专题03 函数（5大考点,42题）（上海专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题03 函数（5大考点,42题） 5大考点概览 考点01函数及其性质 考点02函数的新定义 考点03函数的基本性 考点04指对幂函数 考点05函数的应用 一、单选题函数及其性质 考点1 1．（2026·上海松江·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转弧度后，所得曲线仍然是某个函数的图象，那么称函数为“旋转函数”.若函数为“旋转函数”，则a的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】等价转化为的任意函数值有且仅有一个自变量与之对应，分类讨论参数并结合对勾函数的性质分析性质，即可得. 【详解】因为函数为“旋转函数”，且定义域为， 旋转后曲线仍是某个函数图象，意味着这个函数对于任意一个横坐标，至多只有一个与之对应， 由于旋转了整个曲线，等价于原始曲线在旋转后没有两个点具有相同的坐标， 所以关于的方程对任意的至多只有一个解， 所以方程至多只有一个解， 即曲线与直线至多只有一个交点， 只需的任意函数值有且仅有一个自变量与之对应（单射函数）， 当时，在，上都单调递增，且值域都为R， 此时与恒有两个交点，不合题意； 当时，在，上都单调递增，值域分别为，， 此时与至多有一个交点，符合题意； 当时，， 若时，则， 当且仅当，即时取等号， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若时，则， 当且仅当，即时取等号， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时与的交点可能有个，不合题意， 综上. 二、填空题 2．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知集合 ，集合 ，则 _______. 【答案】 【详解】因为集合 ，集合 ，所以 3．（2026·上海嘉定·二模）将函数，的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角得到曲线C．若对于每一个角，曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为______． 【答案】 【详解】由函数，，知. 因为在上单调递增，所以. 由题可知，当函数旋转后得到的函数在点处的导数小于零， 即曲线在处的切线的斜率小于零， 即曲线在处的切线的倾斜角大于时，曲线上存在某点处的切线的倾斜角等于. 此时，会出现一个对应两个值的情形，曲线C不再是一个函数的图象. 所以的最大值为. 4．（2026·上海静安·二模）设，函数，给出下列三个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，，则． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②③ 【分析】对①：结合的单调性，令即可得反例；对②：利用函数性质判断的单调性，则可求出各段的上界，再令计算即可得；对③：分及进行讨论，当时，利用点到直线的距离公式计算即可得解；当时，计算出即可得解. 【详解】对①：若，即时，有， 则在区间上单调递增，故①错误； 对②：由， 则当时，单调递增，当时，单调递增， 当时，单调递减，当时，单调递减， 则时，，当时，， 当时，， 要使得存在最大值，则，解得，故②正确； 对③：由题意可得，若，则在上， 则， 由，则； 若，则， 有，故； 综上可得：恒成立，故③正确. 5．（2026·上海普陀·二模）已知向量，，，函数的表达式为，设，若，则______. 【答案】 【分析】由题意可得，分、和三种情况分别求解即可. 【详解】因为， 又因为，且， 所以， 整理得， 当时，， 则有，解得，满足题意； 当时，， 则有，解得，不满足题意； 当时，， 则有，解得，不满足题意； 综上，. 6．（2026·上海长宁·二模）已知集合，，则______. 【答案】 【详解】集合，，则. 7．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知，若，则实数a的值为________． 【答案】 【详解】若，则，解得 若，则，解得，不满足 综上 8．（25-26高三下·上海宝山·期中）若函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为______. 【答案】1 【分析】利用函数奇偶性分析求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以且， 当时，， 所以，解得：， 所以当时，，所以. 三、解答题 9．（2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，． (1)，求的值； (2)若，，依次成等比数列，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，得， 则. （2）由，，， 因成等比数列，故， 即，得； 若，，依次成等比数列，则； 所以，，又，故，此时，，依次 为，符合题意； 综上，. 一、单选题函数新定义 考点2 10．（2026·上海·二模）设和是两个不同的函数，且定义域和值域均为，设，则对于以下两个结论，说法正确的是（   ） 结论①：若当，恒有，则函数一定是偶函数； 结论②：若当，恒有，则函数可以不是偶函数． A．①和②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②都错误 【答案】B 【分析】对于结论①，利用反证法假设存在，找到满足，引出矛盾即可证明正确；对于结论②，采用类似的分析找到满足，利用推出，再利用推出，引出矛盾即可证明错误. 【详解】对于结论①，若函数不是偶函数，则存在， 不妨设（否则用取代），因为和值域均为， 则存在使得，此时有， 根据，依题意有，这与矛盾， 故函数一定是偶函数，结论①正确； 对于结论②，若函数不是偶函数，则存在， 不妨设（否则用取代），因为和值域均为， 则存在使得，此时， 依题意，由有，即，所以， 而可推出即，与矛盾， 故函数一定是偶函数，结论②错误. 【点睛】本题采用了反证法证明奇偶性，通过灵活利用已知条件得到矛盾的结果，并利用了两个实数之间总能找到一个实数这一结论. 11．（25-26高三下·上海浦东新·期中）定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．则下列说法正确的是（   ） A．存在函数为函数 B．若函数为函数，且当时函数在上是严格增函数，则函数在上是严格增函数 C．若函数为函数，且在处取得最小值，则 D．若函数为函数，且恒成立，则为周期函数 【答案】D 【分析】利用定义计算可得 A；举出反例可得B、C；利用定义计算可得，，再利用可得的值，最后利用周期性定义即可得D. 【详解】对A：存在一个非零常数，使得对任意，都有成立， 则，整理得， 则有且恒成立，由，则由可得， 此时有，则，矛盾，故不存在这样的非零常数，故A错误； 对B：假设，当时，， 且函数为定义在上的函数，则在上是严格增函数， 但，不满足在上严格递增，故B错误； 对C：假设，当时，， 且函数为定义在上的函数，则， 当时，， 即对任意整数，都有， 当时， ， 故当时，， 故满足在处取得最小值，但，故C错误； 对D：由题意可得， ， 因为为非常值函数，所以存在使得， 由恒成立，可得和对任意正整数成立， 若或，则当足够大时，上述不等式至少有一个不成立， 故必有，即或， 若，则，则为周期函数，且周期为； 若，则， 故， 则为周期函数，且周期为； 综上可得为周期函数，故D正确. 12．（25-26高三下·上海浦东新·期中）对定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．现有以下两个命题：①若函数为函数，则，且；②既存在严格增的函数，也存在严格减的函数．则下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】D 【分析】利用正弦函数的周期性和有界性分析等式恒成立的条件，并构造函数结合函数单调性进行判断. 【详解】命题①，若是函数，根据定义得， 展开整理得对任意恒成立，因此系数必全为. ，由得，因此. 当时，； 当时，，得，这也满足条件，例如时， 成立. 命题①只给出，遗漏了的情况，因此①是假命题. 命题②，构造指数函数， 验证函数条件，只需满足， 取，则，是严格增函数， 且，满足函数定义，存在严格增的函数； 取，则，是严格减函数， 且，满足函数定义，存在严格减的函数. 因此②是真命题. 综上，①假②真. 13．（2026·上海崇明·二模）已知函数，．定义集合对任意的，都有.对于所有使得的函数，有以下两个命题：①存在函数在处取极小值；②存在函数图像是连续曲线．下列判断正确的是（   ） A．①②都真 B．①真②假 C．①假②真 D．①②都假 【答案】A 【详解】根据题意可知集合为函数的非严格单调递增区间， 不妨令函数，易知, 因此当时，，当或时，， 可知在上单调递增，在和上单调递减， 此时函数满足在上单调递减，满足题意， 即存在函数在处取极小值，且是连续曲线，因此①②都真. 二、解答题 14．（25-26高三下·上海浦东新·期中）对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记． (1)若，判断函数是否属于集合，并求的值； (2)若，且，求函数的解析式； (3)若，令．证明：是单调函数的充要条件是：对任意，恒成立． 【答案】(1)函数属于集合， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先求出在上的最大值和最小值，再计算； （2）因为，所以对任意，有且结合 ，通过不等式推导确定的解析式； （3）充分性：分别假设单调递增、单调递减进行证明； 必要性：假设不单调，推出矛盾，从而证明单调. 【详解】（1）任取，， 又，所以函数属于集合 易知在上严格单调递减 故最大值，最小值 因此 （2）取，则 又，所以； 取，则 又，所以 综上，所以 （3）必要性：若单调递增，则对任意，，在定义域上单调递增， 所以； 若单调递减，则对任意，，在定义域上单调递增， 所以 必要性得证. 充分性：若不单调，则在存在极值点，导致，与题意矛盾，故是单调函数 充分性得证 函数的基本性质 考点3 一、单选题 15．（2026·上海黄浦·二模）设函数的定义域为R，则下列结论：①若是奇函数或偶函数，且在区间上严格增，则对任意的，或；②若对任意的，，则是奇函数或偶函数．其中正确的说法是（    ）． A．①和②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②均错误 【答案】B 【分析】对于①：根据函数奇偶性和单调性的性质分析判断；对于②：举反例说明即可. 【详解】对于①：若是奇函数且在区间上严格增， 则在区间上严格增，可知在定义域R上严格增， 因为，则，可得； 若是偶函数且在区间上严格增，且， 则，且，， 可得，所以； 综上所述：①正确； 对于②：例如， 可知对任意的，， 但，，所以既不是奇函数也不是偶函数， 故②错误. 16．（2026·上海崇明·二模）下列函数中，在上为严格增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，是定义在上的偶函数， 在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A不符合题意； 对于B，是定义在上的偶函数， 在区间上单调递减，在区间上单调递增，故B不符合题意； 对于C，是定义在上的周期函数， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，故C不符合题意； 对于D， 在上为严格增函数，故D符合题意. 17．（2026·上海闵行·二模）已知定义在上的偶函数在上是严格减函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】定义在上的偶函数在上是严格减函数， 若，则有，所以，解得 18．（2026·上海金山·二模）函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【详解】， ，故最小正周期为， 设，， 故为奇函数，故选项A正确. 二、填空题 19．（2026·上海普陀·二模）设定义域为R的函数的导函数为，令，若函数和函数皆为偶函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【详解】若函数为偶函数，则为奇函数， 而为偶函数，则,即， ，故， 当时，，即函数在单调递减， 由为偶函数，则， 结合单调性可知，即，解得或, 故不等式的解集为. 20．（2026·上海徐汇·二模）如图为一架农业无人机沿固定航线匀速飞行，并在某时刻向下喷洒农药的示意图.将种植坡面视为坡角为的平面，航线视为直线，无人机视为航线上的点，无人机在任意时刻喷洒农药的雾滴形成的形状均为以铅垂线为轴､母线与轴夹角为的圆锥及其内部.若无人机飞行的海拔高度恒定，航线与种植坡面平行且距离为3米，假设无人机飞行时农药喷洒不间断且不受风速影响；则飞行过程中会在种植坡面上形成一条宽为米的“农药条带”.当时，的最大值为__________.（结果精确到） 【答案】 【详解】 作垂直于无人机航线与平面的平面，与无人机航线交于点A,与平面交于直线BC， 线段BC的长为农药条带的宽度，BH为水平线 作于D，于H,由坡角为易得， 由题意得, 则，， 所以， ， 因为，所以，， . 21．（2026·上海奉贤·二模）已知函数是奇函数，则________． 【答案】 【详解】解：设， ， 又函数是奇函数， ，即，， ，， 解得． 22．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数为奇函数，则的值为__________. 【答案】 【分析】根据题意，得到，求得，再由，求得，即可求解. 【详解】由函数为奇函数，可得，即，解得， 又由，可得，即，解得， 当时，函数， 当时，，， 当时，，，且， 所以函数为奇函数，符合题意，所以. 23．（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 【答案】 【详解】当时，， ， 又定义在R上的偶函数，且最小正周期为2， ， ． 24．（2026·上海杨浦·二模）不等式的解集为______. 【答案】 【详解】令，定义域为， 函数和在上均为增函数， 所以函数在上为增函数， 又，则， 所以不等式的解集为. 三、解答题 25．（2026·上海徐汇·二模）已知函数，其中且. (1)设，写出函数的定义域，并判断是否存在正数，使得函数为奇函数，说明理由； (2)设.若关于的方程的解集为单元素集合，求正数的值. 【答案】(1)，； (2)或或 【分析】（1）由分母不等于解出定义域，由奇函数的定义域关于原点对称求出的值，再利用奇函数的定义检验即可； （2）令，则原命题可等价于方程的解集为单元素集合，分一元二次方程有两相等实根且不等于与一元二次方程有两不相等实根且有一个根等于，分别求出的值即可. 【详解】（1）由题意知：， 分母不等于得：， 解得：， 所以函数的定义域为， 要使函数为奇函数，则定义域关于原点对称， 则，解得， 当时，，定义域为， 此时，满足奇函数的定义， 所以存在正数，使得函数为奇函数. （2）由题意知：， 则等价于，其中且， 化简得：， 令，， 原命题等价于：的解集为单元素集合， ①方程有两相等实根，且不等于， 所以， 化简得：， 解得：， 验证根是否等于， 当时，根，满足题意， 当时，根，满足题意， ②方程有两不等实根，且其中一个根为， 则将代入方程：， 当时，此时方程为， 解得：（舍）或，满足题意. 综上所述：正数的取值为或或. 26．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知，． (1)若函数是定义在R上的奇函数，求常数的值； (2)若，求函数在的极值． 【答案】(1) (2)极大值，极小值． 【详解】（1）函数， 因为是定义在上的奇函数， 所以，即， 化简可得，因为，解得， 代入可得， ，为奇函数. （2），， 令， ， 所以， 令，即， ，解得和， 因为当，，单调递增， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 所以当时，的极大值为， 当时，的极小值为. 27．（2026·上海崇明·二模）函数，是减函数，即对于任意的，，当时，均有． (1)若，求实数a的取值范围； (2)是否存在函数是偶函数，且满足对所有成立？若存在，请举出一个满足条件的函数，若不存在，请说明理由； (3)设，已知函数是周期函数，求证：为常值函数． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数恒小于或等于即可得到取值范围； （2）结合单调性和奇偶性判断出为常值函数，进一步判断不恒成立； （3）根据周期函数性质构建出等式，根据的单调性得到应满足的性质，再结合正弦函数本身的性质进行推导，最后得到为常数 【详解】（1）为减函数，则即恒成立，所以. （2）因为为减函数，取任意实数，设，则有， 又为偶函数即有，可得， 同时根据单调性由可得，所以 即对任意实数成立，所以为常值函数，设， 则， 当时，不成立，所以不存在满足条件的函数. （3）设函数的正周期为即对任意都有， 因为，根据为减函数可知，所以， 那么有，因为， 所以即，于是可得，从而， 而为减函数，所以在上为常值函数，其中为任意实数， 所以在上为常值函数. 指对幂函数 考点4 一、单选题 28．（2026·上海徐汇·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】等价于，等价于， 可以推出，但无法推出，因为还存在这种可能性，所以“”是“”的充分不必要条件. 29．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知实数满足，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，可知，无法判断正负，所以选项A错误； 对于选项B，可知时，所以，所以选项B错误； 对于选项C，因为，所以， 可知，当且仅当，即时取等号，所以等号取不到， 所以，选项C正确； 对于选项D，当时，无法判断不等式是否成立，所以选项D错误； 二、填空题 30．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】由对数函数性质确定，，进而得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】当时，，所以函数的图象过定点， 所以，，代入得. 所以， 当且仅当时等号成立，即，时等号成立. 31．（2026·上海杨浦·二模）若幂函数的图像经过点，则实数______. 【答案】3 【详解】代入，即，解得. 32．（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______. 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义求出参数，再利用已知函数值求出幂指数得到完整解析式，最后代入计算得到的值. 【详解】已知，且是幂函数： 根据幂函数的定义，可得，解得； 将条件代入得，解得，即函数解析式为； 将代入解析式得. 三、解答题 33．（2026·上海金山·二模）已知函数，其中． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，其中，若存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的单调性及函数的定义域列出不等式组求解即可； （2）求出函数导数，分类讨论，利用导数可得函数的单调性及极值，结合单调性及极值即可得解. 【详解】（1）由可得， 又为严格单调递增函数，且， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. （2）因为， 所以，， 由可得，， 当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，，故当或时，， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值， 此时，不存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点； 当时，，故当或时，， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值， 故的极小值，又当时，， 所以存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点. 综上，实数的取值范围. 34．（25-26高三下·上海宝山·期中）已知. (1)若，求的值； (2)当时恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时无解; 当时 【分析】（1）由直接代入结合对数函数单调性解得. （2）通过对底数分类讨论，利用对数函数单调性转化不等式，分离参数后求函数最值，再结合真数范围确定的取值 【详解】（1）已知，. 由，代入得：. 因为，所以，即， 得，解得. （2）由 得 . 当 时, 单调递增, 不等式等价于 , 且真数 . 即 , 且 对 恒成立. 由 得 . 结合 得 . 故 且 对 恒成立. 令 , . 令 ,由 ,得 ,且 . 于是. 这是关于 的二次函数,开口向下,对称轴为. 对称轴 在区间 的左侧,因此函数 在 上单调递减。 又 在 上单调递增,根据“同增异减”可得 在 上单调递减. 所以 , . 故 又 对一切 恒成立. 则需大于 在 上最大值即 . 因为 与 不能同时成立. 故 时无解. 当 时, 单调递减，不等式等价于 , 且真数 . 即 , 且 对 恒成立. 由 得 或 . 结合 , 只需 恒成立. 故 对 恒成立. 由上述分析知 在 上最大值为 , 所以 . 又需 对 恒成立, 即 , 右边最大值为 , 所以 ,结合 得 . 综上所述, 的取值范围是 . 35．（2026·上海长宁·二模）已知（其中，）. (1)若函数的图象过点，求不等式的解集； (2)若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入点坐标后求得函数的解析式，根据其单调性和定义域解不等式即可； （2）先根据等差数列得方程有两个不同的实数根，且两根都大于，进而对讨论，结合二次函数根的分布理论可得. 【详解】（1）将代入，可得，得， 故，该对数函数为定义在上的减函数， 故由可得，解得， 故不等式的解集为 （2）由已知可得， 即，故， 整理可得，故，得， 由题意可知方程有两个不同的实数根，且两根都大于， 设， 当时，，即函数在区间上有两个零点， 故，解得， 当时，，即函数在区间上有两个零点， 故，不等式无解， 综上可得实数的取值范围为 36．（2026·上海杨浦·二模）设函数的定义域为D，值域.若且满足，则称与构成“函数的线性对”. (1)若，判断与π是否构成函数的线性对，并说明理由； (2)若，.若对于任意（常数），都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围； (3)函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对.求证：对任意，. 【答案】(1)是，理由见解析； (2)； (3)证明见解析 【分析】利用赋值即可求证； 利用分离变量求值域，即可求得参数范围； 利用恒等式变形，结合值域分析，即可得证. 【详解】（1）因为，， 所以，满足值域且， 即与π是构成函数的线性对； （2）由题意，，需满足， 代入 ​整理得： ， 因为，所以要求， 又，故，由等式可得：， 对任意都存在满足条件的，故， 所以的取值范围； （3）由是上的奇函数，可得，； 则，即是线性对， 由是线性对，则也是线性对，可得也是线性对， 所以有， 因为定义在上，所以通过迭代可得：， 又由题设大前提，的值域， 若值域内存在正数，必存在，使得， 此时，而，显然， 即值域内不存在正数； 若值域内存在负数，必存在，使得， 此时，而，显然， 即值域不存在负数， 因此对任意，，问题得证. 函数的应用 考点5 一、单选题 37．（2026·上海普陀·二模）设x、y、，若，则下列结论中不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在同一坐标系中作出的图象，利用函数零点思想，结合图象逐一判断即得. 【详解】如图在同一坐标系中分别作出函数的图象， 依题意直线与三个函数都有交点，设交点的横坐标依次为， 则需判断这些交点的横坐标之间有怎样的大小关系. 由图知，有三种不同的情况：当直线在①位置时，显然有：； 当直线在②位置时，显然有：； 当直线在③位置时，显然有：，故D错误. 38．（2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（   ） A．函数的零点的个数一定是3个 B．若集合的解集是，则实数对有2对 C．函数必存在极值 D．函数在处的切线方程为，则 【答案】B 【详解】A：当时，，若当或时，零点个数不为3，所以A错. B：若满足条件，则在处为零，且在时， 由，得，即或， 当时，，为满足条件，， 当时，同理可得， 当时不满足题意， 所以实数对有对：和，B对. C：求导，，接着判断， 把判别式看作关于的函数，则，， 当时，，，所以有两个零点，有极值， 当时，， 此时当，，有两个零点，有极值， 当，，恒成立，函数在定义域上单调递增， 所以当取值时，，无极值，所以C错. D：在处的切线方程为， 求导 ， 得， 得或，D错. 二、填空题 39．（2026·上海嘉定·二模）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______ 【答案】 【详解】由，得或， 由函数有三个不同的零点，得方程有两个不等的非零根， 则，解得且， 所以实数a的取值范围是. 40．（2026·上海徐汇·二模）函数的零点是__________. 【答案】0 【详解】令，即，解得， 所以函数的零点是0. 三、解答题 41．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知函数，其中 . (1)若，求的值； (2)若方程在区间上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围及的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先化简函数，代入得到，根据角的范围及函数值的大小确定，然后凑角求出的值；（2）换元转化为函数与直线恰有两个不同的零点，根据图象得到的范围，根据对称轴得到 的值. 【详解】（1） ， ，， 所以，，可得， 所以， 则 （2）因为，，令， 函数与直线在区间上恰有两个不同的零点， 在区间的图象特征： 函数与直线恰有两个不同的交点，所以， 即在区间和各有一个交点，且关于对称， ，即，可得. 42．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数的表达式为. (1)若将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像关于直线对称，求的最小值； (2)若函数在区间上恰有2个极值点和2个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式，结合平移变换和三角函数的对称性即可求解； （2）利用相位整体思想，分析正弦函数的极值点和零点情况，即可确定动区间的范围，从而可求得参数范围. 【详解】（1）由， 当函数右移个单位得，则 ， 由关于对称，可得： ， 整理得：，又，取得最小正数， 即的最小值为； （2）由（1）可得：， 当，令， 再由的零点满足：或，， 不妨取，可得两个正数零点是或，依次增大的第三个正数零点是， 再由的极值点满足：，， 同理可得两个正数极值点是，依次增大的第三个正数极值点是， 所以函数在区间上恰有2个极值点和2个零点， 即满足在内取到，，，，不能取到和， 则， 即所求实数m的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03函数(5大考点，42题) ☆5大考点概览 考点01函数及其性质 考点02函数的新定义 考点03函数的基本性 考点04指对幂函数 考点05函数的应用 考点1 函数及其性质 一、单选题 1.（2026上海松江·模拟预测)在平面直角坐标系中，如果将函数y=f(x的图象绕坐标原点逆时针旋转 弧度后，所得曲线仍然是某个函数的图象，那么称函数y=f(x)为“α旋转函数”若函数y=ar-上为交旋 转函数”，则a的值为() A.-1 B.0 C.1 D.2 二、填空题 2.(25-26高三下.上海青浦期中)已知集合A={0,1,2,3}，集合B=(-1,1，则AnB=· 3.(2026上海嘉定·二模)将函数y=x2,x∈[0,1]的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角0(0≤0≤)得到曲 线C.若对于每一个角O,曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为 x+2,x<-a 4.(2026上海静安·二模)设a>0,函数f(x)= Va2-x2,-a≤x≤a,给出下列三个结论： -x-I,x>a ①y=f(x在区间(a-1,+∞)上单调递减： ②当a≥1时，y=f(x)存在最大值： ③设Mx,fx(x≤a,N(x2,f(x)(x2>a,则MN>1. 其中所有正确结论的序号是 5.(2026上海普陀二模)己知向量a=(1,2),i=(-1,1),c=(3,4,函数y=f(x)的表达式为 -,到-++2小，苏对，周=— 1/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(2026上海长宁二模)已知集合A={1,2,3)，B=(2,+0),则A∩B= (1 7.(25-26高三下·上海浦东新期中)已知f(x)= Jx3,x<0 ，若f(a)=-2,则实数a的值为 x+1,x≥0 8.(25-26高三下·上海宝山期中)若函数y=fx是定义在R上的奇函数，且当x≥0时， f(x)=x2-2x+a(a∈R),则f(-1)的值为 三、解答题 9.(2026上海奉贤二模)已期函数y=1八y的表达式为f=s加(x+9,（<9<引 fo=求f4的值 2若2 f1),f(2)依次成等比数列，求9的值. 考点2 函数新定义 一、单选题 10.(2026上海·二模)设y=∫(x和y=gx)是两个不同的函数，且定义域和值域均为R,设 M=(a,b)f(a)》gb),a,b∈R,则对于以下两个结论，说法正确的是() 结论①：若当(a,b∈M,恒有(-a,b)∈M,则函数y=f(x一定是偶函数； 结论②：若当(a,b∈M,恒有-a,-b)eM,则函数y=gx可以不是偶函数. A.①和②都正确B.①正确，②错误C.①错误，②正确D.①和②都错误 11.(25-26高三下·上海浦东新·期中)定义在R上的非常值函数y=∫(x,若存在一个非零常数T,使得对 任意x∈R,都有f(x+T)=T·f(x成立，那么称函数y=∫x为T函数.则下列说法正确的是() A.存在函数y=kx+b(k≠0)为T函数 B.若函数y=f(x为T函数，且当T>1时函数在[0，T)上是严格增函数，则函数y=fx在[0，+0）上 是严格增函数 C.若函数y=f(x为T函数，且在x=0处取得最小值，则0<T<1 D.若函数y=f(x为T函数，且f(x≤1恒成立，则y=fx)为周期函数 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(25-26高三下·上海浦东新期中)对定义在R上的非常值函数y=∫x),若存在一个非零常数T，使得 对任意x∈R,都有f(x+T)=T·f(x)成立，那么称函数y=f(x为T函数.现有以下两个命题：①若函数 y=sin(ox+p)(o≠0)为T函数，则o=2kπ，keZ,且k≠0；②既存在严格增的T函数，也存在严格减的T 函数.则下列判断正确的是() A.①是真命题，②是真命题 B.①是假命题，②是假命题 C.①是真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是真命题 13.(2026上海崇明·二模)己知函数y=∫x,x∈R.定义集合M={x对任意的x>,都有 f(x)≤f(x)}.对于所有使得M=[-1,2的函数y=f(x),有以下两个命题：①存在函数y=f(x)在x=-2处 取极小值；②存在函数y=∫(x)图像是连续曲线.下列判断正确的是() A.①②都真B.①真②假 C.①假②真 D.①②都假 二、解答题 14.(25-26高三下·上海浦东新·期中)对于定义在区间D上的函数y=fx),定义集合 2={f(x)f(x)-f八x≤k-x,x,x2∈D.对任意闭区间ID,设函数y=f(x在区间I上的最大值 为M1,最小值为M2,记M(f,I)=M,-M2 若/八-xD-0,别断函数=y是否局于集合，并求M/Q,小的值： (2)若D=[0,,f(x)∈2，且f(0)=0,f1=1,求函数y=f(x的解析式： (3)若D=[0,+o),f(xe2,令g(x)=M(f,[0,x).证明：y=f(x是单调函数的充要条件是：对任意 0<<x2,gx2)-g（x)=Mf,[x,x]恒成立. 考点3 函数的基本性质 一、单选题 15.(2026上海黄浦二模)设函数y=∫x的定义域为R,则下列结论：①若y=∫(x是奇函数或偶函数， 且在区间[0，+0）上严格增，则对任意的x,x2∈R,f(x)>f(x2)→x>x或x>x;②若对任意的 3/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x,,eR,x=x号→[f(x)门了=[f(x,],则y=f(x)是奇函数或偶函数.其中正确的说法是(). A.①和②均正确B.①正确，②错误C.①错误，②正确D.①和②均错误 16.(2026上海崇明·二模)下列函数中，在R上为严格增函数的是() A.y=x2 B.y=x C.y=sinx D.y=x3 17.(2026上海闵行·二模)已知定义在R上的偶函数y=f(x)在[0，+0)上是严格减函数，若 fx-1)>f1),则x的取值范围为() A.(0,2) B.（-2,2 C.（-2,0 D.（-1,1 18.(226上海金=模)函数)=ca任-2是（) A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数 C.最小正周期为”的奇函数 D.最小正周期为”的偶函数 二、填空题 19.(2026上海普陀二模)设定义域为R的函数y=∫x的导函数为y=∫'x,令 g()=f(x)+x+V2+,若函数y=x)和函数y=gx)皆为偶函数，则不等式fx+2)>(2x-3)的 解集为 20.(2026上海徐汇·二模)如图为一架农业无人机沿固定航线匀速飞行，并在某时刻向下喷洒农药的示意 图将种植坡面视为坡角为Θ的平面，航线视为直线，无人机视为航线上的点，无人机在任意时刻喷洒农药 的雾滴形成的形状均为以铅垂线为轴、母线与轴夹角为45的圆锥及其内部若无人机飞行的海拔高度恒定， 航线与种植坡面平行且距离为3米，假设无人机飞行时农药喷洒不间断且不受风速影响；则飞行过程中会 在种植坡面上形成一条宽为L(0)米的“农药条带”当0°≤0≤15°时，L(9)的最大值为 (结果精 确到0.01) 航线无人机 种植坡面/ a xx-b),x≥0 21.(2026上海奉贤·二模)已知函数y= x(bc+1,x<0是奇函数，则b: 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3x-a,x≥0 22.(2026上海松江模拟预测)已知函数f(x) 为奇函数，则a+b的值为 b ,x<0 3 23.(2026上海静安·二模)己知定义在R上的偶函数y=fx)的最小正周期为2，当0≤x≤1时，f(x)=x ,则当7≤x≤8时，f(x= 24.(2026上海杨浦·二模)不等式3+10g2x<3的解集为 三、解答题 25.(2026上海徐汇二模)已知函数y=f,其中f)-2a-1+8,aeR且a>0. a-g(x) (1)设gx)=2”,写出函数y=f(x)的定义域，并判断是否存在正数a,使得函数y=f(x)为奇函数，说明 理由； (2)设gx)=logx.若关于x的方程f(x)=g(x)的解集为单元素集合，求正数a的值. 26.(25-26高三下.上海浦东新期中)已知f(x)=V3sinx+2cos(x+p),0e[0,π. (1)若函数y=f(x是定义在R上的奇函数，求常数p的值； ②若p=行求函数y=f八国+5在xe0,网的极值。 27.(2026上海崇明二模)函数y=f(x),x∈R是减函数，即对于任意的X,x2∈R,当x1<x2时，均有 fx)≥f(x2). (I)若f(x=-x3+ax,求实数a的取值范围： (2)是否存在函数y=∫(x)是偶函数，且满足f(∫(x)=x对所有x∈R成立？若存在，请举出一个满足条件的 函数，若不存在，请说明理由： (3)设gx)=sinx,已知函数h(x=fx+gx是周期函数，求证：f(x为常值函数. 考点4 指对幂函数 一、单选题 28.(2026上海徐汇·二模)已知a、beR,则“na>lnb”是“e-b>1“的() 5/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 29.(25-26高三下，上海浦东新·期中)已知实数a,b,c满足a>b>1>c,则下列结论一定正确的是() A.ac>bc B.b<1 C.l0g。b+log6a>2 D.a+cxb 二、填空题 30.(2026上海松江模拟预测)已知函数y=log (x+2)+1(a>0且a≠1)的图像过定点(s,t),正实数mn 满足1-m5=1,则上+3的最小值为 m n 31.(2026上海杨浦·二模)若幂函数y=x的图像经过点5,35)，则实数a= 32.(2026上海闵行二模)已知f(x=(m-1)x“,若y=f(x是幂函数，且f3)=27,则f(m)= 三、解答题 33.(2026上海金山二模)已知函数y=f(x,其中fx=lnx. (1)若f1-m)-f(3-m2）<0,求实数m的取值范围； (2若g(x=ar-1-a+1-a+fx),其中a>0,若存在b<0,使得直线y=b与函数y=gx)的图像有 3个不同的交点，求实数a的取值范围， 34.(25-26高三下上海宝山期中)已知f(x=l0gx,gx=2log(2x+t-2),a>0,a≠1，t∈R) (1)若f1=g2),求t的值； (2)当x∈L,4时f(x)≥gx)恒成立，求t的取值范围. 35.(2026上海长宁.二模)已知f(x=l0g。x(其中a>0,a≠1) (1)若函数y=f(x的图象过点(2，-1)，求不等式f(2x-1)>f(x+1)的解集： (2)若恰有两个不同的实数x,使得f(x),f(x-m),f(4)成等差数列，求实数m的取值范围， 36.(2026上海杨浦·二模)设函数y=f(x)的定义域为D,值域A[-1,1].若x,x2∈D且满足 f(x)+∫(x2)=f(x1+x2,则称x与x3构成“函数y=f(x的线性对” 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (①)若f(x)=cosx,判断与元是否构成函数y=f(x的线性对，并说明理由： 1 ②若f=2-2,D=-,0)若对于任意∈(-，a)（常数a≤0)，都存在∈D,使得x与6构成函 数y=∫(x的线性对，求a的取值范围； (3)函数y=∫(x)是定义在R上的奇函数，且满足：若X与x构成函数y=∫(x)的线性对，则x与-七2也构 成函数y=f(x)的线性对.求证：对任意x∈R,f(x)=0 考点5 函数的应用 、单选题 37.(2026上海普陀二模)设x八、z∈R,若10=yi=1og,2,则下列结论中不可能成立的是（） A.y<x<Z B.x<y<z C.x<z<y D.z<y<x 38.(2026上海奉贤·二模)已知函数y=f(x)的表达式为f(x)=(x-1(x-a(x-b),xeR,则下列命题 正确的是() A.函数y=fx)的零点的个数一定是3个 B.若集合A={xf(x)≥0的解集是[0，+o),则实数对(a,b)有2对 C.函数y=f(x)必存在极值 D.函数y=f(x在(b,0)处的切线方程为y=0,则b=1 二、填空题 39.（2026上海嘉定·二模)已知函数y=x3+x2+ax有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 40.（2026上海徐汇二模)函数y=2-1的零点是 三、解答题 .25-26高三者浦期中刊）已知函数E/G，中xm2,02 求cos2x的值： L2 (2)若方程∫(x)=“在区间(0,7二上恰有两个不同的零点x,x,求实数a的取值范围及5+x,的值 7/8 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 42.（206上海松江模拟预测)已知函数y=川的表达式为f女=5 sin2x+cosx 2 (①)若将函数y=fx)的图像向右平移(p>0)个单位长度，得到函数y=g(x的图像关于直线x=亚对称， 求？的最小值： (②若函数y=f升到在区间(m上恰有2个极值点和2个零点，求实数m的取值范围