专题01 集合与常用逻辑用语（4大考点,29题）（上海专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题01 集合与常用逻辑用语（4大考点,29题） 4大考点概览 考点01集合的运算 考点02集合新定义 考点03集合的含义与表示 考点04常用逻辑用语 集合的运算 考点1 一、单选题 1．(25-26高三·上海静安区·调研)已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由解得或，即集合， 由可得，解得，即集合； 所以. 二、填空题 2．(25-26高三·上海长宁区·调研)已知集合，，则______. 【答案】 【详解】集合，，则. 3．(25-26高三·上海青浦区·期中)已知集合 ，集合 ，则 _______. 【答案】 【详解】因为集合 ，集合 ，所以 4．(25-26高三下·上海浦东新区·期中)已知全集，集合，则________． 【答案】 【详解】，，. 5．(25-26高三·上海黄浦区·二模)若，，则______． 【答案】 【分析】解不等式化简集合B，进而可求交集. 【详解】由题意可知：集合， 且集合，所以. 6．(25-26高三下·上海闵行区·调研)已知集合，则______. 【答案】 【分析】利用交集的定义求解. 【详解】集合，则 7．(25-26高三·上海杨浦区·二模)设全集，，用列举法表示______. 【答案】 【分析】由集合的补集运算结合集合的表示法即可求解. 【详解】由题意得，则. 8．(25-26高三·上海普陀区·二模)设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 【答案】或 【分析】由题意得出是一元集，然后按的正负或0分类讨论求解． 【详解】由题意的子集恰有2个，所以是一元集， 若，则，而，满足题意， 若，则，，此时，不合题意； 若，则，，只含一个元素，则， 综上，的取值范围是或． 9．(25-26高三·上海虹口区·二模)设全集为，集合，则________． 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法，可求得集合A，即可得答案. 【详解】由，得，解得或， 又，所以，则. 10．(25-26高三·上海宝山区·期中)已知集合，则__________. 【答案】 【详解】因为集合，所以. 11．已知集合，，则等于________． 【答案】 【详解】试题分析： 考点：集合运算 【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合． 2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 12．(25-26高三·上海松江区·二模)集合，，则________. 【答案】 【分析】根据交集的概念运算. 【详解】由题意得，. 故答案为： 集合的新定义 考点2 一、单选题 13．(25-26高三·上海徐汇区·二模)设. 定义点的相伴集合为且，其中为正实数. 给出以下两个命题： ①若，则其相伴集合所对应平面图形的面积为2； ②设，若对任意实数及任意，集合所对应平面图形与抛物线均无公共点，则. 则正确的选项是（    ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】D 【分析】对于①，先判断出相伴集合的对应平面图形为正方形，即可得到面积；对于②，根据无交点的限制得出正方形的点应满足，然后对不同的自变量范围分类讨论，综合得到的范围，进而得到的范围. 【详解】根据定义点的相伴集合即为以为中心的边长为的正方形， 若，则其相伴集合对应平面图形的面积为，①是假命题； 集合对应一系列正方形，它们与抛物线即均无公共点， 则意味着这些正方形都在抛物线下方即正方形内的点均满足，对每一个正方形内的点， 有，则需满足，有， 设，在上的最小值记为， 当时，，此时应有， 设，则，不等式变为即， 令，则，所以； 当时，，此时应有，以为变量， 的最大值为，所以； 当时，，此时应有， 设，则，不等式变为即， 令，则，所以， 综上所述，要使对任意实数及任意均满足无交点条件，则，②是真命题. 二、填空题 14．(25-26高三·上海黄浦区·二模)在空间直角坐标系中，将点集所表示的立方体的表面满足的部分记为S，同时满足“”与“或”的点P的集合所表示几何体的体积为______． 【答案】 【分析】首先判断出为正方体的四个侧面和下底面，然后得到“”表示的几何体为正方体的外接球，满足条件的点即为从点出发的不超过和球面的线段上的点，将它们分为射向上底面和其它五个面两个部分，相加即可得到所求几何体体积. 【详解】点集表示的是以原点为中心的边长为2的正方体， 为满足的部分即除去了后剩余的部分，也就是除了上底面以外的五个面， 条件“”表示点在以原点为球心的半径为的球体内，因为， 所以这个球刚好也是正方体的外接球，即为线段， 条件“或”表示线段与要么没有交点，要么交点就是， 考虑从点出发的线段，射向上底面的线可以到达球面，这一部分构成个球体， 射向包含的五个面可以到达正方体的表面，这一部分构成五个四棱锥，每个四棱锥都是正方体的， 所以所求几何体的体积为. 15．(25-26高三下·上海浦东新区·期中)已知集合M的元素均为正整数，定义集合M的“变项和”为：将M中每个元素m都乘以后再求和．若集合，则集合A的所有非空子集的“变项和”的总和为______． 【答案】 【分析】根据题意，将中所有非空子集分类考虑，将所有非空子集中的含有1的总个数确定好，从而可求其和，同理求得含有的部分的和，问题即可解决. 【详解】， 中所有非空子集含有1的有2026类： 单元素集合只有含有1，即1出现了次； 双元素集合含有1的有，即1出现了次； 三元素集合中含有1的有，即1出现了次， …… 有2026个元素的集合中含有1的有，1出现了次； 1共出现， 同理都出现次， 的所有非空子集中，这些和的总和是 . 16．(25-26高三·上海宝山区·期中)已知集合，当且时，都有，若满足条件的集合至少有100个，则正整数的最小值是__________. 【答案】12 【分析】设表示集合中，满足要求的集合的个数，得到，从而求出答案. 【详解】设，，当且时，都有， 设表示集合中，满足要求的集合的个数， 若中无，则有个集合满足要求， 若中有，要想满足要求，则中无，，故有个集合满足要求， 所以， 当时，，故，即， 当时，，故，即， 当时，，故，即， 故，， ，， ，， ，， ， 故正整数的最小值为12. 三、解答题 17．(25-26高三下·上海浦东新区·期中)对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记． (1)若，判断函数是否属于集合，并求的值； (2)若，且，求函数的解析式； (3)若，令．证明：是单调函数的充要条件是：对任意，恒成立． 【答案】(1)函数属于集合， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先求出在上的最大值和最小值，再计算； （2）因为，所以对任意，有且结合 ，通过不等式推导确定的解析式； （3）充分性：分别假设单调递增、单调递减进行证明； 必要性：假设不单调，推出矛盾，从而证明单调. 【详解】（1）任取，， 又，所以函数属于集合 易知在上严格单调递减 故最大值，最小值 因此 （2）取，则 又，所以； 取，则 又，所以 综上，所以 （3）必要性：若单调递增，则对任意，，在定义域上单调递增， 所以； 若单调递减，则对任意，，在定义域上单调递增， 所以 必要性得证. 充分性：若不单调，则在存在极值点，导致，与题意矛盾，故是单调函数 充分性得证 集合的含义与表示 考点3 18．(25-26高三下·上海嘉定区·调研)已知集合，且，则___________． 【答案】 【详解】由题意可知，或，即或， 当时，集合，不满足集合元素互异性，舍去； 当时，集合，符合题意，所以. 19．(25-26高三·上海奉贤区·二模)已知集合，，若，则实数________． 【答案】 【详解】因为，所以或， 解得，或， 当时，，集合中的元素不满足互异性，舍去； 当时，，满足题意，故 常用逻辑用语 考点4 一、单选题 20．(25-26高三·上海徐汇区·二模)已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】等价于，等价于， 可以推出，但无法推出，因为还存在这种可能性，所以“”是“”的充分不必要条件. 21．(25-26高三下·上海浦东新区·期中)对定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．现有以下两个命题：①若函数为函数，则，且；②既存在严格增的函数，也存在严格减的函数．则下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】D 【分析】利用正弦函数的周期性和有界性分析等式恒成立的条件，并构造函数结合函数单调性进行判断. 【详解】命题①，若是函数，根据定义得， 展开整理得对任意恒成立，因此系数必全为. ，由得，因此. 当时，； 当时，，得，这也满足条件，例如时， 成立. 命题①只给出，遗漏了的情况，因此①是假命题. 命题②，构造指数函数， 验证函数条件，只需满足， 取，则，是严格增函数， 且，满足函数定义，存在严格增的函数； 取，则，是严格减函数， 且，满足函数定义，存在严格减的函数. 因此②是真命题. 综上，①假②真. 22．(25-26高三·上海嘉定区·二模)已知陈述句是的充分非必要条件.若集合满足，满足，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据充要条件和集合的包含关系可得. 【详解】因为是的充分非必要条件，所以成立时一定成立 所以x满足时，x一定满足，所以， 又成立时推不出成立，即x满足时x不一定满足，所以N不是M的子集. 故选：A 23．(25-26高三·上海普陀区·二模)已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据线面判断及线线位置关系结合必要非充分条件定义判断. 【详解】当直线l与平面相交，且交点不在直线m上时，满足“l与m不相交”， 但“”不成立，故充分性不成立； 若，则与无交点，所以“l与m不相交”，故必要性成立； 所以“l与m不相交”是“”的必要非充分条件. 24．(25-26高三·上海长宁区·调研)对于随机事件、，，“”是“、互相独立”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】C 【分析】根据条件概率公式、独立事件的定义及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，又，所以， 从而有，所以、互相独立，充分性成立； 当、互相独立时，则，所以，必要性成立. 综上，“”是“、互相独立”的充要条件. 25．(25-26高三·上海黄浦区·二模)若a，b是空间中的两条直线，则“”是“存在平面，使，”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】根据空间中线、面关系结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，可知直线a，b是共面直线，则存在平面，使，，即充分性成立； 若存在平面，使，，则直线a，b可能相交，即必要性不成立； 综上所述：“”是“存在平面，使，”的充分非必要条件. 26．(25-26高三·上海普陀区·二模)在直角坐标平面中，方程表示的曲线称为“圆”.点是“圆”上的任意两点，为坐标原点.对如下两个命题： ①若点、，则的值不可能等于； ②若，则的取值范围为. 则下列结论中正确的是（   ） A．①为真②为真 B．①为真②为假 C．①为假②为真 D．①为假②为假 【答案】C 【分析】先根据方程可得曲线是由半个圆和半个椭圆组成的一条曲线，再对条件①判断，根据椭圆的定义及计算圆的一点到两个定点的距离和范围可得命题的真假；对条件②根据两点的位置关系分四种情况分别讨论可得所求式子的范围，进而可得结果. 【详解】因为方程等价于：或. 若，则，表示圆心在原点，半径为的左半个圆； 若，则，表示长半轴为，短半轴为的右半个椭圆；如图： 对于①，若点在右半个椭圆上，点、是椭圆的焦点， 根据椭圆的定义：，所以在右半个椭圆上不存在点满足； 若点在左半个圆上，点、是圆的一条直径的两个端点， 设，则 所以， 因为，所以，，， 即，而，所以存在点满足； 所以命题①为假命题. 对于②，若点在左半个圆上，； 若点在右半个椭圆上，则，因为， 所以，即. 下面对的位置分四种情况讨论： （i）若都在左半个圆上时，， 所以； （ii）若在左半个圆上，在右半个椭圆上时，， 所以，即； （iii）若在左半个圆上，在右半个椭圆上时，， 所以，即； （iv）若都在右半个椭圆上时，设， 且，因为，所以， 即，. 所以，， 所以 ， 又因为，两边平方得， ，化简整理得， 所以. 综上所述，的取值范围为，故②正确； 27．(25-26高三·上海宝山区·二模)在中，均为锐角，设甲：；乙：是钝角三角形，则甲是乙的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】举反例否定充分性，利用正弦定理并结合题意证明必要性即可. 【详解】对于充分性，设，，显然满足甲， 此时，不是钝角三角形，故充分性不成立； 对于必要性，若是钝角三角形，则，则， 由正弦定理可知，则必要性成立， 即甲是乙的必要不充分条件，故C正确. 故选：C 二、填空题 28．(25-26高三·上海虹口区·二模)设，，若是的必要条件，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【详解】由得，得， 因为是的必要条件，所以，得， 故实数m的取值范围是. 29．(25-26高三·上海金山区·二模)设若是的充分条件,则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】由题意得出，由此可得出实数的取值范围. 【详解】，，若是的充分条件，，则. 因此，实数的取值范围是. 故答案为. 【点睛】本题考查利用充分条件求参数，一般转化为集合的包含关系求解，考查运算求解能力，属于基础题. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01集合与常用逻辑用语(4大考点，29题) ☆4大烤点概览 考点01集合的运算 考点02集合新定义 考点03集合的含义与表示 考点04常用逻辑用语 考点1 集合的运算 一、单选题 1.心20高三上海痘安区调阴已红案合4=-6=0,8=20 2>0,则AnB=(. A.{-2,3 B.（-3,1 C.3 D.{-2 二、填空题 2.(25-26高三上海长宁区调研)已知集合A=(1,2,3到，B=(2,+0),则AnB= 3.(25-26高三上海青浦区期中)已知集合A={0,1,2,3}，集合B=(-1,1)，则AnB= 4.(25-26高三下·上海浦东新区·期中)已知全集U=(0,+0),集合A=[2,+0),则uA=。 5.(25-26高三上海黄浦区二模)若A=[-1,1小，B={x2-2x≤0，则4nB= 6.(25-26高三下上海闵行区调研)已知集合A=1,2,3,4,B={3,45,6，则A∩B=一 7.(25-26高三·上海杨浦区二模)设全集U={x1≤x≤6，x∈Z,B={1,2,用列举法表示B= 8.(25-26高三·上海普陀区·二模)设aeR,集合M={-1,-2,-a,N={xx2-ax≤0，若集合 Ac(M∩N),且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为 9.0526商三上满虹口区=南设全集为U=-2-1012,集合4-220reU,则7 10.(25-26高三·上海宝山区·期中)已知集合A={0,3,B={0,4,则AUB= 11.已知集合A={xx0,B={-1,0,1,2,则AnB等于 12.(25-26高三·上海松江区二模)集合A={2,4,6,8,10,B=-1,6),则A∩B= 1/4 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点2 集合的新定义 一、单选题 1 13.(25-26高三·上海徐汇区二模)设m∈R.定义点Pm,m-1的t-相伴集合为A,={(x,川x-≤t且 其中t为正实数.给出以下两个命题： ①若m=0,则其1-相伴集合Ap1所对应平面图形的面积为2： ②设。>0，若对任意实数m及任意1≤t。,集合Ap,所对应平面图形与抛物线x2=2y均无公共点，则 7 t人12 则正确的选项是() A.①是真命题，②是真命题 B.①是假命题，②是假命题 C.①是真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是真命题 二、填空题 14.(25-26高三·上海黄浦区·二模)在空间直角坐标系0-z中，将点集{(x,,z≤1，y川≤1，≤1所表示的 立方体的表面满足z<1的部分记为S,同时满足“0P≤V5”与“{20灭=0P,元∈[0，}nS=⑦或{P}的点 P的集合所表示几何体的体积为一· 15.(25-26高三下·上海浦东新区·期中)已知集合M的元素均为正整数，定义集合M的变项和”为：将M中 每个元素m都乘以(-1)"后再求和.若集合A={n1≤n≤2026，n∈N,则集合A的所有非空子集的“变项和 的总和为一 16.(25-26高三·上海宝山区期中)已知集合A={x1≤0≤n,xeZ,SsA,当a、beS且a≠b时，都有 a-b>2,若满足条件的集合S至少有100个，则正整数n的最小值是 三、解答题 17.(25-26高三下·上海浦东新区·期中)对于定义在区间D上的函数y=∫x),定义集合 2/4 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2={f(xf(x)-f(x≤x-x,,x∈D.对任意闭区间IsD,设函数y=f(x在区间I上的最大值 为M1,最小值为M2,记M(f,I)=M,-M2. 0若f八)=号xD=0,小，判衡函数y=到是否属于集合卫，并求M(/0)的值： (2)若D=[0,,f(x∈2，且f(0)=0,f1=1,求函数y=f(x的解析式： (3)若D=[0,+o),f(x∈2，令g(x)=M(f,[0,x.证明：y=f(x是单调函数的充要条件是：对任意 0<x<x2,gx2)-g（x)=M(f,,]）恒成立. 考点3 集合的含义与表示 18.(25-26高三下.上海嘉定区·调研已知集合A={a,a2},且1eA,则a= 19.(25-26高三·上海奉贤区·二模)已知集合A={3a),B={9,a2},若AcB,则实数a= 考点4 常用逻辑用语 一、 单选题 20.(25-26高三·上海徐汇区二模)己知a、beR,则lna>lnb”是“e-b>1”的() A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 21.(25-26高三下·上海浦东新区·期中对定义在R上的非常值函数y=∫x),若存在一个非零常数T,使 得对任意x∈R,都有f(x+T)=T·f(x)成立，那么称函数y=f(x为T函数.现有以下两个命题：①若函 数y=sin0x+p)(o≠0)为T函数，则o=2kπ，keZ,且k≠0；②既存在严格增的T函数，也存在严格减 的T函数.则下列判断正确的是() A.①是真命题，②是真命题 B.①是假命题，②是假命题 C.①是真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是真命题 22.(25-26高三·上海嘉定区·二模)已知陈述句α是B的充分非必要条件.若集合M={xx满足a},N={xx满 足B},则M与N的关系为() A.MCN B.MN C.M=N D.MON=0 23.(25-26高三·上海普陀区·二模)已知直线1、m和平面a,若mca,则“1与m不相交”是“111a”的() 3/4 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必 要条件 24.(25-26高三·上海长宁区·调研)对于随机事件A、B,0<P(A<1,0<PB)<1,“P(A=P(A|B)”是 “A、B互相独立的()条件」 A.充分非必要B.必要非充分 C.充要 D.非充分非必要 25.(25-26高三·上海黄浦区·二模)若a,b是空间中的两条直线，则“a11b”是“存在平面a,使aca, bca”的(). A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 26.(25-26高三上海普陀区·二模)在直角坐标平面中，方程x+V9-y2x-V8-2y=0表示的曲线称为 “G圆”点P,Q是“G圆”上的任意两点，0为坐标原点对如下两个命题： ①若点A-3,0)、B(3,0),则PA+PB的值不可能等于8； 「127 ②若0P100,则o+0g的取值花围为[6] 则下列结论中正确的是() A.①为真②为真B.①为真②为假C.①为假②为真D.①为假②为假 27.(25-26高三上海宝山区·二模)在ABC中，A,B均为锐角，设甲：sinA<sinC;乙：ABC是钝角三角 形，则甲是乙的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题 28.(25-26高三·上海虹口区二模)设a:x≤m,B:x-2≤1，若Q是B的必要条件，则实数m的取值范围 是 29.(25-26高三·上海金山区·二模)设a:1≤x≤4，B:x≤m,若0是B的充分条件，则实数m的取值范围是 4/4