专题09 解析几何（6大考点，50题）（上海专用）2026年高考数学二模分类汇编

学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题09解析几何(6大考点，50题) ☆6大考点概览 考点01直线与方程 考点02圆与方程 考点03双曲线 考点04椭圆 考点05抛物线 考点06其他圆锥曲线问题综合 考点1 直线与方程 一、单选题 1.(2026上海普陀二模)在直角坐标平面中，方程x+y9-x-8-2y=0表示的曲线称为“G 2是6圆”上的任意两点，O为坐标原点对如下两个命题： , 圆”点 ①若点1-3,0)、B3,0,则P4+P8的值不可能等于8： 1 「127 ②若0P10Q,则OPOg的取值范围为69 则下列结论中正确的是() A.①为真②为真B.①为真②为假 C.①为假②为真 D.①为假②为假 二、填空题 x+2,x<-a 2.(2026上海静安·二模)设 函数/(x)= √a2-x2,-a≤x≤a,给出下列三个结论： a>0 -Vx-Lx>a ①'=f在区间a-1+切上单调递减： ②当a≥l时，y=f八存在最大值： ③设M,f川≤a,N川名>a,则MW>1 其中所有正确结论的序号是 1/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 3.(2026:上海闵行二模)在△ABC中，B=34C=5,BC=4 B、C 中， ，点“在以为焦点的双曲线上，则该 双曲线的两条渐近线的夹角大小为 4.(2026上海黄浦二模)若直线3r+”-2=0与-W+1=0王 垂直，则a的值为 5.(25.26高三下-上海宝山期中)若=(L2是直线：a+y-1=0的一个法向量，则实数“的值为 6.(2026-上海杨浦二模)直线1：(a-3列x+(20+y-3=0的一个法向量是”=(3,2)，则实数a= 7.(2026·上海黄浦·二模)如图所示，某圆形游乐园的半径为140米，其圆心在点A处，游乐园内有一圆 形广场，其半径为20米，圆心在与点A相距60米的点B处，游客中心位于圆形广场的边界线与A,B连 线的交点O处.现打算在游乐园的边界线与圆形广场的边界线上各选一点C,D,在这两处各建一座游乐 设施（其占地大小忽略不计），将△OCD的内部区域作为游客的休闲区并使其面积最大，则此最大面积为 4ò D 8. (2026上海奉贤二模)若直线(a-刂x+y-1=0与直线3x-y=0平行，则实数a的值为 9.(2026上海静安二模)如图所示，在。A6C中，∠B4C-,hC=2A0,hAn=1,p为边AC的中 点，D在边AB上，且HD-2DB,CD交BP于点R,则CR- 2/14 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 10.(2026上海松江模拟预测)记号maxa,A表示ab中取较大的数，如max1,2=2.在平面直角坐标 系中，定义4B=max-乃为两点1，、B(,的“切比雪夫距离”.已知点O为坐 标原点，点C在圆-+0y-=1上，点A在直线3x+4y-10=0上，则4C,4)+dC,0的最小值为 考点2 圆与方程 一、填空题 x2,y2 1.(2526商三下-上海宝山期中)已知点R0分别是桶圆9+5和圆(：-2少+广=1上的两个动点， 且点2，别，则P+PO的最大值为 12.(25-26高三下·上海浦东新·期中)已知，圆O是圆心在原点的单位圆，弦AB平行于x轴，并将圆分 为两段弧.将其中一段劣弧B沿弦4B翻折后恰好经过圆心.若直线” y=x+m 与翻折后得到的两段弧有 四个不同的交点，则实数m的取值范围为 3/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 13.(2026上海杨浦二模)设集合4=z+-2-a,zeC,B==1,2eC，,若4nB≠⑦，则实 数a的取值范围是」 14。(2026上海二模)已知复数2满足2+2是实数，则 -2 i 2的最小值为 15.(2026-上海松江模拟预测)已知抛物线广=2p(p>0的准线恰好平分圆c+2)+0+)=l的周长， 则该抛物线的焦点坐标为 16.(2026·上海·二模)在以0为原点的空间直角坐标系中，设 =(10,0,j=(01,0),A和B是两个点 集，设4Po丽=lo》-到】 对任意的Q∈B,总存在P∈A,使得OP.OD=2.若T∈B, OT=xi+疗(x、yeR)且o7-引=2，则O7.i的取值范围是 二、解答题 17。(2026~上海金山二模)已知抛物线：少=的焦点为F,准线为，点P6,为抛物线上一对点， 点O为坐标原点， 0)若OP=P,求点P的坐标： 2)若直线名y=+4 与抛物线「只有一个交点，求直线的方程； (3)若>3 ,过点P作圆C:x-+=4 的两条切线，交淮线于A、B两点，求 B的取值范围。 考点3 双曲线 一、 单选题 .x2,y2 .y2x2 18.(2026上海金山二模)已知椭题云+方-1，双曲线「，万云引，其中(a>>0),点人、 4/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 F,为椭圆厂，的两个焦点，点p是双曲线「，上一动点.若双曲线「，的两条渐近线夹角的余弦值等于3，则 使得△PF5为直角三角形的点P有《）个 A.3 B.4 C.6 D.8 19.(2026~上海二模)双曲线-2r=的渐近线是（). A.y=±V2x B.2y C.y=+2x D.*=2y x2、2 =入 20.(2026:上海奉贤·二模)已知双曲线的方程为一4元，则() A.渐近线与九无关 B.实轴长与几无关C.焦距与人无关D.焦点与几无关 二、填空题 E:xy 21.(25-26高三下-上海青浦期中)已知点F是双曲线5：。尔=1Ka>0,6>0) 的左焦点，经过原点O 的直线与双曲线E交于P、Q两点，若PF=5l且∠PF0=60,则双自线E的离心率为一 .y2x2 22.(2026上海黄浦二模)已知曲线·：y=2p(p>0)与曲线 「，。疗=y>0)交于两点P,Q,点 F是'的焦点，点0是坐标原点.若PF+OF=10o,则「的离心率为 x2 23.（2026:上海静安二模)双曲线4-少= 的两条渐近线夹角大小为·（结果用反三角函数值表 示) 24.(2026上海静安二模)若满足=5，且5+5--5=6的复数2有两个，分别设为一、3，则 31-22= 5/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 三、解答题 25。(2026上海徐汇二模)已知无穷数列1为严格增数列，且2，>0.双曲线C的方程为 ?-少=入，4B,为双曲线C上两个不同的动点，其中4在双曲线C“的右支上 0)子1 ,求双曲线C的渐近线方程和焦点坐标。 ②若名=L入=2，且点70为线段44的中点，求实数'的取值范围， ③)已知直线4,8过双曲线C的右顶点，若B,在双曲线C的右支上，则称弦A8为双曲线C的“同支 弦”，否则称其为双曲线C的“异支弦”是否存在等差数列，使得对于任意正整数”，双曲线C。 “同支弦”弦长的最小值均大于双曲线C。“异支弦”弦长的最小值？若存在，请求出数列的通项公式： 若不存在，请说明理由. 26.(2026上海长宁二模)双曲线r:号广 3方16>0)经过点P2,1),不垂直轴的直线与交于不同于 P的A、B两点，直线PA、PB分别与V轴交于点M、N. (1)求「的离心率； ②设直线PA与'轴交于点°，且0=207，求点A的横坐标： (3)若M、N关于原点对称，证明：直线AB经过定点. 27.(2026上海杨浦二模)已知4、F分别是双曲线”：-y=入（常数2>0)的右顶点和右焦点， 记「过一、三象限的渐近线为。 6/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A八 (1)求双曲线的离心率和渐近线的方程： 2设2=2,0是上一点，若线段巴的中点P在双曲线「上，求点Q的坐标。 FO (3)设元=1，过A作两条相互垂直的直线与双曲线「交于M、N两点(M在第一象限)，若直线AM、AN 分别与”交于C、D两点，且△1MN与△1 D的面积之比为2，求直线1M的方程， 28.(25-26高三下·上海浦东新·期中)已知双曲线 C:2 6京=1b>0) 的左顶点为A,过点D(2,0的直线 I交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限 0若双曲线C的焦距为25，求该双曲线C的离心率： 2若=5，△M1D为直角三角形，求点M的坐标 ③)若双曲线C的一条蒲近线方程为+2，=0，且直线'上存在一点巴，过点P可以作双曲线C的两条互 相垂直的切线，求直线I斜率的取值范围. :y2 29.(2026-上海普陀二模)设a>0,b>0,m、1eR,双曲线云=1 的一条渐近线方程是 y=22x,点P为「右支上的一点，直线'的方程是-mw-1=0,0是坐标原点 （①若点P的坐标为38)，求双曲线「的方程： (2)若直线'经过点O,且与「交于A、B两点，直线PA、PB的斜率分别为、，求 k的值 7/14 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 )设点F是「的左焦点，点4、4是「的左、右两个顶点，直线4P与直线=1交于点M,直线'经过点 P与「的右支交于另外一点”，若a=3,且直线M0恒过点，求P2周长的取值范围， 0.(25-26高三下·上海浦东新期中)已知双曲线C:x2 京=1b>0) 的左顶点为A,过点D(2,O)的直线 I交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限. 0)若双曲线C的焦距为25，求该双曲线C的离心率e: 2活6=5，△M1D为直角三角形，求点M的坐标 (③若双自线C的条浙近线方程为+2y-0,点以，N均在双击线C的右文.且行在实数3<)】 使得你-M而 成立，求直线I的倾斜角的取值范围. 考点4 椭圆 一、 单选题 31.(2026-上海柴明二模)已知4-a,0,Ba,0,4:ar-y=0,:r+y=0,其中a>1,点P为平 面内一点，记点P到，的距离分别为4,4，则下列条件中能使点P的轨迹为椭圆的是《) A.PA+IPBI=2a B.PAP+PBP=4a2 c.4+d=4a D.d+4=4a 二、填空题 32.(2026上海长分二预)等腰61C的三个质点均在辅圆r06+少-1上，且人分C中有且仅 有两个点是椭圆「的顶点，则满足条件的△ABC共有 个 33.(2026·上海崇明·二模)如图，已知圆柱的一个截面边界是椭圆「，其中T的长轴AC为该圆柱轴截面 8/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 的对角线，短轴长等于圆柱底面直径的长.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆「在展开图中恰好为一个 周期的三角函数图像。若该段曲线是函数y=1-V5sn5的图像的一部分，则椭圆T的离心率为一 B C 三、解答题 x2,y2 34。(2026:上海静交二模)在0平面直角坐标系中，0为坐标原点.设椭圆：。+-1(a>6>0) T: 1 Γ的左、右焦点分别为F、B,F=2,『的离心率为2. ()求椭圆「的方程： (2)过原点O作两条相互垂直的射线，与椭圆「分别交于A、B两点，证明：原点O到直线AB的距离为定 值 (3)过椭圆「的右焦点2且不与坐标轴垂直的直线1与椭圆「交于P、Q两点，点M是点P关于x轴的对称 点.在x轴上是否存在一个定点N,使得M、Q、N三点始终共线？若存在，求出点N的坐标；若不存在， 说明理由. 52026上海定)已知告+a2与线yy进上一卫 作的平行线交？于点M,作2的平行线交于点N MN (1)当P为椭圆的上顶点时，求 的大小 9/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 5 2)若椭圆的离心率= 2,求椭圆T的方程，并求OM+O的最大值与最小值： MN ONPM (3)若为定值（与点P的位置无关），求α的值，并求此时四边形 面积的最大值. r: =1 36.(2026上海黄浦二模)已知点F、F分别是曲线62的左、右焦点，动直线1过点F且不 过点5，它与「交于点P、 0)求点5、.5的坐标 2诺P0-1,求直线/的方程： ③)设直线过点且与'垂直，直线：x=m与的交点为了，求证：存在唯一的常数m,使得点T与「的 PO 中心的连线平分线段PQ,并求此时TF的最大值. 37.(2026上海崇明·二模)已知椭圆车+) C: (1)求椭圆C的离心率e; ②已知椭圆右顶点为，设点M为y轴正半轴上一点，点P为椭圆C上的一点.若=2PW,求点M的坐 标； G 5 ,0 (3)已知气2，过点R(4,O)的直线交椭圆C于D,E两点，直线DG交直线x=1于点H,证明：EH上y 轴. 10/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 38.(2026上海松江模拟预测)已知椭因：+片-1a>0的左焦点为P-l0,过点Q4,0作斜幸 T: x2,y2 M,N 不为0的直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆Γ的离心率； (2)设直线MF、NF的斜率分别为 ，6，求断+的值： IEMENEF (3)若点E满足 ,点D在椭圆上， MDLX轴，探究直线EF与直线DO的斜率之积是否为 定值？若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由 阝 39.(2026-上海闵行二模)已知椭圆「：云+厅=1(a>b>0的焦距为4W5,离心率为2，过点P(2,1 A、B 的直线交椭圆于点 (1)求Γ的方程： (2)记a0A 的面积为S,求证：S≤2W5 B)求PAP8的最大值与最小值，并写出取最大值与最小值时直线B的方程 x2,y2 √2 40.(2026上海养贤二模)已知椭因厂言+方-1a>6>0)经过点0,1，离心率为兰.过点M0-m, T m>0的动直线I交椭圆T于C,D两点. (1)求椭圆Γ的方程； 2若直线与F+产-行相切，求当网=2时，C0的长： (3)若以CD为直径的圆经过x轴上方的定点P,求点P的坐标. 11/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 考点5 抛物线 一、填空题 41.(2026·上海杨浦·二模)掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正 上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面 3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度“的最大值为 一·（精确到 0.1°). 10 42.(2026上海奉贤·二模)点F为抛物线 C:y2=8x 的焦点，P为C上一点，若△POF的面积为4W5( 0为坐标原点)，则 PF= 43.(2026·上海普陀·二模)已知 点P2,川在抛物线”=4上，则P点到抛物线焦点F的距离为 y=8x 44.(2026·上海青浦·二模)设抛物线 的准线方程为 二、解答题 45.(25-26高三下·上海宝山期中)将以坐标原点为顶点，以x轴为对称轴，并经过 P叫1，的抛物线记 为C作两条直线分别与抛物线C相交于点M,小B,）,设PAPB的斜率分别为8，且满足 kpa +kp8 =0 (1)求抛物线C的标准方程： ②证明：直线4B的斜率k=) 2； 12/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 3)若直线4B在 _be|0, 轴上的截距 ,求△ABP 面积的最大值 考点6 其他圆锥曲线问题综合 一、单选题 46. （2026:上海徐汇二模)设meR.定义点Pm2- 的t- 相伴集合为4，=《x,x-m川≤t且 --. 其中为正实数.给出以下两个命题： ①若m=0,则其1一相伴集合4所对应平面图形的面积为2： >0,若对在意实数”及任意'54，集合所对应平面图形与能物线”=2)均无公共点，则 ②设6 12 则正确的选项是() A.①是真命题，②是真命题 B.①是假命题，②是假命题 C.①是真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是真命题 二、填空题 47.(2026·上海·二模)已知焦点为F的抛物 C:y广=4x上有两点A和B,且∠4B=15S0°，E为A和B的 ABP 中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H,则|EHP的最小值为 48.(25-26高三下·上海浦东新·期中)某光影科技实验室为长方体空间，底面是边长为4米的正方形，高 为3米.为营造动态光影效果，在底面一个顶点处安装射灯A,在与该顶点相对的侧棱上、距底面1米处 安装射灯1，两盏射灯的光束方向由智能系统自动控制，始终使两束光线相互垂直，且它们的交汇点G始 终落在实验室天花板上.则交汇点G形成的轨迹长度为 米 13/14 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 三、解答题 49.(25-26高三下·上海青浦期中)已知椭圆9：分+少2 与测9号 ,椭圆C2的左、右焦点 分别为 尽片，点'为精园S上异于共在、右顶点的任一点，直线小均过点” (1)求 PF面积的最大值. ②若过点F且与C交于D、E两点，过点B且与C交于M、N两点，当直线、4的斜率满足 kk=2时，证明DE+MN为定值： ③)是香存在点P,满足人2均与C相切，且上若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 50,（2026上海二模)设椭圆r:子+少=1的左顶点为 (1)求「的离心率； (②)设「的左焦点为F,上顶点为B,若点P在「上且位于y轴右侧. B/严，求点P的横坐标： :x-y+m=0 (3)设直线 ,I与交于不同的两点C和D,若点A在以CD为直径的圆外，求实数m的取值 范围 14/14 专题09 解析几何（6大考点，50题） 6大考点概览 考点01直线与方程 考点02圆与方程 考点03双曲线 考点04椭圆 考点05抛物线 考点06其他圆锥曲线问题综合 直线与方程 考点1 一、单选题 1．（2026·上海普陀·二模）在直角坐标平面中，方程表示的曲线称为“圆”.点是“圆”上的任意两点，为坐标原点.对如下两个命题： ①若点、，则的值不可能等于； ②若，则的取值范围为. 则下列结论中正确的是（   ） A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假 【答案】C 【分析】先根据方程可得曲线是由半个圆和半个椭圆组成的一条曲线，再对条件①判断，根据椭圆的定义及计算圆的一点到两个定点的距离和范围可得命题的真假；对条件②根据两点的位置关系分四种情况分别讨论可得所求式子的范围，进而可得结果. 【详解】因为方程等价于：或. 若，则，表示圆心在原点，半径为的左半个圆； 若，则，表示长半轴为，短半轴为的右半个椭圆；如图： 对于①，若点在右半个椭圆上，点、是椭圆的焦点， 根据椭圆的定义：，所以在右半个椭圆上不存在点满足； 若点在左半个圆上，点、是圆的一条直径的两个端点， 设，则 所以， 因为，所以，，， 即，而，所以存在点满足； 所以命题①为假命题. 对于②，若点在左半个圆上，； 若点在右半个椭圆上，则，因为， 所以，即. 下面对的位置分四种情况讨论： （i）若都在左半个圆上时，， 所以； （ii）若在左半个圆上，在右半个椭圆上时，， 所以，即； （iii）若在左半个圆上，在右半个椭圆上时，， 所以，即； （iv）若都在右半个椭圆上时，设， 且，因为，所以， 即，. 所以，， 所以 ， 又因为，两边平方得， ，化简整理得， 所以. 综上所述，的取值范围为，故②正确； 二、填空题 2．（2026·上海静安·二模）设，函数，给出下列三个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，，则． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②③ 【分析】对①：结合的单调性，令即可得反例；对②：利用函数性质判断的单调性，则可求出各段的上界，再令计算即可得；对③：分及进行讨论，当时，利用点到直线的距离公式计算即可得解；当时，计算出即可得解. 【详解】对①：若，即时，有， 则在区间上单调递增，故①错误； 对②：由， 则当时，单调递增，当时，单调递增， 当时，单调递减，当时，单调递减， 则时，，当时，， 当时，， 要使得存在最大值，则，解得，故②正确； 对③：由题意可得，若，则在上， 则， 由，则； 若，则， 有，故； 综上可得：恒成立，故③正确. 3．（2026·上海闵行·二模）在中，，点在以为焦点的双曲线上，则该双曲线的两条渐近线的夹角大小为______. 【答案】 【详解】由题可知以为焦点，则， 又点在双曲线上，由双曲线的定义可得：， 由双曲线的关系：可得， 设在轴上，则双曲线的渐近线方程为， 由可得两条渐近线的倾斜角为和， 根据直线夹角的定义可得两条渐近线的夹角为. 4．（2026·上海黄浦·二模）若直线与垂直，则a的值为______． 【答案】3 【详解】若直线与垂直， 则，解得. 5．（25-26高三下·上海宝山·期中）若是直线的一个法向量，则实数的值为__________. 【答案】/ 【分析】利用直线一般式的法向量形式，结合已知法向量与该法向量平行的性质列比例式求解的值. 【详解】已知直线的方程为 ， 根据直线一般式的法向量性质，的法向量可表示为, 因为是的一个法向量，故与平行， 由向量平行的坐标关系得：，解得. 【点睛】本题考查直线法向量的概念和向量平行的坐标运算，记住直线一般式的法向量为可快速解题. 6．（2026·上海杨浦·二模）直线：的一个法向量是，则实数______. 【答案】 【详解】易知直线：的一个法向量可以表示为， 又直线的一个法向量是，所以两向量共线， 根据向量共线的坐标表示得，解得. 7．（2026·上海黄浦·二模）如图所示，某圆形游乐园的半径为140米，其圆心在点A处，游乐园内有一圆形广场，其半径为20米，圆心在与点A相距60米的点B处，游客中心位于圆形广场的边界线与A，B连线的交点O处．现打算在游乐园的边界线与圆形广场的边界线上各选一点C，D，在这两处各建一座游乐设施（其占地大小忽略不计），将的内部区域作为游客的休闲区并使其面积最大，则此最大面积为______． 【答案】平方米 【分析】过点作，垂足为，则.记点到直线的距离为，则点到直线的距离的最大值为.以为坐标原点直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，设直线的方程为，根据点到直线的距离公式，将的面积表示为的函数，利用导数分析其单调性，并求得最大值. 【详解】由题意知，，，，， 所以. 过点作，垂足为，则. 记点到直线的距离为，则点到直线的距离的最大值为. 如图所示，以为坐标原点，直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则. 易知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则，， 所以. 的最大面积为. 由圆的对称性，不妨令. 设，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递减. 令，得， 即，化简得. 因为，所以，所以. 所以当时，，；当时，，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. 所以的最大面积为平方米. 8．（2026·上海奉贤·二模）若直线与直线平行，则实数a的值为________． 【答案】 【详解】已知直线与直线平行， 两直线斜率相等，即，解得， 直线的截距为1，直线的截距为0，不相等， ． 9．（2026·上海静安·二模）如图所示，在中，，，，为边的中点，在边上，且，交于点，则______． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求出直线、的方程，联立求解得到点坐标，根据两点间的距离公式即可求出. 【详解】因为，，所以. 以点为原点，以为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，，，即. 因为为边的中点，所以. 因为，所以. 直线：，即. 直线：，即. 联立，解得，即. 故. 10．（2026·上海松江·模拟预测）记号表示中取较大的数，如. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”. 已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】先利用几何直观判断取最小值的情形，再结合构造出需要优化的目标函数，最后通过分类讨论得到最小值. 【详解】设点，与点的切比雪夫距离为的点构成了一个以点为中心，边长为的正方形， 要让最小，直线应经过正方形的右上角或左下角，即或， 代入直线方程可得或， 于是有，即的最小值为， 由圆的圆心为且半径为可知圆在第一象限，所以有， 则， 因此需要优化的目标函数为，下面分类讨论， 当且时，， 当且时，， 即当时，当且仅当时取等号， 当时，联立和圆的方程得到，解得， 取较小的一组解进行验算得，符合前提条件； 当时，和不可能同时成立（否则）， 因此必定有，所以， 综上所述，的最小值也即的最小值为. 【点睛】目标函数优化问题一定要注意计算出来的最值能否取得. 圆与方程 考点2 一、填空题 11．（25-26高三下·上海宝山·期中）已知点分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为__________. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义将所求最大值转化为求值的最大值，再结合圆的性质求解. 【详解】因为为椭圆的右焦点，设其左焦点为， 圆的圆心，半径，由椭圆的定义得， 则， 而，当且仅当点在直线上时取等号， 所以当是线段延长线与椭圆的交点、是线段延长线与圆的交点时，取得最大值. 12．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知，圆O是圆心在原点的单位圆，弦AB平行于x轴，并将圆分为两段弧．将其中一段劣弧沿弦AB翻折后恰好经过圆心．若直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，则实数m的取值范围为________． 【答案】 【详解】根据题意可知优弧所在的圆方程为，劣弧所在的圆方程为， 因为直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点， 所以直线与优弧和劣弧各有两个不同的交点， 所以，解得， 又直线经过点时，， 所以要使直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点， m的取值范围为 13．（2026·上海杨浦·二模）设集合，，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】由知到与距离相等，其轨迹是这两点的垂直平分线, 表示的轨迹是一个单位圆，两者有交点，等价于原点到直线的距离不大于，通过计算可得实数的取值范围. 【详解】集合，由，即到与距离相等， 即的轨迹为与两点连线的垂直平分线， 设，所以，所以，化简得， 若，等式化为，任何都满足，此时为整个复平面，满足； 若，则，即的轨迹为直线，表示的为圆：， 即直线与圆有交点，所以，解得，所以实数的取值范围是. 14．（2026·上海·二模）已知复数满足是实数，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】设，代入中化简，由是实数，得或，利用复数模的几何意义求的最小值 【详解】设，则 ， 因为是实数，所以， 所以或， 当时，的轨迹是轴（除原点外）， 此时的几何意义表示轴上的点（除原点）和的距离，此时， 当时，复数的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图， 根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离， 由图可知，的最小值为. 因为，所以的最小值为. 15．（2026·上海松江·模拟预测）已知抛物线的准线恰好平分圆的周长，则该抛物线的焦点坐标为__________. 【答案】 【分析】根据抛物线的准线经过圆心求出值，进而求出抛物线的焦点坐标. 【详解】因为抛物线的准线恰好平分圆的周长， 即直线经过圆心，所以. 解得，所以抛物线方程为. 所以该抛物线的焦点坐标为. 16．（2026·上海·二模）在以O为原点的空间直角坐标系中，设，，A和B是两个点集，设，对任意的，总存在，使得．若，且，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式，结合直线与圆的位置关系进行求解即可. 【详解】设，因为， 所以，且， 即，且，显然， 设，因为，所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为，所以，代入中， 得， ， 因此直线与圆有两个不同的交点， 因为，所以直线的斜率的取值范围为， 如下图所示： 由 直线与圆的交点坐标为， 又因为直线、直线斜率互为相反数，且过同一点，与圆都是关于纵轴对称， 所以当时， 因为， 所以的取值范围是. 二、解答题 17．（2026·上海金山·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一动点，点为坐标原点． (1)若，求点的坐标； (2)若直线与抛物线只有一个交点，求直线的方程； (3)若，过点作圆的两条切线，交准线于、两点，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)和 (3) 【分析】（1）根据条件列出方程即可求解； （2）联立抛物线方程，消元后得方程，分类讨论，根据方程有一根求解即可； （3）设过P点的切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出关于直线斜率的方程，再由切线与准线交点的纵坐标表示，利用韦达定理化简，换元求取值范围即可. 【详解】（1）由可知， 因为，所以， 即，解得， 代入抛物线方程，， 所以点的坐标为或. （2）联立方程，可得，即， 因为只有一个交点， 所以，即时，方程只有一解，满足题意，此时； 当时，则需，解得， 此时. 综上，直线的方程为和. （3）设， 由题意，切线与准线相交，故切线的斜率存在，设切线方程为， 即， 由圆知，圆心，半径， 所以，即， 设， 代入切线方程可得，， 所以，（其中分别是的斜率） 所以， 又， 令，则， 令，则， 所以， 因为，所以，所以， 故求的取值范围为. 双曲线 考点3 一、单选题 18．（2026·上海金山·二模）已知椭圆，双曲线，其中（），点、为椭圆的两个焦点，点是双曲线上一动点．若双曲线的两条渐近线夹角的余弦值等于，则使得为直角三角形的点有（   ）个 A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先根据双曲线的渐近线夹角的余弦值求出，得到， 分别按照，，讨论求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 设渐近线的倾斜角为，则， ，，，， 两条渐近线的夹角为，， ， ，，，， 椭圆，， 点、为椭圆的两个焦点，， 当时，以为直径的圆的方程为， 双曲线，将代入， 得到，解得， 联立，将代入， 得到，解得， 将代入，解得， 则有个点满足； 当时， 过的直线为，将代入双曲线， 得到，解得，故有个点满足； 当时， 过的直线为，将代入双曲线， 得到，解得，故有个点满足； 综上可知，使得为直角三角形的点有个，故选项C正确. 19．（2026·上海·二模）双曲线的渐近线是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线的标准形式为， 显然该双曲线焦点在轴上，其中，，即，， 因为焦点在轴上的双曲线的渐近线公式是，且， 所以双曲线的渐近线是． 20．（2026·上海奉贤·二模）已知双曲线的方程为，则（   ） A．渐近线与无关 B．实轴长与无关 C．焦距与无关 D．焦点与无关 【答案】A 【详解】已知双曲线的方程为，则， 当时，，焦点在轴，， 当时，，焦点在轴，， 当时，渐近线方程为，实轴长为， 焦距为，焦点为； 当时，渐近线方程为，实轴长为， 焦距为，焦点为； 渐近线与无关，实轴长、焦距、焦点均与有关． 二、填空题 21．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知点是双曲线的左焦点，经过原点的直线与双曲线交于、两点，若且，则双曲线的离心率为 ______. 【答案】/ 【分析】设是右焦点，由双曲线的对称性得是平行四边形，这样结合双曲线的定义可把和用表示，再应用余弦定理可得关系，从而得离心率． 【详解】 设是右焦点，由双曲线的对称性得是平行四边形，， 所以， 又，即，，则， 因为，所以， 由余弦定理得， 即， 得，即 所以离心率. 22．（2026·上海黄浦·二模）已知曲线与曲线交于两点P，Q，点F是的焦点，点O是坐标原点．若，则的离心率为______． 【答案】 【分析】联立抛物线和双曲线方程，根据韦达定理可得，结合抛物线的定义可得，即可得双曲线离心率. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为， 设，， 联立方程，消去可得， 则，解得，可得， 又因为，则， 即，可得，可得， 所以双曲线的离心率为. 23．（2026·上海静安·二模）双曲线的两条渐近线夹角大小为______．（结果用反三角函数值表示） 【答案】 【分析】首先得到双曲线的两条渐近线，再利用正切两角和差公式求解即可. 【详解】由题可得，，因此渐近线方程为， 两条渐近线斜率为，. 两直线夹角，夹角公式为， 代入得， 由于且，因此夹角大小为. 24．（2026·上海静安·二模）若满足，且的复数z有两个，分别设为、，则______． 【答案】 【分析】设，根据复数的几何意义分析可得，，联立方程运算求解即可. 【详解】设，，，， 因为，则，可知点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆， 可得； 且，则，可知点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 则，，，可得， 联立方程，解得， 且，则，可得，， 所以. 三、解答题 25．（2026·上海徐汇·二模）已知无穷数列为严格增数列，且.双曲线的方程为为双曲线上两个不同的动点，其中在双曲线的右支上. (1)若，求双曲线的渐近线方程和焦点坐标； (2)若，且点为线段的中点，求实数的取值范围； (3)已知直线过双曲线的右顶点.若在双曲线的右支上，则称弦为双曲线的“同支弦”，否则称其为双曲线的“异支弦”.是否存在等差数列，使得对于任意正整数，双曲线“同支弦”弦长的最小值均大于双曲线“异支弦”弦长的最小值？若存在，请求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)渐近线方程；焦点坐标为. (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据双曲线的标准方程求出的值，进而得到渐近线方程和焦点坐标. （2）先设出的坐标，再根据中点坐标公式得到关于的表达式，最后结合双曲线的性质求出的取值范围. （3）先设出直线的方程，然后分别联立直线与双曲线的方程，求出“同支弦”和“异支弦”弦长的表达式，再根据条件列出不等式，进而判断是否存在满足条件的等差数列. 【详解】（1）当时，双曲线的方程为，此时. 根据双曲线渐近线方程可得. 根据可得，焦点在轴上，所以焦点坐标为. （2）， ， ， ， ①，，代入上式 ②， 联立①②，得， ； （3）的右顶点为. 若直线的斜率为0，此时，为异支弦，. 若直线的斜率不为0，设直线的方程为，代入， 得. 当时， 设，则 . 设，则. 当为异支弦时，，所以，即. 所以，所以异支弦最小值为. 当为同支弦时，. 因为，所以. 所以同支弦长最小值为，由已知，所以. 若是等差数列，设公差为，则一定存在一个充分大的，使. 此时，不合题意，所以不存在这样的等差数列. 26．（2026·上海长宁·二模）双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、. (1)求的离心率； (2)设直线与轴交于点，且，求点的横坐标； (3)若、关于原点对称，证明：直线经过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程求得，进而利用公式可得离心率； （2）设出点的坐标，利用坐标运算，结合向量关系，联立求解即可； （3）先求得，设直线，与双曲线方程联立，由韦达定理得，即可求解定点. 【详解】（1）将代入双曲线方程可得：， 因为双曲线中，所以， 即离心率： ； （2） 设，直线方程为， 令，得，即可知， 令，得，即可知， 由，可得：， 则由纵坐标对应相等可得 ， 由（1）知双曲线化简为，代入得， 解得或（因为此时与点重合故舍去），即； （3）设，由关于原点对称得， 计算得直线的斜率可得 所以有， 设直线，联立， 可得：， 设， 由韦达定理得， 由可得：， 整理得：， 所以， 所以， 代入韦达定理可得：， 所以， 所以， 所以， 所以，则或， 当时，直线恒过点，不符合题意， 故，此时直线恒过点. 27．（2026·上海杨浦·二模）已知A、F分别是双曲线：（常数）的右顶点和右焦点，记过一、三象限的渐近线为. (1)求双曲线的离心率和渐近线的方程； (2)设，是上一点，若线段的中点在双曲线上，求点Q的坐标； (3)设，过A作两条相互垂直的直线与双曲线交于M、N两点（M在第一象限），若直线、分别与交于C、D两点，且与的面积之比为2，求直线的方程. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）借助离心率定义与渐近线定义计算即可得； （2）设，结合中点公式可表示出点坐标，代入双曲线方程计算即可得； （3）设出直线的方程，联立曲线可得点坐标，联立渐近线方程可得点坐标，利用直线、的关系计算可得点、点坐标，再利用面积公式计算即可得解. 【详解】（1）由可得，则，则， 故双曲线的离心率， 渐近线的方程为； （2）由，则双曲线方程为，，设， 则线段的中点的坐标为， 有，解得，故点Q的坐标为； （3）由，则双曲线方程为，、， 由题意可得直线斜率存在且不为， 设直线的方程为，则直线的方程为， ，解得或，则， 由在第一象限，则，解得， ，解得，即， 则，即， ，即， ， 即，则，又，故， 即直线的方程为，整理得. 28．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左顶点为，过点的直线交双曲线于、两点，点在第一象限． (1)若双曲线的焦距为，求该双曲线的离心率； (2)若，为直角三角形，求点的坐标； (3)若双曲线的一条渐近线方程为，且直线上存在一点，过点可以作双曲线的两条互相垂直的切线，求直线斜率的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线的标准方程，焦距和离心率公式求解即可； （2）分，两种情况讨论，根据垂直条件代入双曲线方程求解； （3）根据渐近线方程得双曲线的方程，设切线方程为，联立双曲线方程，再根据，从而得到与的关系，再设直线，从而得到，再代入切线方程，从而得到关于的一元二次方程，再结合，进而求出直线斜率的取值范围． 【详解】（1）由双曲线，则， 双曲线的焦距为，即，得， 所以． （2）由，则有双曲线，且， 又为直角三角形，且点M在第一象限， 则不可能为直角； 若，则点的横坐标为， 将代入中，得，所以符合题意； 若，设点， 则，， 所以， 又因为点M满足， 解得(不符合题意)，或， 则，可得，所以， 又双曲线的渐近线为， 则DM与双曲线渐近线平行，不满足两个交点，即不符合题意， 综上，点M的坐标． （3）由双曲线的一条渐近线方程为，即， 则，得双曲线 ， 又双曲线的切线不平行于坐标轴，不妨设切线方程为， 联立，整理得， 则，得， 设直线，， 将代入切线方程得， 则， 整理得， 又双曲线的两条切线互相垂直， 则， 所以， 又点存在，则，解得， 又点在第一象限，则 所以直线斜率的取值范围为． 29．（2026·上海普陀·二模）设，，、，双曲线的一条渐近线方程是，点为右支上的一点，直线的方程是，是坐标原点. (1)若点的坐标为，求双曲线的方程； (2)若直线经过点，且与交于、两点，直线、的斜率分别为、，求的值； (3)设点是的左焦点，点、是的左、右两个顶点，直线与直线交于点，直线经过点与的右支交于另外一点，若，且直线恒过点，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得，再将点的坐标代入双曲线的方程，可求出的值，进而可得出的值，由此可得出双曲线的方程； （2）设点、，易知点、关于原点对称，则，利用点差法可求得的值； （3）设点、，则、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，可得出，求出的方程，由此可得出点的坐标，并求出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，结合韦达定理可得出的值，结合可得出的取值范围，在利用弦长公式以及双曲线的定义可求得周长的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，则，则双曲线的方程可化为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）可知，双曲线的方程为，即， 设点、，易知点、关于原点对称，则， 因为，所以，故， 所以. （3）因为，所以双曲线的方程为，即， 易知点、、， 设点、，则、， 联立得， 则，可得， 由韦达定理可得，，故①， 直线的方程为，在该直线方程中令可得点， 直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得， 即②， 由①得，代入②式得， 故，解得， 所以，可得， 所以 ， 因为，故直线恒过右焦点， 由双曲线的定义可得，， 故的周长为， 即周长的取值范围是. 30．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限． (1)若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e； (2)若，为直角三角形，求点M的坐标； (3)若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的倾斜角的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据焦距和离心率公式求解即可； （2）分，两种情况讨论，根据垂直条件代入双曲线方程求解； （3）根据渐近线方程得双曲线的方程，设直线l的方程为，联立方程，根据韦达定理求出，，根据得到的范围，构造的不等式，解出的范围，进而求出倾斜角的范围. 【详解】（1）由题，，得 故 （2）因为点M在第一象限，故不可能为直角； 若，将代入曲线，得符合题意，； 若，设点，则， 则 又因为点M满足，可得，此时， DM与双曲线渐近线平行，不满足两个交点，舍去． 综上，点M的坐标； （3）由题可得，双曲线 ， 当直线l的斜率不存在时，根据双曲线的对称性，，不满足， 所以直线l的斜率一定存在， 又，说明三点共线，且都在双曲线的右支上，所以直线l的斜率不为0，， 设直线l的方程为，、，且，， 联立方程，可得 显然，， ，，故 由，可得，且． 故 因此 ， 根据对勾函数的性质：在上单调递减， 可知， 又， 故，可得． 所以，直线l斜率的取值范围为， 直线l倾斜角的取值范围为. 椭圆 考点4 一、单选题 31．（2026·上海崇明·二模）已知，，，，其中，点P为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可判断A的真假；求点的轨迹方程，判断BCD的真假. 【详解】对于A，因为，所以点轨迹为线段，故A错误； 对于B，设，则由，所以点轨迹为圆，故B错误； 对于C，由， 因为，方程可化为，所以点轨迹为椭圆，故C正确； 对于D，由， ①当且，即时， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ②当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ③当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； ④当且，即且， 去绝对值可得，即， 此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段； 综上可知点轨迹为四条线段，故D错误. 二、填空题 32．（2026·上海长宁·二模）等腰的三个顶点均在椭圆上，且、、中有且仅有两个点是椭圆的顶点，则满足条件的共有________个. 【答案】20 【详解】如图所示： 由题意可得 以或或或为等腰三角形的底边， 在两侧可各作一个等腰三角形，共有个； 以或或或为等腰三角形的腰， 则， 设另一点为， 若， 即， 由，解得，符合题意；(舍去)； 同理，若， 即， 由，解得，不符题意； 故只能， 这样的点关于轴对称，共有2个， 故共有个； 以为腰， 因为， 设另一点为， 若， 即， 由，解得， 同理若， 即， 由，解得， 这样的点关于轴对称，共有4个； 若为底，则三角形中有三个点是椭圆的顶点，不合题意； 综上，共有个这样的等腰三角形. 33．（2026·上海崇明·二模）如图，已知圆柱的一个截面边界是椭圆Γ，其中Γ的长轴为该圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱底面直径的长．将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的三角函数图像．若该段曲线是函数的图像的一部分，则椭圆的离心率为_____． 【答案】 【分析】由正弦函数的最值和周期求得圆柱的高和底面半径，进而求得椭圆的长轴和短轴，即可得离心率. 【详解】函数的值域为，最小正周期， 依题意，圆柱的高，设圆柱的底面半径为，则，解得， 椭圆短轴长，即，长轴长，即， 所以椭圆的离心率. 三、解答题 34．（2026·上海静安·二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．设椭圆，的左、右焦点分别为、，，的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过原点O作两条相互垂直的射线，与椭圆分别交于A、B两点，证明：原点O到直线的距离为定值； (3)过椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆交于P、Q两点，点M是点P关于x轴的对称点．在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点始终共线？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在定点 ，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法可求得椭圆的标准方程； （2）设直线 的方程，并与椭圆联立方程组，利用韦达定理及的条件，建立直线参数间的关系，再使用点到直线的距离公式即可证明. （3）设直线 的方程为 ，并与椭圆联立方程组，求出 的值，结合三点共线则即可求解. 【详解】（1）由题意知 ，即 . 又因为离心率 ，所以 ，所以 . 故椭圆 的方程为 . （2）证明：设 。 因为 ，所以 . 设直线 的方程为 ， 联立方程组 ，消去 得 ， 由韦达定理得 . 代入 ，即 ， 整理得 。 代入韦达定理结果并化简得 。 原点 到直线的距离 所以原点 到直线 的距离为定值 . （3）存在定点 ，理由如下： 由（1）知 ，设直线 的方程为 ， 设 ，则 ， 联立方程组 ，消去 得 ， 由韦达定理得 . 设 ，若 三点共线，则 ， 即 ，整理得 . 将 代入上式，化简得 . 代入韦达定理结果，得 . 化简得 ，解得 . 所以存在定点 ，使得 三点始终共线. 35．（2026·上海嘉定·二模）已知椭圆与直线、．过椭圆上一点P作的平行线交于点M，作的平行线交于点N． (1)当P为椭圆的上顶点时，求的大小； (2)若椭圆的离心率，求椭圆的方程，并求的最大值与最小值； (3)若为定值（与点P的位置无关），求a的值，并求此时四边形面积的最大值． 【答案】(1)4 (2)最大值为4，最小值为2 (3)，四边形面积的最大值为 【分析】（1）根据条件分别求直线和的方程，再联立直线求交点，的坐标，即可求解； （2）首先根据离心率求椭圆方程，再根据向量的平行四边形法则转化为求的最值； （3）首先根据点的坐标求直线和的方程，通过联立直线方程求点，的坐标，再代入两点间距离公式，根据定值求，首先角的关系求，再根据为定值4，分两种情况，结合余弦定理和基本不等式求面积的最大值，再求四边形面积的最大值. 【详解】（1）当点在椭圆的上顶点时，,，， 联立，得，即， 联立，得，即， 所以； （2）椭圆的离心率，得， 所以椭圆方程为； 由条件可知四边形是平行四边形，所以， 设，， 所以， 所以的最大值为4，最小值为2； （3）设，则，, 联立，解得：，， 即， 联立，解得：，， 即， 因为点在椭圆上，满足， 所以 因为为定值，所以与无关，所以，得，则； 此时， 如图：由条件可知，，则， ， 则，且为定值4， 中根据余弦定理，， ， 即，所以， 而四边形是平行四边形，，当时等号成立， 此时，四边形的最大值为4， 如下图：由以上可知，，， 中根据余弦定理，， ， 即，所以， 而四边形是平行四边形，，当时等号成立， 综上两种情况可知，四边形的最大值为. 36．（2026·上海黄浦·二模）已知点、分别是曲线的左、右焦点，动直线过点且不过点，它与交于点、． (1)求点、的坐标； (2)若，求直线的方程； (3)设直线过点且与垂直，直线与的交点为，求证：存在唯一的常数，使得点与的中心的连线平分线段，并求此时的最大值． 【答案】(1)、 (2)或． (3) 【分析】（1）求出椭圆的半焦距，可得出点、的坐标； （2）设直线的方程为，设、，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算以及韦达定理可求得的值，即可得出直线的方程； （3）求出线段的中点的坐标，可得出直线的斜率，将代入直线的方程，可得出点的坐标，即可求出直线的斜率，结合题意可知直线、的斜率相等，可求出的值，再求出、，即可求得的最大值. 【详解】（1）椭圆的半焦距，故、. （2）由题意可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设、， 将代入，得，则， 故，， 又，， ，解得， 所以直线的方程为或． （3）设线段的中点为，由（2）知，， 直线的斜率， 易知直线的方程为， 将代入直线的方程，可得， 直线的斜率， 因为直线平分线段，则，所以对任意的实数恒成立， 则，解得， 故存在唯一的常数，使得平分线段． 此时， ，所以， 令，则，故（当且仅当时，）， 所以的最大值为． 37．（2026·上海崇明·二模）已知椭圆． (1)求椭圆C的离心率； (2)已知椭圆右顶点为A，设点M为y轴正半轴上一点，点P为椭圆C上的一点.若，求点M的坐标； (3)已知，过点的直线交椭圆C于D，E两点，直线DG交直线于点H，证明:轴． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见详解. 【分析】（1）根据离心率定义直接计算可得； （2）设利用向量关系表示出点坐标，代入椭圆方程即可得解； （3）利用韦达定理表示出点的纵坐标，利用向量共线表示出点的纵坐标，证明和的纵坐标相等即可得证. 【详解】（1）记椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为， 则，所以离心率. （2）由题知，，设，， 因为，， 所以，得， 代入椭圆方程得，解得（负根舍去） （3）易知，当直线斜率为0时，为长轴端点，与右焦点重合，满足题意； 设直线的方程为，， 联立得：， 由得或， 则， 所以，则， 设，因为三点共线，则，， 所以，则， 所以，所以轴. 38．（2026·上海松江·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，过点作斜率不为0的直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的离心率； (2)设直线MF､NF的斜率分别为，求的值； (3)若点E满足，点D在椭圆上，轴，探究直线EF与直线DQ的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)0 (3)是， 【分析】（1）根据已知确定椭圆参数，即可求离心率； （2）设直线，，联立椭圆方程并应用韦达定理，代入化简即可得； （3）由题设为的外心，由，从而有，得，设出三角形外接圆的方程，联立整理得一元二次方程，其与（2）中方程同解得到等比例关系求得，进而确定坐标并求得，即可得结论. 【详解】（1）由题设，则，离心率为； （2）由（1）知，，即， 设直线，， 联立得，则， ， ， 所以； （3）由，则为的外心， 由，根据对称性知，则， 设过的圆为， 过得，， 联立圆与直线，整理得， 上述方程与有同解， 所以，可得， 外心，则， 所以为定值. 39．（2026·上海闵行·二模）已知椭圆的焦距为，离心率为，过点的直线交椭圆于点. (1)求的方程； (2)记的面积为，求证：； (3)求的最大值与最小值，并写出取最大值与最小值时直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)最大值，直线方程；最小值，直线方程 【分析】（1）根据椭圆已知的焦距和离心率求出参数，代入椭圆标准方程得到结果； （2）将表示为点坐标的线性式，结合椭圆方程的参数形式，利用余弦函数的值域证明结论； （3）设过点的直线参数方程，利用参数的几何意义将转化为，结合韦达定理得到表达式后求最值. 【详解】（1）由题意得，故，结合离心率得. 由椭圆关系，因此椭圆的方程为： ； （2）设，因为，所以直线，即， 所以点到直线的距离，又， 所以 由在椭圆上得，所以可设， 所以， 因此，得证. （3）设过的直线参数方程为（为参数）， 代入椭圆方程整理得： ， 由参数的几何意义得， 结合韦达定理得： ， 斜率存在时，设斜率为，化简得， 由得：当时，取得最大值，对应直线方程为； 当直线斜率不存在时，直线为，此时，为最小值. 综上，的最大值为，对应直线方程为；最小值为，对应直线方程为 40．（2026·上海奉贤·二模）已知椭圆经过点，离心率为．过点，的动直线交椭圆于，两点． (1)求椭圆的方程； (2)若直线l与相切，求当时，的长； (3)若以为直径的圆经过轴上方的定点，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用离心率及所过点计算即可得； （2）设出直线后，利用圆的切线的性质计算可得，联立直线与曲线方程，消去可得与横坐标相关韦达定理，再利用弦长公式计算即可得； （3）设，，联立直线与曲线方程，消去可得与横坐标相关韦达定理，再利用圆上的点的性质，借助向量有，计算后可得与、、、有关等式，再利用定点性质计算即可得解. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故椭圆的方程为； （2）由，则，可设，、， 则由直线与相切，可得，化简得， 联立，消去可得， ， 则，， 则 ； （3）设，、，， 联立，消去可得， ，即， ，， 由点在以为直径的圆上，则， 由，， 则 ， 即 故，则有， 由，故，则有， 即或，由，故， 即当且仅当时，以为直径的圆经过轴上方的定点， 且点坐标为. 抛物线 考点5 一、填空题 41．（2026·上海杨浦·二模）掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为______.（精确到0.1°）. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程，利用已知点坐标结合已知条件，求出的范围；对抛物线方程求导得到斜率表达式，结合条件得到，进而求出即可. 【详解】 以最高点为坐标原点，以水平向右为轴正方向，以竖直向下为轴正方向，建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为. 则，. 由题意得，即，所以，取. 又，则. 易知为锐角，所以， 所以. 故出手角度的最大值为. 42．（2026·上海奉贤·二模）点为抛物线的焦点，为上一点，若的面积为（为坐标原点），则___________． 【答案】 【分析】首先得到焦点坐标与准线方程，根据的面积求出，从而求出，再由焦半径公式计算可得. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，    则， 所以，则，所以， 所以. 故答案为： 43．（2026·上海普陀·二模）已知点在抛物线上，则P点到抛物线焦点F的距离为________. 【答案】3 【分析】利用焦点弦长的性质即可得出． 【详解】点在抛物线上， 点到焦点的距离． 故答案为：3． 【点睛】本题考查过焦点弦长的性质，属于基础题． 44．（2026·上海青浦·二模）设抛物线的准线方程为__________. 【答案】 【分析】由题意结合抛物线的标准方程确定其准线方程即可. 【详解】由抛物线方程可得，则，故准线方程为. 故答案为． 【点睛】本题主要考查由抛物线方程确定其准线的方法，属于基础题. 二、解答题 45．（25-26高三下·上海宝山·期中）将以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线记为.作两条直线分别与抛物线相交于点，设的斜率分别为，且满足. (1)求抛物线的标准方程； (2)证明：直线的斜率； (3)若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）待定系数法设出抛物线的表达式，代入点的坐标求解即可； （2）联立、与抛物线方程，求出、的坐标，利用斜率公式求解即可； （3）用含的式子表示弦长及点到直线的距离，进而表示面积，利用函数求最值即可. 【详解】（1）由题意，设所求抛物线的方程为：， 点代入抛物线的方程得：， 所以抛物线的标准方程为：. （2）由题意直线的方程可设为， 联立，代入化简得， 由题意，从而，即， 从而，即; 同理可得，， ， 又，所以， 所以. （3）由（2）可知， 设直线的表达式为，即 联立，代入化简整理得: , 由故, 从而，， 点到直线的距离， ， 令，则，， 设，则，令，解得（负值舍去） 则当时，,单调递增； 当时，,单调递减； 从而， 即面积的最大值为. 其他圆锥曲线问题综合 考点6 一、单选题 46．（2026·上海徐汇·二模）设. 定义点的相伴集合为且，其中为正实数. 给出以下两个命题： ①若，则其相伴集合所对应平面图形的面积为2； ②设，若对任意实数及任意，集合所对应平面图形与抛物线均无公共点，则. 则正确的选项是（    ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】D 【分析】对于①，先判断出相伴集合的对应平面图形为正方形，即可得到面积；对于②，根据无交点的限制得出正方形的点应满足，然后对不同的自变量范围分类讨论，综合得到的范围，进而得到的范围. 【详解】根据定义点的相伴集合即为以为中心的边长为的正方形， 若，则其相伴集合对应平面图形的面积为，①是假命题； 集合对应一系列正方形，它们与抛物线即均无公共点， 则意味着这些正方形都在抛物线下方即正方形内的点均满足，对每一个正方形内的点， 有，则需满足，有， 设，在上的最小值记为， 当时，，此时应有， 设，则，不等式变为即， 令，则，所以； 当时，，此时应有，以为变量， 的最大值为，所以； 当时，，此时应有， 设，则，不等式变为即， 令，则，所以， 综上所述，要使对任意实数及任意均满足无交点条件，则，②是真命题. 二、填空题 47．（2026·上海·二模）已知焦点为F的抛物线上有两点A和B，且，E为A和B的中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H，则的最小值为________． 【答案】 【分析】设，，根据中位线定理以及抛物线定义可得，在中，由余弦定理以及基本不等式可得，即可求得的最小值． 【详解】设，，作垂直抛物线的准线于点，垂直抛物线的准线于点. 由抛物线的定义，知，，根据中位线定理以及抛物线定义可得， 由余弦定理得，又， ∴，当且仅当时，等号成立， ∴， ∴，即的最小值为. 48．（25-26高三下·上海浦东新·期中）某光影科技实验室为长方体空间，底面是边长为4米的正方形，高为3米．为营造动态光影效果，在底面一个顶点处安装射灯A，在与该顶点相对的侧棱上、距底面1米处安装射灯I，两盏射灯的光束方向由智能系统自动控制，始终使两束光线相互垂直，且它们的交汇点G始终落在实验室天花板上．则交汇点G形成的轨迹长度为________米． 【答案】 【详解】如图建立空间直角坐标系： 则，设交点， 所以， 因为，所以， 整理得， 所以交点在天花板上的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以交汇点G形成的轨迹长度为. 三、解答题 49．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知椭圆与椭圆，椭圆的左、右焦点分别为 ，点为椭圆上异于其左、右顶点的任一点，直线均过点. (1)求面积的最大值. (2)若过点且与交于两点，过点且与交于两点，当直线的斜率满足时，证明:为定值； (3)是否存在点，满足均与相切，且?若存在，求出点的坐标； 若不存在，请说明理由. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）利用椭圆的焦点坐标和椭圆上的点的纵坐标范围，结合三角形的面积公式即可求解； （2）通过联立直线与椭圆方程，用弦长公式表示和，再代入化简，即可证明其和为定值； （3）利用直线与椭圆相切时的判别式条件，结合韦达定理和垂直关系，联立椭圆方程即可求解点. 【详解】（1）对于椭圆 中， ，则，所以， 焦点，设点在上，所以， 因为的面积， 所以当时，面积取到最大值为1. （2）设直线，联立方程组， 整理得：， 其中 ， 设，所以， 所以， 同理，设，代入得：， 已知，所以，代入得：， 所以， 即为定值. （3）假设存在，若，则，此时直线不垂直， 因此直线的斜率存在，分别为，由，得. 若直线，即， 联立方程组，整理得：， 若与相切，则， 化简得：， 此方程的两根为，且， 所以，由，得：，即， 又因为在上，联立方程组， 解得或或或， 即存在点，满足题意. 50．（2026·上海·二模）设椭圆的左顶点为A． (1)求的离心率； (2)设的左焦点为F，上顶点为B，若点P在上且位于y轴右侧．，求点P的横坐标； (3)设直线，l与交于不同的两点C和D，若点A在以CD为直径的圆外，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由椭圆方程可得，，所以. （2）由条件可知， 设直线的斜率为，直线的斜率为， ，因为，所以， 所以直线的方程为， 联立椭圆：， 所以或， 又因为点P位于y轴右侧，所以P的横坐标为. （3）设 ，，联立椭圆 ， 先确定有两个交点，即， 即， 所以. 因为圆上任意一点与直径两端点连线所成的角为直角， 而点在以为直径的圆外，所以，等价于， 由，， 所以， 即. 将，代入可得， ， ， 解得 或，结合， 所以. 2 / 61 1 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $