专题02 等式与不等式（4大考点）（上海专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题02 等式与不等式（4大考点） 4大考点概览 考点01不等式的性质 考点02一元二次不等式 考点03其他不等式 考点04基本不等式求最值 不等式的性质 考点1 1．(25-26高三·上海杨浦区·二模)设，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，B，D，若，可设，此时，故A不符合题意； 此时，，得到，故B不符合题意； 此时，得到，故D不符合题意； 对于C，因为在上单调递增， 所以，一定有成立，故C符合题意. 2．(25-26高三·上海奉贤区·二模)已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质、差比较法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由，可得，又，所以，故A错误； 由，所以，故，故B错误； ， 因为，所以，则，故C错误； 由，可得，又，所以，故D正确. 故选：D 3．(25-26高三下·上海浦东新区·期中)已知实数满足，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，可知，无法判断正负，所以选项A错误； 对于选项B，可知时，所以，所以选项B错误； 对于选项C，因为，所以， 可知，当且仅当，即时取等号，所以等号取不到， 所以，选项C正确； 对于选项D，当时，无法判断不等式是否成立，所以选项D错误； 4．(25-26高三·上海松江区·二模)若实数满足，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于ABC，当时，满足，此时，，故A错误，B错误，C错误； 对于D，因为，故D正确. 一元二次不等式 考点2 一、单选题 5．(25-26高三·上海静安区·调研)已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由解得或，即集合， 由可得，解得，即集合； 所以. 三、填空题 6．(25-26高三·上海黄浦区·二模)若，，则______． 【答案】 【分析】解不等式化简集合B，进而可求交集. 【详解】由题意可知：集合， 且集合，所以. 7．(25-26高三·上海普陀区·二模)设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______. 【答案】 【分析】将分式不等式化为等价的二次不等式，根据“三个二次”的关系求解. 【详解】由不等式可得，等价于， 因为原不等式的解集是，所以是方程的两根， 所以，解得. 8．(25-26高三·上海普陀区·二模)设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 【答案】或 【分析】由题意得出是一元集，然后按的正负或0分类讨论求解． 【详解】由题意的子集恰有2个，所以是一元集， 若，则，而，满足题意， 若，则，，此时，不合题意； 若，则，，只含一个元素，则， 综上，的取值范围是或． 9．(25-26高三下·上海闵行区·调研)设，不等式的解集是______. 【答案】 【分析】由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为，即， 令， 解得， 所以的解集为. 即不等式的解集是. 三、解答题 10．(25-26高三·上海宝山区·期中)已知. (1)若，求的值； (2)当时恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时无解; 当时 【分析】（1）由直接代入结合对数函数单调性解得. （2）通过对底数分类讨论，利用对数函数单调性转化不等式，分离参数后求函数最值，再结合真数范围确定的取值 【详解】（1）已知，. 由，代入得：. 因为，所以，即， 得，解得. （2）由 得 . 当 时, 单调递增, 不等式等价于 , 且真数 . 即 , 且 对 恒成立. 由 得 . 结合 得 . 故 且 对 恒成立. 令 , . 令 ,由 ,得 ,且 . 于是. 这是关于 的二次函数,开口向下,对称轴为. 对称轴 在区间 的左侧,因此函数 在 上单调递减。 又 在 上单调递增,根据“同增异减”可得 在 上单调递减. 所以 , . 故 又 对一切 恒成立. 则需大于 在 上最大值即 . 因为 与 不能同时成立. 故 时无解. 当 时, 单调递减，不等式等价于 , 且真数 . 即 , 且 对 恒成立. 由 得 或 . 结合 , 只需 恒成立. 故 对 恒成立. 由上述分析知 在 上最大值为 , 所以 . 又需 对 恒成立, 即 , 右边最大值为 , 所以 ,结合 得 . 综上所述, 的取值范围是 . 11．(25-26高三·上海虹口区·二模)设． (1)解不等式：； (2)设，若存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简，解一元二次不等式即可； （2）先求证的奇偶性和单调性，将问题转化为存在，使得，求一元二次函数的最小值即可. 【详解】（1）因为，， 所以，得， 故的解集为； （2），则， 因为关于原点对称，所以在上为奇函数， 易得， 因为，等号成立时，所以， 则在上单调递增， 若存在，使得， 则存在，使得， 则存在，使得，即， 因为函数图象关于对称，其在上的最小值为，则， 故实数a的取值范围为. 其他不等式 考点3 12．(25-26高三·上海嘉定区·二模)解不等式，则不等式的解集是___________ 【答案】 【分析】根据题意，将分式不等式转化为一元二次不等式，即可求解. 【详解】根据题意，由，得，即，解得，故解集为. 故答案为：. 13．(25-26高三·上海徐汇区·二模)不等式的解集为__________. 【答案】/ 【详解】因为，所以，即，所以解集为 14．(25-26高三·上海虹口区·二模)设全集为，集合，则________． 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法，可求得集合A，即可得答案. 【详解】由，得，解得或， 又，所以，则. 一、单选题基本不等式求最值 考点4 15．(25-26高三下·上海闵行区·调研)若平面直角坐标系中的点到轴与轴的距离之和为1，现有以下两个命题： ①存在点到轴与轴的距离之差为1； ②存在点到轴与轴的距离之积为1. 则以下选项正确的是（    ） A．①不正确，②不正确 B．①正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确 【答案】C 【详解】设，则， 对于①，当时，，故，满足点到轴与轴的距离之差为1，①正确； 对于②，由基本不等式可得，即，故，②错误. 二、填空题 16．(25-26高三·上海松江区·二模)已知函数且的图像过定点，正实数m､n满足n，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】由对数函数性质确定，，进而得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】当时，，所以函数的图象过定点， 所以，，代入得. 所以， 当且仅当时等号成立，即，时等号成立. 17．(25-26高三·上海金山区·二模)已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 【答案】16 【分析】先根据韦达定理得出，再应用常数代换及基本不等式计算求解最小值. 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的正根、， 则，所以， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，此时，符合题意， 所以当时，取的最小值16. 18．(25-26高三·上海长宁区·二模)已知正实数a、b满足，则的最小值等于____________． 【答案】4 【分析】直接利用基本不等式计算得到答案. 【详解】，当，即，时等号成立， 则的最小值为4． 故答案为：4． 19．(25-26高三·上海虹口区·二模)已知焦点为F的抛物线上有两点A和B，且，E为A和B的中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H，则的最小值为________． 【答案】 【分析】设，，根据中位线定理以及抛物线定义可得，在中，由余弦定理以及基本不等式可得，即可求得的最小值． 【详解】设，，作垂直抛物线的准线于点，垂直抛物线的准线于点. 由抛物线的定义，知，，根据中位线定理以及抛物线定义可得， 由余弦定理得，又， ∴，当且仅当时，等号成立， ∴， ∴，即的最小值为. 20．(25-26高三·上海宝山区·二模)设，则的最小值为____________． 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，得 ，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故答案为：4 21．(25-26高三·上海崇明区·二模)若，，且，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 22．(25-26高三·上海杨浦区·二模)设正实数满足，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为正实数满足， 可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 三、解答题 23．(25-26高三·上海普陀区·二模)已知p、q为实数，设函数的最小值为，函数的最小值为，若且，则称函数和函数是T函数. (1)设函数的表达式为，函数的表达式为，请判断函数和函数是否为T函数，并说明理由； (2)设a、b为正实数，函数的表达式为，函数的表达式为()，若函数和函数不是T函数，求的最小值； (3)设k、t、a为实数，函数的表达式为()，函数的表达式为，若存在，对任意的，皆有成立，且函数和函数是T函数，求k的取值范围. 【答案】(1)函数和函数为T函数，理由见解析； (2)； (3) 【分析】（1）根据T函数的定义判断； （2）由T函数的定义求得，然后由基本不等式求得最小值； （3）先求得和的最小值和最小值点，根据题意得出，， 然后消去得关于的等式，构造函数使用同构法得出，，再利用导数求得的范围． 【详解】（1），， ，， ，且， 所以函数和函数的最小值相等，且最小值点均不相同，因此它们为T函数； （2），， 因为， 所以，当且仅当，即时等号成立， 函数和函数不是T函数， 所以，即， 又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是； （3）是减函数，又，所以， ，， 是上的增函数， 依题意，存在，使得①且②， 由①得，代入②得， 整理得，即③， 设，则③式为， 易知是增函数，所以，，， 设， 则，时，，递增，时，，递减， 所以，又， 所以的取值范围是， 所以的取值范围是． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02等式与不等式（4大考点) ☆4大考点概览 考点01不等式的性质 考点02一元二次不等式 考点03其他不等式 考点04基本不等式求最值 考点1 不等式的性质 1.(25-26高三·上海杨浦区·二模)设a>b,下列不等式中恒成立的是() A.11 B.a2>b2 C.a'>b D.la> a b 2.(25-26高三·上海奉贤区·二模)已知a>b>0>c,则下列不等式成立的是() A.esc B.a a b C. b-c b D.2+h<2+a a-c a a b 3.(25-26高三下·上海浦东新区·期中)已知实数a,b,c满足a>b>1>c,则下列结论一定正确的是() A.ac bc B.b<1 C.log。b+log6a>2 D.a+cxb 4.(25-26高三·上海松江区·二模)若实数a、b满足a2>b2,则下列不等式恒成立的是() A.axb>0 B.ax0>b C.ax D.la> 考点2 一元二次不等式 一、单选题 5.55流三上海静安以调到已知集合4=到--6=0,8=女牛>0，则4价8=《 A.{-2,3 B.（-3,1 C.{3 D.{-2 三、填空题 6.(25-26高三上海黄浦区·二模)若A=[-1,1,B={x2-2x≤0}，则A∩B=· 1/4 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(25-26高三上海普陀区二模)设a∈R,若关于x的不等式a≤1的解集是-0,1U[2,+o,则a的值 x-1 为 8.(25-26高三·上海普陀区二模)设aeR,集合M={-l,-2,-a,N={xx2-ax≤0}，若集合 As(M∩N),且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为 9.(25-26高三下.上海闵行区调研)设xeR,不等式x2-4x<0的解集是 三、解答题 10.(25-26高三上海宝山区期中)已知f(x=l0gx,gx=21og.(2x+1-2),a>0,a≠1,1eR) (1)若∫1=g2),求t的值； (2)当x∈[1,4时fx)≥g(x)恒成立，求t的取值范围 11.(25-26高三·上海虹口区·二模)设f(x=e-e. (1)解不等式：f(lnx)<2; (2)设g(x)=f(x)+sin2x,若存在xe[-2,2],使得g(x)+gx2+a>0,求实数a的取值范围. 考点3 其他不等式 12.(25-26高三上海嘉定区二模)解不等式>1，则不等式的解集是 1 13.(25-26高三上海徐汇区二模)不等式x-2>0的解集为 14.2s-26商三上海虹n区二模设全集为=-2，-101,2，集合4{，二220reU则7- 考点4 基本不等式求最值 一、单选题 15.(25-26高三下·上海闵行区·调研)若平面直角坐标系x0y中的点P到x轴与y轴的距离之和为1，现有以 下两个命题： ①存在点P到x轴与y轴的距离之差为1； 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②存在点P到x轴与y轴的距离之积为1. 则以下选项正确的是() A.①不正确，②不正确 B.①正确，②正确 C.①正确，②不正确 D.①不正确，②正确 二、填空题 16.(25-26高三·上海松江区二模)已知函数y=log（x+2)+1(a>0且a≠1)的图像过定点(s,),正实数m 、n满足1-m5=1,则上+3的最小值为 m n 17.(25-26高三·上海金山区·二模)已知关于x的一元二次方程x2-x+a=0有两个不相等的正根m、n,则 上+？的最小值为 m n 18.(25-26高三·上海长宁区·二模)已知正实数a、b满足ab=1,则a+4b的最小值等于 19.(25-26高三·上海虹口区·二模)己知焦点为F的抛物线C:y2=4x上有两点A和B,且∠AFB=150°，E为 且和B的中点，过点E作C的雅线的垂线，垂足为H,则的最小值为 20.2526商三上海宝区二模设a,b>0,a+方=1，则2b+。的最小值为 21.(25-26高三·上海崇明区·二模)若x>0,y>0,且xy=1,则x+2y的最小值为 22.(25-26高三·上海杨浦区·二模)设正实数a,b满足a+b=3,则a2+b2的最小值为 三、解答题 23.(25-26高三·上海普陀区·二模)已知p、q为实数，设函数y=∫(x)的最小值为f(p),函数y=g(x)的 最小值为gq),若∫(p)=g(q且p≠9，则称函数y=f(x)和函数y=gx是T函数 (I)设函数y=f(x的表达式为f(x)=sinx,函数y=g(x)的表达式为gx)=cosx,请判断函数y=∫(x)和 函数y=gx)是否为T函数，并说明理由； (2)设a、b为正实数，函数y=f(x)的表达式为f(x=x2+2(a-1x+a2-2a+7,函数y=gx)的表达式为 8=加+品：>0)，若函数y=八和函数y=不是T函数，深。+力的最小值： (3)设k、t、a为实数，函数y=f(x的表达式为f(x)=-e+-2kt(x≤0)，函数y=gx)的表达式为 3/4 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 gx=(x-2)lnx-ax-2,若存在t∈(1，e2),对任意的x∈(0，+o),皆有gx)≥g(t)成立，且函数y=f(x) 和函数y=gx)是T函数，求k的取值范围.