专题05 三角函数与解三角形（5大考点，37题）（上海专用）2026年高考数学二模分类汇编

丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题05三角函数与解三角形(5大考点，37题) ☆5大考点概览 考点01三角函数的图象与性质 考点02三角函数的诱导公式 考点03任意角的三角函数和反三角函数 考点04解三角形 考点05三角恒等变换 考点1 三角函数的图象与性质 一、单选题 1.(25-26高三下上海浦东新期中)对定义在R上的非常值函数”=)，若存在一个非零常数T,使 得对任意xeR,都有x+T)=T·f八成立，那么称函数'=为T函数.现有以下两个命题：①若 函数'=sin(or+o川o≠0为T函数，则@=2k∈乙，且k≠0，②既存在严格增的T函数，也存在严格 减的T函数.则下列判断正确的是() A.①是真命题，②是真命题 B.①是假命题，②是假命题 C.①是真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是真命题 y=co 2.(2026上海金山二模)函数 (-2x 是() A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 交 C.最小正周期为2的奇函数 D.最小正周期为2的偶函数 3.(2026上海徐汇·二模)设0>0，函数y=2 cosox+-sinox 在区间2，π 上没有最大值和最小值， 则0的取值范围为() c.6 二、填空题 1/8 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 4.(2026上海奉贤二模)在平面直角坐标系x0中，点1cos0,sin0),B-sin0,cos0),0∈0,2，若 点Px川演足：OP.O1=1,O丽.0丽=2，则gy的最大值是 [π3π 5. (2026:上海长宁·二模)函数y=sir, 2’4的值域为 6(26上将器定二模)已刻向量8=s%血.5=85，且0引. 则ā在b方向上的数量 投影的取值范围为 7.(2026上海崇明二模)设f()=sinr, 若对任意t∈R,存在ie{1,2使得函数 y=f在区间41+d(a>0)上是单调函数，则实数a的取值范围是 8.(2026上海闵行·二模)定义：平面内图形T上的所有点在直线1上的射影所组成的图形称为Γ在1上的 射影.若存在边长为m的正三角形在正方形的四条边所在直线上的射影长度之和为4，则m的取值范围为 9。(2026上海奉贤二模)已知复数2=cos9+isin0,9e0,2,i是虚数单位，则z+6+z-8i的取 值范围是 三、解答题 2sin2x+cos 10.(2026上海松江·模拟预测)已知函数y=f(x)的表汝式为x/-V3 若将西数，=的图像向右平移p0>0个单位长度，得到函数y=g习的图像关于直线=名对称， 求⑨的最小值； 2若函数”=f(到在区间(12)上恰有2个极值点和2个零点，求实数m的取值范围， 1.(2026上海杨浦二模)已知函数f八)=2sn0r(常数@>0). 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 0清知1.在A8cC,角RC的对边分别为、众c考人4引- ,a=√b,求角B的大小： 2)若y=f(x的最小正周期为π，将其图像向左平移2个单位，再向上平移h(h>0个单位得到函数 ∈0 π y=gx)的图像当 L ”2」时恒有8>0，求h的取值范围. 12.（25-26高三下上海青浦期中)已知函数少=fx),其中x3 2 若fx=写，引求co2的值： 2喏方程因=u在区间0，召上合有两个不同的零点55，求实数，的取值范固及5+飞的值。 13.(2026上海黄浦二模)已知/(=2 sin co5-2sin2x 山)求函数'=的最小正周期与单调增区间： 2)将函数y=f的图象上的所有点沿向量" =(0,10≤0≤ )平移，得到y=8()的图象.若y=8) 同时满足：①图象关于点A 0对称：②有且仅有，个极大值点在区间Q上.求，的取值范周。 14.(25-26高三下·上海浦东新期中)已知f(,=V5sinx+2cos(x+p),p∈[0，元 y=f(x) (1)若函数 是定义在R上的奇函数，求常数”的值： 2)若0=3， 若关于x的不等式)+-a>0对任意r0,可恒成立，求实数口的取值范围. 考点2 三角函数的诱导公式 填空题 026:上海黄浦二模)已知tana<0,月o+o 3,则cosa的值为 3/8 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 16.(2026·上海静安·二模)若tan元-a 二、解答题 17（2026上海奉贤二模)已知函数y"=f八因的表达式为f儿=sim+,（受<0<》 伦E得.刊，2传次成等比数别.术P的位。 考点3 任意角的三角函数和反三角函数 一、填空题 18.(2026:上海嘉定二模)将函数少=r,x∈[0， 0(0≤0≤a) 的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角 得到 曲线C.若对于每一个角6，曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为一· xOy 19.(25-26高三下·上海青浦·期中)在平面直角坐标系 中，角“的顶点与坐标原点重合、始边与” 轴的正半轴重合，其终边经过点P1,-3 ,则tana=」 x2 20.(2026上海静安二模)双曲线4少- 的两条渐近线夹角大小为一· (结果用反三角函数值表 示) 二、解答题 21.(2026:上海金山二模)已知长方形1BCD中，4B=2,8C=4 中， 点E、F分别为边8C、D的中点 (如图1D.若将长方形E沿者边BF翻折，得到二面角-EF-D (如图2).已知二面角 A-EF-D 的大小为60°」 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A D E 图1 图2 )求证：平面FD1 平面BC (2)求直 CA与平面 BEF 所成角的大小.（结果用反三角表示） 22.(2026·上海黄浦·二模)如图，在直三棱柱 BC-4BG中，点D、E分别是楼BC、CC上的点（点 D异于点C),且AD⊥DE. C B E (①)求证：平面DE上平面 BCC B (2)若△ABC 是正三角形， BC=CC,且三棱柱 BC-AB,C的体积是三棱锥E-ADC的体积的12倍，求 AE 与平面ADE所成的角的大小. 考点4 解三角形 一、填空题 23.(25-26高三下·上海青浦期中)已知平面内的三个非零向量a.6.c,满足：(a,6)-牙，后-=2， 5/8 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 a.c-b.c 5-=e-=而，则当 同闯 取得最大值时，= 24.(2026上海长宁·二模)如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为50cm,宽均为10cm. 点A、B、C、D在同一条直线上，点F在边BE上，点I在边GH上，测得B、C两点间距离为IOcm.为 了使∠BFC=∠HID,则C、D两点间距离为 cm.(精确到0.lcm) ABC 25.(2026·上海松江·模拟预测)如图，某公园划出一块平整的三角形草地ABC,在边BC上设置一个观 景点D,点D到顶点C的距离为2百米，AD平分∠BAC,边AB和AD的长度都为3百米.现需要沿着三角 形草地ABC的边安装一圈灯带，则该灯带的长度为 百米 26。(25,26高三下-上海浦东新期中)在6BC中，若a=7,方=8，cC- =4,则c= 27.(2026·上海·二模)某种健身拉力器的手臂固定支架为BE,需运动者将肩关节放置于点B处，手肘放 置于点D处，手掌放置于点E处握拳握住弹力绳的一端，弹力绳的另一端连接于点C处；保持 B、D、E、C四点共线.将小臂视为线段DE,长度为r,大臂视为线段BD,长度为1.3r.在锻炼时要求保 持肩关节B和手肘D不动，运用大臂力量将小臂DE绕着手肘D作圆周运动，始终与BC处于同一平面， 弹力绳随之以紧绷状态从CE拉伸至CA.已知某位运动者健身时CE=0lr,当弹力绳拉至最长时， ∠ABC=3∠ACB,则此时∠ACB= 度.（结果精确到01度） 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 28.(2026-上海二模)在△1BC中，4B=1BC-2 丽Cd-号则o24c 29.(2026·上海奉贤·二模)如图所示，A,B,C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分 别为0=29.3°，B=38.2°7=25.1° 计划沿直线AC开通穿山隧道，为了求出隧道DE的长度，还测得 AD=277米，BE=49米，BC=320米，则根据以上数据，隧道DE的长度约为米.（结果精确 到1米) EB 30.(2026-上海金山二模)已知在△1BC中， AB=2,AC=3,∠BAC=60° .若点为△1BC 接圆的圆 心，则BCBO 31.(2026·上海崇明·二模)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.若A=45°，C=30°， c=12 则as 二、解答题 32.(2026:上海普陀二模)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 bsin 4+6 π =acos AcosC+ccos2A (1)求角A的大小： ②点0、D分别满足O1+0BB=0,(O1+0C4C=0,BD=2DC,花D=0,求 CO.AB CO.CB+CO.CA的值， 7/8 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 考点5 三角恒等变换 一、 填空题 32026海徐模)若ma-B专如E,则ana 34。（(2026:上海崇明二模))已知c0s0=- 5,则cos20的值为 35.(2026-上海宝山二模)已知c0sa=3,则cos2a= 1 二、解答题 36。(25-26高三下-上海浦东新期中)已知f(刘=V5sinr+2cosx+9),9∈0，d 山)若函数”=八是定义在R上的奇函数，求常数°的值： (2若p-子，求函数y=f八到+在xe0,对的极值。 37.(2026上海闵行二模)已知m∈R,f()=msin+1-m)cosx 1 ()当m=2时，解方程f(x)=0: π 0. (2)若函数y=()在(2)上有唯一的极值点，求m的取值范围，并判断这个极值点是极大值点还是极小 值点. 专题05 三角函数与解三角形（5大考点，37题） 5大考点概览 考点01三角函数的图象与性质 考点02三角函数的诱导公式 考点03任意角的三角函数和反三角函数 考点04解三角形 考点05三角恒等变换 三角函数的图象与性质 考点1 一、单选题 1．（25-26高三下·上海浦东新·期中）对定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．现有以下两个命题：①若函数为函数，则，且；②既存在严格增的函数，也存在严格减的函数．则下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】D 【分析】利用正弦函数的周期性和有界性分析等式恒成立的条件，并构造函数结合函数单调性进行判断. 【详解】命题①，若是函数，根据定义得， 展开整理得对任意恒成立，因此系数必全为. ，由得，因此. 当时，； 当时，，得，这也满足条件，例如时， 成立. 命题①只给出，遗漏了的情况，因此①是假命题. 命题②，构造指数函数， 验证函数条件，只需满足， 取，则，是严格增函数， 且，满足函数定义，存在严格增的函数； 取，则，是严格减函数， 且，满足函数定义，存在严格减的函数. 因此②是真命题. 综上，①假②真. 2．（2026·上海金山·二模）函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【详解】， ，故最小正周期为， 设，， 故为奇函数，故选项A正确. 3．（2026·上海徐汇·二模）设，函数在区间上没有最大值和最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 由，. 因为函数在上没有最大值和最小值， 所以函数的半个周期的区间长度不小于，即. 结合正弦函数性质，则有或， 解得或. 即的取值范围为：. 二、填空题 4．（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是________． 【答案】 【分析】通过条件建立关于与的二元一次方程组，解出，并使用辅助角公式变形求解. 【详解】，，， 由题意得解得， ，， 当时，取最大值为， 所以y的最大值是. 5．（2026·上海长宁·二模）函数，的值域为________. 【答案】 【分析】直接根据正弦函数的单调性判断函数的最大值及最小值，进而可得函数值域. 【详解】因为，由正弦函数的性质得：函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数有最小值，当时，函数有最大值. 所以函数在上值域为. 6．（2026·上海嘉定·二模）已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ 【答案】 【分析】代入数量投影公式，转化为三角函数值域问题求解. 【详解】在方向上的数量投影为， ，，. 7．（2026·上海崇明·二模）设，．若对任意，存在使得函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】先找出两个函数的单调区间的分界点，再进行排序，找到相邻两分界点的最小间距即可 【详解】，由正弦函数的性质得到单调区间的分界点， 相邻分界点间隔为，因此每个单调区间的长度为； ，令，则， 故单调区间的分界点， 相邻分界点间隔为，因此每个单调区间的长度为. 两类分界点合并排序，可发现它们交替排列，相邻两个不同类型的分界点的间隔交替为和， 所以两类分界点之间的最小距离为，所以，又，所以a的取值范围是. 8．（2026·上海闵行·二模）定义：平面内图形上的所有点在直线上的射影所组成的图形称为在上的射影.若存在边长为的正三角形在正方形的四条边所在直线上的射影长度之和为4，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据题意，转化为正三角形在轴、轴上投影之和的两倍，设与轴正半轴的夹角为，正三角形在正方形的四条边所在直线上的射影长度之和为，分、、三种情况分别计算的最值，再列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意，正三角形在正方形的四条边所在直线上的射影长度之和， 等价于正三角形在轴、轴上投影之和的两倍， 设与轴正半轴的夹角为， 正三角形在正方形的四条边所在直线上的射影长度之和为， 则，， 当时，正三角形在轴、轴上投影分别为、， 则 ， 或时，取得最小值， 时，取得最大值为； 当时，正三角形在轴、轴上投影分别为、， ， 当时，取得最小值，当时，取得最大值为； 时，正三角形在轴、轴上投影分别为、， 当时，取得最小值，当时，取得最大值为； 由对称性可证，其它象限最值情况一样， 综上，的最小值为，最大值为， ，解得， 则的取值范围为． 9．（2026·上海奉贤·二模）已知复数，，i是虚数单位，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】， ， ，设， 则， 当，，即，时，， 此时取最大值， 当，，即，时，， 此时取最小值， ． 三、解答题 10．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数的表达式为. (1)若将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像关于直线对称，求的最小值； (2)若函数在区间上恰有2个极值点和2个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式，结合平移变换和三角函数的对称性即可求解； （2）利用相位整体思想，分析正弦函数的极值点和零点情况，即可确定动区间的范围，从而可求得参数范围. 【详解】（1）由， 当函数右移个单位得，则 ， 由关于对称，可得： ， 整理得：，又，取得最小正数， 即的最小值为； （2）由（1）可得：， 当，令， 再由的零点满足：或，， 不妨取，可得两个正数零点是或，依次增大的第三个正数零点是， 再由的极值点满足：，， 同理可得两个正数极值点是，依次增大的第三个正数极值点是， 所以函数在区间上恰有2个极值点和2个零点， 即满足在内取到，，，，不能取到和， 则， 即所求实数m的取值范围. 11．（2026·上海杨浦·二模）已知函数（常数）. (1)若，在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若，，求角B的大小； (2)若的最小正周期为π，将其图像向左平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图像.当时恒有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用函数解析式由，求出角A，再由，利用正弦定理求出，可得角B的大小； （2）由函数图象的变换，求出解析式，由时，求出的取值范围. 【详解】（1）时，函数，，， 中，，所以， ，由正弦定理可得，， 由，所以. （2）函数（常数），的最小正周期为π， 所以，得，即， 所以， 时，，则有，此时， 当时恒有，则有，解得， 所以的取值范围为. 12．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知函数，其中 . (1)若，求的值； (2)若方程在区间上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围及的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先化简函数，代入得到，根据角的范围及函数值的大小确定，然后凑角求出的值；（2）换元转化为函数与直线恰有两个不同的零点，根据图象得到的范围，根据对称轴得到 的值. 【详解】（1） ， ，， 所以，，可得， 所以， 则 （2）因为，，令， 函数与直线在区间上恰有两个不同的零点， 在区间的图象特征： 函数与直线恰有两个不同的交点，所以， 即在区间和各有一个交点，且关于对称， ，即，可得. 13．（2026·上海黄浦·二模）已知． (1)求函数的最小正周期与单调增区间； (2)将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：①图象关于点对称；②有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为，单调增区间为 (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式和正弦型函数的单调性可求得答案； （2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，根据函数满足条件①以及的范围可得出的值，再根据函数满足条件②可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）因为， 所以函数的最小正周期为， 由，可得， 所以函数的单调增区间为． （2）由（1）知， 将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象， 所以， 由的图象关于点对称，可得， 所以，解得， 又，可知，故， 当时，， 由②知，解得， 故的取值范围是． 14．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知，． (1)若函数是定义在上的奇函数，求常数的值； (2)若，若关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数定义进行求解即可； （2）化简，分离参数，令，求导，得到函数在上的最小值，进而求出实数a的取值范围. 【详解】（1）若函数是定义在上的奇函数， 则对任意恒成立， 即 即对恒成立． 即对恒成立． 因此．又，故． 因此，若函数是定义在上的奇函数，常数的值为； （2）若，则， 由题意，即对任意恒成立． 令，即 ， 由， 可知函数在内的两个驻点为，， 比较，，，的大小， 可知函数在上的最小值为． 因此，实数a的取值范围为. 三角函数的诱导公式 考点2 一、填空题 15．（2026·上海黄浦·二模）已知，且，则的值为______． 【答案】 【分析】利用诱导公式可得，结合同角三角函数关系运算求解，注意根据符号判断角所在象限. 【详解】因为，即， 且，可知角为第四象限角， 所以. 16．（2026·上海静安·二模）若，则______． 【答案】 【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可求解. 【详解】， 故. 二、解答题 17．（2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，． (1)，求的值； (2)若，，依次成等比数列，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，得， 则. （2）由，，， 因成等比数列，故， 即，得； 若，，依次成等比数列，则； 所以，，又，故，此时，，依次 为，符合题意； 综上，. 任意角的三角函数和反三角函数 考点3 一、填空题 18．（2026·上海嘉定·二模）将函数，的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角得到曲线C．若对于每一个角，曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为______． 【答案】 【详解】由函数，，知. 因为在上单调递增，所以. 由题可知，当函数旋转后得到的函数在点处的导数小于零， 即曲线在处的切线的斜率小于零， 即曲线在处的切线的倾斜角大于时，曲线上存在某点处的切线的倾斜角等于. 此时，会出现一个对应两个值的情形，曲线C不再是一个函数的图象. 所以的最大值为. 19．（25-26高三下·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合、始边与轴的正半轴重合，其终边经过点，则_______. 【答案】 【详解】因为角的顶点与坐标原点重合、始边与轴的正半轴重合，其终边经过点，所以，由三角函数终边上点的定义， 20．（2026·上海静安·二模）双曲线的两条渐近线夹角大小为______．（结果用反三角函数值表示） 【答案】 【分析】首先得到双曲线的两条渐近线，再利用正切两角和差公式求解即可. 【详解】由题可得，，因此渐近线方程为， 两条渐近线斜率为，. 两直线夹角，夹角公式为， 代入得， 由于且，因此夹角大小为. 二、解答题 21．（2026·上海金山·二模）已知长方形中，，点、分别为边、的中点（如图1）．若将长方形沿着边翻折，得到二面角（如图2）．已知二面角的大小为． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角表示） 【答案】(1)证明过程见解析； (2) 【分析】（1）由线线平行得到线面平行，进而得到面面平行； （2）先由二面角大小得到各边长，作出辅助线，得到线面垂直，进而求出线面角的大小 【详解】（1）因为长方形中，，折叠过程中，， 又平面，平面，故平面， 同理可得平面， 又，平面，所以平面平面； （2）因为长方形中，点、分别为边、的中点， 故，二面角的平面角为，即， 又，所以，为等边三角形， 同理可得为等边三角形， 取的中点，连接，则⊥， 又⊥平面，平面，故⊥， 因为，平面，故⊥平面， 故直线与平面所成角为， ，，故，由勾股定理得， 则， 直线与平面所成角的大小为. 22．（2026·上海黄浦·二模）如图，在直三棱柱中，点、分别是棱、上的点（点异于点），且． (1)求证：平面平面； (2)若是正三角形，，且三棱柱的体积是三棱锥的体积的倍，求与平面所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）解法一：设，由可求出的长，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与平面所成的角的大小； 解法二：连接，过作平面，垂足为，连接，则就是直线与平面所成的角，取的中点，连接，取的中点，连接， 证明出平面，利用等体积法求出的长，结合线面角的定义求解即可； 解法三：设是的中点，连接、、，证明出平面，可知点与到平面的距离相等，证明出平面，可得出点到平面的距离等于的长，并求出的长，结合线面角的定义求解即可. 【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，、平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）解法一：由平面，平面，可知， 又因为是正三角形，所以． 设，由，， 可得，故， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 设与平面所成的角为，则， 所以与平面所成的角的大小为． 解法二：连接，过作平面，垂足为，连接， 则就是直线与平面所成的角， 取的中点，连接，取的中点，连接， 因为为等边三角形，为的中点，所以， 因为、分别为、的中点，所以，则， 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以平面，且， 因为，故， 因为平面，平面，所以， 又因为，， 所以， 所以，解得， 又， 故，则， 所以与平面所成的角的大小为． 解法三：设是的中点，连接、、， 因为，，故四边形为平行四边形， 所以，， 因为、分别为、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，所以，， 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 点与到平面的距离相等． 由四边形是正方形，、、分别为、、的中点， 故，所以，故，即， 又平面平面，平面，平面平面， 故平面，易知，故到平面的距离也为， 又， 设与平面所成的角为，则，故， 所以与平面所成的角的大小为． 解三角形 考点4 一、填空题 23．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知平面内的三个非零向量，满足： ， ， ，则当 取得最大值时， ______. 【答案】 【分析】先通过题干向量关系和几何法确定过点的圆，再通过坐标法将“投影最值”转化为“圆上动点”的最值问题，再结合一般不等式求解即可. 【详解】设分别为的终点，为中点，由 ，得， 又，故的终点在的中垂线上， 且由勾股定理得 . 如图所示，建立坐标系： ，，，， 公共起点（即 ）. 在中，由正弦定理可得， 为外接圆半径，故， 令外接圆圆心为，易知在线段垂直平分线上，可设为， 根据对称性，以，为例，可得所在圆的方程为， ，令， 则， 代入，得：， 令，由基本不等式得：， 当且仅当等号成立，即，故， 由对称性可知当，圆的方程为时，同理可得最大值为. 24．（2026·上海长宁·二模）如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为50cm，宽均为10cm.点、、、在同一条直线上，点在边上，点在边上，测得、两点间距离为.为了使，则、两点间距离为_________cm.（精确到） 【答案】 【分析】在中，分别求得，，再利用三角形相似及正弦定理可求解. 【详解】中，，所以. 所以，. 延长，交于点，则与相似，所以. 所以，所以， 所以. 中，由正弦定理得，即， 所以. 所以 所以、两点间距离为. 25．（2026·上海松江·模拟预测）如图，某公园划出一块平整的三角形草地ABC，在边BC上设置一个观景点D，点D到顶点C的距离为2百米，AD平分，边AB和AD的长度都为3百米.现需要沿着三角形草地ABC的边安装一圈灯带，则该灯带的长度为__________百米. 【答案】 【分析】设，由角平分线定理以及列方程组求解即可. 【详解】设， 由角平分线定理得，，即，得， 因为， 所以 ， 得，则，则， 得，， 则该灯带的长度为. 26．（25-26高三下·上海浦东新·期中）在中，若，，，则________． 【答案】3 【详解】由余弦定理得：， 所以 27．（2026·上海·二模）某种健身拉力器的手臂固定支架为BE，需运动者将肩关节放置于点B处，手肘放置于点D处，手掌放置于点E处握拳握住弹力绳的一端，弹力绳的另一端连接于点C处；保持B、D、E、C四点共线．将小臂视为线段DE，长度为r，大臂视为线段BD，长度为1.3r．在锻炼时要求保持肩关节B和手肘D不动，运用大臂力量将小臂DE绕着手肘D作圆周运动，始终与BC处于同一平面，弹力绳随之以紧绷状态从CE拉伸至CA．已知某位运动者健身时，当弹力绳拉至最长时，，则此时________度．（结果精确到0.1度） 【答案】 【分析】先由题意得出 ，，且 ．再设 ，则 ，利用正弦定理表示出 的长度，最后在 中由余弦定理列方程求得 的值． 【详解】由题意可得 B，D，E，C 四点共线，，，，且点 A 为点 E 绕点 D 旋转后的位置，所以 ． 因此 设 ，则 ，所以 在 中，由正弦定理可得所以 在 中，由余弦定理可得 将 ，， 代入，得 两边同除以 ，得 化简可得 令 ，则 解得 ，或 ，或 ． 因为 ，所以 ，故 ． 于是故此时. 28．（2026·上海·二模）在中，，，，则________． 【答案】/ 【分析】根据数量积公式，可得的值，根据余弦定理，可得，代入余弦定理，即可得答案. 【详解】设， 由题意，所以， 又，得， 所以. 29．（2026·上海奉贤·二模）如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，．计划沿直线AC开通穿山隧道，为了求出隧道DE的长度，还测得米，米，米，则根据以上数据，隧道DE的长度约为________米．（结果精确到1米） 【答案】 【详解】在中，，，； 由正弦定理可得，整理可得. 在中，， 由正弦定理， 整理可得. 所以 . 30．（2026·上海金山·二模）已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________． 【答案】 【分析】利用余弦定理求出，取的中点，连接，由点为外接圆的圆心，得到，利用向量的数量积的定义，结合在直角三角形中的余弦公式求出的值. 【详解】，， ， 取的中点，连接， 点为外接圆的圆心， ， . 31．（2026·上海崇明·二模）在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c．若，，，则________． 【答案】2 【详解】由正弦定理得，解得. 二、解答题 32．（2026·上海普陀·二模）设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)点、分别满足，，，，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，化简得 ，即可解得； （2）由向量条件推出为外心，将目标式用外心向量转化为，再利用和 推导出边的关系，结合正弦定理求得后代入即得结果. 【详解】（1）因为， 设外接圆半径为，由正弦定理，，， 代入可得， 所以, 即， 因为在中，，所以， 即， 因为，所以，所以， 化简得：， 解得，即， 因为，所以. （2）由，所以， 所以，即，同理由得， 所以是的外心，所以， 因为同弧所对的圆周角是圆心角的一半， 所以，，所以, 所以 ， ， ， 得到， 而，所以， 因为，所以，得， 而，所以， 由正弦定理，所以， 又因为，所以， 化简得，所以， 所以， 因为，所以， 代入计算，所以. 三角恒等变换 考点5 一、填空题 33．（2026·上海徐汇·二模）若，则______. 【答案】5 【详解】由， 则. 34．（（2026·上海崇明·二模））已知，则的值为__________. 【答案】 【分析】利用二倍角的余弦公式，即可求得结果． 【详解】由，则 故答案为： 35．（2026·上海宝山·二模）已知，则__________． 【答案】 【详解】 二、解答题 36．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知，． (1)若函数是定义在R上的奇函数，求常数的值； (2)若，求函数在的极值． 【答案】(1) (2)极大值，极小值． 【详解】（1）函数， 因为是定义在上的奇函数， 所以，即， 化简可得，因为，解得， 代入可得， ，为奇函数. （2），， 令， ， 所以， 令，即， ，解得和， 因为当，，单调递增， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 所以当时，的极大值为， 当时，的极小值为. 37．（2026·上海闵行·二模）已知. (1)当时，解方程； (2)若函数在上有唯一的极值点，求的取值范围，并判断这个极值点是极大值点还是极小值点. 【答案】(1)方程的解集为 (2)，极值点为极大值点. 【分析】（1）利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的性质即可求出； （2）先对进行求导，令并求导即可求出的取值范围. 【详解】（1）当时，， 令，得，即，，解得, 故方程的解集为. （2）由题意得， 在区间上，，， 令，则， 在上单调递增，且， 若函数在上有唯一的极值点，则在该区间有唯一解， 即有唯一解，故的取值范围为， 设为该极值点， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以极值点为极大值点. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $