专题07 数列（5大考点，29题）（上海专用）2026年高考数学二模分类汇编

命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 专题07数列(5大考点，29题) 一、单选题-考点1：等差数列 1.(25-26高三下·上海宝山期中)设正项数列an}的首项a=1,前n项和为Sn,若对任意的正整数n都有 ,其中4ER,则称Q是“A-数列下列结论中错误的是(） A.若{an}是公差为2的等差数列，则{an}是“3-数列”； B.若{an}是“2-数列”，则{an}可能为常数列： C.若{an}是“2-数列”，则不存在正整数n≥2，满足an>23"-2； D.对伍意1<p<9,若a,=p+g）,且满足1+A2q,则a,是A-数孙 2.(2026上海·二模)一定存在各项均为正数且不为常数列的无穷等差数列{a},使得(). A.{sina,}为严格增数列 B.{cosa,}为公差不为零的等差数列. C.cosS,}为等比数列（其中，S,=2a) 1 D.sin 为周期数列 a. 二、填空题-考点1：等差数列 3.(2026上海嘉定·二模)己知{an}是等差数列，a6=1,a26=11,则a2026= 4.(2026上海杨浦二模)计算∑(2i-1= i=l 5.(2026上海普陀二模)设n≥1，n∈N,Sn是等差数列an}的前n项和，且公差d≠0，若a,a=S4,且 43,a,a。成等比数列，则Sn= 6.(2026上海金山二模)己知等差数列-3，-1,1，…，则该数列的第20项为 三、解答题-考点1：等差数列 7.(2026上海长宁.二模)已知f(x=l0gx(其中a>0,a≠1). (1)若函数y=f(x的图象过点(2，-1)，求不等式f2x-1)>f(x+1的解集； (2)若恰有两个不同的实数x,使得f(x),∫(x-m),f(4)成等差数列，求实数m的取值范围 1/6 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 8.(2026上海静安：二模)已知等差数列an}的首项a,=1,公差为2，等比数列{b.}的首项b,=1,公比为 an,当n为奇数时 2,数列(c}满足cn= bn,当n为偶数时 (n为正整数). (1)依次写出数列(c}的前6项： (2)设数列{cn}的前n项和为Sn,求S2m· 四、填空题-考点2：等比数列 9.(25-26高三下·上海浦东新·期中)己知数列{an}的通项公式是a,=2-+1,Sn为数列{a}的前n项和， 则使得不等式S,>2026成立的最小正整数n的值为 10.(2026上海闵行·二模)已知等比数列a,的公比为9，若立4g=1,则24g的取值范围是 i=l i=1 11.(2026上海普陀·二模)设k≥2，n≥1，k,neN,Sn是等比数列{an}的前n项和，且a1>0,公比为3， ，若恰存在2个k的值，对任意的n<k,皆有6，>b成立，则口的取值范围为 1 令bn=Sn+- 12.(2026上海黄浦·二模)在公比q为正数的等比数列an}中，a2+a4=60,a4+a6=15,则q的值为 13.(2026上海崇明二模)已知首项为1的等比数列{a,}满足对任意的正整数m,n都有a。-a≤3m-川 ,则等比数列an}的公比q的取值范围是 五、解答题-考点2：等比数列 14.(2026上海奉贤二模)已知函数y=f八到的表达式为)=si加x+p),（<9< ①f1o-}求/召的值： o ,f),f2)依次成等比数列，求9的值. 15.(2026上海·二模)班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指 出，高三学生每周手机使用时长X(单位：小时)总体上服从正态分布N(12,42) (1)小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态 分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学， 函学科网 www zxxk com 让教与学更高效 则至少有2位同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少？（结果用最简分数表示） 参考数据：若X~N(4,σ2)，则PX-4≤σ≈68% (2)小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹 每周手机使用时长x与该周数学练习得分y(每周练习的难度相同且满分均为150分)，制成表1.以这5组 数据建立回归方程y=-3.3x+146.请求出实数m的值 表1 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 手机使用 20 18 22 16 14 时长x 练习得分 80 88 73 92 m (3)受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计 划表中若第n天能复习时长超过5小时（记为高效复习”），则第n+1天也能“高效复习的概率为2若第” 天不能“高效复习，则第n+1天还能“高效复习的概率为设P(1≤n≤28，n为正整数)表示第n天能“高 效复习的概率，R=1,若P>0,7表示复习计划表第a天有效求证数列B- 20 是等比数列，并说明小 虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效 六、单选题-考点3：数列的概念与简单表示法 16.(2026上海松江模拟预测)已知数列{an}满足a+1=2a-1(n为正整数)，关于数列{an}有以下两个 命画：0若1<4名·则的取孩范闹足 ②若a1+a,=0,则a,的所有可能取值的个数是4个.则 以下选项正确的是() A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题 C.两个都是真命题 D.两个都是假命题 17.(2026上海嘉定二模)设数列a,满足a=1,且a1=2”-2):a,其中2∈R.下列选项中错误的是 n2+1 () A.存在)，使得存在正整数N,当n≥N时，总有am+1<an 3/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.存在，使得不存在正整数N,当n≥N时，总有an1>an C.对任意，都不存在正整数N,使得当n≥N时，总有an1>an D.存在2，使得不存在正整数N,当n≥N时，总有a+1<a 18.(2026上海闵行二模)己知平面上13个向量a、a、…a?,其中a,=1,若对任意n∈N,1≤n≤12，总 有1a=√21an1且an·a=0,则1a,+a2+…+a1的最小值为() A.0 B.5 C.16√6 D.632 七、解答题-考点3：数列的概念与简单表示法 19.(2026上海金山二模)若函数y=∫(x),x∈D,其值域为A.若AcD,则称函数y=fx)在区间D上 为封闭函数 (①已知了y)=2x+3,判断函数y=川是否在区间2,8]上为封闭函数，并说明理由， x+1 (2)已知gx=x2+2x,若函数y=gx在区间a,b]上不为单调函数，但在区间a,b]上为封闭函数，求 b-a的最大值： (3)已知函数y=h(x)在区间a,b上连续且为封闭函数，且对于任意的x、y∈[a,b],都有h(x)-h(y) =Lx-0≤L<成立.若数列{xn}满足x1=h(xn),n≥1且neN,证明：存在唯一常数ce[a,b],使 得h(c=c,且对于任意的x,∈[a,b],都有limx,=c 20.(2026上海奉贤·二模)设定义域为(0，+o)的函数y=∫x)的表达式为f(x)=e-a(a>0),我们可以 证明函数y=f(x存在唯一的零点，设该零点为r如图，过点Ax,f(x)作函数y=∫(x)的切线与x轴 的交点为B2,设横坐标为x,若x2>r,则过点Ax2,f(x)作函数y=∫(x)的切线与x轴的交点为B, 设横坐标为x;若x2≤r,则停止作切线.依次类推，得到数列xn}(n≥1，n∈N),记x=t,t>r. A A3 OBaB3 B2 B,主 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)若a=e,t=2,求x2; (2)求证：数列{x}是严格递减数列； (3)若a=1,比较xn+1+1与xn-lnxn的大小，并说明理由. 21.(25-26高三下·上海宝山期中)已知y=f(x)和y=g(x)均为定义在R上的可导函数，且函数y=f(x) 满足：f(x=f(x,fn1(x=(x)(n是正整数) (1)若f(x=er+bcosx满足f(x)=(x),，求实数a、b的值： (2)设数列an}是无穷数列，若∫(x=x-cosx,且a1=a,a+1=f(an),是否存在实数a,使得{an}是常数列， 请说明理由： (3)若y=f（x)n≤2)是定义域上的增函数，函数y=g(x)是周期函数，且存在x∈R对任意实数x,都有 g(x)≥gx)>0,求证：“fx=0(n≥3恒成立的充要条件是“y=3xg(x)是周期函数” 八、填空题-考点3：数列的概念与简单表示法 22.(2026上海金山二模)己知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=2--1,n≥1且neN.若 fx=(sinx+a,)sinx+a2)…(sinx+a),则f'(π= 23.(25-26高三下·上海青浦期中)若数列a}共10项，其中a=1,a。=16，且a-a4∈1,2， 1≤k≤9，k∈Z),则这样的不同数列共有一个.（用数字作答） 九、考点4：数列新定义 24.(2026上海黄浦·二模)若无穷数列an}的首项为1，且对任意的n∈N,{an}的前n项和都可以表示成 {an}的两项之差，则称{an}为T数列，所有T数列组成的集合为T集.下列结论正确的是(). A.任意一个T数列均不是等差数列B.任意一个T数列均不是等比数列 C.T集中含有且仅含有有限个等差数列D.T集中含有无穷多个等比数列 25.(25-26高三下·上海青浦期中)对于数列an}，若存在M>0,使得对任意n∈N,有 a2-a+a-a2+..+a1-an<M,则称{an}为有界变差数列有以下两个结论： 5/6 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ①若各项均为正数的等比数列an}为“有界变差数列”，则其公比q的取值范围是(0,1； ②若数列x},yn}均为有界变差数列，且yn≥乃>0，则数列 是“有界变差数列”. 则以下选项正确的是() A.①是假命题，②是真命题 B.①是假命题，②是假命题 C.①是真命题，②是假命题 D.①是真命题，②是真命题 26.(2026上海杨浦二模)己知数列{an},给出以下定义：若存在常数k>0,对于任意的n∈N，都有 an+2-an+1之k(an+1一an),则称数列{an}为“k-加速数列”，现给出下列命题： ①若a,。则对狂意0，数列a者不是太加速数 ②若数列an}是“1-加速数列”，且an∈Z,a1=a2o26=2026,则数列an}存在最小项； ③若数列{an}是“2-加速数列”，且a,=1,a,=2,则存在M>0,使得an<M; ④正数列{an}是等比数列且公比q≠1，则{an}是“k-加速数列的充要条件是k=1. 其中正确的命题是() A.①②③ B.② C.②④ D.③④ 十、考点5：其他数列问题综合 27.(2026上海嘉定·二模)已知正四面体上的四个面上分别写有1、2、3、4，游戏中甲、乙轮流抛掷该四 面体，谁抛出底面数字等于4则获胜且游戏结束.甲先开始，则甲获胜的概率为 28.(2026上海松江·二模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a2=3,a=81若Sn=40,则n= 29.(2026上海长宁二模)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则S。= 专题07 数列（5大考点，29题） 一、单选题-考点1：等差数列 1．（25-26高三下·上海宝山·期中）设正项数列的首项，前项和为，若对任意的正整数都有，其中，则称是“数列”.下列结论中错误的是（    ） A．若是公差为2的等差数列，则是“数列”； B．若是“数列”，则可能为常数列： C．若是“数列”，则不存在正整数，满足； D．对任意，若，且满足，则是“数列”. 【答案】D 【分析】根据“数列”的定义可判断A；取常数数列，判断B即可；根据“数列”满足的条件可得出相应不等式，可推出，即可判断C；举出反例可判断D. 【详解】对于A，若是首项为、公差为的等差数列，则， 前项和， 时等号成立， 所以，即是“数列”，故A正确； 对于B，当时，，成立， 即是“数列”时，可能为常数列，故B正确； 对于C，若是“数列”，则，且， 所以， 则， 故，由题意知当，， 结合，得， 因此不存在使，C正确； 对于D，取，，满足， 则，，而，所以不成立， 因此“”不足以保证是“数列”，D错误. 2．（2026·上海·二模）一定存在各项均为正数且不为常数列的无穷等差数列，使得（   ）． A．为严格增数列 B．为公差不为零的等差数列． C．为等比数列（其中，） D．为周期数列 【答案】C 【分析】利用等差数列、等比数列及三角函数性质对各选项逐一分析是否存在符合条件的无穷等差数列. 【详解】在A选项中，假设是严格递增的无穷数列， 但，且是周期函数，在一个周期内有增有减， 对无穷等差数列，当，则， 所以会周期性波动，不可能一直严格递增，A错误， 在B选项中，设等差数列的首项为，公差为（）， 则，所以， 由于是关于的周期变化的函数， 所以不是常数， 即不是公差不为零的等差数列，B错误， 在C选项中，设等差数列的首项为，公差为（）， 则， 若为等比数列，则， ，，， ， 当，时，则， 该数列各项均为正数，且不为常数列，其项和为 ，此时数列， 当为奇数时，为奇数，， 当为偶数时，为偶数，， 故为数列，是公比为的等比数列， 所以存在这样的无穷等差数列使得为等比数列，C正确， 在D选项中，因为是各项为正数且不为常数列的无穷等差数列， 所以，即， 所以会趋近于， 而周期数列是指经过一定的项数后会重复出现相同的项， 所以不可能是周期数列，D错误. 二、填空题-考点1：等差数列 3．（2026·上海嘉定·二模）已知是等差数列，，，则___________． 【答案】1011 【详解】设等差数列的公差为，依题意，， 则. 4．（2026·上海杨浦·二模）计算______. 【答案】 【详解】 . 5．（2026·上海普陀·二模）设，，是等差数列的前n项和，且公差，若，且，，成等比数列，则______________. 【答案】 【分析】本题利用等差数列的通项公式和前n项和公式代入可得,然后代入前n项和公式计算即可。 【详解】，,计算可得； 又成等比数列， ,变换可得,代入，计算可得,。 6．（2026·上海金山·二模）已知等差数列，，1，…，则该数列的第20项为__________． 【答案】 【分析】根据等差数列定义，计算出公差，进而得到通项即可． 【详解】不妨取， 所以，等差数列公差， 等差数列通项，则， 则该数列的第20项为． 三、解答题-考点1：等差数列 7．（2026·上海长宁·二模）已知（其中，）. (1)若函数的图象过点，求不等式的解集； (2)若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入点坐标后求得函数的解析式，根据其单调性和定义域解不等式即可； （2）先根据等差数列得方程有两个不同的实数根，且两根都大于，进而对讨论，结合二次函数根的分布理论可得. 【详解】（1）将代入，可得，得， 故，该对数函数为定义在上的减函数， 故由可得，解得， 故不等式的解集为 （2）由已知可得， 即，故， 整理可得，故，得， 由题意可知方程有两个不同的实数根，且两根都大于， 设， 当时，，即函数在区间上有两个零点， 故，解得， 当时，，即函数在区间上有两个零点， 故，不等式无解， 综上可得实数的取值范围为 8．（2026·上海静安·二模）已知等差数列的首项，公差为，等比数列的首项，公比为，数列满足（n为正整数）． (1)依次写出数列的前项； (2)设数列的前项和为，求． 【答案】(1)数列的前项依次为 (2) 【分析】（1）先根据等差数列、等比数列的通项公式，分别求出和的通项，再按​的分段定义，依次代入到，区分奇偶项计算得到前项； （2）将​拆分为前项中的奇数项和与偶数项和两部分：奇数项是的前个奇数项，构成新等差数列，用等差数列求和公式计算；偶数项是的前个偶数项，构成新等比数列，用等比数列求和公式计算，最后将两部分和相加得到​． 【详解】（1）根据题意可得，， 所以，，， ，，， 所以数列的前项依次为． （2） ． 所以． 四、填空题-考点2：等比数列 9．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知数列的通项公式是，为数列的前n项和，则使得不等式成立的最小正整数n的值为________． 【答案】11 【详解】令，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 设数列的前项和为，则， 所以， 因为单调递增， 又，， 所以使得不等式成立的最小正整数n的值为11. 10．（2026·上海闵行·二模）已知等比数列的公比为，若，则的取值范围是______. 【答案】. 【详解】根据题意可知，即或. 因为，所以. 所以. 故取值范围为. 11．（2026·上海普陀·二模）设，，，是等比数列的前n项和，且，公比为3，令，若恰存在2个k的值，对任意的，皆有成立，则的取值范围为______. 【答案】． 【分析】由的结构，可先研究函数在正数范围内的大小变化规律，再结合等比数列前 项和公式把题意转化为关于的不等式组求解． 【详解】由题意知，等比数列的首项为，公比为，所以， 从而， 设，因为，且随的增大而增大， 所以数列的变化只与函数在正数范围内的比较性质有关． 对任意，， 因此对任意正整数，有 又因为单调递增，所以也随的增大而增大． 题意“恰存在个的值，使得对任意的 ， 皆有成立”表示数列恰好连续下降两次， 即，等价于， 代入上式，得， 即解得， 综合可得. 12．（2026·上海黄浦·二模）在公比q为正数的等比数列中，，，则q的值为______． 【答案】/ 【分析】根据题意结合等比数列性质运算求解即可. 【详解】因为，，则， 且，所以. 13．（2026·上海崇明·二模）已知首项为1的等比数列满足对任意的正整数m，n都有，则等比数列的公比q的取值范围是________． 【答案】 【分析】取特殊情况结合指数函数与一次函数性质可得，再证明时，对任意的正整数m，n都有恒成立即可得. 【详解】由题意可得，取， 当时，有， 当时，有，故； 若，则当时，指数函数增速会大于一次函数， 故不可能恒成立，故； 综上可得； 下证充分性： 当时，不妨设，则， 故需满足，即， 令，则只需满足数列为非递减数列即可， ， 由，则，， 则， 故数列为非递减数列， 即时符合题意. 五、解答题-考点2：等比数列 14．（2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，． (1)，求的值； (2)若，，依次成等比数列，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，得， 则. （2）由，，， 因成等比数列，故， 即，得； 若，，依次成等比数列，则； 所以，，又，故，此时，，依次 为，符合题意； 综上，. 15．（2026·上海·二模）班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布. (1)小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少?（结果用最简分数表示） 参考数据:若，则. (2)小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹每周手机使用时长与该周数学练习得分（每周练习的难度相同且满分均为150分），制成表1.以这5组数据建立回归方程.请求出实数的值 表1 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 手机使用时长 20 18 22 16 14 练习得分 80 88 73 92 m (3)受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计划表中若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第天也能“高效复习”的概率为;若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为.设（，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效.求证:数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效. 【答案】(1) (2)100 (3)答案见解析 【分析】（1）根据正态分布的性质和概率相关知识计算即可. （2）先求出的平均值，然后代入回归方程即可求出结果. （3）先根据题意列出递推式，然后证明数列是以为公比的等比数列，进而可根据等比数列的通项公式求出，并根据的范围证明结论即可. 【详解】（1）由题意知，因为. 所以任取1人使用手机超过16小时的概率为， 50名同学中有位超过16小时， 那么至少2位同学使用手机超过16小时的概率为. （2）由题意得，. 代入回归方程有，解得. （3）证明：由题意知， 所以 所以是以为公比的等比数列. 所以. 因为时，恒成立，所以. 所以小虹的该复习计划表在寒假每一天均有效. 六、单选题-考点3：数列的概念与简单表示法 16．（2026·上海松江·模拟预测）已知数列满足（n为正整数），关于数列有以下两个命题：①若，则的取值范围是；②若，则的所有可能取值的个数是4个.则以下选项正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．两个都是真命题 D．两个都是假命题 【答案】B 【分析】根据数列的递推关系式确定与的等式关系，结合不等式的性质由确定的范围，从而得的取值范围即可判断①；确定的等式关系求解一元高次方程的根从而得的所有可能取值，即可判断②. 【详解】因为，所以，则（n为正整数）， 对于①因为，若，则，解得或（舍）， 又，则，解得或，故①是假命题； ②因为，，所以， 若，则，整理得， 解得，则的所有可能取值的个数是4个，故②是真命题. 17．（2026·上海嘉定·二模）设数列满足，且，其中．下列选项中错误的是（   ） A．存在，使得存在正整数N，当时，总有 B．存在，使得不存在正整数N，当时，总有 C．对任意，都不存在正整数N，使得当时，总有 D．存在，使得不存在正整数N，当时，总有 【答案】C 【详解】对于A，令，则， 存在，当时，有且，所以，故A正确； 对于B，令，则， 当时，， 当时，， 由A当时，总有， 因此不存在正整数，对所有的，总有，故B正确； 对于C，令，则， 当时，有， 又因为，，而，所以， 则时，总有， 因此当时，存在，当时，有，故C错误； 对于D，令，则，数列正负交替出现， 因此不存在正整数，对所有的，总有，故D正确； 18．（2026·上海闵行·二模）已知平面上13个向量，其中，若对任意，总有且，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，构成一个等比数列，其首项为1，公比为，且相邻向量垂直，从而可得以共线，共线，要使小，只需共线且与反向，共线且与反向即可，据此求解即可. 【详解】因为， 且对任意，总有 所以构成一个等比数列，其首项为1，公比为， 所以， 又因为， 即相邻向量垂直， 即, 所以共线，共线， 要使最小， 设，， 则有， 即求的最小值， 当共线且与反向时，最小， 且 ， 当共线且与反向时，最小， 且 ， 所以. 即的最小值为. 七、解答题-考点3：数列的概念与简单表示法 19．（2026·上海金山·二模）若函数，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数． (1)已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由； (2)已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的最大值； (3)已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立．若数列满足，且，证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)2； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用不等式性质求出函数的值域，利用定义判断即可； （2）二次函数在闭区间的最值在顶点或端点取得，只需保证即可； （3）可先利用零点存在性定理证明存在性，再用反证法证明唯一性，最后根据证明. 【详解】（1）由， 由，得，从而有，即得， 即， 从而函数在区间上为封闭函数； （2）由，， 函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线， 根据题意在区间上不为单调函数，得， 从而函数在区间单调递减，在区间单调递增， 从而，， 由函数在区间上为封闭函数，即有， 从而，即， 那么，即得， 即的最大值为； （3）由函数在区间上连续且为封闭函数，令， 从而函数在区间上连续， 函数在区间上为封闭函数， 从而，，即有，， 由函数在区间上连续，且， 故存在，使得，即， 假设存在，且，使得，， 则， 又因为任意的、，都有成立， 所以矛盾， 所以存在唯一的常数，使得， 数列满足，且， 当，那么，那么， ， 可知数列中的，且， 那么由，则， ， 由，所以， 则，即有. 故存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 20．（2026·上海奉贤·二模）设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，． (1)若，，求； (2)求证：数列是严格递减数列； (3)若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)对于，当，；当，；当， 【分析】（1）根据导数的几何意义建立切线方程，直接代入即可. （2）根据切线方程构造递推公式作差，再通过零点与交点横坐标的关系化简即可证明. （3）先将条件作差，再将递推公式代入化简，构造函数，通过求导分析函数单调性，最后确定零点，可判断大小. 【详解】（1）已知，， 当，，设切线斜率为， 则，直线为， 令，. （2）设，，，，所以， ， 则直线为. 令，则. ， 因为，且， 所以， 所以数列是严格递减数列. （3）当时，，，令， 则， 令. 所以. 构造函数，令，， 求导， 构造函数，，所以单调递增，且， 所以，所以函数在上单调递增， 当，， 根据零点存在定理，存在唯一的使得， 所以结合数列的单调递减性， 当，，此时； 当，，此时； 当，，此时. 21．（25-26高三下·上海宝山·期中）已知和均为定义在上的可导函数，且函数满足：（是正整数）. (1)若满足，求实数的值； (2)设数列是无穷数列，若，且，是否存在实数，使得是常数列，请说明理由： (3)若是定义域上的增函数，函数是周期函数，且存在对任意实数，都有，求证：“恒成立”的充要条件是“是周期函数”. 【答案】(1)或 (2)存在，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先根据已知条件求出，再结合列方程组即可求出； （2）先求出，再根据得到与的关系，然后假设是常数列，即可求出实数； （3）先根据已知条件得到的性质，再分别证明充分性和必要性. 【详解】（1）对求导， ， ，， 则，解得或. （2）已知，则， 故， 若是常数列，则， 则，即， 令，则，即在上单调递增， 又， 且是连续函数，由零点存在性定理可得， 存在唯一的，使得，即， 故当时，是常数列， 综上，存在实数使得是常数列. （3）证明必要性： 若恒成立， 则，故（为常数）， 则，则（为常数）， 是定义域上的增函数， 是增函数，， 又函数是周期函数，设其周期为，即， 而，故， 即是周期函数，周期也为. 证明充分性： 设，设的一个正周期为，的一个正周期为. 由题意，存在对任意实数，都有， 则有最大值，记. 记集合，由为的一个正周期， 则对任意的，均有. 下面用反证法证明是常值函数. 假设不是常值函数，则存在实数， 不妨假设，又由已知是增函数，可得， 又因为是上的增函数，所以，则； 可在集合中取一个元素，满足，且， 再取足够大的正整数，使得， 则，则， 由的的一个正周期，则， 即，即①， 由是上的增函数，则， 若，又由， 可得，这与①式矛盾， 故，又由是上可导（必连续）的增函数， 所以对任意，. 由，则任意，； 则，这与矛盾， 故假设不成立，是常值函数，且. 故， 恒成立，必要性证毕. 综上，“恒成立”的充要条件是“是周期函数”. 八、填空题-考点3：数列的概念与简单表示法 22．（2026·上海金山·二模）已知是数列的前项和，且，且．若，则__________． 【答案】 【详解】因为， ， ， ， . 所以. 设， 则. 所以， 所以. 23．（25-26高三下·上海青浦·期中）若数列共 10 项，其中 ， ，且，，则这样的不同数列共有 ______ 个. （用数字作答） 【答案】84 【分析】通过令，相加求和得到​的总和为，进而确定中有几个1，有几个2，再结合组合数即可求解. 【详解】数列共10项，因此共有个相邻差， 每个​只能取或， 由， ， ， ， 相加可得： ， 即所有​的总和为， 设个差中有个1，个，由题意：， ​ 解得，即9个差中恰好有3个1、6个2， 不同的排列顺序对应不同的数列，问题等价于从9个位置中选3个位置放1，剩余放2， 因此不同数列个数为组合数： . 即这样的不同数列共有84个. 九、考点4：数列新定义 24．（2026·上海黄浦·二模）若无穷数列的首项为1，且对任意的，的前n项和都可以表示成的两项之差，则称为T数列，所有T数列组成的集合为T集．下列结论正确的是（    ）． A．任意一个T数列均不是等差数列 B．任意一个T数列均不是等比数列 C．T集中含有且仅含有有限个等差数列 D．T集中含有无穷多个等比数列 【答案】D 【分析】对于AC：举例说明即可，例如等差数列的公差为，结合题意分析判断；对于BD：设等比数列的公比为，结合零点存在性定理可知存在使得，结合题意分析判断即可. 【详解】对于选项AC：例如等差数列的公差为， 则，， 注意到能表示大于的所有正整数， 且为整数，必能用两个大于的整数之差表示， 所以等差数列为T数列，且有无数个，故AC错误； 对于选项BD：设等比数列的公比为，则， 对于确定的，令，， 令， 因为，则，可知函数在内单调递增， 且，，可知函数在内有且仅有一个零点. 即存在使得，即， 此时， 对于不同的，的零点可以看出方程的解， 即与在交点的横坐标， 当变化时，由幂函数的图像可得交点的横坐标相异，故等比数列有无数个， 所以T集中含有无穷多个等比数列，故B错误，D正确； 故选：D. 25．（25-26高三下·上海青浦·期中）对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”有以下两个结论： ①若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是； ②若数列均为“有界变差数列”，且，则数列是“有界变差数列”． 则以下选项正确的是（     ） A．①是假命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是真命题，②是真命题 【答案】A 【详解】对于命题①，因为的各项均为正数，所以，， 又， 当时，，， 任取即可，所以为有界变差数列． 当时，， 若，则， 令即可，所以为有界变差数列， 若，则， 当时，， 显然不存在符合条件的，故不是有界变差数列． 综上，的取值范围是，故命题①是假命题； 对于命题②，因为， 因为，所以，所以， 又数列为“有界变差数列”，则存在，使得对任意，有， 又， 所以，故命题②是真命题， 综上，①是假命题，②是真命题. 26．（2026·上海杨浦·二模）已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“-加速数列”，现给出下列命题： ①若，则对任意，数列都不是“-加速数列”； ②若数列是“1-加速数列”，且，，则数列存在最小项； ③若数列是“2-加速数列”，且，，则存在，使得； ④正数列是等比数列且公比，则是“-加速数列”的充要条件是. 其中正确的命题是（    ） A．①②③ B．② C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据“-加速数列”结合数列性质，等比数列概念及前项和公式依次判断即可. 【详解】令，由题意可得常数，对于任意的，都有成立， 对于①，，， 因为，所以， 所以成立，即， 因为，所以存在，使得成立，即数列都是“-加速数列”，故①错误； 对于②，若数列是“1-加速数列”，则， 所以数列是常数列或单调递增数列， 因为， 若，满足题意，即数列是常数列，， 若数列单调递增，则必有，， 即数列先单调递减，后单调递增，故数列存在最小项，故②正确； 对于③，若数列是“2-加速数列”，则，且， 则， 所以，即， 当时，，所以不存在，使得，故③错误； 对于④，若正数列是等比数列，则， 若，则，不等式，等价于， 只要，数列是“-加速数列”； 若，则，不等式，等价于， 只要，数列是“-加速数列”； 所以是“-加速数列”的充要条件不是，故④错误； 综上所述：正确的命题是②. 十、考点5：其他数列问题综合 27．（2026·上海嘉定·二模）已知正四面体上的四个面上分别写有1、2、3、4，游戏中甲、乙轮流抛掷该四面体，谁抛出底面数字等于4则获胜且游戏结束．甲先开始，则甲获胜的概率为___________． 【答案】 【分析】根据题意，求出甲在第（奇数）次获胜的概率，再由等比数列求和得解. 【详解】由题意，甲抛掷一次获胜的概率为，失败的概率为， 甲胜的概率分为无数种情况：第次掷获胜，第次掷获胜，，第次获胜，， 概率分别为，， 故为以为首项，为公比的等比数列， 故甲获胜的概率. 28．（2026·上海松江·二模）已知等比数列的前项和为，且.若，则___________. 【答案】4 【分析】由题意列方程求出等比数列的公比，再根据前n项和求解，即得答案. 【详解】设等比数列的公比为q，由，得， 则，则， 由得，解得， 故答案为：4 29．（2026·上海长宁·二模）设等比数列的前项和为，若，，则_______ 【答案】63 【详解】因为等比数列，所以也成等比数列，即，填63. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $