福建省厦泉五校2025-2026学年高二下学期期中联考数学试题

**基本信息** 聚焦高二数学核心知识，融合进口博览会科技情境与生活实践，梯度设计考查抽象能力、推理能力及数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等差数列、导数几何意义|基础巩固，如切线斜率计算| |多选题|3/18|概率互斥事件、函数奇偶性|能力提升，如甲乙口袋取球概率分析| |填空题|3/15|二项式定理、数学期望|应用结合，如骰子游戏期望计算| |解答题|5/92|导数应用、概率分布列、数列求和|综合创新，如无线充电器芯片检测（概率统计）、洛必达法则证明（导数）|

厦泉五校2025-2026学年高二年级第二学期期中联考 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：英林中学 审核人：南星中学 ） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题（共40分） 1．已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（    ） A．3 B． C．4 D． 2．已知曲线在点处切线的斜率为8，则（    ） A．7 B．-4 C．-7 D．4 3．已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 4．用0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且能被2整除的三位数的个数是（    ） A．50 B．52 C．54 D．56 5．甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次. 甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”. 从以上回答分析，5人的名次排列有（ ）种不同情况。 A．9 B．18 C．54 D．108 6．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则6次传球后球在甲手中的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以，和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ） A．，，是两两互斥的事件 B． C． D．事件与事件B相互独立 10．已知数列，，，数列满足若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（      ） A． B． C． D． 11．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A．方程有三个不等实根 B．是的一个极值点 C．不等式的解集为 D．当时，恒成立 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（共15分） 12．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则_________. 13． 已知函数，，当函数取最大值时，则 . 14．游戏规则如下：投掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面分别标注的点数为），若掷出的点数为6，则游戏终止，否则一直进行投掷，直到掷出的点数为6，规定最多投掷次游戏强制终止. 记为投掷骰子的总次数，则的数学期望______（用含的式子表示）. 四、解答题 15．（13分）已知函数的图象经过点，且是的极值点. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间和最值. 16．（15分）某同学在上学的路上要经过3个十字路口，在每个路口是否遇到红灯相互独立，设该同学在三个路口遇到红灯的概率分别为，，. (1)求该同学在上学路上恰好遇到一个红灯的概率； (2)若该同学在上学路上每遇到1个红灯，到校打卡时间就会比规定打卡时间晚48秒，记该同学某天到校打卡时间比规定时间晚秒，求X的分布列和数学期望. 17．（15分）已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 18．（17分）在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注．这种起搏器体积只有传统起搏器的，其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产，试产期同步进行产品检测，检测包括智能检测与人工抽检．智能检测在生产线上自动完成，包含安全检测、电池检测、性能检测等三项指标，人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标，四项指标均达标的产品才能视为合格品．已知试产期的产品，智能检测三项指标的达标率约为，，，设人工抽检的综合指标不达标率为（）． (1)求每个芯片智能检测不达标的概率； (2)人工抽检30个芯片，记恰有1个不达标的概率为，求的极大值点； (3)若芯片的合格率不超过，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的作为p的值，判断该企业是否需对生产工序进行改良． 19．（17分）洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，. (1)证明：在区间上单调递减； (2)对于恒成立，求实数的取值范围； 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《厦泉五校2025-2026学年第二学期高二数学期中考联考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B C B C D B A AB ACD ACD 1．A【详解】由题意可得，解得. 2．B【详解】 3．C【详解】因为，所以，即正态曲线的对称轴为， 所以，又，所以. 4．B【详解】能被2整除的三位数是偶数，当个位数是0时，有种情形； 当个位数是2或4时，其中最高位不能是0，则有种情形， 因此，能被2整除的三位数的个数是种. 5． C【详解】 6． D【详解】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布， 故 所以， ， 7．B【详解】因为， 当时，，则恒成立，所以在上恒成立，则；当时，，则恒成立，所以在上恒成立，所以；又，综上可得的取值范围是. 8. A【详解】法一：树状图。 法二：设次传球后球在甲手中的概率为，当时，， 设“次传球后球在甲手中”，则， 则． 即，所以，，且， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，，所以，， 所以次传球后球在甲手中的概率为． 9．AB【详解】解：由题意得可知，，是两两互斥的事件，故A正确； ，，，故B正确； 由， 则， 所以事件与事件B不独立，故C、D错误； 10．ACD【详解】对于A，因为，即， 所以，故数列为等比数列，又，所以， 则，故A正确； 对于B，，则，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为，，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， ，，，，又，，， 因为，为正奇数组成，的项也是奇数， 由上面推理可得，…是由的前14项去掉的前4项余下的项组成， 所以故D正确. 11．ACD【详解】选项A，函数是定义在上的奇函数，所以， 当时， 当时，，则 选项 A，当时，，， 令，则 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ，所以对恒成立，在上单调递增； 因此时，只有一个根， 由奇函数性质可知当时，，所以是一个根， 又，所以的根为共三个不等实根，A 正确； 选项 B，由A可得在上单调递增，没有极值点，B 错误 选项 C，当时单调递增，且，所以的解集为， 当时，是奇函数，等价于，即， 因为，且对应，即，所以时，的解集为， 综上，不等式的解集为，C 正确 选项 D，当时，恒成立即证： 化简得：，即：，令​， ，令， 则所以在上单调递增， 由于，， 所以存在，使得，即，即 当时，，单调递减；当时，单调递增， 所以， 令，则， 由于在上单调递减，则，所以在上单调递减，则， 所以，则， 即当时，恒成立，故D 正确 12． 【详解】 10+5a=5，解得， 13． 【详解】，， 由，当，为增函数； 当，，为减函数， 所以当时，取得最大值. 14． 【详解】由题意得每次投掷骰子相互独立，投掷一次掷出的点数为6的概率为，当时，. 当时，，，， 则， 将上式左右两侧同乘以，得： ， 两式作差得： ，即， 又符合上式，故. 15．【详解】（1）解：由函数，可得，…………1 因为函数过点，且是的极值点，可得，……3 解得，………………………………4 经检验，符合题意；………………………………5 所以函数的解析式为.………………………………6 （2） 解：由（1）知，………………………………7 令，解；令，解，………………………………9 所以函数在上单调递增，在上单调递减，………………………………11 所以，当时，函数取得最小值，最小值为，无最大值. 即函数的增区间为，减区间为，最小值为，无最大值.………………13 16． 【详解】（1）记A=“该同学在上学路上恰好遇到一个红灯”， 即三个灯颜色是红绿绿、或绿红绿、或绿绿红，它们彼此互斥；…………………………2 且在每个路口是否遇到红灯相互独立，………………………………3 所以 .………………………………6 （2）的可能取值为，………………………………8 , , ,………………………………12 X的分布列为： X 0 48 96 144 P ………………………………13 .………………………………15 17．【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则，可得， 由可得，即，………………………………3 解得，，………………………………5 故.………………………………7 （2）解：，………………………………11 因此， .………………………………15 18．【详解】（1）每个芯片智能检测中安全检测、电池检测、性能检测三项指标达标的概率分别记为，，，并记每个芯片智能检测不达标为事件.………………………1 则有，，，事件为这三项检测至少一项不达标，…………………2 由对立事件的性质及事件独立性的定义得：， 所以每个芯片智能检测不达标的概率为.………………………4 （2）人工抽检30个芯片恰有1个不合格品的概率为（），…6 因此。………………………7 令，得.………………………8 当时，；当时，. 则在上单调递增，在上单调递减，………………………10 所以有唯一的极大值点.………………………11 （3）设芯片人工抽检达标为事件，工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件，由（2）得：，………………………13 由（1）得：，………………………14 所以，………………………16 因此，该企业需对生产工序进行改良.………………………17 19．【详解】（1）解：由函数，可得，…1 令，则，………………………2 令，则，………………………3 若，则，单调递减，可得，单调递减， 则，所以在上单调递减，………………………5 若，则，单调递增，所以，即， 所以存在唯一，使得，且在上，单调递减，在上，单调递增，且，所以， 所以在区间上单调递减，且在上连续，………………………8 综上可得，函数在区间上单调递减.………………………9 （2）解：当时，，所以恒成立；………………………10 当时，由，可得，即，…………………11 令，可得，………………………12 由（1）知，，在上单调递减，则，…14 因为两个函数，当时，， 可得，………………………16 所以，解得，所以实数的取值范围为.………………………17 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App ■ (用户名和初始密码均为准考证号) 厦泉五校2025-2026学年高二年级第二学期期中联考 数学科答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚，并认真核对 条形码上的姓名和准考证号。 2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不 (正面朝上，切勿贴出虚线方框) 留痕迹。 --- 3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答 无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时，必须用2B铅笔，并描浓。 正确填涂 ■ 缺考标记 4.在草稿纸、试题卷上答题无效。 5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。 客观题(1~8为单选题9~11为多选题) I[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][c][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][c][D] 1I[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][c][D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 15. I 囚囚■ ■ 16. 17. ▣囚■ 0 ■ 18. I I I 1 I ■ 囚■囚 ■ ㄖ■ㄖ ▣ ■厦泉五校2025-2026学年高二年级第二学期期中联考 数学试题 (考试时间：120分钟满分：150分命题人：英林中学审核人：南星中学) 学校： 姓名： 班级： 考号： 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题（共40分） 1。已知数列{a}为等差数列，4，a1是方程x2-6x+8=0的两个实数根，则a,=（) A。3 B。±3 C。4 D。±4 2。已知曲线f(x)=x+2+1在点(-1，f(-1)处切线的斜率为8，则f(-1)=(） A。7 B。-4 C。-7 D。4 3。已知随机变量5服从正态分布N(4,o2),若P(5<1)=P(5≥7)=0.2，则P1<5<4)=() A。0.1 B。0.2 C。0.3 D。0.4 4。用0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字且能被2整除的三位数的个数是（) A.50 B.52 C.54 D。56 5。甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去 询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”：对乙说“你当然不会是最差的”.从以上 回答分析，5人的名次排列有()种不同情况。 A。9 B。18 C。54 D。108 6。已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X, 则下列结论正确的是() A。E(X)=1 B.D(X)片 c.2x-)- D.D2X-)- -x2+,x<0 7。已知函数f(x)= e-am,x≥0’ 在R上单调递增，则a的取值范围是() A。[1,+0) B.[o,1 c.[-1] D。（-o,1] 8。甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另 外两个人中的任何一人，则6次传球后球在甲手中的概率为() A贵 31 B.96 5 C.6 D.17 48 第1页，共4页 二、多选题（共18分） 9。甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋 中随机取出一球放入乙口袋，分别以A,A,和A,表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再 从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是() A.A,A,A是两两互斥的事件 RPe4)-品 c.P®)- D。事件A与事件B相互独立 10.已知数列{a},4=1,a+1=2a.+1(neN),数列bn}满足b.=2log2(1+a)-1.若在数列{b.}中去掉 {a}的项，余下的项组成数列{Cn},则() A。4+42+4+44=26 B。b=10 C。4<bs<a D.C1+C2+.+C0=170 11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=(2x+1)lnx-2x+2,则() A.方程f(x)=0有三个不等实根 B。x=号是)的一个极值点 C.不等式f(x)>0的解集为(-1,0)U(1,+o) D.当x>0时，f>2-1-2x恒成立 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（共15分） 12。已知(1+十ax)(1十x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a= 13.已知函数f(x)=x+2sinx,[0,,当函数f(x)取最大值时，则x= 14.游戏规则如下：投掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面分别标注的点数为1,2,3,4,5,6），若掷出的 点数为6，则游戏终止，否则一直进行投掷，直到掷出的点数为6，规定最多投掷次游戏强制终止.记X 为投掷骰子的总次数，则X的数学期望E(X)=(用含的式子表示)· 第2页，共4页 四、解答题 15.(13分)已知函数f(x)=(x+a)e+b(a,b∈R)的图象经过点(1,1)，且x=0是f(x)的极值点. (1)求函数∫(x)的解析式： (2)求函数f(x)的单调区间和最值. 16.(15分)某同学在上学的路上要经过3个十字路口，在每个路口是否遇到红灯相互独立，设该同学在 三个路口遇到红灯的概率分别为，了 (1)求该同学在上学路上恰好遇到一个红灯的概率： (2)若该同学在上学路上每遇到1个红灯，到校打卡时间就会比规定打卡时间晚48秒，记该同学某天到校 打卡时间比规定时间晚X秒，求X的分布列和数学期望 17.(15分)已知等差数列{a}满足4=0,4，=2a,+2. (1)求{a}的通项公式 2)设c,=2 -,求数列{cn}的前n项和Sn. 第3页，共4页 18。(17分)在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者 的关注，这种起鹅器体积只有传统起鹅器的。，共无线充电器的使用更是途免了传统起鹅器囊袋及导线 引发的相关并发症。在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产，试产期同步进行产 品检测，检测包括智能检测与人工抽检。智能检测在生产线上自动完成，包含安全检测、电池检测、性能 检测等三项指标，人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标， 四项指标均达标的产品才能视为合格品。已知试产期的产品，智能检测三项指标的达标率约为，》，98， 100’99 3,设人工抽检的综合指标不达标率为p(0<p< (1)求每个芯片智能检测不达标的概率： (2)人工抽检30个芯片，记恰有1个不达标的概率为p(p)，求p(P)的极大值点P。: (3)若芯片的合格率不超过96%，则需对生产工序进行改良。以(2)中确定的P作为p的值，判断该企业 是否需对生产工序进行改良。 19.(17分)洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数F(x),G(x)，当 P(,)=0,G(,)=0时，1m9=im F(x) G(x)G(x) 已知函数f()-名ar+dnmr-x,M)=3inv--2x. (1)证明：h(x)在区间[0,2m]上单调递减： (2)对于x∈[0,2π]，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围： 第4页，共4页