8.3.2 球的表面积和体积课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

学习 目标 1.掌握球的表面积与体积的计算公式.(重点) 2.会求简单几何体的外接球、内切球的表面积和体积.(重难点) 8.3.2 球的表面积和体积 1.球的表面积和体积公式 (1)球的表面积： (2)球的体积： 体积公式推导法(祖暅法) 祖暅原理：两个等高的几何体，若在等高处的截面积总相等，则体积相等。 半径为R的半球 底面半径和高均为R的圆柱， 挖去一个底面半径和高均为R的圆锥 2 表面积公式推导法(极限法) O A B C D 把球O的表面分成n个小网格, 连接球心O和每个小网格的顶点, 整个球体就被分割成n个“小锥体”. 当n越大，每个小网格越小，每个“小椎体”的底面越平，“小椎体”就越近似于棱锥，其高越近似于球的半径R. O 3 性质2:球心和截面圆心的连线 垂直于截面． 性质1：用一个平面去截球，截面是圆面； 用一个平面去截球面， 截线是圆。 大圆--截面过球心，半径等于球半径； 小圆--截面不过球心 性质3: 球心到截面的距离d与球 的半径R及截面的半径r 有下面的关系: A 2.球的性质 （2）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球 （1） 若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球 3. 球与多面体的内切、外接 （3）若一个多面体的各棱都与一个球的球面相切，这个球是这个多面体的棱切球 （球心到各顶点的距离为半径） （球心到各个面的距离为半径） （球心到各棱的距离为半径） （1）正方体 切点：各个面的中心. 球心：正方体的中心. 直径：相对两个面中心连线. 直径等于正方体的棱长. ①内切球 • O O • ②棱切球 O • • O 切点：各棱的中点. 球心：正方体的中心. 直径： “对棱”中点连线 直径等于正方体一个面的对角线长. ③外接球 O A B C D O • A B C D 直径等于正方体的体对角线长. a是正方体棱长 球心：正方体的中心. 直径： 体对角线 6 ①内切球 一个球在长方体内部，最多可以和该长方体的5个面相切. 没有. 7 利用等体积直接来求半径(球内切于多面体，则球心到各个面的距离相等) 等体积法 轴截面法 作轴截面，球心在棱锥的高所在的直线上. A B C D P O E 8 2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为O’，半径为r，R2＝(h－R)2＋r2(正棱锥外接球半径为R，高为h). 正棱锥外接球半径求法——轴截面法 • O D R • O′ P C B A a R 9 2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为O’，半径为r，R2＝(h－R)2＋r2(正棱锥外接球半径为R，高为h). 正棱锥外接球半径求法——轴截面法 O O A O′ P • • R R O′ • O • O′ O A O′ P • • R l R h 10 11 五、圆锥的外接球 R2＝(h－R)2＋r2(R是圆锥外接球的半径，h是圆锥的高，r是圆锥底面 圆的半径). 12 ①内切球 六、直棱柱与球 若球与直三棱柱三个侧面相切，可由平行于底面截面图，求出球的半径. 若球与直三棱柱各个面相切，则球的直径为棱柱高. 13 六、直棱柱与球 14 15 设，分别为圆台的上、下底面圆的半径， 为内切球半径. 当且仅当，即圆台的高等于其内切球直径时，圆台内切球才存在， 此时 ） ①内切球 16 设，分别为圆台的上、下底面圆的半径， 为外接球半径. ②外接球 17 九、可补成长方体的几何体外接球 堑堵模型 阳马模型 鳖臑模型 墙角模型 对棱相等模型 18 3. 将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球零件，求可能制作的最大零件的体积. 课本P119 练2 在球面上有四个点P,A,B,C，若PA,PB,PC两两垂直 且PA=PB=PC=2，则该球的体积为_____. 练3 长方体的共顶点的三个侧面的对角线长分别为，，，则它的外接球的表面积为_______. 20 练4 已知底面边长为1，高为2的正六棱柱的顶点都在一个球面上,则该球的表面积为______. 21 练5 设直三棱柱的所有棱长都为2，且顶点都在一个球面上，则该球的表面积为______. 练6 已知正四棱锥的顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则球的表面积为____. 练7 已知底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=3，AB=4，则四棱锥P-ABCD内切球的表面积为____. 22 练8 如图示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径， 求球与圆柱的体积之比. O R Lavf59.27.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 Lavf58.29.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 二、长方体与球 ②外接球：外接球直径2R＝体对角线长(a，b，c分别为长方体的长、宽、高). Lavf58.29.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 三、正棱锥与球 1.内切球：V正棱锥＝S表·r＝S底·h(等体积法)，r是内切球半径，h为正棱锥的高. 三、正棱锥与球 三、正棱锥与球 Lavf59.27.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 四、正四面体的外接球、内切球 若正四面体的棱长为a，高为h，正四面体的外接球半径为R， 内切球半径为r，则h＝a，R＝a，r＝a，R∶r＝3∶1. Lavf58.29.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 ②外接球 球心到直三棱柱两底面的距离相等，直三棱柱两底面外接圆连线的中点为其外接球球心. 七、圆柱与球 (R是圆柱外接球的半径，h是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径). 八、圆台与球 Lavf58.29.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 八、圆台与球 Lavf59.27.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $