再求值：，其中． 【答案】；3 【分析】先化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： 当时， 原式． 55．清明节期间，某区组织了“文明祭祀+文旅引导”活动．志愿者分为A组（文明祭祀宣传组）和B组（文旅引导组）．已知A组和B组志愿者总人数为85人，其中B组志愿者人数比A组志愿者人数的2倍多10人． (1)求A，B两组各有多少名志愿者？ (2)活动当天，A组需完成60个社区的宣传任务，B组需完成3600人次的游客引导任务，每名志愿者每小时可完成2个社区的宣传任务，或完成30人次的游客引导，为了平衡两组完成任务的时间，现需要从A组调配部分志愿者到B组，使得两组完成各自任务的时间相同，求从A组调到B组的志愿者人数． 【答案】(1)A组有25名志愿者，B组有60名志愿者 (2)从A组调到B组的志愿者人数为8人 【分析】（1）设组有名志愿者，则组有名志愿者，根据组志愿者人数比组志愿者人数的2倍多10人，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即组志愿者的人数），再将其代入中，即可求出组志愿者的人数； （2）设从组调到组名志愿者，根据两组完成各自任务的时间相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设组有名志愿者，则组有名志愿者， 根据题意得：， 解得：， ， ∴组有25名志愿者，组有60名志愿者； （2）解：设从组调到组名志愿者， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：从组调到组8名志愿者． 【题组十二】 56．求不等式组的所有整数解． 解：解不等式①，得___________， 解不等式②，得___________， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为___________． 整数解为___________． 【答案】，，图见解析，，或或或或 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再表示在数轴上，结合数轴即可得出解集． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为． 整数解为或或或或． 57．如图，已知在矩形中，点是边上一点． (1)尺规作图：作的角平分线交于点，交延长线于点，连接、；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（）的条件下，若，求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ，， 又， ∴①______， ， 又，平分， ， 又， 在和中，， ， ∴②______， 平分，， ，， ∴③______， ， ， ∴④______， 又， 四边形是菱形． 【答案】(1)作图见解析 (2)，，，四边形是平行四边形 【分析】（）根据题意作出图形即可； （）由矩形的性质可得，即得，得到，由角平分线的性质即得，即可证，得到，再根据平行线的性质和角平分线的定义可得，得到，即得到，即可证四边形是平行四边形，进而即可求证． 【详解】（1）解：作图如下： （2）证明：∵四边形是矩形， ，， 又， ∴， ， 又，平分， ， 又， 在和中，， ， ∴， 平分，， ，， ∴， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形， 故答案为：，，，四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了角平分线的作法和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，菱形的判定，正确画出图形是解题的关键． 58．普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，为了宣传普法知识，我校在普法宣传日中开展了法律知识竞赛，从八、九年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析．数据整理如下：（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．） 八年级20名学生的成绩是：99，81，95，89，85，100，86，87，92，79，90，93，94，95，87，95，75，95，85，98． 九年级20名学生的成绩在组中的数据是：91，91，93，92，92． 八、九年级抽取的学生成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 90 91 九年级 90 96 九年级抽取的学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)通过以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)我校八、九年级共有2000人参加此次知识问答活动，请你估计参加此次问答活动成绩优秀的学生有多少人． 【答案】(1)，，； (2)九年级成绩相对更好，理由见解析； (3)估计参加此次问答活动成绩优秀的学生有1250人． 【分析】本题考查了中位数、众数、用样本估计总体，理解中位数、众数的意义，掌握用样本估计总体的方法是正确解答的关键． （1）先求出组所占的百分比，再求得值，再根据众数、中位数的定义求解出答案； （2）依据众数的意义求解即可； （3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【详解】（1）九年级C组学生人数所占百分比为， ，即， 九年级成绩在A、B组人数为（人）， 所以九年级20名学生成绩中第10、11个数据落在组，将组数据从小到大排列后，可知成绩分别为92、93， 所以其中位数为， 根据八年级20名学生的成绩数据，可知出现次数最多，所以八年级成绩的众数， 故答案为：45、、95； （2）九年级成绩相对更好， 理由如下：九年级测试成绩的众数96大于八年级的众数95； （3）（人） 答：估计参加此次问答活动成绩优秀的学生有1250人． 59．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】第一步：首先，根据分式的混合运算规则化简分式：按照先展开多项式乘多项式，单项式乘多项式，同时将分式的分子分母进行因式分解及分式通分，再合并同类项，将除法运算变乘法运算进行约分，然后，再进行通分、合并，将分式化为最简形式；第二步：按照实数混合运算法则及特殊角的三角函数值得出；第三步：再将代入化简后的最简分式进行分母有理化运算即可． 【详解】解：原式 ， 由，得 ， ∴原式 ． 60．年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进甲、乙两种型号的“春晚同款”机器人进行销售． (1)若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元；若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ (2)在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的机器人各投入万元分别进行采购，因技术升级，甲型机器人的进价每台降低万元，乙型号机器人的进价每台降低万元．则所购甲型机器人的数量是所购乙型机器人的数量的，求的值． 【答案】(1)甲型机器人的每台进价为万元，乙型机器人的每台进价为万元 (2)的值为 【分析】（1）设甲、乙两种型号机器人每台的进价分别为、万元，根据题意列出二元一次方程组，并求解即可； （2）根据题意列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号机器人每台的进价分别为、万元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲型机器人每台的进价为万元，乙型机器人每台的进价为万元． （2）解：根据题意得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解且符合题意． 答：的值为． 【题组十三】 61．求不等式组：的所有整数解。 解：解不等式①，得________ 解不等式②，得________ 不等式组的解集为________ 满足条件的所有整数解为________ 【答案】 ；；； 【分析】首先求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即可. 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 满足条件的所有整数解为. 62．学习了三角形和四边形相关知识后，某兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现利用三角形的中线、全等三角形可构造出特殊四边形．请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在中，是边上的中线，E为上一点，且，用尺规在下方作，交的延长线于点F，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形是矩形．（请完成下面的填空） 证明：是边上的中线， ①________． 在和中， ， ． ． ③________． ， ． ④________． 四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)，，四边形是平行四边形， 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法作图即可； （2）根据证明过程结合图形填空即可． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）证明：是边上的中线， ． 在和中， ， ． ． 四边形是平行四边形． ， ． ． 四边形是矩形． 63．为了了解全校学生对学校食堂餐饮服务的满意程度，学校对七、八年级学生进行了问卷调查。现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名同学的问卷，对食堂餐饮服务满意度的评分进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：抽取的七年级学生的评分数据中“满意”包含的所有数据：89，85，85，87，87，83； 抽取的八年级学生的评分数据： 68，69，76，78，81，84，85，86，87，87， 87，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 七、八年级所抽学生对食堂满意度统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 88 a 96 八年级 88 87 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对学校食堂餐饮服务满意度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七、八年级共有1600名学生，请估计该校七、八年级学生对学校食堂餐饮服务非常满意（）的学生共有多少人． 【答案】(1)88，98，45 (2)见解析 (3)680 【分析】（1）所以先根据扇形统计图算出七年级各等级人数，结合已知的“满意”人数，将20个数据排序后取中间两个数的平均值得到中位数；统计八年级评分数据中出现次数最多的数值即可确定八年级众数；用1减去不满意、比较满意、满意的百分比之和，再转化为对应数值即可求m． （2）可以从平均数、中位数、众数、各等级占比等统计量入手，选择一个能体现满意度差异的统计量进行分析． （3）先分别算出七、八年级样本中非常满意的人数占比，再用总人数1600乘以两个年级非常满意人数的总占比． 【详解】（1）七年级共抽取20人，“满意”有6个数据，占比， ∴，得， 七年级：不满意共人，比较满意共人， ∴前5个数是不满意和比较满意，第6~11位都是“满意”数据； 将满意数据从小到大排列：， 对应第10位是87，第11位是89，中位数． 八年级20个数据中，98出现4次，次数最多， ∴众数． （2）七年级学生对食堂的满意度更高， 理由：七、八年级满意度评分的平均数相同，七年级的中位数高于八年级的中位数，说明七年级整体评分更高，因此满意度更高． （3）抽取的40名学生中，非常满意的人数为：七年级人，八年级共8人， 总非常满意人数为． ∴（人） 答：估计该校七、八年级非常满意的学生共有人． 64．先化简，再求值，其中． 【答案】 ； 【分析】先根据整式乘法运算法则和分式混合运算法则化简，再利用特殊三角函数值和负整数幂求出的值，代入计算即可． 【详解】解： ； ∵ ， ∴原式 ． 65．春节前，某商场进货员预测一种“吉祥马”挂件能畅销市场，就用3000元购进一批这种“吉祥马”挂件，面市后果然供不应求，商场又用6720元购进了第二批这种“吉祥马”挂件，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了6元． (1)该商场购进第一批、第二批“吉祥马”挂件每件的进价分别是多少元？ (2)若两批“吉祥马”挂件按相同的标价销售，要使两批“吉祥马”挂件全部售完后获利不低于2600元（不考虑其他因素），且最后的20件“吉祥马”挂件按八折优惠售出，那么每件“吉祥马”挂件的标价至少是多少元？ 【答案】(1) 该商场购进第一批“吉祥马”挂件的进价是50元/件，第二批“吉祥马”挂件的进价是56元/件； (2) 每件“吉祥马”挂件的标价至少是70元． 【分析】（1）设该商场购进第一批每件的进价为x元，第二批“吉祥马”挂件每件的进价为元，根据“所购数量是第一批购进数量的2倍”列分式方程求解检验即可； （2）设每件“吉祥马”挂件的标价是y元，根据两批“吉祥马”挂件全部售完后获利不低于2600（不考虑其他因素），且最后的20件“吉祥马”挂件按八折优惠售出，列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设该商场购进第一批每件的进价为x元，第二批“吉祥马”挂件每件的进价为元， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元/件）． 答：该商场购进第一批“吉祥马”挂件的进价是50元/件，第二批“吉祥马”挂件的进价是56元/件； （2）解：该商场购进第一批“吉祥马”挂件的数量是（件），该商场购进第二批“吉祥马”挂件的数量是（件）． 设每件“吉祥马”挂件的标价是y元， 根据题意得：， 解得：， ∴y的最小值为70． 答：每件“吉祥马”挂件的标价至少是70元． 【题组十四】 66．解不等式组：，并求出它的所有整数解． 解：解不等式①得________， 解不等式②得________， 所以，原不等式组的解集为________， 所以，原不等式组的整数解为________． 【答案】；；；，，0 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后写出整数解即可． 【详解】解：解不等式①得， 解不等式②得， 所以，原不等式组的解集为， 所以，原不等式组的整数解为，，0． 67．如图，在平行四边形中，． (1)用尺规完成以下基本作图：过点B作的垂线，交于点F；（保留作图痕迹，不写作法） (2)根据（1）中作图，连接，．求证：四边形为平行四边形，并完成下列证明过程． 证明：四边形为平行四边形， ，， ____①____． ，， ． 在和中，， ． ____②____． ，， ． ____③____． 四边形为平行四边形． 请你依照题意完成下面命题：在长和宽不相等的矩形中，连接任意一条对角线，过另外两个顶点作这条对角线的垂线段，这两个顶点与两个垂足组成的四边形为____④____． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④平行四边形； 【分析】（1）利用过直线外一点作已知直线的垂线的作法作图即可； （2）先利用平行四边形的性质证明，，再证明，得出，再证明，即可证明四边形为平行四边形；同理得出结论． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）证明：四边形为平行四边形， ，， ． ，， ． 在和中，， ． ． ，， ． ． 四边形为平行四边形． 请你依照题意完成下面命题：在长和宽不相等的矩形中，连接任意一条对角线，过另外两个顶点作这条对角线的垂线段，这两个顶点与两个垂足组成的四边形为平行四边形． 理由如下：如图，四边形是矩形，于点，于点， 四边形为矩形， ，， ． ，， ． 在和中，， ． ． ，， ． ． 四边形为平行四边形． 68．【问题背景】有关研究表明，维生素C（学名：抗坏血酸）对豚鼠牙齿生长有一定的影响．生物课上，老师带领同学们对此项结论进行探究，随机选出相同品种的豚鼠共40只，平均分为两组，每天分别喂食和剂量的维生素C，在一定时间后测量豚鼠牙齿的生长情况． 【实践发现】一周后，同学们对两组豚鼠的牙齿生长长度进行了测量（牙齿生长长度用表示，单位为毫米，分为四组：；；；；）下面给出部分信息： 剂量组中豚鼠牙齿生长长度在区间的数据为： 10，10，11，12，12，12，13，14，14 剂量组中豚鼠牙齿生长长度的数据为： 6，7，7，8，8，12，12，12，12，13，13，13，14，14，15，17，17，21，23，25 【实践探究】 两种剂量组中豚鼠牙齿生长长度统计表 剂量 平均数 12 中位数 13 众数 12 剂量组中豚鼠牙齿生长长度扇形统计图 【问题解决】 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中 ， ， ； (2)请判断哪种剂量更适合豚鼠牙齿的生长，并说明理由；（写出一条理由即可） (3)若养殖基地准备按和的剂量分别投喂1000和1500只豚鼠，并在一周后，对牙齿生长长度低于的豚鼠再进行加大剂量投喂，请估计大概有多少只豚鼠需要加大剂量投喂？ 【答案】(1)，， (2)剂量更适合豚鼠牙齿的生长，理由见解析； (3)估计大概有只豚鼠需要加大剂量投喂． 【分析】（1）计算剂量组中豚鼠牙齿生长长度在各区间的数量，根据中位数的定义可得，根据众数的定义可得，根据剂量组中豚鼠牙齿生长长度在各区间的百分比之和等于，可得; （2）比较平均数的大小即可； （3）用两种剂量的豚鼠总数分别乘以对应的牙齿长度在区间所占的比例，相加即可． 【详解】（1）解：（只），， ∵剂量组中豚鼠牙齿生长长度在区间的有只，区间有（只），区间有（只），区间有（只）， ∴剂量组中豚鼠按照牙齿长度从小到大的顺序排列，第只和第只的牙齿长度分别为区间的第个和第个数据， ∴， ∵剂量组中豚鼠牙齿生长长度的数据中，出现次数最多的为， ∴， ， ∴． （2）解：剂量更适合豚鼠牙齿的生长． 理由：剂量组中豚鼠牙齿生长长度的平均数（）大于剂量组中豚鼠牙齿生长长度平均数（）． （3）解：（只） ∴估计大概有只豚鼠需要加大剂量投喂． 69．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查整式的混合运算，分式的混合运算，代数式的化简求值，涉及多项式乘法、分式运算和负整数指数幂、零指数幂的计算．先化简代数式，再计算x的值，最后代入求值． 【详解】解：原式 ． ， 原式． 70．列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【答案】(1)360个；240个 (2)80 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用： （1）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个，根据题意列分式方程，解方程即可． （2）先根据（1）中结论求出工人总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个． 根据题意，得． 化为整式方程，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解． 则． 答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个． （2）解：工人总数为：（人）． 根据题意，得． 整理得． 解得，（舍去）． 答：的值为80． 【题组十五】 71．解不等式组：，并写出它的正整数解． 【答案】，1 【分析】分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律：大小小大中间找确定不等式组的解集，然后再确定它的正整数解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， 则它的正整数解为1． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握不等式组确定解集的方法． 72．如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点． (1)用尺规完成以下基本作图：作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． (2)求证：四边形是菱形． 证明：由知， ． ， 四边形是平行四边形（ ② ） 是斜边上的中线， ③ ． 平行四边形是菱形． 请进一步思考：若，则四边形是 ④ ． 【答案】(1)见解析； (2)(同位角相等，两直线平行)，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，，正方形． 【分析】本题主要考查了尺规作图作、菱形的判定、正方形的判定． 利用尺规作图过点作即可； 根据同位角相等两直线平行可证，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可证四边形是菱形； 若，可证，根据等腰三角形的三线合一定理可证，根据有一个角是直角的菱形是正方形，可证四边形是正方形． 【详解】（1）解：如下图所示， 以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、， 以点为圆心，相同的长度为半径画弧，交于点， 以点为圆心，为半径，交前弧于点， 连接交于点， 即为所求； （2）证明：由知， (同位角相等，两直线平行)， ， 四边形是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)， 是斜边上的中线， ， 平行四边形是菱形； 若， 则, ， 点是的中点， ， ， 四边形是正方形． 故答案为：(同位角相等，两直线平行)，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，，正方形． 73．某教育平台推出A，B两款人工智能学习辅导软件，相关人员开展了A，B两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分测验，并从中各抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为以下四个等级：不满意（），比较满意（），满意（），非常满意（），下面给出了部分信息： 抽取的对A款人工智能学习辅导软件的所有评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，94，95，98，98，99，100． 抽取的对B款人工智能学习辅导软件的评分中“满意”的数据：86，86，87，88，88，89，90． A，B款人工智能学习辅导软件的所有评分统计表 软件 平均数 中位数 众数 方差 A 86 a B 86 b 88 (1)填空： ， ， ． (2)根据以上数据，你认为哪款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条即可） (3)本次调查中，有800名用户对A款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名名用户对B款人工智能学习辅导软件进行了评分，估计其中对A，B两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数． 【答案】(1)，25， (2)款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎，见解析 (3)估算满意的用户人数为人 【分析】（1）根据中位数，众数的定义，圆心角的计算方法求解即可； （2）根据平均数，中位数，众数作出决策即可； （3）利用样本估计总体计算即可． 【详解】（1）解：依题意，对A款的评分数据中，分频数最高， 因此众数； 对B款的评分数据中，“满意”的人数为7人，占比为： ， 因此 因此． 中位数是第10位86与第11位87的平均数，为，因此； （2）解：款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎， 理由如下: 款人工智能学习辅导软件使用满意度评分的中位数为，高于A款人工智能学习辅导软件使用满意度评分的中位数， 所以款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎； （3）解：依题意，20份数据中，对款非常满意的数据为6份，而对款非常满意的数据占比为， 所以：， 因此估算非常满意的用户人数为人． 74．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先化简，然后根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值求值，解答即可． 【详解】解：原式 ． 又． 当时， 原式 ． 75．重庆中国三峡博物馆围绕馆藏的战国青铜鸟形尊文物，开发了多款兼具文化内涵与实用性的文创商品．该系列文创商品将鸟形尊憨态可掬的形态进行卡通化复原，其造型可爱、颜色醒目，深受年轻人喜爱．其中鸟形尊冰箱贴和鸟形尊纸艺书签销售火爆．已知一个鸟形尊冰箱贴的售价比一个鸟形尊纸艺书签售价高16元，且购买三个鸟形尊冰箱贴和两个鸟形尊纸艺书签共需108元． (1)求一个鸟形尊冰箱贴的售价和一个鸟形尊纸艺书签的售价各是多少元？ (2)五一节促销期间，鸟形尊冰箱贴每个降价元，鸟形尊纸艺书签每个降价m元，促销后鸟形尊冰箱贴总销售额为3300元，鸟形尊纸艺书签总销售额为900元，且鸟形尊冰箱贴的销量比纸艺书签多，求m的值． 【答案】(1)一个鸟形尊冰箱贴的售价和一个鸟形尊纸艺书签的售价分别是和元 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设一个鸟形尊纸艺书签的售价为元，则一个鸟形尊冰箱贴的售价为元，依题意，列式，解得，即可作答． （2）先得鸟形尊冰箱贴每个元，鸟形尊纸艺书签每个元，依题意，，解得，最后验根，即可作答． 【详解】（1）解：设一个鸟形尊纸艺书签的售价为元， ∵一个鸟形尊冰箱贴的售价比一个鸟形尊纸艺书签售价高16元， ∴一个鸟形尊冰箱贴的售价为元， ∴， 解得， ∴（元）， ∴一个鸟形尊冰箱贴的售价和一个鸟形尊纸艺书签的售价分别是和元； （2）解：由（1）得一个鸟形尊冰箱贴的售价和一个鸟形尊纸艺书签的售价分别是和元； 则五一节促销期间，鸟形尊冰箱贴每个元，鸟形尊纸艺书签每个元， 依题意， 整理得 ∴， 经检验：是原分式方程的解， ∴． 【题组十六】 76．求不等式组的所有整数解的和． 【答案】 【分析】分别求出每个不等式的解集，从而得出所有整数解，求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得． 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的所有整数解为：，，，0． ∴不等式组的所有整数解的和为：． 77．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，平分，交于点E． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：四边形为平行四边形． 证明：四边形为平行四边形， ，①________________， ∴②________________． 平分，平分， ， ∴③________________， ， ∴④________________， ∴四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④ 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． （1）先以点A为圆心，一定长为半径画弧，交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点的距离的一半画弧，两弧交于一点，然后连接该点与点A，交于点F，即为所求； （2）根据平行四边形的性质可推出，，再结合角平分线可推出，从而利用证得，进而得到，最后根据对角线相互平分的四边形为平行四边形即可得到结论． 【详解】（1）解：如下图，即为所求， （2）证明：四边形为平行四边形， ，， ∴． 平分，平分， ， ∴， ， ∴， ∴四边形为平行四边形． 故答案为：①；②；③；④． 78．中考体考在即，为掌握本校九年级学生的体育训练成效，从慧学班、雅行班两班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行整理、描述和分析．（成绩用x表示，满分50，共分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 慧学班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据为：47，48，48，49，47，46，48，49． 雅行班20名学生的体测成绩为：44，48，44，39，45，48，47，47，48，42，48，45，49，50，49，50，49，50，48，50． 两班抽取的学生体测成绩统计表 慧学班 雅行班 平均数 47 47 众数 50 b 中位数 a 48 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表中，________，________，________； (2)根据上述数据，你认为哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)该校九年级共有800名学生参加本月体测，根据以上信息，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？ 【答案】(1)49；48；45 (2)慧学班成绩较好，理由见解析 (3)估计这次体测成绩为满分的学生人数是260人 【分析】（1）根据中位数的定义即可得出的值，根据众数的定义即可得出的值，先求出慧学班学生的体测成绩在D组的人数，再求出慧学班学生的体测成绩在D组的人数所占比例，即可得出的值； （2）结合中位数和平均数分析即可得出结果； （3）分别求出两个班级中满分的人数，再利用800乘以此次体测成绩获得满分的学生人数所占的比例即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：慧学班学生的体测成绩在A组的人数为：（人）, 慧学班学生的体测成绩在B组的人数为：（人）， 慧学班学生的体测成绩在C组的人数为：人， 将慧学班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据按照从小到大排列为：46，47，47，48，48，48，49，49， 故慧学班20名学生的体测成绩处在第位和第位的成绩分别为49和49，故中位数； 雅行班20名学生的体测成绩中出现次数最多的为，故众数， 慧学班学生的体测成绩在D组的人数为：， ∴， ∴； （2）解：慧学班成绩较好，理由如下： 慧学班的平均数与雅行班一样，但中位数49大于雅行班中位数48，所以慧学班较好； （3）解：两个班级中，慧学班满分的有：（人），雅行班满分的有4人． ∴估计这次体测成绩为满分的学生人数是：（人）． 答：估计这次体测成绩为满分的学生人数是260人． 79．先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简原式，再把化简后的x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 80．某玩具车间准备用10天时间生产6000个“哪吒”套盒，计划先安排甲组工人生产4天，再安排乙组工人加入共同生产，则刚好能如期完成．已知甲组每天比乙组少生产200个套盒． (1)求甲组每天生产多少个套盒？ (2)实际生产过程中，甲组生产4天后，车间负责人给甲、乙两个小组分别增加2名工人，并将剩下的任务平均分给两个小组．增加人员后，甲、乙两小组每天生产的数量比为，甲小组完成剩下生产任务的天数比乙小组多2天，求增加人员前，甲组有多少名工人？（每人每天生产的数量相同） 【答案】(1)甲组每天生产个套盒 (2)增加人员前，甲组有名工人 【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解即可． （1）设乙组每天生产个套盒，则甲组每天生产个，由此列一元一次方程求解即可； （2）设甲组每天生产数量为个，乙组每天生产数量为个，由此列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：∵甲组每天比乙组少生产200个套盒， ∴设乙组每天生产个套盒，则甲组每天生产个， ∴， 解得，， ∴， ∴甲组每天生产个套盒； （2）解：甲组生产4天，则剩下的任务数量为：（个）， ∴甲、乙两组各分得（个）， ∵甲、乙两小组每天生产的数量比为， ∴设甲组每天生产数量为个，乙组每天生产数量为个， ∵甲小组完成剩下生产任务的天数比乙小组多2天， ∴， 解得，， 经检验：是方程的解， ∴增加2名工人后，甲组每天生产数量为个/天，乙组每天生产数量为个/天， ∴甲组每人每天可生产个， ∴甲组原有人数为（人），即增加人员前，甲组有名工人． 【题组十七】 81．求不等式组：的所有整数解． 【答案】 【分析】先分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，最后找出解集范围内的所有整数即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 其整数解为． 82．学习了菱形后，小海想在平行线间作出一个菱形，他发现：通过角平分线，垂线，再利用全等三角形等知识可得到菱形．请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，已知，用尺规完成以下基本作图：作的平分线与交于点C，过点B作交于点D，交于点O，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）中所作的图形中，求证：四边形是菱形． 证明：平分， ， ， ， ________①， ， 又， ， 又∵， ， ________②， ， 又________③， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线及垂线的尺规作图即可； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，则可得，然后根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可得证． 【详解】（1）解：作的平分线，过点作交于点，交于点，连接，作图如下： （2）证明：平分， ， ∵， ， ， ， 又， ， 又， ， ， ∴ 又∵， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 83．为了解落实“光盘行动”的情况，学校从七、八年级各随机抽取20名学生，对其午餐剩余饭菜重量（以下简称“餐余重量”，单位：克）的数据进行整理、描述和分析．所有学生的餐余重量均不超过500克（餐余重量用x表示，共分成四组：A．；В．；C．；D．）．下面给出了部分信息： 七年级20名学生的餐余重量是：52，60，76，83，87，120，130，151，151，178，212，220，228，255，260，274，320，350，375，418 八年级20名学生的餐余重量在B组中的数据是：120，123，144，153，172，180，198 七、八年级所抽学生的餐余重量统计表 年级 七年级 八年级 平均数 200 190 中位数 195 b 众数 a 220 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，_____； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生“光盘行动”落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七、八年级共有980名学生，请估计该校七、八年级午餐餐余重量不超过100克的学生共有多少人？ 【答案】(1)151，176 (2)八年级的学生“光盘行动”落实得更好，理由见解析 (3)245人 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求出； （2）根据平均数和中位数进行判断即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：七年级的数据中出现次数最多的是151，故； 八年级A组的人数为， 把八年级20名学生的餐余重量按照从低到高的顺序排列，第10个和第11个数据分别为172和180， 故； （2）解：八年级的学生“光盘行动”落实得更好，理由如下： 七年级所抽学生的餐余重量的平均数和中位数均高于八年级，故八年级的学生“光盘行动”落实得更好； （3）解：（人）； 答：估计该校七、八年级午餐餐余重量不超过100克的学生共有245人． 84．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】整式部分先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，分式部分先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，接着把两部分的结果通分化简，最后求出x的值，并代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 85．列方程（组）解下列问题： 旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范．某手工作坊制作如图所示的“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟． (1)求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟； (2)因工作坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的4倍，50个小时制作的“花扣”对数是30个小时制作的“一字扣”对数的，求升级后制作一对“一字扣”需多少分钟． 【答案】(1)制作一对“花扣”需要80分钟，则制作一对“一字扣”需15分钟 (2)升级后制作一对“一字扣”需20分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用等知识． （1）设制作一对“花扣”需要x分钟，根据制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟列出方程，解方程即可求解； （2）设升级后制作一对“一字扣”需增加y分钟，根据50个小时制作的“花扣”对数是30个小时制作的“一字扣”对数的列分式方程，解分式方程即可求解． 【详解】（1）解：设制作一对“花扣”需要x分钟，则制作一对“一字扣”需分钟． 由题意得， 解得， ． 答：制作一对“花扣”需要80分钟，则制作一对“一字扣”需15分钟； （2）解：设升级后制作一对“一字扣”需增加y分钟， 由题意得， 整理得， 去分母得， 解得， 经检验是原分式方程的解， ∴分钟． 答：升级后制作一对“一字扣”需20分钟． 【题组十八】 86．求不等式组的所有整数解． 解：解不等式，得______， 解不等式，得______， 所以原不等式组的解集为______， 因此满足原不等式组的所有整数解为______． 【答案】；；；，，，，． 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后写出整数解即可解答． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以原不等式组的解集为， 因此满足原不等式组的所有整数解为，，，，． 87．小渝学习角平分线的性质后，进行了拓展性探究．他发现在平行四边形中，过其中一内角的顶点作相邻内角角平分线的垂线，则这条垂线也是这个内角的角平分线，请根据他的思路完成以下作图与填空： (1)用尺规完成以下作图：作的平分线交于点，过点作的垂线交于点（只保留作图痕迹） (2)已知：在平行四边形中，平分，，求证：平分． 证明：四边形是平行四边形 ① 平分 ② ③ ④ 平分 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作角平分线和垂线的方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质，直角三角形的性质，角的和差关系进行作答即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）证明：四边形是平行四边形， ， ； 平分， ； ， ， ， ，， ， ， 平分． 88．观影是休闲放松的选择之一．为了解大家对电影的评价情况，小川同学从电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取名观众对电影评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析，所有观众的评分均高于分（电影评分用表示，共分成四组：；；；），下面给出了部分信息： 上午名学生的评分为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 下午名学生的评分在组的数据是：，，，，，，，． 上、下午所抽观众的评分统计表 上午 下午 平均数 中位数 众数 (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由（至少用两种统计量说明）； (3)上午有名观众，下午有名观众参加了此次评分调查，估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是多少？ 【答案】(1)；；； (2)上午的观众对电影的评分较高．理由见解析 (3)估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是名． 【分析】本题考查了求中位数，众数，用样本估计总体，读懂图表，获取信息，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据中位数，众数的定义，即可求出和的值，先求出下午组的人数所占百分比，即可求出的值； （）根据上午和下午平均数，中位数，众数，即可得出结论； （）将上午和下午认为电影特别优秀的观众人数相加即可． 【详解】（1）解：在上午名学生的评分中，出现的次数最多，故众数； 下午名学生的评分在组有：（名），组有：（名）， 把下午名学生的评分从小到大排列，排在中间的两个数分别是：，，故中位数； ，即； 故答案为：；；； （2）解：上午的观众对电影的评分较高， 理由如下：因为上、下午观众对电影的评分的平均数相同，但上午的中位数和众数比下午的高，所以上午的观众对电影的评分较高； （3）解： （名）， 答：估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是名． 89．先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，分式的化简求值，零指数幂与负整数指数幂，应按运算顺序，先进行整式的乘方与乘法运算和分式的括号内通分运算，再进行分式的除法运算，最后进行加法运算，再根据负整数指数幂与零指数幂求得，最后代入求值． 【详解】解： 其中． ∴原式． 90．为推进乡村振兴，某农业合作社组织村民种植两种经济作物——高粱和玉米，去年共收获，今年村民种植技术提升，高粱产量比去年增加，玉米产量比去年增加，两种作物总产量比去年增加． (1)求去年高粱和玉米的产量各是多少千克？ (2)今年收割时，合作社安排两组村民同时开始工作：甲组负责收割高粱，乙组负责收割玉米，已知甲组每小时收割高粱的效率是乙组收割玉米效率的倍，最终甲组比乙组提前分钟完成任务，问乙组每小时收割玉米多少千克？ 【答案】(1)去年高粱的产量是千克，去年玉米的产量是千克； (2)乙组每小时收割玉米千克． 【分析】（）设去年高粱的产量是千克，去年玉米的产量是千克，根据题意得，然后解方程组即可； （）设乙组每小时收割玉米千克，则甲组每小时收割高粱千克，根据题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设去年春季高粱的产量是千克，去年玉米的产量是千克， 根据题意得：， 解得：， 答：去年高粱的产量是千克，去年玉米的产量是千克； （2）解：设乙组每小时收割玉米千克，则甲组每小时收割高粱千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：乙组每小时收割玉米千克． 【题组十九】 91．求不等式组：的所有整数解． 【答案】3，4，5 【详解】解：， 解不等式得： 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ∴该不等式组的所有整数解为3，4，5． 92．如图，四边形是平行四边形，对角线，交于点O，过点C作，交于点E． (1)尺规作图：过点A作，交于点F，连接，：（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：四边形为平行四边形． 证明：∵四边形为平行四边形，对角线交于点O， ∴①________． ∵，， ∴②________， 在和中， ∴， ∴④________， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）利用基本作图，过A点作的垂线即可； （2）先根据平行四边形的性质得到，再证明，接着证明得到，然后根据平行四边形的判定方法可判断四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：如图，即为所作． （2）证明：∵四边形为平行四边形，对角线交于点O， ∴①． ∵，， ∴②， 在和中 ， ∴， ∴④， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 93．学校开展了“心理健康知识竞赛”活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：82，83，84，84，85，85，85，89． 八年级20名学生竞赛成绩是：67，71，78，78，79，82，84，86，86，87，87，87，90，92，92，93，95，97，99，100． 七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86.5 a 85 八年级 86.5 87 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生心理健康知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）： (3)该校七年级有学生700人，八年级有学生650人，请估计该校七、八年级心理健康知识竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少人？ 【答案】(1)84.5，87，30 (2)八年级，理由见解析 (3)470人 【分析】（1）先求出七年级20名学生竞赛在C、D组中的数据的人数，再利用中位数定义求出的值，利用众数定义求出的值，再求出七年级20名学生竞赛在A组中的数据的人数，即可求出的值； （2）根据平均数、中位数及众数分析即可得出结果； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【详解】（1）解：七年级20名学生竞赛在C、D组中的数据有（人）， ∵七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到大排列后的第10和11个数据，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是84，85， ∴， ∵八年级20名学生竞赛成绩中出现次数最多的是87，共计3次， ∴， 七年级20名学生竞赛在B组中的数据有8人， ∴七年级20名学生竞赛在A组中的数据有（人）， ∴， ∴； （2）解：该校八年级学生心理健康知识竞赛的成绩较好，理由： 因为该校七、八年级学生心理健康知识竞赛的成绩的平均数相同，但八年级竞赛的成绩的中位数大于七年级竞赛的成绩的中位数，且八年级竞赛的成绩的众数大于七年级竞赛的成绩的众数， 所以该校八年级学生心理健康知识竞赛的成绩较好； （3）解：（人）， 答：估计该校七、八年级心理健康知识竞赛成绩不低于90分的学生人数共有470人． 94．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】由整式混合运算法则、分式混合运算法则化简，再计算的值代入化简结果计算即可求解． 【详解】解： ， ， 原式． 95．列方程解应用题：学校迎来周年校庆盛典，为留存校园专属记忆、传递校庆温情，校文创社精心筹备了校庆纪念徽章与纪念书签系列产品，并将60名社团成员分成徽章组和书签组分别负责制作两种产品． (1)文创社推出校庆纪念套装，每套由1枚徽章和2枚书签组成．已知每名成员平均每小时可以制作15枚徽章或10枚书签，且每人每小时只能制作一种产品，该社团应在徽章组和书签组各安排多少名成员，才能使每小时制作的徽章与书签正好配套？ (2)在第（1）问的人员安排下，社团从书签组抽调若干名成员到徽章组，抽调后，剩余人员继续制作书签．已知抽调后，制作900枚徽章所用的时间，与制作400枚书签所用的时间相等．求从书签组中抽调了多少人到徽章组？ 【答案】(1)该社团应在徽章组安排名成员，在书签组安排名成员，才能使每小时制作的徽章与书签正好配套； (2)从书签组中抽调了人到徽章组． 【分析】（1）该社团应在徽章组安排名成员，则在书签组各安排名成员，才能使每小时制作的徽章与书签正好配套，根据每套由1枚徽章和2枚书签组成列方程并解方程即可； （2）设从书签组中抽调了人到徽章组，根据制作900枚徽章所用的时间，与制作400枚书签所用的时间相等列方程，解方程并检验即可． 【详解】（1）解：该社团应在徽章组安排名成员，则在书签组安排名成员，才能使每小时制作的徽章与书签正好配套， 则 解得 则 答：该社团应在徽章组安排名成员，在书签组安排名成员，才能使每小时制作的徽章与书签正好配套； （2）解：设从书签组中抽调了人到徽章组， 则， 解得， 经检验是分式方程的解且符合题意， 答：从书签组中抽调了人到徽章组． 【题组二十】 96．解不等式组，并写出它的所有整数解之和． 【答案】，10． 【分析】先分别解两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，再找出解集中的所有整数，计算它们的和即可． 【详解】解：， 解不等式①得； 解不等式②得； ∴不等式组的解集为， ∴该解集内的所有整数为， ∴所有整数解之和为． 97．小明同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在菱形中，，相交于点．用尺规在右侧作，在上截取，并连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：四边形是矩形． 证明：四边形是菱形， ，①___________ ， ②___________ ， ③___________ 四边形是平行四边形． ④___________． 四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【分析】（1）根据尺规作一个角等于已知角的步骤以及作线段的步骤作图即可； （2）根据菱形的性质与矩形的判定定理完成填空求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明：四边形是菱形， ，． ． ， ． ， ． 四边形是平行四边形， ． 四边形是矩形． 98．技术已渗透至社会各领域，某校综合实践小组开展了对两种软件“模型”和“模型”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，单位：分，满分100分，分为四个等级：：，：，：，：），下面给出了部分信息： 抽取的对“模型”的评分数据中等级的数据：89，89，88，87，86，86，84； 抽取的对“模型”的评分数据：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68． 抽取的对“模型”、“模型”的评分统计表 品牌 平均数 中位数 众数 等级所占百分比 模型 88 98 模型 88 抽取的对“模型”评分的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为哪个软件更受用户的喜爱？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)此次测验中，有300人对“模型”进行评分，260人对“模型”进行评分，估计此次测验中对“模型”、“模型”两种软件评分为等级的共有多少人？ 【答案】(1)15，89，97 (2)“模型”软件更受用户的喜爱，理由见详解 (3)239人 【分析】本题考查统计综合，涉及求中位数、众数、扇形某项百分比、由样本情况估计总体等知识，熟记统计相关知识及求解方法是解决问题的关键． （1）先计算“模型”的评分数据中等级占比，然后用1减去、、等级所占百分比即可得到等级所占百分比，从而求出；再由中位数及众数的定义与求法即可得到； （2）根据“模型”评分数据中A等级所占百分比比“模型”高即可得到答案； （3）由样本中两种软件评分为等级的占比估计测验中的总人数即可得到答案． 【详解】（1）解：“模型”的评分数据中等级数据有7份， 占比为：，； “模型”的评分数据中等级数据份数为：， 等级数据按从大到小顺序排列为：89，89，88，87，86，86，84， 可知“模型”的评分数据中从大到小排序，第10，11位数据均为89， ； “模型”的评分数据中97出现了3次，出现的次数最多， ； 故答案为：15，89，97； （2）解：“模型”软件更受用户的喜爱， 理由如下： “模型”评分数据中A等级所占百分比比“模型”高；（答案不唯一） （3）解：（人） 答：估计此次测验中对“模型”、“模型”两种AI软件评分为等级的共有239人． 99．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】先化简原分式，根据特殊角三角函数、负整数指数幂求出的值，代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当， 原式 ． 100．“百日花开酬壮志，青春筑梦正当时”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“百日书历”和“二五手环”．若购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元． (1)请问每本“百日书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“百日书历”的售价降低5a元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200，求出a的值． 【答案】(1)每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元； (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及分式方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． （1）设每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元，根据“购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元”建立二元一次方程组，求解即可得出答案； （2）根据题意得出降价后，书历单价为元，手环单价为元，再根据“学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200”建立分式方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元， 根据题意，得， 解得：， 答：每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元； （2）降价后，书历单价为元，手环单价为元， 根据题意，得， 解得：，经检验，是分式方程的解， 答：的值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学 基础解答题 题组训练 目 录 【题组一】 2 【题组二】 5 【题组三】 8 【题组四】 11 【题组五】 14 【题组六】 17 【题组七】 20 【题组八】 23 【题组九】 26 【题组十】 29 【题组十一】 32 【题组十二】 35 【题组十三】 38 【题组十四】 41 【题组十五】 44 【题组十六】 47 【题组十七】 50 【题组十八】 53 【题组十九】 56 【题组二十】 59 【题组一】 1．解不等式组：． 解：解不等式①，得：_____________； 解不等式②，得：_____________； 将不等式①和②的解集在数轴上表示如下： 该不等式组的解集为：_______． 2．如图，在四边形中，． (1)用尺规完成基本作图：作对角线的垂直平分线，交于点，分别交、于点、，连接、．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是菱形，请根据以下思路完成填空： 证明：∵ ①　　　， 垂直平分 ， 在和中， ， ∴△BON≌△DOM（ASA）， ③　　　， ∵ ④　　， 又， 平行四边形是菱形． 3．某校开展了关于“厨艺，电工，木工，园艺，编织”五大劳动课程知识竞赛．现从七、八年级学生的竞赛成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级学生竞赛成绩在B组的数据为：83，84，85，86，86，88，89 八年级20名学生的竞赛成绩为：62，65，68，72，74，75，78，80，82，85，87，88，90，92，94，95，98，100，100，100 抽取的七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 99 八年级 86 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条即可）； (3)该校七年级有学生1500人，八年级有学生1300人，请估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩达到90分及以上的学生人数共有多少人？ 4．先化简，再求值：，其中． 5．某科技公司为训练多模态模型，需要采购两种数据：文本数据和图像数据． (1)公司用90元购买图像数据的数量比用同样金额购买文本数据的数量少3份．已知每份图像数据的单价是每份文本数据单价的1.5倍．求每份文本数据的单价是多少元？ (2)该公司的服务器集群每天同时处理两种数据．已知一次配套训练需要3份文本数据和2份图像数据，每台服务器每天可处理100份文本数据或200份图像数据．公司共有40台服务器，为使每天处理的两类数据数量恰好配套，应安排多少台服务器处理文本数据？ 【题组二】 6．求不等式组：的所有整数解． 7．如图，已知中，点在边上，且，连接． (1)请用尺规作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程： 证明：平分， ① ， 在和中， ， ， ③ ， ，，， ， ④ ， ． 8．学校科技节中，“编程挑战赛”引来众多编程爱好者参与，比赛分初赛和决赛，初赛成绩优秀（高于或等于90分）的选手进入决赛．统计小组从八年级和九年级参与“编程挑战赛”初赛的选手中各随机选出20名选手的比赛成绩进行分析，并将选手成绩分为A、B、C、D四个等级（单位：分），分别是： A．    B．    C．    D． 下面给出了部分信息： 其中，八年级C等级的成绩为：81，82，83，86，87，88，89 九年级选手的成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96 八年级选手成绩扇形统计图 八、九年级选手成绩平均数、中位数、众数、方差： 学生 平均数 中位数 众数 方差 八年级 85.2 a 91 91.76 九年级 85.2 86 b 59.66 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)根据以上数据，你认为在此次初赛中，哪个年级选手的成绩更好？说明理由（一条理由即可）； (3)若初赛时八年级有80名选手参赛，九年级有100名选手参赛，请估计两个年级初赛选手中进入决赛的选手共有多少人？ 9．先化简，再求值：，其中． 10．某工厂计划生产文创产品“穿楼积木”10000套，安排甲、乙两车间完成任务，乙车间生产“穿楼积木”的数量比甲车间生产“穿楼积木”的数量的2倍少2000套． (1)求甲、乙两车间各生产多少套“穿楼积木”？ (2)在生产过程中，乙车间每天生产“穿楼积木”的数量是甲车间每天生产“穿楼积木”数量的1.2倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前2天完成任务，求甲车间每天生产多少套“穿楼积木”？ 【题组三】 11．解不等式组，并写出所有整数解． 12．在学习了三角形和四边形的相关知识后，小南继续进行深入研究：如图，在矩形中，是对角线，请根据他的思路完成以下作图和推理填空： (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点，分别交边，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求证：． 证明：四边形是矩形， ，_____①_____， ． 垂直平分， ，____②_____， ， ， ___③___， ， ． 在中，， ____④__， ． 13．中考体考临近，为掌握本校九年级学生的体育训练情况，小开从甲、乙班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行了整理、描述和分析（成绩用x表示，满分50，共分为四组：A．，B．， C．，D．），下面给出了部分信息： 甲班20名学生的体测成绩在分数段的数据为：47，48，48，49，49，49，49，49， 乙班20名学生的体测成绩为：40，44，45，45，46，47， 47，48，48，48，49，49，49，49，49，50，50，50，50． 甲、乙两班抽取的学生体测成绩统计表 甲班 乙班 平均数 47.6 47.6 众数 50 b 中位数 a 48.5 方差 18.24 6.14 (1)上述表中，______，______，请补全条形统计图； (2)根据上述数据，你认为甲、乙两班中哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)该校三个校区九年级共有3600名学生参加本月体测，根据以上信息，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？ 14．先化简，再求值：，其中 15．列方程解下列问题： 骐骥驰骋，智造未来！某工厂使用两种型号的机器人检测零件．已知A型每小时比B型多检测50个零件，且A型3小时检测的零件数比B型4小时检测的零件数少250个． (1)求A，B两种型号的机器人每小时各检测多少个零件？ (2)对机器人进行升级后，A型每小时检测的零件数是B型的倍．若升级后的A，B型机器人各检测8100个零件，且B型比A型多用3小时，求B型机器人较升级前每小时多检测多少个零件？ 【题组四】 16．解不等式组：． 解：解不等式①，得____ 解不等式②，得____ 将不等式①，②的解集表示在数轴上，如图所示： ∴不等式组的解集为______ 17．为了加深对矩形的判定方法的掌握，某兴趣小组研究了下面的命题，请完成以下作图和填空： 如图，在四边形中，，连接，，． (1)尺规作图：作的角平分线分别与、相交于点E，F．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，若F为中点，求证：四边形是矩形．（请完成下面的填空） 证明：是中点 ①______ ②______ 在与中 ，， ， 又且平分 ，③______， 又 ④______ 又 四边形是矩形． 18．4月22日是世界地球日，主题是倡导环保，守护我们共同的家园．为了增加我校学生对环保的重视程度，学校举行了环保知识竞答．现从我校七、八年级学生中各随机抽取20名同学的竞答成绩，并对竞答成绩进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：，，，），下面给出了部分信息： 抽取的七年级学生的竞答成绩中等级所有数据：89，85，85，87，87，83； 抽取的八年级学生的竞答成绩：68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100 七、八年级所抽学生竞答成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 88 a 96 八年级 88 87 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对环保的重视程度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)我校七、八年级共有3000名学生，请估计我校七、八年级学生知识竞答分数为等级（）的学生共有多少人？ 19．先化简再求值：，其中 20．嘉利华烘焙推出了两款新颖的特色甜品，一款是“蓝莓云朵塔”，另一款是“海盐奥利奥”．已知2盒“蓝莓云朵塔”和5盒“海盐奥利奥”总售价为240元；3盒“蓝莓云朵塔”和4盒“海盐奥利奥”总售价为234元． (1)求每盒“蓝莓云朵塔”和“海盐奥利奥”各自的售价； (2)奶油是制作甜品的主要原料之一，蛋糕店老板发现今年第三季度平均每千克奶油的价格比第二季度上涨了，第三季度花6000元买到的奶油数量比第二季度花同样的钱买到的奶油数量少了12千克，求第三季度平均每千克奶油的价格． 【题组五】 21．解不等式组：，并求该不等式组所有整数解的和． 22．在学习了四边形的性质后，小全和小善进行了拓展探究．如图，在四边形中，，点是上的一点，且： (1)作的平分线交直线于点，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)根据（）中作图，小全猜测四边形是菱形，小善写出了如下不完整的证明思路，请你帮助他们把证明过程补充完整． 证明：平分， ①__________ 在四边形中，， ②__________ ， ③__________． ， ． ， 四边形是④__________ 又， 四边形是菱形． 23．国际数学日是联合国教科文组织于2019年设立的全球性节日，定于每年3月14日（即圆周率日，）．在2026年国际数学日到来之际，某校举办了“数学节”竞赛活动．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：61，63，65，68，72，73，76，81，85，86，88，88，88，89，92，94，95，97，99，100． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：84，83，81，89，88，87． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83 83 中位数 87 众数 91 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有2000名学生，八年级有1600名学生参加了此次竞赛活动，估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀的学生人数一共是多少？ 24．先化简，再求值：，其中 25．某加工车间45名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓1200个或螺母900个，两个螺栓要配三个螺母， (1)为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺栓，多少工人生产螺母？ (2)若每一个螺栓的销售利润是元，每一个螺母的销售利润是元，工厂给车间规定每月的销售利润不少于20万元，那么45名工人每月至少加工多少天才能完成车间任务？ 【题组六】 26．解不等式组：． 27．如图，在中，，，点F为线段上一点，连接，过点C作，交的延长线于点E，且． (1)尺规作图：过点B作的垂线，垂足为点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：点D为的中点． 证明：，， ． ， ． 在中，． __________． 在与中， ． ___________． ， ， 即点D为的中点． 28．为普及网络安全知识，增强青少年网络安全防范意识，某校面向全校学生开展了网络安全知识竞赛活动．在竞赛结束后，现从八年级和九年级参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：未达标，良好，优秀，卓越），下面给出了部分信息： 八年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86， 86，86，86，88，91，91，94，95，96，99； 九年级学生成绩属于优秀的数据为：89，88，87，86，84，83，81． 八、九年级学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 86 b 九年级 a 91 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_________，_________，_________； (2)根据以上数据，你认为哪个年级对网络安全知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可） (3)该校九年级共有学生1050名，随机抽取了九年级80%的学生参加此次网络安全知识竞赛活动，估计九年级参加活动的学生中成绩为优秀和卓越（80分及以上）的学生有多少人？ 29．先化简，再求值：，其中． 30．列方程解下列问题：某工厂生产甲、乙两种产品．每天生产的甲产品比每天生产的乙产品多300个：2天生产的甲产品比3天生产的乙产品多400个． (1)求该工厂每天生产的甲、乙产品各多少个？ (2)为了满足市场需求，工厂进行技术改造．改造后，每天生产乙产品增加的数量比每天生产甲产品增加的数量的多50个．若生产4800个甲产品的天数比生产3200个乙产品所需的天数少2天，求每天生产甲产品增加的数量． 【题组七】 31．求不等式组：的所有整数解． 32．小红学习了菱形和尺规作图后，进行了拓展性研究，她发现了菱形的一种作图方法，以下是她的探究过程，请完成其中的作图和推理填空： (1)用尺规完成以下作图：作的平分线交于点，作线段的垂直平分线分别交，，于点，，，连接，． (2)已知：在中，平分，垂直平分．求证：四边形是菱形． 证明：∵垂直平分， ∴ ，①________． ∵平分， ∴②________． 在和中， ∴． ∴④________． ∴． ∴四边形是菱形． 33．为提升学生的科学素养，某校七、八年级学生参加了科学知识竞赛．现从七、八年级参赛学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制均为整数）进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级抽取的20名学生竞赛成绩：98，97，93，93，92，90，89，89，89，86，86，83，82，81，76，75，74，72，70，65．八年级抽取的20名学生中B等级学生竞赛成绩：89，88，87，86，88，83，81． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 84 84 中位数 86 b 众数 a 91 根据以上信息，解答下列问题 (1)上述图表中，________，________，________； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的科普知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有1200名学生、八年级有1000名学生参加了此次竞赛，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数总共是多少？ 34．先化简，再求值：，其中． 35．2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛（WSBK）葡萄牙站SSP组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈，也瞬间点燃了国内消费市场的热情．“张雪机车”3月A、B两种型号的摩托车订单量共3800台，两连冠后4月的订单暴增，A型号订单量增加200%，B型号订单量增加100%，4月两种型号的摩托车订单量共9400辆． (1)求3月A、B两种型号的摩托车订单量各是多少辆？ (2)4月的摩托车订单出厂前需要统一进行交付前检查“张雪机车”安排甲、乙两个质检组同时开始工作，甲组负责检查A型摩托车，乙组负责检查B型摩托车．已知甲组每天检查A型号的数量是乙组每天检查B型号数量的1.8倍，最终甲组比乙组提前20天完成检查任务．求乙组每天检查B型号摩托车多少台？ 【题组八】 36．求不等式组：的所有整数解． 解：解不等式①，得_________________， 解不等式②，得_________________， 原不等式组的解集为_________________， 满足条件的所有整数解为____________________． 37．如图，已知中，点在边上，且，连接． (1)请你利用尺规作图，在边上截取，作的平分线交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程： 证明：平分， ． 在和中， ． ②__________． ， ． ③__________． ． 38．百度推出了“文心一言” 聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：组不满意组比较满意组满意，D组非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对甲款聊天机器人的评分数据：60，65，65，71，74，76，80，82，84，84，85，85，92，92，92，92，96，96，97，98． 抽取的对乙款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：82，88，83，87，80，89 抽取的对甲，乙款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲 乙 93 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表：_____，_____；_____； (2)通过以上数据分析，你认为甲，乙款聊天机器人中哪一款的使用满意度更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)在此次测验中，共有2000人参加对甲，乙款聊天机器人使用满意度评分，估计此次测验中对聊天机器人非常满意的共有多少人？ 39．先化简，再求值：，其中 40．列方程解下列问题： 某农场去年春季种植苹果和桃子共收获．今年春季苹果产量比去年增加，桃子产量比去年增加，苹果和桃子的总产量比去年增加． (1)去年春季苹果和桃子的产量各多少千克？ (2)今年春季收获果实时，该农场安排两组工人分别采摘苹果和桃子，每小时采摘苹果的质量是采摘桃子质量的倍，两组工人同时开始劳动，结果采摘桃子的工人比采摘苹果的工人提前15分钟完成采摘任务．问采摘苹果组的工人每小时采摘苹果多少千克？ 【题组九】 41．求不等式组：的所有整数解之和． 42．学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 43．重庆高新区在“非遗贺新春寻味中国年”2026年春节系列活动期间，同步推荐了多条文旅体验路线，包括九凤山、虎峰山风景区提供的森林康养徒步，以及走马古镇、成渝古驿道等历史资源与春节活动联动，增添文化内涵其中整合推出的“古道寻踪”（简称A线）和“艺术体验”（简称B线）两条主题线路最受欢迎．某单位积极响应这一政策，组织职工对A，B两条线路进行了体验满意度评分测验（每名职工仅对一条线路进行评分），并从中各随机抽取20份评分数据，进行整理、描述和分析（评分采用整数表示，满分100分，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意，以下是部分信息单位：分）： 抽取的A线评分数据中“满意”等级的数据：84，86，86，87，87，88； 抽取的B线评分数据：66，67，68，83，85，86，86，87，87，88，88，89，95，96，96，96，98，99，100，100； 抽取的A，B线的评分统计 线路 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 88 c 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中__________， __________， __________； (2)根据以上数据，你认为哪条线路更受职工喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)此次测验有100名职工对A线进行评分，有80名职工对B线进行评分，请估计对两条线路不满意的共有多少人？ 44．先化简，再求值：，其中． 45．列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 【题组十】 46．解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有负整数解． 47．如图，在平行四边形中，E为线段延长线上的一点，连接．请完成以下作图和填空： (1)在平行四边形的外部，用尺规作，且交直线于点F，连接，． (2)在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴___①___， ∵，， ∴___②___， 在和中， ， ∴， ∴___③___，， ∴___④___， ∴四边形是平行四边形． 48．在观看了2025年国庆大阅兵后，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示学生成绩，所有学生成绩均不低于60分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：82，83，85，86，87，88． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 90 10.3 九年级 88 94 11.0 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的_________，_________，_________； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校八年级有800名，九年级有700名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 49．先化简，再求值：，其中． 50．为迎接我县景颇族目瑙纵歌节，某商家第一次用6600元购进一批舞蹈扇，深受顾客喜爱，很快售完．第二次又以8000元购进同款舞蹈扇，第一次购进每把舞蹈扇的价格是第二次的倍，且第二次比第一次多购进200把． (1)求第二次购进每把舞蹈扇的价格； (2)商家以每把15元的价格进行销售，当第二次售出时，决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于3840元，则剩余的舞蹈扇每把售价至少要多少元？ 【题组十一】 51．解不等式组：，并写出所有整数解． 52．如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，于点E． (1)用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线，交于点F．（只保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，若，求证：四边形为矩形．（请完成下面的填空） 证明：∵，， ∴，， ∴①______， 在和中， ， ∴， ∴③______， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴④______， ∴四边形是矩形； 53．体考将近，某校在九年级甲、乙两个班各随机抽取了20名学生的立定跳远成绩进行统计．成绩均不低于6分，用x表示，共分为四组： （A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 甲班20名学生的成绩是：6，8，9，9，9，10，10，10，11，11，12，13，13，13，13，14，14，15，15，15． 乙班20名学生的成绩在C组中的数据是：12，12，13，14，14． 甲、乙两个班级抽取的学生成绩统计表 班级 平均数 中位数 众数 甲 a 乙 b 15 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______；______；______； (2)根据以上数据分析，你认为哪个班级学生的立定跳远成绩更好？请说明理由： （写一条） (3)若该校九年级共有1600人，且得分在12分及以上为优秀，请估计九年级学生立定跳远成绩达到优秀的人数． 54．先化简，再求值：，其中． 55．清明节期间，某区组织了“文明祭祀+文旅引导”活动．志愿者分为A组（文明祭祀宣传组）和B组（文旅引导组）．已知A组和B组志愿者总人数为85人，其中B组志愿者人数比A组志愿者人数的2倍多10人． (1)求A，B两组各有多少名志愿者？ (2)活动当天，A组需完成60个社区的宣传任务，B组需完成3600人次的游客引导任务，每名志愿者每小时可完成2个社区的宣传任务，或完成30人次的游客引导，为了平衡两组完成任务的时间，现需要从A组调配部分志愿者到B组，使得两组完成各自任务的时间相同，求从A组调到B组的志愿者人数． 【题组十二】 56．求不等式组的所有整数解． 解：解不等式①，得___________， 解不等式②，得___________， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为___________． 整数解为___________． 57．如图，已知在矩形中，点是边上一点． (1)尺规作图：作的角平分线交于点，交延长线于点，连接、；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（）的条件下，若，求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ，， 又，∴①______， ， 又，平分， ， 又， 在和中，，， ∴②______， 平分，， ，， ∴③______， ， ， ∴④______，又，四边形是菱形． 58．普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，为了宣传普法知识，我校在普法宣传日中开展了法律知识竞赛，从八、九年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析．数据整理如下：（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．） 八年级20名学生的成绩是：99，81，95，89，85，100，86，87，92，79，90，93，94，95，87，95，75，95，85，98． 九年级20名学生的成绩在组中的数据是：91，91，93，92，92． 八、九年级抽取的学生成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 90 91 九年级 90 96 九年级抽取的学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)通过以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)我校八、九年级共有2000人参加此次知识问答活动，请你估计参加此次问答活动成绩优秀的学生有多少人． 59．先化简，再求值：，其中． 60．年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进甲、乙两种型号的“春晚同款”机器人进行销售． (1)若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元；若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ (2)在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的机器人各投入万元分别进行采购，因技术升级，甲型机器人的进价每台降低万元，乙型号机器人的进价每台降低万元．则所购甲型机器人的数量是所购乙型机器人的数量的，求的值． 【题组十三】 61．求不等式组：的所有整数解。 解：解不等式①，得________ 解不等式②，得________ 不等式组的解集为________ 满足条件的所有整数解为________ 62．学习了三角形和四边形相关知识后，某兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现利用三角形的中线、全等三角形可构造出特殊四边形．请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在中，是边上的中线，E为上一点，且，用尺规在下方作，交的延长线于点F，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形是矩形．（请完成下面的填空） 证明：是边上的中线， ①________． 在和中， ， ． ． ③________． ， ． ④________． 四边形是矩形． 63．为了了解全校学生对学校食堂餐饮服务的满意程度，学校对七、八年级学生进行了问卷调查。现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名同学的问卷，对食堂餐饮服务满意度的评分进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：抽取的七年级学生的评分数据中“满意”包含的所有数据：89，85，85，87，87，83； 抽取的八年级学生的评分数据： 68，69，76，78，81，84，85，86，87，87， 87，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 七、八年级所抽学生对食堂满意度统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 88 a 96 八年级 88 87 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对学校食堂餐饮服务满意度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七、八年级共有1600名学生，请估计该校七、八年级学生对学校食堂餐饮服务非常满意（）的学生共有多少人． 64．先化简，再求值，其中． 65．春节前，某商场进货员预测一种“吉祥马”挂件能畅销市场，就用3000元购进一批这种“吉祥马”挂件，面市后果然供不应求，商场又用6720元购进了第二批这种“吉祥马”挂件，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了6元． (1)该商场购进第一批、第二批“吉祥马”挂件每件的进价分别是多少元？ (2)若两批“吉祥马”挂件按相同的标价销售，要使两批“吉祥马”挂件全部售完后获利不低于2600元（不考虑其他因素），且最后的20件“吉祥马”挂件按八折优惠售出，那么每件“吉祥马”挂件的标价至少是多少元？ 【题组十四】 66．解不等式组：，并求出它的所有整数解． 解：解不等式①得________， 解不等式②得________， 所以，原不等式组的解集为________， 所以，原不等式组的整数解为________． 67．如图，在平行四边形中，． (1)用尺规完成以下基本作图：过点B作的垂线，交于点F；（保留作图痕迹，不写作法） (2)根据（1）中作图，连接，．求证：四边形为平行四边形，并完成下列证明过程． 证明：四边形为平行四边形， ，， ____①____． ，， ． 在和中，， ． ____②____． ，， ． ____③____． 四边形为平行四边形． 请你依照题意完成下面命题：在长和宽不相等的矩形中，连接任意一条对角线，过另外两个顶点作这条对角线的垂线段，这两个顶点与两个垂足组成的四边形为____④____． 68．【问题背景】有关研究表明，维生素C（学名：抗坏血酸）对豚鼠牙齿生长有一定的影响．生物课上，老师带领同学们对此项结论进行探究，随机选出相同品种的豚鼠共40只，平均分为两组，每天分别喂食和剂量的维生素C，在一定时间后测量豚鼠牙齿的生长情况． 【实践发现】一周后，同学们对两组豚鼠的牙齿生长长度进行了测量（牙齿生长长度用表示，单位为毫米，分为四组：；；；；）下面给出部分信息： 剂量组中豚鼠牙齿生长长度在区间的数据为： 10，10，11，12，12，12，13，14，14 剂量组中豚鼠牙齿生长长度的数据为： 6，7，7，8，8，12，12，12，12，13，13，13，14，14，15，17，17，21，23，25 【实践探究】 两种剂量组中豚鼠牙齿生长长度统计表 剂量 平均数 12 中位数 13 众数 12 剂量组中豚鼠牙齿生长长度扇形统计图 【问题解决】 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中 ， ， ； (2)请判断哪种剂量更适合豚鼠牙齿的生长，并说明理由；（写出一条理由即可） (3)若养殖基地准备按和的剂量分别投喂1000和1500只豚鼠，并在一周后，对牙齿生长长度低于的豚鼠再进行加大剂量投喂，请估计大概有多少只豚鼠需要加大剂量投喂？ 69．先化简，再求值：，其中． 70．列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【题组十五】 71．解不等式组：，并写出它的正整数解． 72．如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点． (1)用尺规完成以下基本作图：作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． (2)求证：四边形是菱形． 证明：由知， ． ， 四边形是平行四边形（ ② ） 是斜边上的中线， ③ ． 平行四边形是菱形． 请进一步思考：若，则四边形是 ④ ． 73．某教育平台推出A，B两款人工智能学习辅导软件，相关人员开展了A，B两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分测验，并从中各抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为以下四个等级：不满意（），比较满意（），满意（），非常满意（），下面给出了部分信息： 抽取的对A款人工智能学习辅导软件的所有评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，94，95，98，98，99，100． 抽取的对B款人工智能学习辅导软件的评分中“满意”的数据：86，86，87，88，88，89，90． A，B款人工智能学习辅导软件的所有评分统计表 软件 平均数 中位数 众数 方差 A 86 a B 86 b 88 (1)填空： ， ， ． (2)根据以上数据，你认为哪款人工智能学习辅导软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条即可） (3)本次调查中，有800名用户对A款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名名用户对B款人工智能学习辅导软件进行了评分，估计其中对A，B两款人工智能学习辅导软件非常满意的用户总人数． 74．先化简，再求值：，其中． 75．重庆中国三峡博物馆围绕馆藏的战国青铜鸟形尊文物，开发了多款兼具文化内涵与实用性的文创商品．该系列文创商品将鸟形尊憨态可掬的形态进行卡通化复原，其造型可爱、颜色醒目，深受年轻人喜爱．其中鸟形尊冰箱贴和鸟形尊纸艺书签销售火爆．已知一个鸟形尊冰箱贴的售价比一个鸟形尊纸艺书签售价高16元，且购买三个鸟形尊冰箱贴和两个鸟形尊纸艺书签共需108元． (1)求一个鸟形尊冰箱贴的售价和一个鸟形尊纸艺书签的售价各是多少元？ (2)五一节促销期间，鸟形尊冰箱贴每个降价元，鸟形尊纸艺书签每个降价m元，促销后鸟形尊冰箱贴总销售额为3300元，鸟形尊纸艺书签总销售额为900元，且鸟形尊冰箱贴的销量比纸艺书签多，求m的值． 【题组十六】 76．求不等式组的所有整数解的和． 77．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，平分，交于点E． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：四边形为平行四边形． 证明：四边形为平行四边形， ，①________________， ∴②________________． 平分，平分， ， ∴③________________， ， ∴④________________， ∴四边形为平行四边形． 78．中考体考在即，为掌握本校九年级学生的体育训练成效，从慧学班、雅行班两班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行整理、描述和分析．（成绩用x表示，满分50，共分为四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 慧学班20名学生的体测成绩在C组分数段的数据为：47，48，48，49，47，46，48，49． 雅行班20名学生的体测成绩为：44，48，44，39，45，48，47，47，48，42，48，45，49，50，49，50，49，50，48，50． 两班抽取的学生体测成绩统计表 慧学班 雅行班 平均数 47 47 众数 50 b 中位数 a 48 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表中，________，________，________； (2)根据上述数据，你认为哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)该校九年级共有800名学生参加本月体测，根据以上信息，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？ 79．先化简，再求值：，其中． 80．某玩具车间准备用10天时间生产6000个“哪吒”套盒，计划先安排甲组工人生产4天，再安排乙组工人加入共同生产，则刚好能如期完成．已知甲组每天比乙组少生产200个套盒． (1)求甲组每天生产多少个套盒？ (2)实际生产过程中，甲组生产4天后，车间负责人给甲、乙两个小组分别增加2名工人，并将剩下的任务平均分给两个小组．增加人员后，甲、乙两小组每天生产的数量比为，甲小组完成剩下生产任务的天数比乙小组多2天，求增加人员前，甲组有多少名工人？（每人每天生产的数量相同） 【题组十七】 81．求不等式组：的所有整数解． 82．学习了菱形后，小海想在平行线间作出一个菱形，他发现：通过角平分线，垂线，再利用全等三角形等知识可得到菱形．请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，已知，用尺规完成以下基本作图：作的平分线与交于点C，过点B作交于点D，交于点O，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）中所作的图形中，求证：四边形是菱形． 证明：平分， ， ， ， ________①， ， 又， ， 又∵， ， ________②， ， 又________③， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 83．为了解落实“光盘行动”的情况，学校从七、八年级各随机抽取20名学生，对其午餐剩余饭菜重量（以下简称“餐余重量”，单位：克）的数据进行整理、描述和分析．所有学生的餐余重量均不超过500克（餐余重量用x表示，共分成四组：A．；В．；C．；D．）．下面给出了部分信息： 七年级20名学生的餐余重量是：52，60，76，83，87，120，130，151，151，178，212，220，228，255，260，274，320，350，375，418 八年级20名学生的餐余重量在B组中的数据是：120，123，144，153，172，180，198 七、八年级所抽学生的餐余重量统计表 年级 七年级 八年级 平均数 200 190 中位数 195 b 众数 a 220 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，_____； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生“光盘行动”落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七、八年级共有980名学生，请估计该校七、八年级午餐餐余重量不超过100克的学生共有多少人？ 84．先化简，再求值：，其中． 85．列方程（组）解下列问题： 旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范．某手工作坊制作如图所示的“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟． (1)求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟； (2)因工作坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的4倍，50个小时制作的“花扣”对数是30个小时制作的“一字扣”对数的，求升级后制作一对“一字扣”需多少分钟． 【题组十八】 86．求不等式组的所有整数解． 解：解不等式，得______， 解不等式，得______， 所以原不等式组的解集为______， 因此满足原不等式组的所有整数解为______． 87．小渝学习角平分线的性质后，进行了拓展性探究．他发现在平行四边形中，过其中一内角的顶点作相邻内角角平分线的垂线，则这条垂线也是这个内角的角平分线，请根据他的思路完成以下作图与填空： (1)用尺规完成以下作图：作的平分线交于点，过点作的垂线交于点（只保留作图痕迹） (2)已知：在平行四边形中，平分，，求证：平分． 证明：四边形是平行四边形 ① 平分 ② ③ ④ 平分 88．观影是休闲放松的选择之一．为了解大家对电影的评价情况，小川同学从电影院上午、下午观影后的观众中各随机抽取名观众对电影评分（十分制）进行收集、整理、描述、分析，所有观众的评分均高于分（电影评分用表示，共分成四组：；；；），下面给出了部分信息： 上午名学生的评分为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 下午名学生的评分在组的数据是：，，，，，，，． 上、下午所抽观众的评分统计表 上午 下午 平均数 中位数 众数 (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据分析，你认为该影院上、下午观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由（至少用两种统计量说明）； (3)上午有名观众，下午有名观众参加了此次评分调查，估计上下午参加此次评分调查认为电影特别优秀的观众人数一共是多少？ 89．先化简，再求值：，其中． 90．为推进乡村振兴，某农业合作社组织村民种植两种经济作物——高粱和玉米，去年共收获，今年村民种植技术提升，高粱产量比去年增加，玉米产量比去年增加，两种作物总产量比去年增加． (1)求去年高粱和玉米的产量各是多少千克？ (2)今年收割时，合作社安排两组村民同时开始工作：甲组负责收割高粱，乙组负责收割玉米，已知甲组每小时收割高粱的效率是乙组收割玉米效率的倍，最终甲组比乙组提前分钟完成任务，问乙组每小时收割玉米多少千克？ 【题组十九】 91．求不等式组：的所有整数解． 92．如图，四边形是平行四边形，对角线，交于点O，过点C作，交于点E． (1)尺规作图：过点A作，交于点F，连接，：（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：四边形为平行四边形． 证明：∵四边形为平行四边形，对角线交于点O， ∴①________． ∵，， ∴②________， 在和中， ∴， ∴④________， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 93．学校开展了“心理健康知识竞赛”活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：82，83，84，84，85，85，85，89． 八年级20名学生竞赛成绩是：67，71，78，78，79，82，84，86，86，87，87，87，90，92，92，93，95，97，99，100． 七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86.5 a 85 八年级 86.5 87 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生心理健康知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）： (3)该校七年级有学生700人，八年级有学生650人，请估计该校七、八年级心理健康知识竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少人？ 94．先化简，再求值：，其中． 95．列方程解应用题：学校迎来周年校庆盛典，为留存校园专属记忆、传递校庆温情，校文创社精心筹备了校庆纪念徽章与纪念书签系列产品，并将60名社团成员分成徽章组和书签组分别负责制作两种产品． (1)文创社推出校庆纪念套装，每套由1枚徽章和2枚书签组成．已知每名成员平均每小时可以制作15枚徽章或10枚书签，且每人每小时只能制作一种产品，该社团应在徽章组和书签组各安排多少名成员，才能使每小时制作的徽章与书签正好配套？ (2)在第（1）问的人员安排下，社团从书签组抽调若干名成员到徽章组，抽调后，剩余人员继续制作书签．已知抽调后，制作900枚徽章所用的时间，与制作400枚书签所用的时间相等．求从书签组中抽调了多少人到徽章组？ 【题组二十】 96．解不等式组，并写出它的所有整数解之和． 97．小明同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在菱形中，，相交于点．用尺规在右侧作，在上截取，并连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：四边形是矩形． 证明：四边形是菱形， ，①___________ ， ②___________ ， ③___________ 四边形是平行四边形． ④___________． 四边形是矩形． 98．技术已渗透至社会各领域，某校综合实践小组开展了对两种软件“模型”和“模型”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，单位：分，满分100分，分为四个等级：：，：，：，：），下面给出了部分信息： 抽取的对“模型”的评分数据中等级的数据：89，89，88，87，86，86，84； 抽取的对“模型”的评分数据：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68． 抽取的对“模型”、“模型”的评分统计表 品牌 平均数 中位数 众数 等级所占百分比 模型 88 98 模型 88 抽取的对“模型”评分的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为哪个软件更受用户的喜爱？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)此次测验中，有300人对“模型”进行评分，260人对“模型”进行评分，估计此次测验中对“模型”、“模型”两种软件评分为等级的共有多少人？ 99．先化简，再求值：，其中． 100．“百日花开酬壮志，青春筑梦正当时”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“百日书历”和“二五手环”．若购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元． (1)请问每本“百日书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“百日书历”的售价降低5a元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200，求出a的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $