安徽卓越县中联盟2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试题

1 高一4月数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案B 命题透析本题考查复数的运算和复数的相关概念， 解折六得艺虚部为宁 。1 2.答案C 命题透析本题考查平面向量的有关概念 解析容易验证A,B,D正确，若四边形ABCD是平行四边形，则A店=D心，BC=Ad,故C错误 3.答案C 命题透析本题考查斜二测画法 解析直角梯形ABCD的面积为2(4+2)×4=12，水平放置的平面图形的斜二测画法直观图的面积与原图 的面积之比为，故直观图的面积为12×巨-32 4 4.答案D 命题透析本题考查平面向量的线性运算. 解析由励=4心，得8-号8，则励=店+励=破+号武=应+号（配-）=与店+号花，又砂= +y花则=了y=号，所以3x+2=3× 5+2×411 5=5 5.答案B 命题透析本题考查圆柱的侧面展开图. 解析如图，将灯柱侧面沿母线剪开并展开成为长方形，长方形的宽=灯柱的高=3.2米，长方形的长=装饰带缠 绕三周的水平总长度=3×0.8=24（米），装饰带的长度即为该长方形的对角线长，即为√3.22+2.42=4（米）. 6.答案D 命题透析本题考查平面向量的坐标运算和两向量平行的等价条件. 解析因为2m+n=(7,0),p-kn=(-2-k,4-2k),又(2m+n)∥(p-k),所以7×(4-2k)-0×(-2- k)=0,解得k=2. 7.答案A 命题透析本题考查圆锥的结构特征及球的表面积， 解析易知圆锥的轴截面为等边三角形，边长为4，高为25，当三个球两两相切且与圆锥相切时，球的半径最 大，设最大的球的半径为R,在圆锥的轴截面中，三个球的球心构成一个边长为2R的等边三角形，可得AO3= 0=2次.00，=2R×号-5R.0,=R,所以R+5R+2R=25,解得R=5-1,所以其中-个球的 R 表面积S=4πR2=4π×(5-1)2=(16-85)π. 0 -0 B 8.答案C 命题透析本题考查解三角形 解析由c-b=acos B-3 asin B及正弦定理，得sinC-sinB=sin Acos B-3 sin Asin B.由A+B+C=π，得 C=T(A +B),sin[-(A +B)]sin Acos B=sin B-3sin Asin B,sin(A +B)sin Acos B=sin B- 5 sin Asin B,即cos Asin B=sinB-√5 sin Asin B,又Be(0,r),所以sinB>0,因此，3sinA+cosA=1,即 2in4+君)=1，由Ae(0,m),得4+石∈（石），则A+石-爱，所以4=由smC=2mB及正弦定 理，得c=2b,代人b+c=6√2，可得b+2b=62,解得b=2√2，则c=2b=42,所以由余弦定理可得a2=b2+ c2-2bc00sA=(22)2+(42)2-2×22×42×c0s =56,则a-2年. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案BCD 命题透析本题考查复数的模. 解析对于A,子=(3+i)2=8+6i,1z112=(√32+12)2=10，子≠1z12,故A错误； 对于B,z1+z2=4-2i,则1z1+21=√42+(-2)产=√/20=25，故B正确： 对于C,1z112=10,1z1=√0,1z21=12+(-3)2=√0，则1z1川z21=0×√0=10，故C正确； 对于D,a12=(3+i)(1+3i)=10i,lz1z21=10,1a2=(3-i)(1-3i)=-10i,1z1z21=10,所以1z1z21=z1z21,故 D正确。 I0.答案ABD 命题透析本题考查空间几何体的结构特征. 2 解析对于A,若两个相邻侧面为矩形，则这两个侧面的公共侧棱一定与底面垂直，从而所有侧棱垂直于底 面，所以该棱柱是直棱柱，故A正确； 对于B,因为棱台是用平行于棱锥底面的平面截得的，故各侧棱延长后必交于一点，故B正确； 对于C,底面是正方形，且顶点在底面上的射影为底面正方形的中心的四棱锥是正四棱锥，故C错误； 对于D,圆锥过轴的截面是由两条母线以及底面直径构成的三角形，故为等腰三角形，故D正确. 11.答案AD 命题透析本题考查平面向量的应用. 解析对于A,:Pi+P元=A店+P店，.P元=A店+P店-P=2A店，如图，PC∥AB且PC=2AB,则点C到AB的 距离与点A到PC的距离相等，又S△c=1,.SAPAC=2,故A正确； 对于B,如图，取AB的中点D,则C店+Ci=2C,:A店·(C店+C)=2A店.C⑦，2A店.Ci=2A店.C, AB.(C-CP)=0,.A店·Pi=0点P在AB的中垂线上1A1=IB,又1AP=ICP,1A2= 1CP=IB驴1，.P为△ABC的外心，故B错误； B 对于C,如图，由图可知C=d+巾=C+3P=C+3(-C),即有市=-↓d+?C成序=入C+ uG成A=方=号=-子故C错误： B 对于D,I2-B脉-C=12A市+P2+P元1=A巾+P2+A+P心1=A店+A心=2，如图，设BC的中点为D, 则1A+AC=21A1=2,A=1,设AD的中点为0，则p.P+P.P元=P.(P它+P心)=2p.Pi= 2(Pm+0i·(Pi+0励=2(Pi+0i)·(Pi-0=2p市-≥-之，当1Pi1=0,即点P与点0重合 一3 时，P,+·心取得最小值-子，放D正确 0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.答案27-33m 命题透析本题考查棱柱和圆柱的体积计算」 解析正三校桂的下底面面积为S-×(2)产=35，则正三校柱的体积为K=Sh-3厅×3，厅=27，因 为底面的内切圆半径为r=25×号×写=1，所以内切圆的面积号=m×P=,被挖去的圆挂的体积为号= S,h=π×3√5=35π，所以剩余几何体的体积为V=V,-V2=27-35π. A 13.答案 31I .4 命题透析本题考查利用余弦定理和三角形面积公式解决平面几何问题， 解析连接AC,在△ACD中，由余弦定理得osD=3+4-AC_7-AC 2×2×5 -4后，在△1CB中，由余弦定理得B= 1+3-AC_4-AC 2B+D.cm+m0EC+乙二G=0,解得AC=iwA4-C。 2×1×5 2545 25 6 mD=mB=S版-分×B×BC×mB=分×1x5×震-sa=7× cos D=3 6 A0×DC×D=分×月x2×层=：四边形ABCD的面积3=S+5x3 6 4 14答泰 命题透析本题考查平面向量的应用. 解析因为b2-2a·b=0,1b1=2,所以a·b=2,不妨设b=(2,0),a=(1,t),t≥0，则3a+b=(5,3t),a+ 一4 2b=(5,),如图，设A(5,3),B(5,),则∠40B=0,易知0e[0,受）当t=0时，m0=0,当t>0时，am0= 10=10-≤ 10 m20C-L002A0m之元兰，25+3922四 /25 =9,当且仅当 55 -×3t 空=3，即1=√昏时，等号成立，所以m日的最大值为 3 B 0 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.命题透析本题考查复数的基本概念与四则运算 解析(1)z=m2+m3i+2mi-3m-3i+2=(m2-3m+2)+(m2+2m-3)i,…(1分) 因为z在复平面内对应的点位于第二象限， rm2-3m+2<0,① 所以 …(3分） m2+2m-3>0,② 解不等式①，得1<m<2; 解不等式②，得m>1或m<一3.…(5分) 所以1<m<2,即m的取值范围是(1,2).…(7分) (2m=-1,-20-3-44+3i13-=v5-4=5. i 故原式=-1+(-4+3i)+5=3i…(13分) 16.命题透析本题考查圆台的表面积和侧面展开图. 解析(1)如图所示，将直角梯形ABCD以BC边所在的直线为旋转轴旋转一周，形成一个上底面半径为11= CD=2,下底面半径为r2=AB=4,母线长1=12的圆台， 其表面积为S=π（斤+弓+rl+r2)=92π.…(7分） B (2)将圆台的侧面沿母线AD剪开，展开后得到如图所示的一个扇环 :圆台上、下底面半径的关系为=22， 1 A1A2=2D1D2,0A1=20D1, 又A1D1=12,∴.0A1=24,0D1=12 设∠A2OA1=a,则A1A2的长'=a·0A1=24Q=2Tr2=8T, 解得&=号，连接A,41,可知△0A,4,为等边三角形，A,A,=24, ∴.蚂蚁从点A出发，沿该几何体的侧面爬行一周回到起，点A的最短路径即为线段A,A1,.蚂蚁爬行的最短路 程为24.… …(15分)） 17.命题透析本题考查正、余弦定理和三角形面积公式 解析(1)由acos B+bsin A=c及正弦定理，得sin Acos B+sin Bsin A=simC=sin(A+B),…(2分) sin Acos B+sin Bsin A sin Acos B+cos Asin B, 即sin Bsin A=cos Asin B,… …(5分)》 在△ABC中，sinB>0,则sinA=cosA,即tanA=1, 又AE(0,m),所以A=平 …(8分） (2)因为a2=b2+c2-2 bccos A,b2+c2≥2bc,当且仅当b=c时取等号， 所以g2≥2bc-2bc,得be≤4。=4+22，…(12分) 2-2 所以△ABC的面积S=宁A≤方×(4+2，D)×号=厄+1，当且仅当b=c时取等号， 故△ABC面积的最大值为2+1.… ……(15分) 18.命题透析本题考查平面向量的线性运算与数量积运算 解析(1)因为D元=A元-A,A店=C应-C,A店=4D元 所以C店-CA=4(A元-A), 化简，得花=号8d+号市=号a- ………(3分） (2)由题意知应-2成，所以正-A心=2（店-应），则证=子店+号4心， 故证=号成+号（而+心）=子访+（心+子)=子访+兮d … …(6分) 又B励=AD-A成， 所以花.励=（子话+兮动·（而-）=号亦-子破=背×6-子x4=0, 故AE⊥BD.… …(9分） (3)根据题意，以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(4,0), 6 C(1,6),D(0,6),… …(10分) 因为配=子+号0=子(4,0)+子(0,6)=(3,2， 所以A市=tA正=(3t,2)(0≤t≤1)， ………（12分） 所以点F(3t,2),所以D市=(3t,2t-6),C中=(3t-1,2t-6), 所以D7.C7=3t(3t-1)+(2t-6)(2t-6)=13-27t+36,…(15分) 因为y=132-2:+36的图象的对称轴为直线1=器>1，所以该函数在[0,1]上单调递减。 所以当t=1时，D市.C取得最小值，为22， 故D亦.C疗的最小值为22。… …(17分) B 19.命题透析本题考查三角恒等变换，正、余弦定理，平面向量和基本不等式的应用. 解析（1)由5mB+csB=2停mB+宁s=28+看）=2，得nB+君）1，…2分) 又0<B<T,所以<B+π<π」 6 66 所以B+石=受，B=号 …(4分) (2)由aesC+ccosA=45cosB,B=号，得cosC+cosA=2万， 由余弦定理得a.心+-心+6.公+心-25，整理得6=25 2ab 2bc 设△4BC的内切圆半径为，期》度=宁inB=宁(a+6+0)n 1 所以，=及.心=E ac 2a+b+c22√5+a+c …(7分）】 由余弦定理得12==d心+6-2acos号=(a+c)P-3ac, a以号89与22 3 3 一7 由基本不等式得0片少≥c=a+-2,所以a+≤45，当且仅当a=c时等号成立， 3 所以7≤5×4B,26=1,即m=1,… (9分) 3 故△ABC的内切圆面积的最大值为T.… (10分) (3)在△ABC中，由正弦定理得a 625=4, sin A=sin C=sinABC 2 所以a=4simA,c=4sinC. 由AC的中点为M,得B=之(B+Bd), 所以Bi12=子Bi+B2=子(d+c2+ac)=子(12+2ac）=子(12+32 sin Asin)C=3+8 Bsin Asin C =3+8血4sm号-A) =3+43 sin Acos A+4sin'A =3+23sin2A+2(1-cos2A) =5+4复m24-m2刘 =5+4sm(2A-石）月 (14分) 04<空， 因为△ABC为锐角三角形，所以 得π<A< 0<号-4<受 ，……(15分） 2 则24-石∈(）所以(24-）（分刂4sim(24-君）e2,41, 则5+4sim(21-石）e(7,9], 故BM的取值范围是（√7,3].…(1门分） 一8数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.已知复数z满足(1+i)z=-1,则z的虚部为 A方 B吃 D 2.下列说法错误的是 A.若lal=1,则a为单位向量 B.若a=b,则a∥b C.若四边形ABCD是平行四边形，则AB=CD,BC=DA D.若{e1,e2}是平面内所有向量的一个基底，则{e1-e2,e2}也可以作为一个基底 3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=AD=2CD=4,AD⊥AB,现将其水平放置，用斜二测 画法画出其直观图，测直观图的面积为 D O(A) A.2√2 B.4 C.32 D.6 4.在△ABC中，BD=4DC,若AD=xAB+yAC,则3x+2y= B c号 D号 数学第1页（共4页） 5.为筹备校园文化节，同学们需装饰操场边的圆柱形灯柱.已知灯柱的高为3.2米，底面周长 为0.8米.现计划从灯柱底部开始缠绕一条彩色装饰带，要求绕柱恰好三周后到达柱顶并 与顶面齐平.若装饰带绷紧无松动，则装饰带的长度为 A.3.6米 B.4米 C.4.4米 D.4.8米 6.已知向量m=(3,-1),n=(1,2),p=（-2,4),若(2m+n)∥(p-kn),则实数k的值为 A名 80 C.-2 D.2 7.已知圆锥A0的底面半径为2，母线长为4，在该圆锥内有三个半径相等的球，当球最大时， 其中一个球的表面积为 A.(16-8√3)m B.(8-4√5)T C.(12-6√3)m D.8T 8.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c-b=acos B-√3 asin B,b+c=6√2， sinC=2sinB,则a= A.6 B.22 C.214 D.27 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数1=3+i,z2=1-3i,则 A.子=z12 B.|z1+z2|=2V5 C.Iz12=lz 11z21 D.1z121=|元1221 10.下列说法正确的是 A.有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱 B.棱台的各侧棱所在直线交于一点 C.底面是正方形的棱锥是正四棱锥 D.圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 11.设P是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是 A.若PA+PC=AB+PB,△ABC的面积为1，则△PAC的面积为2 B.若AB·(C店+C)=2A店.C,且IAP1=|C,则点P是△ABC的重心 C.若A=3B驴，C=入CA+uC,则4=-2 D.若2-脉-C=2,则P,店+，P心的最小值为-号 数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在正三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=2√3，AA1=3√3，以该三棱柱上、下底面的内切圆为上、 下底面挖去一个圆柱，则剩余几何体的体积为 13.在平面四边形ABCD中，CD=2,AB=1,BC=AD=√3，B+D=T,则四边形ABCD的面积为 14.若平面向量a,b满足b2-2a·b=0,Ib1=2,记3a+b与a+2b的夹角为0，则tan0的最 大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) (1)若复数z=m2(1+i)+(2i-3)m-3i+2(m∈R)在复平面内对应的点位于第二象限， 求m的取值范围； (2)计算：日m+1-21+13-4 2026 16.(15分) 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=4,AD=12.以BC所在的直线为旋转 轴，将梯形ABCD旋转一周，得到一个几何体， (1)求该几何体的表面积； (2)若一只妈蚁从点A出发，沿该几何体的侧面爬行一周回到起点A,求最短爬行路程 D 数学第3页（共4页） 17.(15分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知acos B+bsin A=c,a=2. (1)求A (2)求△ABC面积的最大值. 18.(17分) 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,DA⊥AB,AB=4,CD=1,AD=6,点E在边BC上，且CE=2EB. (1)设AD=a,BC=b,试用a和b表示AC; (2)证明：AE⊥BD; (3)设F是线段AE上的动点，且A庐=tA正，求D.C的最小值. 19.(17分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知3sinB+cosB=2,且acos C+ccos A= 43cosB,AC的中点为M. (1)求B; (2)求△ABC内切圆面积的最大值； (3)若△ABC为锐角三角形，求BM的取值范围. 数学第4页（共4页）》