专题06 平面向量（4大考点，19题）（上海专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题06 平面向量（4大考点，19题） 4大考点概览 考点01平面向量的基本定理及坐标表示 考点02向量新定义 考点03数量积的坐标和投影向量 考点04平面向量数量积的运算 平面向量的基本定理及坐标表示 考点1 1．（2026·上海普陀·二模）已知向量，，，函数的表达式为，设，若，则______. 【答案】 【分析】由题意可得，分、和三种情况分别求解即可. 【详解】因为， 又因为，且， 所以， 整理得， 当时，， 则有，解得，满足题意； 当时，， 则有，解得，不满足题意； 当时，， 则有，解得，不满足题意； 综上，. 2．（2026·上海杨浦·二模）直线：的一个法向量是，则实数______. 【答案】 【详解】易知直线：的一个法向量可以表示为， 又直线的一个法向量是，所以两向量共线， 根据向量共线的坐标表示得，解得. 3．（25-26高三下·上海宝山·期中）如图，平行四边形中，是的中点，是的三等分点，若，则__________. 【答案】 【分析】以、为基底将目标向量线性表示，通过向量数量积运算建立关于的方程，求解得到角度. 【详解】， ， 所以 ，又， 所以，解得， 所以，所以. 向量新定义 考点2 4．（2026·上海嘉定·二模）对任意平面向量、、及任意实数，已知运算⊙满足以下三条性质：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．则下列选项中一定成立的是（   ） A．若，则或 B． C． D． 【答案】C 【分析】对于新定义运算判断题，一般通过选择特定函数验证性质，再根据选项利用特值代入排除或通过推理得到结论. 【详解】设、、的坐标分别为， 对于A，若定义，运算⊙显然满足（Ⅰ）； 因， 而，即满足（Ⅱ）； 又，而，即满足（Ⅲ）. 若取，，但都不是零向量，故A错误； 对于B，若定义，显然满足三条性质. 若取，则而，故B错误； 对于C，利用以上三条性质，可得： ，故C正确； 对于D，若定义，显然满足三条性质， 但，当时，，故D错误. 数量积的坐标和投影向量 考点3 5．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知平面内的三个非零向量，满足： ， ， ，则当 取得最大值时， ______. 【答案】 【分析】先通过题干向量关系和几何法确定过点的圆，再通过坐标法将“投影最值”转化为“圆上动点”的最值问题，再结合一般不等式求解即可. 【详解】设分别为的终点，为中点，由 ，得， 又，故的终点在的中垂线上， 且由勾股定理得 . 如图所示，建立坐标系： ，，，， 公共起点（即 ）. 在中，由正弦定理可得， 为外接圆半径，故， 令外接圆圆心为，易知在线段垂直平分线上，可设为， 根据对称性，以，为例，可得所在圆的方程为， ，令， 则， 代入，得：， 令，由基本不等式得：， 当且仅当等号成立，即，故， 由对称性可知当，圆的方程为时，同理可得最大值为. 6．（2026·上海崇明·二模）已知向量，，若，则实数____________. 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标表示，由可得即可得解. 【详解】由得， ，. 故答案为： 7．（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是________． 【答案】 【分析】通过条件建立关于与的二元一次方程组，解出，并使用辅助角公式变形求解. 【详解】，，， 由题意得解得， ，， 当时，取最大值为， 所以y的最大值是. 8．（2026·上海杨浦·二模）记…，是空间中的个不同的非零向量，满足：①其中任意向量在其它向量方向上的投影均为其本身或零向量；②其中任意三个向量、、均不能使成立，则的最大值为______. 【答案】 【分析】根据已知条件利用向量投影、共线性质结合条件①②分析即可得. 【详解】设是这个向量中的任意两个向量， 根据投影的定义，向量在向量方向上的投影为：， 由条件①可知，或， 当时，向量共线，当时，向量垂直； 表示三个单位向量， 当、不同向时，， 则， 则，又， 故不符合， 则、同向，则由，可得、、同向， 由其中任意三个向量、、均不能使成立， 则其中任意三个向量、、不同向，即同一方向最多两个不等向量； 故结合①②可得：这些向量中任意两个向量要么共线，要么垂直，且同一方向最多两个不等向量， 例如可取空间中三个两两互相垂直的单位向量及其相反向量， 再取，这个不同向量满足条件①②； 若存在第个向量，则必须与另外个向量中的任一共线或垂直， 由于已有的向量中包含三个互相垂直的方向， 则必须与其中一个向量共线才能符合要求， 但此时任一方向都有两不同向量，故不存在符合题意， 所以满足条件的的最大值为. 9．（2026·上海徐汇·二模）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则__________. 【答案】 【详解】因为在方向上的投影向量是，且，所以 10．（2026·上海嘉定·二模）已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ 【答案】 【分析】代入数量投影公式，转化为三角函数值域问题求解. 【详解】在方向上的数量投影为， ，，. 平面向量数量积的运算 考点4 一、单选题 11．（2026·上海闵行·二模）已知平面上13个向量，其中，若对任意，总有且，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，构成一个等比数列，其首项为1，公比为，且相邻向量垂直，从而可得以共线，共线，要使小，只需共线且与反向，共线且与反向即可，据此求解即可. 【详解】因为， 且对任意，总有 所以构成一个等比数列，其首项为1，公比为， 所以， 又因为， 即相邻向量垂直， 即, 所以共线，共线， 要使最小， 设，， 则有， 即求的最小值， 当共线且与反向时，最小， 且 ， 当共线且与反向时，最小， 且 ， 所以. 即的最小值为. 二、填空题 12．（2026·上海松江·模拟预测）若都是单位向量，，则向量与的夹角大小为__________. 【答案】 【详解】都是单位向量，故，且， 设夹角为，， ， ， ， 又，故. 13．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知中，，，存在实数，使得向量的模的最小值为．若点是线段上任意一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】先根据条件确定角的大小，判断的形状，再利用基底表示向量，利用数量积的运算律求数量积的最小值. 【详解】由题意，， . 设，因为为内角，所以， 所以当时，有最小值. 所以，所以. 所以， 所以， 所以为直角三角形，. 如图，，， 设，，. 所以，. 所以当时，取得最小值，为. 14．（2026·上海黄浦·二模）在复平面内，点P，Q，O分别表示复数z，w，0，已知，，，且，则向量与的夹角为______． 【答案】 【分析】设复数u在复平面内对应的点为A，可得，结合模长关系可得，进而可得向量夹角. 【详解】设复数u在复平面内对应的点为A， 由题意可知：，，，， 则， 即，解得，可得， 且，可得， 所以向量与的夹角为. 15．（2026·上海长宁·二模）在中，是的中点，，，则_________. 【答案】7 【详解】因为在中，是的中点，所以，所以. 又，所以，所以. 所以，. 16．（2026·上海·二模）在中，，，，则________． 【答案】/ 【分析】根据数量积公式，可得的值，根据余弦定理，可得，代入余弦定理，即可得答案. 【详解】设， 由题意，所以， 又，得， 所以. 17．（2026·上海金山·二模）已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________． 【答案】 【分析】利用余弦定理求出，取的中点，连接，由点为外接圆的圆心，得到，利用向量的数量积的定义，结合在直角三角形中的余弦公式求出的值. 【详解】，， ， 取的中点，连接， 点为外接圆的圆心， ， . 三、解答题 18．（2026·上海普陀·二模）设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)点、分别满足，，，，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，化简得 ，即可解得； （2）由向量条件推出为外心，将目标式用外心向量转化为，再利用和 推导出边的关系，结合正弦定理求得后代入即得结果. 【详解】（1）因为， 设外接圆半径为，由正弦定理，，， 代入可得， 所以, 即， 因为在中，，所以， 即， 因为，所以，所以， 化简得：， 解得，即， 因为，所以. （2）由，所以， 所以，即，同理由得， 所以是的外心，所以， 因为同弧所对的圆周角是圆心角的一半， 所以，，所以, 所以 ， ， ， 得到， 而，所以， 因为，所以，得， 而，所以， 由正弦定理，所以， 又因为，所以， 化简得，所以， 所以， 因为，所以， 代入计算，所以. 19．（2026·上海嘉定·二模）在复平面内，已知点、、对应的复数分别为、、，其中是虚数单位． (1)求的值； (2)若复数z满足，求． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由已知写出点、、的坐标，写出向量，，即可求； （2）由已知可得复数对应的点到点和点距离相等，可知复数对应的点在AB的垂直平分线上，即的实部为3，再计算到的距离，由复数对应的点到原点的距离等于该值，即可解出. 【详解】（1）由已知可得，，，，所以，， 所以； （2）因为，，，所以， 所以复数对应的点到点到和点距离相等， 所以这两点的中垂线是直线，即复数的实部为，设， . 所以， 所以，解得， 所以或. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06平面向量(4大考点，19题) ☆4大考点概览 考点01平面向量的基本定理及坐标表示 考点02向量新定义 考点03数量积的坐标和投影向量 考点04平面向量数量积的运算 考点1 平面向量的基本定理及坐标表示 1.(2026上海普陀二模)己知向量a=(1,2),6=(-1,1),c=(3,4,函数y=fx)的表达式为 x+1,x<2 f(x)= 2x-,x≥2设(=f小a+fx+26,若dy/尼，则x= 2.(2026上海杨浦·二模)直线1：（a-3)x+(2a+1)y-3=0的一个法向量是n=(3,2),则实数a= 3.(25-26高三下·上海宝山期中)如图，平行四边形ABCD中，AB=6,AD=2,F是BC的中点，G、E是 DC的三等分点，若AE.FG=-15,则∠BAD= D B 考点2 向量新定义 4.(2026上海嘉定·二模)对任意平面向量ā、6、c及任意实数1，已知运算⊙满足以下三条性质：(I) ao6=6⊙a;(Ⅱ)a+b)oc=a⊙c+b⊙c;()(2a)o6=(a⊙b).则下列选项中一定成立的是() A.若a⊙b=0,则a=0或b=0 B.aob=alb C.(a-B)o(a-b)=aoa-2a0b+b0bD.aoa20 考点3 数量积的坐标和投影向量 5.(25-26高三下上海青浦期中)已知平面内的三个非零向量a,6,,满足：(a,6）=牙，日-=2， 6-d=E-d=厅，测当a--6e取得最大值时，= 6.(2026上海崇明·二模)已知向量=(k,2),b=(2,1,若ā1b,则实数k= 7.(2026上海奉贤二模)在平面直角坐标系xOy中，点A(cos0,sin0),B(-sin0,cos0),0e[0,2π.若点 1/3 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 Px,y)满足：OP.OA=1,OP.OB=2,则xy的最大值是 8.（2026上海杨浦二模)记a,a,…,是空间中的m(m∈N,m≥1个不同的非零向量，满足：①其中任 意向量在其它向量方向上的投影均为其本身或零向量；②其中任意三个向量、，、：均不能使 成立，则m的最大值为 9.(2026上海徐汇二模)已知向量a万，其中=3，a在6方向上的投影向量是乙五，则a:6 10.(2026上海嘉定二模)已知向量a=(cosx,sin,6=(③，V),且x0,2 则ā在6方向上的数量投 影的取值范围为 考点4 平面向量数量积的运算 一、单选题 11.(2026上海闵行二模)己知平面上13个向量a、a、…、a:,其中a,=1,若对任意n∈N,1≤n≤12，总 有1a=√2|an|且aa1=0,则|a,+a2+…+a3|的最小值为() A.0 B.√5 C.16√6 D.63√2 二、填空题 12.(2026上海松江模拟预测)若ab都是单位向量，ā.6=0，则向量6与ā-b的夹角大小为 13.(25-26高三下上海浦东新期中)已知ABC中，AC=2,BC=1,存在实数2，使得向量 子a-(以-丽的装的最小值为 ,若点P是线段AC上任意一个动点，则PAPB的最小值是 14.(2026上海黄浦·二模)在复平面内，点P,Q,O分别表示复数z,w,0,已知=3，w=5, u=z+w,且4=7，则向量OP与00的夹角为 15.(2026上海长宁二模)在ABC中，D是BC的中点，AD=4,BC=6,则AB4C= 16.2026上海二夜)在48C中，AB=1,8C=2,丽.G=名则es4BC- 17.(2026上海金山·二模)已知在ABC中，AB=2,AC=3,∠BAC=60°，若点0为ABC外接圆的圆心， 则BC·BO= 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 三、解答题 18.(2026上海普陀·二模)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 bsin +5x acos AcosC+ccos2 A. 6 (1)求角A的大小： (2)点0、D分别满足(OA+0BAB=0,(OA+OCAC=0,BD=2DC,AB·AD=0,求 CO.AB 的值 CO.CB+CO.CA 19.(2026上海嘉定·二模)在复平面内，已知点A、B、C对应的复数分别为24=0、2g=6、zc=4+3i, 其中i是虚数单位， (1)求cos∠ACB的值； (2)若复数z满足z-z4=z-2=2g-z,求z. 3/3