提分小卷限时练（解答ABC三组，综合训练）（无锡专用） 2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦中考解答题核心模块，整合代数、几何、统计与探究类题型，注重知识间逻辑关联与综合应用能力培养。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数基础|2题|方程/不等式求解、化简求值|从运算技能到代数变形，体现抽象能力| |几何证明与计算|3题|三角形全等、圆切线证明、作图应用|从图形性质到逻辑推理，发展推理意识| |统计概率|2题|数据处理、事件概率计算|从数据收集到分析决策，强化数据意识| |函数综合|1题|二次函数表达式、性质及应用|从代数表达到数形结合，培养模型观念| |实际应用与探究|2题|传统文化工具、动态几何问题|从现实情境到数学建模，提升应用意识|

提分小卷：解答题 限时训练（A组+B组+C组） （考试时间：90分钟 试卷满分：96分） 解答题（本大题共10小题，满分96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（8分）（1）解方程： ；            （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，解不等式组，解题的关键是： （1）根据公式法求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解∶ ， ， ， （2）解∶ 解不等式①，得∶， 解不等式②，得． ∴不等式组的解集为． 2．（8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再把除法化为乘法，化简得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 把代入， 得． 3．（8分）如图，在中，E为的中点，延长交的延长线于点F，连接、． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握平行四边形的判定和性质是关键． （1）根据中点得到，根据平行四边形的性质得到，则，运用角边角即可求证； （2）根据三线合一得到，由勾股定理得到，再证明四边形为平行四边形，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，四边形为平行四边形，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴． 4．（8分）某学校举办传统文化知识竞赛“诗词大会”活动，比赛主题分为“风花雪月”“江湖夜雨”“琴心剑胆”“丹青水墨”四个类别(依次记为甲、乙、丙、丁)．云枫和疏雨两名同学进入决赛，他们要分别从四个主题中随机各抽取一个抽后不放回 (1)疏雨抽到甲类主题的概率是______； (2)请用列表法或画树状图的方法，求云枫和疏雨两名同学都没有抽到乙类主题的概率． 【答案】(1) (2)见解析， 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，此为不放回抽取，所有等可能性的结果共有种，其中疏雨抽到甲类主题的情况有3种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及云枫和疏雨两名同学都没有抽到乙类主题的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，此为不放回抽取，所有等可能性的结果共有种，其中疏雨抽到甲类主题的情况有3种， 疏雨抽到甲类主题的概率为． 故答案为： （2）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁 丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 共有12种等可能的结果，其中云枫和疏雨两名同学都没有抽到乙类主题的结果有6种， 云枫和疏雨两名同学都没有抽到乙类主题的概率为 5．（10分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表： 课外阅读时间 等级 人数 D 3 C B 8 A 4 结合以上信息回答下列问题： (1)统计表中的________；统计图中B组对应扇形的圆心角为______度； (2)阅读时间在范围内的数据的众数是____________ (3)根据调查结果，请你估计全校600名同学课外阅读时间不少于的人数有多少人？ 【答案】(1)5；144 (2)40 (3)360 【分析】本题主要考查了扇形统计图、频数分布表、求扇形统计图某项的圆心角、求众数、利用样本估计总体等知识，通过扇形统计图和频数分布表获得所需信息是解题关键． （1）由调查的学生的总人数减去其他组的人数得出的值，再由乘以组所占的比例即可； （2）由众数的定义（出现次数最多的数）得出众数，即可作答． （3）用样本估计总体列式计算即可； 【详解】（1）解：统计表中的， 统计图中组对应扇形的圆心角为：， 故答案为：5，144； （2）解：依题意，在阅读时间在范围内的数据中，40出现次数最多，且为次， ∴阅读时间在范围内的数据的众数是40， 故答案为：40； （3）解：依题意，（人） ∴估计全校600名同学课外阅读时间不少于的人数为人． 6．（10分）如图，在中，， (1)利用直尺（不带刻度）和圆规在边上作点D，使得，连接，与的角平分线交于E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，则 ，E到距离 ． 【答案】(1)见解析 (2)，． 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作的中垂线交于D，作平分线交于E即可； （2）利用面积法求出，再根据，推出，求出即可． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）解：在中，，，， ， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ， ． 过点作于点，于点． 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即到距离为． 7．（10分）如图，在中，，以点O为圆心，长为半径的圆交于点C，点D在边上，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的证明、正切的应用等知识点，掌握相关几何结论是解题关键． （1）连接，由得，结合，即可求解； （2）设的半径为，可得，根据可得，即可求解； 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 连接，如图所示： 则 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵为半径， ∴直线与相切 （2）解：设的半径为， ∵ ∴, ∴ ∵ ∴， 解得： 8．（10分）如图①，舂碓是我国上世纪乡村农用工具，形状呈型，将其抽象成如图②的平面图形，呈型的可绕点旋转，其中，，三点在同一条直线上，点在直线上，，，， ，初始时． (1)如图②，求初始时点到的距离； (2)如图③，当点第一次落在上时，求点在竖直方向上上升了多少厘米．（结果保留1位小数；参考数据：） 【答案】(1)点到的距离约为 (2)点在竖直方向上升了 【分析】本题考查旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质； （1）过作于，在根据代入计算即可； （2）过作于，由旋转可得，，，先求出再根据，得到，解得，最后根据点在竖直方向上上升了代入计算即可． 【详解】（1）解：过作于， 中，，， ∴， ∴， 即点到的距离约为； （2）解：过作于， 由旋转可得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点在竖直方向上上升了． 9．（12分）已知二次函数图像的对称轴是经过点且平行于轴的直线，与轴分别交于A、两点（A点在点的左侧），A点为．与轴交于点． (1)求二次函数的表达式： (2)点和是二次函数图像上的两个点，比较和的大小； (3)在抛物线对称轴上找一点，使得，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当时，； 当时， (3)或 【分析】对于（1），根据对称轴经过点，可得，再将点代入关系式得，再解方程组即可； 对于（2），分四种情况：，，，讨论，可得答案； 对于（3），先求出点B，C的坐标，再根据勾股定理及其逆定理得 是直角三角形，可得，进而得出点P的坐标；再构造平行四边形，可知点P在以为直径的圆与对称轴的交点处，然后设点，分别求出直线，直线的关系式，同理可得直线，直线的关系式，接下来联立得，求出点的坐标，再根据勾股定理求出，然后求出的中点为，最后根据可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 所以二次函数关系式为； （2）解：∵抛物线的开口向上，对称轴是， 当时，点在对称轴左侧，函数值y随着x的增大而减小， ∴； 当时，点在对称轴两侧，且点M离最低点远，； 当时，点在对称轴两侧，且点M离最低点近，； 当时，点在对称轴右侧，函数值y随着x的增大而增大， ∴． 综上所述，当时，；当时，； （3）解：抛物线的顶点坐标为， 当时，； 当时，或， ∴点， ∴. ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴点P与点M重合，即点； 过点B作，过点C作，与交于点N， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点P在以为直径的圆与对称轴的交点处， 则，即． 设点， 将点代入直线的关系式，得 ， 解得， ∴直线的关系式为， 将点代入直线的关系式为， 解得， ∴直线的关系式为，直线的关系式为， 同理：直线的关系式为，直线的关系式为， 当时，解得， ∴点， ∴． 设的中点为， ∴， ∴， 解得， ∴点． 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何图形的综合问题，求二次函数关系式，求一次函数关系式，勾股定理，平行四边形的性质和判定，圆周角定理，求正切等，作出圆并确定点Ｐ的位置是解题的关键． 10．（12分）某数学兴趣小组以“等腰三角形的底边、腰的长度之比与顶角的大小有关系吗？有怎样的等量关系？”为主题开展探究学习活动． 已知：在等腰三角形中，，． 【特殊感知】（1）大家知道，当时，是等边三角形，则；若，则________；若，则________； 【一般探究】（2）若，求出的值（用三角函数值表示）； 【发现结论】（3）若，请用含的代数式表示的值； 【迁移应用】（4）如图，若在点、在的两侧，且，判断、与之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）当时，根据勾股定理求出，即可求解；当时，过A作于H，根据三线合一性质得出，，在中，根据正弦定义得出，即可求解； （2）类似（1）求解即可； （3）类似（1）求解即可； （4）在上取点E，使，根据等边对等角本结合已知可得出，进而得出，根据等边对等角本结合已知可得出，则A、B、C、D四点共圆，根据圆周角定理得出，证明，根据相似三角形的性质并结合（3）中，可求出，，即可求解． 【详解】解：（1）当时， ∵，， ∴， ∴； 当时， 过A作于H， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）当时， 过A作于H， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴； （3）当时， 过A作于H， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴； （4） 理由：在上取点E，使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴A、B、C、D四点共圆， ∴， ∴， ∴， 由（3）知：， ∴， ∴，， ∴ ， 即． （考试时间：90分钟 试卷满分：96分） 解答题（本大题共10小题，满分96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（8分）解方程或不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元二次方程－公式法，熟练掌握不等式组的解法及方程的解法是解本题的关键 （1）利用解一元二次方程－公式法进行计算，即可解答； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴ ∴，； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为． 2．（8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】本题考查了分式的化简求值，先把括号内通分，再分解因式约分化简，然后把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 3．（8分）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定（）、全等三角形的性质及等腰三角形的判定定理，解题的关键是通过已知条件推导相等线段，利用证明三角形全等，再结合全等性质与等腰三角形判定定理推导第二问中线段相等的结论． （1）由两边同时加得，结合已知和，根据判定定理可证； （2）利用（1）中三角形全等的性质得对应角（即），再根据等角对等边可直接得出． 【详解】（1）证明：如图． ∵ ∴，即 在和中 ∴（） （2）证明：∵（已证） ∴（全等三角形对应角相等），即， ∴（等角对等边）． 4．（8分）桌面上倒扣着3个不透明的纸杯，其中2个纸杯中放有小球． (1)随机翻开1个纸杯，其中放有小球的概率是__________； (2)随机翻开2个纸杯，求2个纸杯中均放有小球的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了概率公式，列举法求概率，掌握概率公式是解题关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）利用列举法求解即可． 【详解】（1）解：桌面上倒扣着3个不透明的纸杯，其中2个纸杯中放有小球， 则随机翻开1个纸杯，其中放有小球的概率是， 故答案为：； （2）解：所有可能出现的结果有：（球1，球2）、（球1，无）、（球2，无）共3种，它们出现的可能性相同． 所有的结果中，满足“2个纸杯中均放有小球”（记为事件M）的结果有1种， 所以． 5．（10分）某校为了解学生周末使用手机的情况（选项：A．聊天；B．学习；C．购物；D．游戏；E．其它），随机抽取九年级若干名学生进行调查，得到了下列图表（部分信息未给出）： 选项 频数 频率 A 10 m B n 0.2 C 5 0.1 D p 0.4 E 5 0.1 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是__________． (2)__________，并补全条形统计图； (3)若该校九年级有1000名学生，估计该校九年级学生利用手机聊天或玩游戏共有多少人？ 【答案】(1)50 (2)，见解析 (3)600人 【分析】本题考查了条形统计图、频数与频率的关系、利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计的相关知识是解题的关键； （1）用C组的频数除以其频率即可； （2）用A组的人数除以样本容量即可求出m，再根据频数与频率的关系求出n、p，即可补全统计图； （3）利用样本估计总体的思想求解即可. 【详解】（1）解：本次调查的样本容量是； 故答案为：50； （2）解：， ，，补全条形统计图如下： （3）解：； 答：估计该校九年级学生利用手机聊天或玩游戏共有600人. 6．（10分）已知：如图，为正方形的对角线． (1)在上求作一点，过点作，交于点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—复杂作图，正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）作的角平分线即可． （2）根据角平分线的性质可得，再由是等腰直角三角形，可设，则，然后在中，根据勾股定理可得，，即可求解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴． 由（1）得∶平分， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴． 7．（10分）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提． （1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案； （2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：   是的直径， ， ， 又， ， 又． ，即， 是的切线； （2）解：，， ， 在中，，， ，则， ， ，， ， ， 设，则，， ，即， 解得或（舍去）， ． 8．（10分）综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N． 【发现】 如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由； 【探索】 图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 【答案】[发现]不会发生改变，；[探索] 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． [发现]证明，根据相似三角形的性质即可得出，进而可得出答案． [探索]根据题意画出图形，然后延长交与点L，交于点K，得出，由相似三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】解：[发现]∵与关于对称，，且，分别与相交于点M，N． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当观测点P在上自由移动时，的长度是不会发生改变，且． [探索]根据题意画图，然后延长交与点L，交于点K， 则， 同上可知：， 可知， ∴ 即， 解得： 即井口到水面距离AC的长． 9．（12分）已知：二次函数的图象与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点，且． (1)求二次函数表达式； (2)若抛物线上有两点、，当时，求的取值范围； (3)设是二次函数位于第一象限图象上一点，作于点，轴于点．当最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的综合、等腰三角形的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）先求出，再根据待定系数法求解即可； （2）根据题意得到，，然后结合列不等式求解即可； （3）先求得，再求出直线解析式为，设，则，进而得到所以、；如图：过G作于I，再根据等腰三角形的性质、矩形的判定与性质可得，进而得到，最后根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵函数图象与轴交于两点（A在左侧）， ∴， 将、代入可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线上有两点、， ∴， ∵ ∴ 解得：； （3）解：令， 解得：或， ∴． 设直线解析式为，把，代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， ∵，， ∴， ∴， 如图：过P作轴于D，交于E． ∵， ∴， ∴， 设，则． 所以，则， 如图：过G作于I， ∵， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴， 令， ∴抛物线的对称轴为：， ∵抛物线开口方向向下，， ∴当时，取最大值， ∴点P的横坐标为，代入得，． 10．（12分）【初步感知】如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证： 【探索发现】如图2，在中，，，，点F是延长线上的一点，且，在下方作，将射线绕点C逆时针旋转，交射线于点G，求的长． 【尝试应用】如图3，在中，，E为边上一点，连接，，，且，求的值． 【拓展提升】如图4，已知在菱形中，，点E在边上，且，连结交对角线于F，点G在线段上，连结，若，，则______用含有m、n的式子表示 【答案】初步感知：见解析；探索发现：；尝试应用：；拓展提升： 【分析】初步感知：可证得，进而证得，从而得出结论； 探索发现：可证得，从而，进一步得出结果； 尝试应用：作于D，设，，则，可求得，，可证得，从而，从而表示出，进而表示出，进一步得出结果； 拓展提升：作，交于V，交于W，可证得，，从而得出，可证得，是等边三角形，从而，，从而得出，，，进而证得，从而，进一步得出结果． 【详解】初步感知：证明：，，， ， ， ； 探索发现：解：， ， 射线绕点C逆时针旋转，交射线于点G， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ； 尝试应用：解：如图1，作于D， ∵， ∴设，则， ∴， ， ∴设，则， ∴， ∴ ，， ，， ， ， ， ， ， ； 拓展提升：解：如图2， 作，交于V，交于W， ，， ， ∴， 四边形是菱形， ，，， ，是等边三角形， ，， ∵，即 ∴， ， ∵， ∴ ∴，， ∴，， ， ， ， ， ， 设，， ∵， ， ， ∵， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 解答题（本大题共10小题，满分96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（8分）（1）解方程：； （2）解不等式组． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、 解不等式组等知识点，掌握相关运算方法是解题的关键． （1）运用配方法求解即可； （2）先分别求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ∴，． （2）， 由不等式①得： ， 由不等式②得：， 所以不等式组的解集为． 2．（8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键．先计算括号内减法，然后进行除法运算可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 3．（8分）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，求的长 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段的和差，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）先证明，然后根据，再结合已知条件可得结论； （2）根据，得出，根据得出，最后根据线段和差间的关系，得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（8分）国产AI大模型DeepSeek的爆火引发了全球科技界的广泛关注．现有四场网络直播，这四场直播分别以“A．机器人技术”，“B．计算机视觉”，“C．自然语言处理”，“D．专家系统”为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．甲，乙两位同学准备各自听一场网络直播，然后两人互相分享．若甲同学先从这四类中随机选择一类，并进入直播间听讲解，然后乙同学从剩下的三类中随机选择一类进入直播间听讲解． (1)甲同学选择“A．机器人技术”直播的概率是______； (2)请用画树状图或列表法，求甲、乙两位同学中一人选择“B．计算机视觉”，另外一人选择“C．自然语言处理”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中甲同学选择“A．机器人技术”直播的结果有种，利用概率公式解答即可； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两位同学中一人选择“B．计算机视觉”，另外一人选择“C．自然语言处理”的结果数，再利用概率公式解答即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中甲同学选择“A．机器人技术”直播的结果有种， 甲同学选择“A．机器人技术”直播的概率是， 故答案为：； （2）解：列表如下： A B C D A （A,B） （A,C） （A,D） B （B,A） （B,C） （B,D） C （C,A） （C,B） （C,D） D （D,A） （D,B） （D,C） 共有种等可能的结果，其中甲、乙两位同学中一人选择“B．计算机视觉”，另外一人选择“C．自然语言处理”的结果有种， 甲、乙两位同学中一人选择“B．计算机视觉”，另外一人选择“C．自然语言处理”的概率为． 5．（10分）数学课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动，同学们随机收集甲乙两种树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲种树的长宽比 乙种树的长宽比 分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 甲种树的长宽比 n 乙种树的长宽比 m (1)上述表格中：m =_____，n =_____； (2)通过数据，同学们总结出了一些结论： A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，甲种树的树叶的形状差别比乙种树大”． B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现乙种树的树叶的长约为宽的2倍．” 上面两位同学的说法中，合理的是_____同学的结论； (3)现有一片长cm，宽cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于甲种树、乙种树中的哪种树？并给出你的理由． 【答案】(1)， (2)B (3)这片树叶应来自于甲种树，理由见解析 【分析】本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键． （1）根据中位数和众数的定义解答即可； （2）根据题目给出的数据判断即可； （3）根据树叶的长宽比判断即可． 【详解】（1）解：把荔枝树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为；芒果树叶的长宽比中出现次数最多的是； 故答案为：，； （2）∵， ∴从树叶的长宽比的方差来看，芒果树叶的形状差别比荔枝树叶小”； ∵荔枝树叶的长宽比的平均数，中位数是，众数是， ∴从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，荔枝树叶的长约为宽的2倍． 故答案为B． （3）这片树叶更可能来自荔枝，理由如下： ∵一片长cm，宽cm的树叶，长宽比为，接近， ∴这片树叶更可能来自芒果树． 6．（10分）如图，在三角形纸片中，，． (1)将纸片折叠，使点A的对应点D落在边上，折痕为，点M、N分别在和上，且．请你使用无刻度的直尺和圆规，作出折痕（不写做法，保留作图痕迹）． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，等边对等角等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）作的角平分线交于D，作线段的垂直平分线分别交于M、N，则即为所求； （2）设与交于点O．由平行线的性质得到，，；由折叠的性质得到，，证明，得到．过点M作于点E．解，得到，再解，得到，则． 【详解】（1）解：如图所示，作的角平分线交于D，作线段的垂直平分线分别交于M、N，则即为所求； 由平行线的性质可得， 由折叠的性质可得，垂直平分， ∴， ∴，即平分； （2）解：设与交于点O． ， ，，； 为折痕， 垂直平分， ，， ， ． 过点M作于点E． 在中，， 在中，， ． 7．（10分）如图，中，D为上一点，，是的外接圆，为的直径，连接． (1)求证为的切线； (2)若⊙O的直径，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为28 【分析】（1）由直径所对圆周角为直角可知，根据圆周角定理可知，结合，可知，进而证明结论； （2）由（1）可知，进而解直角三角形求得，，连接，由圆周角定理可知，进而解直角三角形求得，，过点作于，则，，得，再证，得，设，则，根据，列方程即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴，则， ∵， ∴， 又∵， ∴，则， ∴， ∴为的切线； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴，则， 连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴，则， ∴，则， 过点作于，则，， ∴， ∵，， ∴， 则， 设，则 ∵，即， ∴，解得：， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 8．（10分）身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为． (1)如图（1），步道为直线型（记为直线）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． (2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质； （1）①如图，由题意得，，，中，，，中，，即可求解； ②作，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得，，则，得到，再由垂直得到，推出，即，是定值，是定值，即影子顶端到步道的距离不变； （2）设小明头顶为E，连接，过作交延长线于，由题意得，，则，，再由，得到，得到，则由是定值，得到是定值，即位置固定不变，由半径为，即，得到，确定点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，据此求解即可． 【详解】（1）解：①如图，由题意得， 当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为时，即， ∴中，，， ∴中，， ∴影子顶端（点B）到步道的距离（）为， 故答案为：； ②方法一：如图，作，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是定值， ∴是定值， 即影子顶端到步道的距离不变； 方法二： 如图，设小明头顶为，当他走到上任意位置（记为点D）时，他的头顶G，影子为，连接，作，垂足为H， 由题意得，，， ∴， ∴， 同理，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴是定值， 即影子顶端到步道的距离不变； （2）解：如图，设小明头顶为E，连接，过作交延长线于， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵是定值， ∴是定值，即位置固定不变， ∵半径为，即， ∴， ∴点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆， ∴小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长为c． 9．（12分）已知二次函数的图像与轴交于点，顶点为点．直线的表达式为：． (1)填空：________；（用含的式子表示） (2)若该二次函数图像与轴的另一个交点为，与直线交于、两点．点为二次函数图像上任意一点，过点作轴的垂线，交轴于点，交直线于点． ①若点是线段的中点，求点的坐标； ②设、的纵坐标分别为、，若，则的取值范围是_________； (3)若平移该二次函数图像，使其顶点落在直线上．设抛物线与直线的另一个交点为，点在直线l上方的二次函数图像上，求点到直线距离的最大值． 【答案】(1) (2)①或；②或 (3) 【分析】（1）代入点到，即可求解； （2）①代入，利用待定系数法求出二次函数的解析式是，设点的坐标是，由点是线段的中点，表示出点的坐标，再代入点到直线的表达式，求出的值即可解答；②根据二次函数的性质可得当时，；当或时，，由可知或，分别求出对应的取值范围即可； （3）设点，得到平移后的二次函数解析式为，联立二次函数与直线的表达式，求出点，利用勾股定理得到，过点作轴交直线于点，设点的坐标为，表示出，利用二次函数的性质求出的最大值，设点到直线距离为，利用等面积法表示出，结合的最大值即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图像与轴交于点， ， 整理得：． 故答案为：． （2）解：①由（1）知二次函数的解析式是， 二次函数图像与轴的另一个交点为， ， 解得：， 二次函数的解析式是， 设点的坐标是， 则点的坐标是， 点是线段的中点， 点的坐标是， 又点在直线上， ， 整理得：， 解得：，， 点的坐标是或； ②， 二次函数的图像开口向下， 二次函数的图像与轴的交点为和， 当时，；当或时，， ， 或， 当时，即， 不等式组无解，舍去； 当，即或， 解得：或； 综上所述，的取值范围是或． 故答案是：或． （3）解：顶点落在直线上， 设点， 平移后的二次函数解析式为， 联立， 解得：或， ， ； 过点作轴交直线于点， 设点的坐标为，则， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 设点到直线距离为， 则， 当取最大值时，有最大值，此时， 点到直线距离的最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数与一元二次方程、二次函数与不等式、二次函数的平移、勾股定理、线段最值问题，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的数形结合能力，同时涉及复杂的运算，适合有能力解决函数压轴题的学生． 10．（12分）问题思考与探究 (1)【问题思考】如图1，已知正方形，，分别是边，上一点，连接，，，且，若延长到点，使得，连接．则：运用三角形全等的相关知识，可推理得到三条线段，，之间的数量关系是________； (2)【探究应用】如图2，正方形的边长为，点是射线上一动点（不与点重合），连接，将绕点顺时针旋转，得到线段，连接交射线于点，连接． ①当点在线段上，若是等腰三角形，求此时BE的长． ②当点在线段的延长线上时，设，的面积为，则______；______．（用含的代数表示） 【答案】(1) (2)①的长为或②； 【分析】（1）利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）①过点作，交的延长线于点，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质求得．设，则，，，再利用分类讨论的思想方法分三种情况推论解答：I．当时，，此种情况不存在；Ⅱ．当时，，则，点与点重合；Ⅲ．当时，．则，利用勾股定理解答即可； ②过点作，交的延长线于点，延长，交于点，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质和矩形的判定与性质得到，进而证明即可得出，，再求得，即可得出的值；进而根据，得出的面积为，根据勾股定理以及等腰三角形的性质得出的面积，进而建立等量关系，即可求解． 【详解】（1）解：之间的数量关系是：．理由： 四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 即． ， ． 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：； （2）①过点作，交的延长线于点，如图，   四边形为正方形， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 设，则，，． Ⅰ．当时，， ． ， ． 此时，不合题意，舍去； Ⅱ．当时，， ， 此时，点与点重合， 点与点重合， ； Ⅲ．当时，． 则， ． ， ． 解得： 综上，若是等腰三角形，的长为或； ②过点作，交的延长线于点，延长，交于点，如图，   四边形为正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形为矩形， ，， 同理：四边形为矩形， ． ， ． ∵，， ∴ ∴，则 ∴ ，， ， ， ， ∴ 即，则 ∴； ∵的面积为， ∴的面积为 ∴的面积为 又∵ ∴的面积 ∴ ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 提分小卷：解答题 限时训练（A组+B组+C组） （考试时间：90分钟 试卷满分：96分） 解答题（本大题共10小题，满分96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（8分）（1）解方程： ；            （2）解不等式组： 2．（8分）先化简，再求值：，其中． 3．（8分）如图，在中，E为的中点，延长交的延长线于点F，连接、． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 4．（8分）某学校举办传统文化知识竞赛“诗词大会”活动，比赛主题分为“风花雪月”“江湖夜雨”“琴心剑胆”“丹青水墨”四个类别(依次记为甲、乙、丙、丁)．云枫和疏雨两名同学进入决赛，他们要分别从四个主题中随机各抽取一个抽后不放回 (1)疏雨抽到甲类主题的概率是______； (2)请用列表法或画树状图的方法，求云枫和疏雨两名同学都没有抽到乙类主题的概率． 5．（10分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表： 课外阅读时间 等级 人数 D 3 C B 8 A 4 结合以上信息回答下列问题： (1)统计表中的________；统计图中B组对应扇形的圆心角为______度； (2)阅读时间在范围内的数据的众数是____________ (3)根据调查结果，请你估计全校600名同学课外阅读时间不少于的人数有多少人？ 6．（10分）如图，在中，， (1)利用直尺（不带刻度）和圆规在边上作点D，使得，连接，与的角平分线交于E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，则 ，E到距离 ． 7．（10分）如图，在中，，以点O为圆心，长为半径的圆交于点C，点D在边上，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 8．（10分）如图①，舂碓是我国上世纪乡村农用工具，形状呈型，将其抽象成如图②的平面图形，呈型的可绕点旋转，其中，，三点在同一条直线上，点在直线上，，，， ，初始时． (1)如图②，求初始时点到的距离； (2)如图③，当点第一次落在上时，求点在竖直方向上上升了多少厘米．（结果保留1位小数；参考数据：） 9．（12分）已知二次函数图像的对称轴是经过点且平行于轴的直线，与轴分别交于A、两点（A点在点的左侧），A点为．与轴交于点． (1)求二次函数的表达式： (2)点和是二次函数图像上的两个点，比较和的大小； (3)在抛物线对称轴上找一点，使得，求点的坐标． 10．（12分）某数学兴趣小组以“等腰三角形的底边、腰的长度之比与顶角的大小有关系吗？有怎样的等量关系？”为主题开展探究学习活动． 已知：在等腰三角形中，，． 【特殊感知】（1）大家知道，当时，是等边三角形，则；若，则________；若，则________； 【一般探究】（2）若，求出的值（用三角函数值表示）； 【发现结论】（3）若，请用含的代数式表示的值； 【迁移应用】（4）如图，若在点、在的两侧，且，判断、与之间的数量关系并说明理由． （考试时间：90分钟 试卷满分：96分） 解答题（本大题共10小题，满分96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（8分）解方程或不等式组： (1)； (2)． 2．（8分）先化简，再求值：，其中． 3．（8分）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证： (1) (2)． 4．（8分）桌面上倒扣着3个不透明的纸杯，其中2个纸杯中放有小球． (1)随机翻开1个纸杯，其中放有小球的概率是__________； (2)随机翻开2个纸杯，求2个纸杯中均放有小球的概率． 5．（10分）某校为了解学生周末使用手机的情况（选项：A．聊天；B．学习；C．购物；D．游戏；E．其它），随机抽取九年级若干名学生进行调查，得到了下列图表（部分信息未给出）： 选项 频数 频率 A 10 m B n 0.2 C 5 0.1 D p 0.4 E 5 0.1 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是__________． (2)__________，并补全条形统计图； (3)若该校九年级有1000名学生，估计该校九年级学生利用手机聊天或玩游戏共有多少人？ 6．（10分）已知：如图，为正方形的对角线． (1)在上求作一点，过点作，交于点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知，求的长． 7．（10分）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 8．（10分）综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N． 【发现】 如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由； 【探索】 图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 9．（12分）已知：二次函数的图象与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点，且． (1)求二次函数表达式； (2)若抛物线上有两点、，当时，求的取值范围； (3)设是二次函数位于第一象限图象上一点，作于点，轴于点．当最大时，求点的坐标． 10．（12分）【初步感知】如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证： 【探索发现】如图2，在中，，，，点F是延长线上的一点，且，在下方作，将射线绕点C逆时针旋转，交射线于点G，求的长． 【尝试应用】如图3，在中，，E为边上一点，连接，，，且，求的值． 【拓展提升】如图4，已知在菱形中，，点E在边上，且，连结交对角线于F，点G在线段上，连结，若，，则______用含有m、n的式子表示 解答题（本大题共10小题，满分96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（8分）（1）解方程：； （2）解不等式组． 2．（8分）先化简，再求值：，其中． 3．（8分）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，求的长 4．（8分）国产AI大模型DeepSeek的爆火引发了全球科技界的广泛关注．现有四场网络直播，这四场直播分别以“A．机器人技术”，“B．计算机视觉”，“C．自然语言处理”，“D．专家系统”为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．甲，乙两位同学准备各自听一场网络直播，然后两人互相分享．若甲同学先从这四类中随机选择一类，并进入直播间听讲解，然后乙同学从剩下的三类中随机选择一类进入直播间听讲解． (1)甲同学选择“A．机器人技术”直播的概率是______； (2)请用画树状图或列表法，求甲、乙两位同学中一人选择“B．计算机视觉”，另外一人选择“C．自然语言处理”的概率． 5．（10分）数学课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动，同学们随机收集甲乙两种树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲种树的长宽比 乙种树的长宽比 分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 甲种树的长宽比 n 乙种树的长宽比 m (1)上述表格中：m =_____，n =_____； (2)通过数据，同学们总结出了一些结论： A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，甲种树的树叶的形状差别比乙种树大”． B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现乙种树的树叶的长约为宽的2倍．” 上面两位同学的说法中，合理的是_____同学的结论； (3)现有一片长cm，宽cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于甲种树、乙种树中的哪种树？并给出你的理由． 6．（10分）如图，在三角形纸片中，，． (1)将纸片折叠，使点A的对应点D落在边上，折痕为，点M、N分别在和上，且．请你使用无刻度的直尺和圆规，作出折痕（不写做法，保留作图痕迹）． (2)若，求的长． 7．（10分）如图，中，D为上一点，，是的外接圆，为的直径，连接． (1)求证为的切线； (2)若⊙O的直径，求的长． 8．（10分）身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为． (1)如图（1），步道为直线型（记为直线）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． (2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 9．（12分）已知二次函数的图像与轴交于点，顶点为点．直线的表达式为：． (1)填空：________；（用含的式子表示） (2)若该二次函数图像与轴的另一个交点为，与直线交于、两点．点为二次函数图像上任意一点，过点作轴的垂线，交轴于点，交直线于点． ①若点是线段的中点，求点的坐标； ②设、的纵坐标分别为、，若，则的取值范围是_________； (3)若平移该二次函数图像，使其顶点落在直线上．设抛物线与直线的另一个交点为，点在直线l上方的二次函数图像上，求点到直线距离的最大值． 10．（12分）问题思考与探究 (1)【问题思考】如图1，已知正方形，，分别是边，上一点，连接，，，且，若延长到点，使得，连接．则：运用三角形全等的相关知识，可推理得到三条线段，，之间的数量关系是________； (2)【探究应用】如图2，正方形的边长为，点是射线上一动点（不与点重合），连接，将绕点顺时针旋转，得到线段，连接交射线于点，连接． ①当点在线段上，若是等腰三角形，求此时BE的长． ②当点在线段的延长线上时，设，的面积为，则______；______．（用含的代数表示） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $