专题04 导数及其应用（5大考点，29题）（上海专用）2026年高考数学二模分类汇编

丽学科网 www.zxxk.com 专题04导数及其应用(5大考点， ☆5大考点概览 考点01导数的计算 考点02导数的概念和几何意义 考点03利用导数研究函数的单调性 考点04利用导数研究函数的极值和最值 考点05导数的综合应用 考点1 导数的计算 1.(2026上海金山二模)己知Sn是数列{an}的前n项和，且S,=2--1, fx=sinx+a,)(sinx+a2)…(sinx+a),则f'(π= 2.(25-26高三下·上海浦东新期中)已知直线1是曲线y=3 +lnx在x +1 3.（2026上海松江·模拟预测)若(3-2x)6=a。+a,x+a2x2+…+a6x6,则a 4.(25-26高三下上海青浦期中)已知函数fx=)x-x+3,则曲线 3 切线方程为 考点2 导数的概念和几何意义 一、 单选题 5.(2026上海奉贤·二模)已知函数y=f(x)的表达式为f(x)=(x-1(x- 确的是（) A.函数y=f(x)的零点的个数一定是3个 B.若集合A={x|f(x)≥0的解集是[0，+o),则实数对(a,b)有2对 C.函数y=f(x)必存在极值 D.函数y=f(x)在(b,0)处的切线方程为y=0,则b=1 6.(2026上海长宁.二模)已知fx=(1-a)x+asinx ①存在a∈(0,1，使得函数y=f(x在R上严格增； ②对于任意a∈(0,1，直线y=(1-a)x+a与曲线y=f(x都相切且有无数 1/8 让教与学更高效 29题) n≥1且neN.若 2处的切线，则1的斜率为 +2a2+3a3+…+6a。= y=f(x)在点(0，f(0)处的 (x-b),x∈R,则下列命题正 个切点，每个切点的横坐标都不 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 是函数y=f(x)的极值点 对于以上两个结论，下列判断正确的是() A.①正确，②错误； B.①错误，②正确； C.①正确，②正确； D.①错误，②错误 二、填空题 7.(2026上海嘉定·二模)将函数y=x2,x∈[0，]的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(0≤0≤a)得到曲 线C.若对于每一个角O,曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为· 8.(2026上海杨浦·二模)掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方 2米，出手角度α即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3米， 若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度α的最大值为·（精确到0.1°）· 10 9.(2026上海徐汇二模)若函数y=f()在x=x处的切线方程为y=2x-1,则1m6+）-f。 h30 h 三、解答题 10.(2026上海静安二模)已知函数fx=anx(a∈R且a≠0). (1)当a=1时，求函数y=f(x的极值： (2)若直线y=x-1是曲线y=f(x)的一条切线，求a的值和切点的坐标； 十x+2-a的图像与=/四的图像相交于相异两点A和A 11.(2026上海奉贤.二模)设定义域为0，+o)的函数y=f(x的表达式为f(x)=e-a(a>0),我们可以 证明函数y=∫(x)存在唯一的零点，设该零点为r.如图，过点Ax,f(x)作函数y=f(x的切线（与x轴 的交点为B2,设横坐标为x2,若x2>r,则过点Ax2,f(x2)作函数y=∫(x)的切线马与x轴的交点为B, 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设横坐标为x;若x2≤r,则停止作切线.依次类推，得到数列xn}(n≥1，n∈N),记x=t,t>r. A A3 BaB3 B2 B, (1)若a=e,t=2,求x2; (2)求证：数列x}是严格递减数列； (3)若a=1,比较xn+1+1与x,-lnxn的大小，并说明理由. 考点3 利用导数研究函数的单调性 一、 单选题 12.(2026上海崇明二模)已知函数y=fx),x∈R.定义集合M={x,对任意的x>,都有 f(x≤∫(x)}.对于所有使得M=[-1,2的函数y=f(x),有以下两个命题：①存在函数y=f(x在x=-2处 取极小值；②存在函数y=∫(x)图像是连续曲线.下列判断正确的是() A.①②都真 B.①真②假 C.①假②真 D.①②都假 二、填空题 13.(2026上海普陀二模)设定义域为R的函数y=f(x)的导函数为y=∫'(x),令 8(=f"(+x+V2+1, 若函数y=∫(x和函数y=gx皆为偶函数，则不等式∫(x+2)>f(2x-3)的 解集为 14.(2026上海闵行·二模)已知aeR,若不等式lnx-1lnx-ax>0的解集中有且仅有两个整数，则a的 最小值为 三、解答题 15.(2026上海崇明二模)函数y=∫x,x∈R是减函数，即对于任意的X,x2∈R,当x<x2时，均有 3/8 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 f(x)≥fx). (1)若f(x)=-x3+ax,求实数a的取值范围； (2)是否存在函数y=∫(x是偶函数，且满足f(f(x)=x对所有x∈R成立？若存在，请举出一个满足条件的 函数，若不存在，请说明理由 (3)设gx=sinx,己知函数hx=fx+gx是周期函数，求证：f(x)为常值函数. 16.(2026上海金山二模)己知函数y=f(x,其中f(x=lnx. (1)若f1-m)-f3-m2)<0,求实数m的取值范围： (2)若gx)=ar-1-a+1-(a+1fx),其中a>0,若存在b<0,使得直线y=b与函数y=g(x的图像有 3个不同的交点，求实数a的取值范围. 17.(2026上海·二模)设fx)=e-e, (1)解不等式：f(lnx)<2; (2)设x)=f(x)+sin2x,若存在x∈【-2,2，使得gx)+gx2+a>0,求实数a的取值范围. 18.(2026上海松江·模拟预测)若函数y=M(xy=N(x在区间I上满足M(x≤N(x),则称函数 y=N(x)为y=M(x)在区间I上的绝对值上界函数.设定义在R上的函数y=f(x)、y=g(x)的导数为 y=f'(x)、y=g'(x) (1)判断函数y=x是不是函数y=sinx在区间[0，π上的绝对值上界函数，并说明理由； (2)若函数y=g'x为y=∫'x)在R上的绝对值上界函数，求证：对任意h>0,都有 f(x+)-f(xp<gox+)-g(x); (3)若函数y=g'x)为y=f'x在R上的绝对值上界函数，实数a,b(a<b)满足 g(x)n=ga=f(a,g(x)mx=g(b)=f(b),确定f(x,gx)在∈R时的大小关系(8(xnn、g(xn分 别表示函数y=gx)的最小值和最大值) 考点4 利用导数研究函数的极值和最值 、 单选题 19.(2026上海杨浦·二模)己知函数y=f(x)和y=gx)的定义域都为R且都存在导函数若y=∫(x)和 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=g(x)的零点均有且仅有x=0,且当x≠0时恒有f（x)<gx),则下列情形中不可能的是() A.0是y=∫(x的极大值点，也是y=g(x的极大值点 B.0是y=f(x的极小值点，也是y=gx)的极小值点 C.0是y=f(x)的极大值点，也是y=gx的极小值点 D.0是y=f(x)的极小值点，也是y=gx)的极大值点 二、填空题 20.（2026·上海黄浦·二模)如图所示，某圆形游乐园的半径为140米，其圆心在点A处，游乐园内有一圆 形广场，其半径为20米，圆心在与点A相距60米的点B处，游客中心位于圆形广场的边界线与A,B连 线的交点O处.现打算在游乐园的边界线与圆形广场的边界线上各选一点C,D,在这两处各建一座游乐设 施（其占地大小忽略不计），将△OCD的内部区域作为游客的休闲区并使其面积最大，则此最大面积为 D A 二、解答题 21.(2026上海闵行·二模)己知meR,fx=msinx+(1-m cosx ()当m=时，解方程)=0： 2)若函数y=f(x)在0， 上有唯一的极值点，求m的取值范围，并判断这个极值点是极大值点还是极小 值点 22.(2026·上海黄浦·二模)己知f(x)=2 sinxcosx-2sin2x. (1)求函数y=∫x)的最小正周期与单调增区间； 5/8 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2将函数y=f)的图象上的所有点沿向量元=(0,0≤0≤ 平移，得到y=gx的图象.若y=gx)同 时满足：①图象关于点4（径0对称：@有且仅有2个极大信点在区间0d上.求c的取馆范围。 8 23.(25-26高三下·上海浦东新·期中)已知f(x)=V3sinr+2cos(x+p),pe[0,π]. (1)若函数y=∫(x是定义在R上的奇函数，求常数p的值； ②若=行，求函数y=f(+在x0,利的极值. 24.(2026·上海黄浦·二模)对于公共定义域为D的函数y=∫(x)与y=gx,定义集合 Eg=tt=f(x)-g(x),xeD. (1)若f(x=x2-x3,gx=2x-x3,求E,-g (2)若f(x)=e,g(x=ln(x-p)+qp,q∈R),且E-g=[0,+o),求9-p的最小值； (3)已知y=∫(x)是定义在(0，+0)上的增函数，其图像是连续曲线，且存在正数x,使得f(x)>0.若 g)=f,M刘-22，且E=0,求证：E1:-0+ 25.(2026上海嘉定二模》已知在裤经网络巾，o1+。常作为牌轻元流活函数。 (1)证明：对任意实数x,有o(-x)+o(x)=1,并由此写出y=o(x)图像的对称中心： (2)设交叉熵损失函数L,()=-[tln+(1-)ln(1-)】,用于衡量预测值与真实标签t之间的差异，其中 t∈{0,1}.试确定t的值，使得z=L,(o(x)在(-oo,+o)上是减函数； (3)在深度神经网络中，信号经过多层传播可抽象为一个迭代过程.设数列{x}满足x+1=σx),其中n为 正整数.证明：存在唯一实数A∈(0，I),使得o(A)=A,且对任意实数x,和任意正整数n,都有 x2-A≤4 26.(2026上海长宁.二模)设函数y=f(x)定义域为I,区间DI,记函数y=fx)在区间D上的最大值 为M,（D),最小值为m(D) (I)设fx)=e-ax,D=(-1,),若mD)=f(0),求实数a的值： (2)设f(x)=x3-3x2,D=[t,t+2],若M（D)-mD)=4,且-1≤t≤1，求t的值； 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)已知f(0)=0,f)=1,且对任意闭区间D[0,1,M,（D)与m(D)均存在 求证：“y=f(x)在区间0,1上严格增的充要条件是“对于任意闭区间D,、D,[0,1,当M（D)=M（D2) ,且m（D)=mD2)时，均有D,=D2” 27.(2026上海普陀二模)己知p、q为实数，设函数y=f(x的最小值为f(p),函数y=g(x)的最小值 为gq),若f(p)=g(q)且p≠9，则称函数y=f(x和函数y=gx)是T函数 (1)设函数y=f(x的表达式为f(x)=sinx,函数y=g(x)的表达式为gx=cosx,请判断函数y=∫(x和 函数y=g(x)是否为T函数，并说明理由； (2)设a、b为正实数，函数y=f(x的表达式为f(x=x2+2(a-1x+a2-2a+7,函数y=gx)的表达式为 g)=x+9（x>0,若函数y=和函数y=gx不是T函数，求+b的最小值： bx (3)设k、t、a为实数，函数y=f(x的表达式为f(x)=-e+x-2kt(x≤0)，函数y=gx)的表达式为 gx=x-2)lnx-ax-2,若存在t∈1，e2),对任意的x∈(0，+oo),皆有gx≥g(t)成立，且函数y=f(x 和函数y=gx是T函数，求k的取值范围 考点5 导数的综合应用 28.（2026上海徐汇·二模)己知函数y=∫x)与函数y=gx)的定义域均为R,且在R上的导函数分别为 f'(x和g'(x).若存在常数k,使得对任意实数x,g(x≥k·f'(x恒成立，则称y=gx)是y=f(x的 “k-调整函数”，并称k为调整系数 (1)设f(x=c0sx,gx=2x.求证：y=gx是y=fx的“2-调整函数”； (2)设f(x=x2,gx=e+bx.若存在实数b∈[-2，-1，使得y=gx是y=f(x的“k-调整函数”，求调整 系数k的取值范围； (3)已知y=gx)是y=∫(x)的“1-调整函数”，函数y=gx的值域是一个闭区间，记作集合P,函数 y=f(x的值域记作集合9.若PQ,判断y=f(x)-g(x)是否一定是常值函数，并说明理由 29.(25-26高三下·上海青浦期中)函数y=f(x)和y=g(x)有相同的定义域，导函数分别为 y=∫'(x,y=g'x,若在定义域内均有'(x)≤g'(x,则称y=f(x)是y=gx的“G函数” 7/8 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)判断y=-x3-x是否为y=cosx的“G函数”，并说明理由； (2)已知函数y=f(x)和y=gx)都是定义在R上的偶函数，且y=f(x)是y=gx)的“G函 数”，证明：gx)-f(x=c(c为常数)； (同诺子a<h号多=-a+4列g=ek-3>0,证明函数=是函数 y=gx)的G”函数 专题04 导数及其应用（5大考点，29题） 5大考点概览 考点01导数的计算 考点02导数的概念和几何意义 考点03利用导数研究函数的单调性 考点04利用导数研究函数的极值和最值 考点05导数的综合应用 1．（2026·上海金山·二模）已知是数列的前项和，且，且．若，则__________．导数的计算 考点1 【答案】 【详解】因为， ， ， ， . 所以. 设， 则. 所以， 所以. 2．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知直线是曲线在处的切线，则的斜率为________． 【答案】 【分析】根据函数导数求出函数在某点处切线斜率即可. 【详解】由，所以， 所以曲线在处的切线斜率为：. 3．（2026·上海松江·模拟预测）若，则__________. 【答案】 【详解】将原式左右两侧同时求导，得， 令，则. 4．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为_______. 【答案】 【详解】由题设，， 所以函数在点处的切线方程为，即. 导数的概念和几何意义 考点2 一、单选题 5．（2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（   ） A．函数的零点的个数一定是3个 B．若集合的解集是，则实数对有2对 C．函数必存在极值 D．函数在处的切线方程为，则 【答案】B 【详解】A：当时，，若当或时，零点个数不为3，所以A错. B：若满足条件，则在处为零，且在时， 由，得，即或， 当时，，为满足条件，， 当时，同理可得， 当时不满足题意， 所以实数对有对：和，B对. C：求导，，接着判断， 把判别式看作关于的函数，则，， 当时，，，所以有两个零点，有极值， 当时，， 此时当，，有两个零点，有极值， 当，，恒成立，函数在定义域上单调递增， 所以当取值时，，无极值，所以C错. D：在处的切线方程为， 求导 ， 得， 得或，D错. 6．（2026·上海长宁·二模）已知. ①存在，使得函数在上严格增； ②对于任意，直线与曲线都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是函数的极值点. 对于以上两个结论，下列判断正确的是（    ） A．①正确，②错误； B．①错误，②正确； C．①正确，②正确； D．①错误，②错误. 【答案】C 【分析】利用导数的正负分析单调性，利用导数的几何意义来求切线斜率即可得到判断. 【详解】对求导得： 因为，对，的最小值为， 若取，则，即对任意恒成立， 此时在上严格递增，结论①正确； 设直线与曲线的切点为, 切线斜率等于直线斜率:， 代入导数得， 因为,故，得, 切点同时在曲线和直线上：， 得,同时满足的解为， 对任意，都有无数个这样的切点，因此直线恒与曲线相切且有无数切点， 当时，， 所以每个切点的横坐标都不是函数的极值点，故结论②正确. 二、填空题 7．（2026·上海嘉定·二模）将函数，的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角得到曲线C．若对于每一个角，曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为______． 【答案】 【详解】由函数，，知. 因为在上单调递增，所以. 由题可知，当函数旋转后得到的函数在点处的导数小于零， 即曲线在处的切线的斜率小于零， 即曲线在处的切线的倾斜角大于时，曲线上存在某点处的切线的倾斜角等于. 此时，会出现一个对应两个值的情形，曲线C不再是一个函数的图象. 所以的最大值为. 8．（2026·上海杨浦·二模）掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为______.（精确到0.1°）. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程，利用已知点坐标结合已知条件，求出的范围；对抛物线方程求导得到斜率表达式，结合条件得到，进而求出即可. 【详解】 以最高点为坐标原点，以水平向右为轴正方向，以竖直向下为轴正方向，建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为. 则，. 由题意得，即，所以，取. 又，则. 易知为锐角，所以， 所以. 故出手角度的最大值为. 9．（2026·上海徐汇·二模）若函数在处的切线方程为，则__________. 【答案】 【详解】根据导数的定义，函数在处的导数为：， 根据导数的几何意义，就是函数在该点处切线的斜率， 因为在处的切线方程为，所以切线斜率为， 所以. 三、解答题 10．（2026·上海静安·二模）已知函数（且）． (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； (3)若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围． 【答案】(1)极大值，无极小值 (2)，切点坐标为 (3)的取值范围 【分析】（1）求导找单调性变化点，进而确定极值； （2）先求导得到切线斜率公式，再根据 “切点在曲线、切线上，且切线斜率等于导数” 列三个方程，联立消元求解，试根得到切点横坐标，最终算出和切点坐标； （3）将两函数交点问题转化为方程根的问题，用导数分析函数单调性，再根据零点存在性求参数范围． 【详解】（1）当时，，的定义域为， ， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以在处取极大值，无极小值． （2）， 设切点为，切线的斜率为，所以①， 因为切点同时在曲线和切线上，所以②， 由①得③，由②得④， ③④得⑤， 将⑤代入②中得，即⑥， 设，， 令， 由，得，单调递增， 又， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 又， 所以是的唯一零点， 即方程⑥的根，代入⑤得，切点坐标为． （3）令，即，整理得， 问题转化为在有个不同正根， 令， ， 若，则，在单调递增，最多个零点，不符合题意， 若，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 要使有个不同零点，需满足极小值小于（当和时，满足题意）， 所以，解得， 所以的取值范围． 11．（2026·上海奉贤·二模）设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，． (1)若，，求； (2)求证：数列是严格递减数列； (3)若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)对于，当，；当，；当， 【分析】（1）根据导数的几何意义建立切线方程，直接代入即可. （2）根据切线方程构造递推公式作差，再通过零点与交点横坐标的关系化简即可证明. （3）先将条件作差，再将递推公式代入化简，构造函数，通过求导分析函数单调性，最后确定零点，可判断大小. 【详解】（1）已知，， 当，，设切线斜率为， 则，直线为， 令，. （2）设，，，，所以， ， 则直线为. 令，则. ， 因为，且， 所以， 所以数列是严格递减数列. （3）当时，，，令， 则， 令. 所以. 构造函数，令，， 求导， 构造函数，，所以单调递增，且， 所以，所以函数在上单调递增， 当，， 根据零点存在定理，存在唯一的使得， 所以结合数列的单调递减性， 当，，此时； 当，，此时； 当，，此时. 利用导数研究函数的单调性 考点3 一、单选题 12．（2026·上海崇明·二模）已知函数，．定义集合对任意的，都有.对于所有使得的函数，有以下两个命题：①存在函数在处取极小值；②存在函数图像是连续曲线．下列判断正确的是（   ） A．①②都真 B．①真②假 C．①假②真 D．①②都假 【答案】A 【详解】根据题意可知集合为函数的非严格单调递增区间， 不妨令函数，易知, 因此当时，，当或时，， 可知在上单调递增，在和上单调递减， 此时函数满足在上单调递减，满足题意， 即存在函数在处取极小值，且是连续曲线，因此①②都真. 二、填空题 13．（2026·上海普陀·二模）设定义域为R的函数的导函数为，令，若函数和函数皆为偶函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【详解】若函数为偶函数，则为奇函数， 而为偶函数，则,即， ，故， 当时，，即函数在单调递减， 由为偶函数，则， 结合单调性可知，即，解得或, 故不等式的解集为. 14．（2026·上海闵行·二模）已知，若不等式的解集中有且仅有两个整数，则的最小值为______. 【答案】 【分析】先根据不等式结合符号法计算，再构造函数令，再应用导函数正负得出函数单调性进而得出最值，最后分类讨论结合有且仅有两个整数列式计算求解. 【详解】因为不等式， 则或， 即得(1)或(2)， 令，， 所以当单调递增；当单调递减； 所以， 因为，且，所以时，， 当时，(1)无解，(2)有两个整数解1和2，所以满足题意； 当时，(1)有一个整数解3，(2)有两个整数解1和2，所以时有三个整数解不满足题意； 当时，(1)有一个整数解3，(2)有一个整数解1，所以满足题意； 当时，(1)至少有两个解3和4，(2)至少有一个整数解1，所以时有至少三个整数解不满足题意； 当时，(1)整数解无限，(2)无解，所以时有无数个整数解不满足题意； 综上，符合解集中有且仅有两个整数，则的范围是， 所以的最小值为. 三、解答题 15．（2026·上海崇明·二模）函数，是减函数，即对于任意的，，当时，均有． (1)若，求实数a的取值范围； (2)是否存在函数是偶函数，且满足对所有成立？若存在，请举出一个满足条件的函数，若不存在，请说明理由； (3)设，已知函数是周期函数，求证：为常值函数． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数恒小于或等于即可得到取值范围； （2）结合单调性和奇偶性判断出为常值函数，进一步判断不恒成立； （3）根据周期函数性质构建出等式，根据的单调性得到应满足的性质，再结合正弦函数本身的性质进行推导，最后得到为常数 【详解】（1）为减函数，则即恒成立，所以. （2）因为为减函数，取任意实数，设，则有， 又为偶函数即有，可得， 同时根据单调性由可得，所以 即对任意实数成立，所以为常值函数，设， 则， 当时，不成立，所以不存在满足条件的函数. （3）设函数的正周期为即对任意都有， 因为，根据为减函数可知，所以， 那么有，因为， 所以即，于是可得，从而， 而为减函数，所以在上为常值函数，其中为任意实数， 所以在上为常值函数. 16．（2026·上海金山·二模）已知函数，其中． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，其中，若存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的单调性及函数的定义域列出不等式组求解即可； （2）求出函数导数，分类讨论，利用导数可得函数的单调性及极值，结合单调性及极值即可得解. 【详解】（1）由可得， 又为严格单调递增函数，且， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. （2）因为， 所以，， 由可得，， 当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，，故当或时，， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值， 此时，不存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点； 当时，，故当或时，， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值， 故的极小值，又当时，， 所以存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点. 综上，实数的取值范围. 17．（2026·上海·二模）设． (1)解不等式：； (2)设，若存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简，解一元二次不等式即可； （2）先求证的奇偶性和单调性，将问题转化为存在，使得，求一元二次函数的最小值即可. 【详解】（1）因为，， 所以，得， 故的解集为； （2），则， 因为关于原点对称，所以在上为奇函数， 易得， 因为，等号成立时，所以， 则在上单调递增， 若存在，使得， 则存在，使得， 则存在，使得，即， 因为函数图象关于对称，其在上的最小值为，则， 故实数a的取值范围为. 18．（2026·上海松江·模拟预测）若函数在区间上满足，则称函数为在区间上的绝对值上界函数. 设定义在上的函数、的导数为､. (1)判断函数是不是函数在区间上的绝对值上界函数，并说明理由； (2)若函数为在上的绝对值上界函数，求证：对任意，都有； (3)若函数为在上的绝对值上界函数，实数满足，确定在时的大小关系（､分别表示函数的最小值和最大值） 【答案】(1)是，证明见解析 (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）通过构造函数证明在上即可得到结论； （2）将原不等式转化为两个不等式，构造两个辅助函数并求导，结合绝对值上界函数的定义判断它们的单调性，最后利用单调性导出结论； （3）先判断出在上单调不减，然后根据最值信息得到在和时均为常数，再利用和的约束关系得到此时也为常数，对于时的情况，则通过构造和的差，并利用其单调性以及端点值相等得到其为常数，综合所有情况即可得结论. 【详解】（1）在上，，设，求导得， 当时，，故，故在上单调递增，因此， 即，满足定义，所以是在该区间上的绝对值上界函数. （2）成立， 等价于和同时成立， 设，，由题设可知即， 由此可得，，所以和在上都单调不减， 所以，有，则， 也即成立， 整理得， 同理也即成立， 整理得，于是原不等式得证. （3）结论：，，证明如下： 由题设可知，，因此，在上单调不减， 那么当时，但是，所以即为常数， 所以，又根据，必有，所以； 当时，但是，所以即为常数，同理可得； 当时，利用（2）中构造的，因为单调不减， 又，， 所以也即在上恒成立， 综上所述，，. 【点睛】这一类题目通常利用构造函数寻找突破口，需要时刻注意原函数和导数之间的对应关系. 利用导数研究函数的极值和最值 考点4 一、单选题 19．（2026·上海杨浦·二模）已知函数和的定义域都为且都存在导函数.若和的零点均有且仅有，且当时恒有，则下列情形中不可能的是（    ）. A．0是的极大值点，也是的极大值点 B．0是的极小值点，也是的极小值点 C．0是的极大值点，也是的极小值点 D．0是的极小值点，也是的极大值点 【答案】D 【详解】 对A，若取，，两个函数的零点只有，时恒有，且是两个函数的极大值点，故A可能； 对B，若取，，两个函数的零点只有，时，且是两个函数的极小值点，故B可能； 对C，，，两个函数的零点只有，时，且是的极大值点，也是的极小值点，故C可能； 对D， 若是的极小值点，结合且只有是零点，可知对任意，； 又若是的极大值点，结合且只有是零点，可知对任意，； 此时必有，即，与题设时不符，故D不可能. 二、填空题 20．（2026·上海黄浦·二模）如图所示，某圆形游乐园的半径为140米，其圆心在点A处，游乐园内有一圆形广场，其半径为20米，圆心在与点A相距60米的点B处，游客中心位于圆形广场的边界线与A，B连线的交点O处．现打算在游乐园的边界线与圆形广场的边界线上各选一点C，D，在这两处各建一座游乐设施（其占地大小忽略不计），将的内部区域作为游客的休闲区并使其面积最大，则此最大面积为______． 【答案】平方米 【分析】过点作，垂足为，则.记点到直线的距离为，则点到直线的距离的最大值为.以为坐标原点直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，设直线的方程为，根据点到直线的距离公式，将的面积表示为的函数，利用导数分析其单调性，并求得最大值. 【详解】由题意知，，，，， 所以. 过点作，垂足为，则. 记点到直线的距离为，则点到直线的距离的最大值为. 如图所示，以为坐标原点，直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则. 易知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则，， 所以. 的最大面积为. 由圆的对称性，不妨令. 设，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递减. 令，得， 即，化简得. 因为，所以，所以. 所以当时，，；当时，，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. 所以的最大面积为平方米. 二、解答题 21．（2026·上海闵行·二模）已知. (1)当时，解方程； (2)若函数在上有唯一的极值点，求的取值范围，并判断这个极值点是极大值点还是极小值点. 【答案】(1)方程的解集为 (2)，极值点为极大值点. 【分析】（1）利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的性质即可求出； （2）先对进行求导，令并求导即可求出的取值范围. 【详解】（1）当时，， 令，得，即，，解得, 故方程的解集为. （2）由题意得， 在区间上，，， 令，则， 在上单调递增，且， 若函数在上有唯一的极值点，则在该区间有唯一解， 即有唯一解，故的取值范围为， 设为该极值点， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以极值点为极大值点. 22．（2026·上海黄浦·二模）已知． (1)求函数的最小正周期与单调增区间； (2)将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：①图象关于点对称；②有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为，单调增区间为 (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式和正弦型函数的单调性可求得答案； （2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，根据函数满足条件①以及的范围可得出的值，再根据函数满足条件②可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）因为， 所以函数的最小正周期为， 由，可得， 所以函数的单调增区间为． （2）由（1）知， 将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象， 所以， 由的图象关于点对称，可得， 所以，解得， 又，可知，故， 当时，， 由②知，解得， 故的取值范围是． 23．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知，． (1)若函数是定义在R上的奇函数，求常数的值； (2)若，求函数在的极值． 【答案】(1) (2)极大值，极小值． 【详解】（1）函数， 因为是定义在上的奇函数， 所以，即， 化简可得，因为，解得， 代入可得， ，为奇函数. （2），， 令， ， 所以， 令，即， ，解得和， 因为当，，单调递增， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 所以当时，的极大值为， 当时，的极小值为. 24．（2026·上海黄浦·二模）对于公共定义域为D的函数与，定义集合． (1)若，，求； (2)若，，且，求的最小值； (3)已知是定义在上的增函数，其图像是连续曲线，且存在正数，使得．若，，且，求证：． 【答案】(1)． (2)． (3)证明见详解． 【分析】（1）先求出 的解析式，再转化为二次函数值域问题求解. （2）由题设可知函数 的值域为非负实数集，从而其最小值为 ，再据此构造极值点并结合基本不等式求最小值. （3）法一：由 得 ．取 ，构造 ，证明其为常量，从而得到 ．再结合单调性与连续性，求出 ，进而求得 . 法二：由 得 ．再分正整数、零、负整数三种情况迭代，证明 ．结合单调递增与图像连续，得到 ，从而求得 . 法三：先由 推出 ．再对正整数、负整数分别迭代，得到对任意 ，都有 ．最后结合连续性与单调性确定 的值域，进而求得 . 【详解】（1）由题意，. 因为 ，所以 . 当 时，等号成立．故 =. （2）令 . 由题设可知， 的值域为非负实数集，从而其最小值为 . 设 时取到最小值，则 ，且 ， 因为所以. 又由 ，得即. 从而. 由 可得故 令 ，则当且仅当 时，等号成立. 此时 ，由 得 ，于是 ，又 ，故 ．所以 的最小值为 . （3）法一：由 可知，对任意 ，都有. 而所以.       (1) 已知存在正数 ，使得. 对任意整数 ，令. 由式（1）可得即. 所以 为常量，即对任意 ，都有. 于是.     (2) 下面证明 . 先证 对任意 都成立． 任取 ，必存在 ，使. 因为 在 上为增函数，所以. 故对任意 ，都有．    (3) 再由式（2）知且. 由于 的图像是连续曲线，且 在 上单调递增，因此 的值域为． 又因为所以 当 取遍 时， 也取遍 ． 故. 法二： 由 可知，对任意 ，都有. 而所以．    (1) 已知存在正数 ，使得. 先证明：对任意整数 ，都有．  (2) 当 时，由式（1）反复应用可得. 当 时，显然. 当 时，设 （），则由式（1）得, 故. 反复使用上式可得. 所以式（2）对任意整数都成立． 由式（2）知且. 又因为 在 上单调递增，且图像连续，所以. 由 ，可得. 于是. 法三： 由 可知，对任意 ，都有. 而所以．  (1) 已知存在正数 ，使得. 由式（1）对正整数 反复迭代，可得. 从而. 同理，对负整数部分可得, 于是对任意 ，都有．  (2) 由式（2）知且. 又因为 在 上连续且单调递增，所以. 再由可得. 故. 25．（2026·上海嘉定·二模）已知在神经网络中，常作为神经元激活函数． (1)证明：对任意实数x，有，并由此写出图像的对称中心； (2)设交叉熵损失函数，用于衡量预测值与真实标签t之间的差异，其中．试确定t的值，使得在上是减函数； (3)在深度神经网络中，信号经过多层传播可抽象为一个迭代过程．设数列满足，其中n为正整数．证明：存在唯一实数，使得，且对任意实数和任意正整数n，都有． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）利用中心对称性恒等式进行证明即可； （2）利用求导，结合不等式恒成立可确定参数取值； （3）利用拉格朗日中值定理，构造递推数列关系，结合迭代法可证明不等式. 【详解】（1）由​，得 ​，求和可得：， 则对任意实数x，有， 即图像的对称中心为： ； （2）由题意可得： ， 求导得：， 要使得在上是减函数，则， 因为，所以，即， 又因为，所以； （3）构造，， 则， 所以在上单调递减， 又因为，， 且在上连续递减，结合零点存在定理， 可知存在唯一实数，使得， 再由，当且仅当时取等号， 根据拉格朗日中值定理，对任意有：， 又因为，，所以对任意，恒有不等式成立， 则由迭代法，结合不等式性质可得： ， 因为，即，， 所以， 因此，即问题得证. 26．（2026·上海长宁·二模）设函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为. (1)设，，若，求实数的值； (2)设，，若，且，求的值； (3)已知，，且对任意闭区间，与均存在. 求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.” 【答案】(1) (2)或或 (3)证明见解析 【分析】（1）讨论在区间上的单调性，则可找到其最小值，即可求出答案； （2）讨论，，，分别求出，即可求出答案； （3）必要性直接证明即可，利用反证法再证明充分性. 【详解】（1）由题意知函数，在区间上的最小值为， 由题意得， ①当时，恒成立， 在区间上单调递增，无最小值，不满足题意； ②当时，当时，， 在区间上单调递减， 当时，， 此时在区间上单调递增， 此时，满足题意； ③当时，恒成立， 在区间上单调递减，无最小值，不满足题意； 综上所述，. （2）由题意得, 当或时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又， ①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 此时， 因为，所以， 又在区间上单调递减，即， 所以，故； ②当时，在区间上单调递减， 此时，满足； ③当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时， 因为，在区间上单调递减， 所以，则，得到，解得， 综上所述：或或. （3）必要性：若在区间上严格增， 设， 因为在区间上严格增， 所以， 又，， 所以，又在区间上严格增， 所以，必要性成立； 充分性：假设在上不严格增， 则存在，使得， 令，设，， 由函数在区间连续， 所以必存在，使得， 令，则，， 由于，函数在区间上不可能是严格增函数， 若函数在区间上为常数，可取， 则，与题设矛盾；若函数在区间上不为常数， 则其最大值与最小值不可能同时在两个端点取到， 故是的真子集，即与题设矛盾. 因此假设不成立，在上严格增，充分性成立. 综上所述：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、， 当，且时，均有.” 27．（2026·上海普陀·二模）已知p、q为实数，设函数的最小值为，函数的最小值为，若且，则称函数和函数是T函数. (1)设函数的表达式为，函数的表达式为，请判断函数和函数是否为T函数，并说明理由； (2)设a、b为正实数，函数的表达式为，函数的表达式为()，若函数和函数不是T函数，求的最小值； (3)设k、t、a为实数，函数的表达式为()，函数的表达式为，若存在，对任意的，皆有成立，且函数和函数是T函数，求k的取值范围. 【答案】(1)函数和函数为T函数，理由见解析； (2)； (3) 【分析】（1）根据T函数的定义判断； （2）由T函数的定义求得，然后由基本不等式求得最小值； （3）先求得和的最小值和最小值点，根据题意得出，， 然后消去得关于的等式，构造函数使用同构法得出，，再利用导数求得的范围． 【详解】（1），， ，， ，且， 所以函数和函数的最小值相等，且最小值点均不相同，因此它们为T函数； （2），， 因为， 所以，当且仅当，即时等号成立， 函数和函数不是T函数， 所以，即， 又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是； （3）是减函数，又，所以， ，， 是上的增函数， 依题意，存在，使得①且②， 由①得，代入②得， 整理得，即③， 设，则③式为， 易知是增函数，所以，，， 设， 则，时，，递增，时，，递减， 所以，又， 所以的取值范围是， 所以的取值范围是． 导数的综合应用 考点5 28．（2026·上海徐汇·二模）已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和.若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数. (1)设.求证：是的“2-调整函数”； (2)设.若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围； (3)已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合.若，判断是否一定是常值函数，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不一定，举出反例即可 【分析】（1）对分别求导，并根据是的“k-调整函数”的定义判断即可； （2）对分别求导，根据是的“k-调整函数”的定义，得恒成立，时显然成立；当时，设，利用导数，分和两种情况分析，可得.并分析此时时，满足题意，即可确定的取值范围； （3）对题意所述函数举出实例说明不一定是常值函数即可. 【详解】（1）因为， 所以. 所以 所以是的“2-调整函数”； （2）由，得. 由于是的“调整函数”，那么存在常数，使得恒成立， 即，即. 因为存在实数，满足上式，所以，即. 1)若，则成立； 2)若，则，所以，且. 设，则在单调递增. 当时，因为， 所以存在，当时，，单调递增， 所以当时，，不满足题意； 当时，，，所以，在上单调递减， 所以恒成立. 3)当时，对，恒成立. 综上，调整系数的取值范围是. （3）不一定是常值函数. 例：令，， ，. 此时函数的值域是一个闭区间，为集合，函数的值域为集合，满足. 又，满足对任意实数恒成立，即满足是的“调整函数”， 此时不是常值函数. 29．（25-26高三下·上海青浦·期中）函数 和 有相同的定义域，导函数分别为 ， ，若在定义域内均有 ，则称 是 的“ 函数”. (1)判断 是否为 的“ 函数”，并说明理由； (2)已知函数 和 都是定义在 上的偶函数，且 是 的“ 函数”，证明： （ 为常数）； (3)若 ，证明函数 是函数 的“”函数. 【答案】(1)是，理由见解析. (2)证明见解析. (3)证明见解析 【分析】（1）求出两个函数的导数，根据它们的有界性可证是的“函数”； （2）根据“ 函数”的定义可得，再结合偶函数的性质又可得，据此可得； （3）利用虚设零点判断最值符号可证明 是函数 的“”函数. 【详解】（1） 即, 是的“函数”. （2）设,则. 是的“函数”, ,即. 已知和都是定义在上的偶函数， 两边同乘，得到 由且，得到，即. ,得证. （3）， 令， 故， 令, 在上单调递增， , 根据零点存在定理，可知存在使得即. 当时，单调递减， 当时，单调递增. 由，得，且， 代入上式得 因为，故，而，故， 而，故，所以即恒成立. 故是函数的“函数”. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $