专题 5.4 分式方程的应用（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 5.4 分式方程的应用（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】列分式方程解应用题步骤 1 【知识点二】列分式方程解应用题型 1 【题型 1】分式方程的应用——行程问题 2 【题型 2】分式方程的应用——工程问题 3 【题型 3】分式方程的应用——销售与利润问题 4 【题型 4】分式方程的应用——和、差、倍、分问题 5 二.培优题型精析 5 【题型 5】列一（二）元一次方程组与分式方程综合 5 【题型 6】列一元一次不等式（组）与分式方程综合 7 【题型 7】列分式方程与一次函数综合 8 三.同步检测 9 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 9 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 12 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】列分式方程解应用题步骤 1、审：审题，找出题目已知量、未知量，梳理等量关系； 2、设：设未知数（一般直接设所求量，注意带单位）； 3、列：根据等量关系，列出分式方程； 4、解：去分母，化为整式方程，解方程； 5、验：（1）代入最简公分母，检验是否为增根；（2）检验结果是否符合实际题意（正数、合理数量等）； 6、答：规范写出答案，带上单位。 【知识点二】列分式方程解应用题型 1、 工程问题：（1）数量关系：工作总量工作时间工作效率；（2）常见考法：单独做工或合作做工；工作效率提升或减缓，时间变化；规定工期完工或延期完工等； 2、行程问题：（1）核心关系：路程速度时间；（2）常见类型：普通行驶：提速、减速导致时间差；航行问题：顺水、逆水（水流速度影响）；行走、骑行、开车速度对比； 3、销售与价格问题：总价数量单价；（2）常见考法：单价变化、优惠打折；多买、少买，数量差价；进价、售价、人均费用问题。 4、其他经典题型： （1）倍数与数量关系：两个量数量对比、增减变化； （2）浓度问题：溶液稀释、加浓（少量考查）； （3）平均数问题：人均产量、人均分数类。 【题型 1】分式方程的应用——行程问题 【例题1】（贵州省遵义市2022年初中生数学学科八年级竞赛试卷）小张骑自行车沿街道匀速行走，发现每隔从背后驶过一辆2路公交车，每隔迎面驶来一辆2路公交车．假设每辆2路公交车行驶速度相同，且2路公交车总站每固定时间发一辆车．则2路公交车总站间隔多长时间发一辆车？ 【变式1】（2026·江西宜春·一模）为了保障城市物资供应，货车要从仓库运送一批新鲜蔬菜到市区．仓库到市区的路程为100千米．如果用普通货车运送，比预定时间晚2小时到达；如果用高速货车运送，比预定时间早1小时到达．已知高速货车的速度是普通货车的2倍．设预定时间为小时，则可列分式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程多．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的．小王乘公交车上班平均每小时行驶____． 【变式3】（2026·辽宁·模拟预测）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多0.1小时． （1）求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； （2）若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，0.2小时后接到医院通知，急救药品需要在10分钟以内（含10分钟）送达，则无人机的速度至少要提高到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 【题型 2】分式方程的应用——工程问题 【例题2】（2026·重庆·模拟预测）某工厂有A，B型机器人搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人2小时搬运的化工原料和B型机器人3小时搬运的化工原料重量相同． （1）两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？ （2）两种机器人系统升级优化后，A型机器人每小时增加的搬运化工原料重量是B型机器人每小时增加的搬运化工原料重量的1.5倍．工厂里有一批共480千克的化工原料需要搬运．升级后，A型机器人搬运了一半，另外一半由B型机器人搬运，两种类型的机器人一共用了5小时完成，求升级后A型机器人每小时可以搬运多少千克化工原料． 【变式1】（2026·广东广州·一模）某快递公司引进智能机器人进行包裹分拣，一台智能机器人每小时分拣包裹的数量是一个工人平均分拣数量的40倍．已知分拣8000件同样的包裹，一台智能机器人所用时间比20个工人同时分拣所用时间还要少40分钟，设一个工人平均每小时分拣个包裹，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30min后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．乙每小时加工________个零件． 【变式3】（2026·重庆大渡口·二模）列方程解下列问题： 现有甲、乙两运输公司，已知甲运输公司每天的运输量比乙运输公司每天的运输量多吨，甲运输公司天的运输总量比乙运输公司天的运输总量多吨． （1）求甲、乙两运输公司每天的运输量分别是多少吨？ （2）随着业务的增加，甲、乙两运输公司都提高了运输能力．提高后，每天乙运输公司的运输量较提高前每天的运输量增加同样的数量，且每天甲运输公司的运输量较提高前每天增加的数量是乙运输公司每天增加数量的倍．若甲、乙两运输公司各运输货物吨，乙运输公司比甲运输公司多用天．求乙运输公司每天增加的运输量． 【题型 3】分式方程的应用——销售与利润问题 【例题3】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知用2400元购买甲种路灯的数量与用3200元购买乙种路灯的数量相等，且购买1盏乙种路灯比购买1盏甲种路灯多花20元． （1）求购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是多少元； （2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且购买甲种路灯的数量不超过购买乙种路灯数量的，求购买多少盏甲种路灯时，购买总费用最小，并求出最小的购买总费用． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地的1.25倍，用300元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．设菜苗基地每捆种菜苗的价格为元，则可列方程为__________． 【变式2】（2026·福建漳州·一模）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题（注释：椽是传统木构建筑用以支撑屋顶材料的木杆）．设这批椽有株，则符合题意的方程是 （   ） 原文：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽． 译文：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？ A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级下·河南南阳·期中）宇树科技机器人从去年的《秧》到今年的《武》，在舞台上“舞”出了新高度，是前沿科技和中国功夫的完美融合．某公司计划购买A，B两种型号的机器人用于分拣货物．已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣的货物，且A型机器人分拣货物所用的时间与B型机器人分拣货物所用的时间相同． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别分拣多少货物． （2）该公司计划购买A，B两种型号的机器人共10台，且购进一台A型机器人花费25万元，购进一台B型机器人花费20万元．若要求这两种型号的机器人每小时分拣的货物不少于，则该公司如何购进这两种型号的机器人才能使花费最低？最低花费是多少？ 【题型 4】分式方程的应用——和、差、倍、分问题 【例题4】（2026九年级下·吉林长春·专题练习）机器人是人工智能与机器人技术（Robotics）的结合体．它不仅仅是能执行重复任务的机械臂，而是具备了“感知、思考、决策、行动”能力的智能体．某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等．求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料． 【变式1】（2024·北京西城·二模）某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·山西晋中·三模）山西省宁武县被中国粮食行业协会命名为“中国高原莜麦之乡”，莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一．某莜麦标准化种植基地在改良前总产量为，改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的1.5倍，则改良前的平均亩产量为_______ 【变式3】（2026·山东济宁·一模）随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． （1）每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ （2）若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 二.培优题型精析 【题型 5】列一（二）元一次方程组与分式方程综合 【例题5】（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）某手工商店为响应“绿色生活”倡议，计划为社区市集制作环保袋，推广环保理念．现将员工按熟练程度分为两个组，高级组和初级组每天一共可以制作个环保袋，高级组3天制作的环保袋数量比初级组4天制作的环保袋数量多100个． （1）请问高级组和初级组每天制作的环保袋数量分别是多少个？ （2）由于环保袋销量很好，市集供不应求，商店为两组购进新设备以提高效率．升级后，初级组每天比原来多制作个环保袋，而高级组每天比原来多制作个环保袋．若升级后，高级组制作3000个环保袋所用天数与初级组制作1200个环保袋所用天数相同，求的值． 【变式1】（2026·河南·一模）某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木箱需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的3倍． 单价（元） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m a 160 长方形木板 b 600 （1）填空：__________，__________；（用含m的代数式表示） （2）求m的值； （3）现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完． 【变式2】（2026·重庆·模拟预测）列方程（组）解下列问题： 旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范．某手工作坊制作了“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多分钟，制作对“花扣”和对“一字扣”共用分钟． （1）求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟； （2）因工作坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的倍，分钟制作的“花扣”对数是分钟制作的“一字扣”对数的，求升级后制作一对“一字扣”需多少分钟． 【变式3】（2026九年级下·重庆·专题练习）为迎接3月日国际数学文化节，学校要准备两种趣味闯关道具．去年共准备了件，今年道具数量有所增加：其中A道具数量比去年多，B道具数量比去年多，今年两种道具总数比去年多件． （1）求今年准备的A，B两种道具各多少件？ （2）今年文化节活动当天，两组同学同时布置道具，第一组摆A道具，第二组摆B道具．已知第一组每小时摆的数量是第二组的倍，第一组比第二组提前分钟完成．求第二组每小时摆多少件B道具． 【题型 6】列一元一次不等式（组）与分式方程综合 【例题6】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）某商场计划销售，两种型号的商品，经调查，用1800元采购型商品的件数是用500元采购型商品的件数的3倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多20元． （1）求一件，型商品的进价分别为多少元？ （2）若该商场购进，型商品共100件进行试销，其中型商品的件数不大于型的件数，已知型商品的售价为170元/件，型商品的售价为160元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？ 【变式1】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）渝北中学提档升级工程中要维修一段4800米长的围墙，有甲、乙两个工程队可供选择，甲、乙的工作效率始终保持不变．已知甲队每天比乙队多修40米，甲队单独修完这条路所用天数是乙队的． （1）求甲、乙两队每天各修围墙多少米？ （2）若施工时发现，需要维修的围墙总长度为米．先由甲队单独施工6天，再由两队合作施工天完成任务，请直接列出与的函数解析式． （3）若需要维修的围墙总长度为4800米，施工方决定先由两队合作施工若干天，再由甲队单独施工完成，要求总工期不超过20天．求两队至少需要合作多少天？ 【变式2】（2026·山东聊城·一模）为传承中华优秀传统文化，厚植学生家国情怀，学校精心策划并计划租用客车，组织全体师生前往孔子故里相关研学基地，开展主题为“弘扬儒学，传承经典”的研学实践活动． 请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一： 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客720人与用B型客车载客540人的车辆数相同． 材料二： A型客车租车费用为3800元/辆；B型客车租车费用为3500元/辆． 若租用B型客车，租车费用打八折． 学校参加研学活动师生共有570人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【变式3】（25-26八年级下·河南南阳·期中）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我县某村出产的甲、乙两种猕猴桃．已知乙种猕猴桃每箱售价比甲种猕猴桃每箱售价多20元，400元所买甲种猕猴桃箱数与500元所买乙种猕猴桃箱数相等． （1）求甲、乙两种猕猴桃每箱的售价； （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种猕猴桃共12箱，且甲种猕猴桃的箱数不超过乙种猕猴桃的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【题型 7】列分式方程与一次函数综合 【例题7】（2026·山东青岛·一模）2026年马年春节联欢晚会中《武》《奶奶的最爱》等机器人表演节目火爆全网，让机器人成为新春热点．某文化演艺公司计划采购A，B两种型号的表演机器人，用于各类文艺演出的舞台呈现．据了解，A型机器人的单价比B型机器人的单价低3000元，用580000元购买A型机器人的数量和用640000元购买B型机器人的数量相同． （1）求A，B两种型号表演机器人的单价各是多少元； （2）该文化演艺公司计划购买A，B两种型号的表演机器人共25台，且A型机器人的购买数量不超过B型机器人购买数量的3倍，购买A型机器人多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【变式1】（2026·黑龙江佳木斯·一模）某文具店准备购进A、B两种文具，A种文具每件的进价比B种文具每件的进价多20元，用5000元购进A种文具的数量和用3000元购进B种文具的数量相同．文具店将A种文具每件的售价定为80元，B种文具每件的售价定为45 元． （1）A种文具每件的进价和B种文具每件的进价各是多少元? （2）文具店计划用不低于1560元且不超过1600元的资金购进A、B两种文具共40件，该文具店有几种进货方案? （3）在（2）的条件下，文具店利用哪种方案销售这40件文具获得的利润最大． 【变式2】  （24-25八年级上·湖南邵阳·期末） 2020年4月，我市各中小学校安全有序开学复课，为了切实做好安全防控工作，开学前夕，我市某中学准备在大药房采购一批口罩和水银温度计供师生使用．已知每盒口罩有100只，每盒水银温度计有10支，每盒口罩价格比每盒水银温度计价格高150元，且用1200元购买的口罩盒数与用300元购买的水银温度计盒数相同． （1）求每盒口罩的价格和每盒水银温度计的价格分别是多少元？ （2）采购员带着3200元钱准备采购口罩和水银温度计共计20盒，由于水银温度计紧缺，药房规定，至少采购两盒口罩才能采购一盒水银温度计，请你帮忙计算采购员可以采购口罩和水银温度计分别多少盒？ 【变式3】（2026·湖北黄石·一模）为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．已知每个篮球比每个排球贵50元，用600元购买篮球的个数与用400元购买排球的个数相同． （1）每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ （2）该校计划购买篮球和排球共30个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍． ①一共有多少种购买方案？ ②请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2026·广东东莞·一模）小亮与小红周末去松山湖的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·海南·月考）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每天多搬5吨，A型机器人搬运100吨所用的时间与B型机器人搬运80吨所用的时间相等，两种机器人每天分别搬运多少化工原料？设A型机器人每天搬运吨化工原料，根据题意列方程得（   ） A． B． C． D． 3．（2022·河南商丘·模拟预测）某学校为有效地落实和推行“双减”政策，丰富学生课余生活，采购了一批科学实验器材和运动器材，它们的单价共800元，用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同，设科学实验器材单价为x元，依题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南永州·一模）甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知甲机器人每天比乙机器人每天少做140个零件，若设甲机器人每天做x个零件，则符合题意的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．则物体A的体积为（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2026·广东惠州·一模）由于平台优化派单算法及改善交通工具，某外卖小哥现在每小时比原来可多送3件外卖，送40件的时间比原来少用了3小时．设原来平均每小时送件外卖，依题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·福建福州·月考）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得27个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得12个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 8．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）随着科技和环保意识的不断提高，电动汽车行业的发展前景越来越好．如图，，分别表示某款燃油汽车和某款电动汽车所需费用y（元）与行驶路程s（千米）的关系．已知燃油汽车每千米所需的费用比电动汽车每千米所需的费用的3倍多0.1元，设电动汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026·江西吉安·二模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题可译为：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为里/天，则可列方程：________． 10．（25-26八年级上·山西忻州·期末）以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“绛州鼓乐”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做个、甲工作组做个所用的时间与乙工作组做个所用的时间相等．若设甲工作组每天做个，则根据题意，可列方程为______． 11．（25-26八年级上·全国·周测）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名，某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为______元． 12．（25-26八年级上·陕西安康·期末）某种植园区计划移栽一批黄花菜幼苗．已知用机器移栽每天可移栽的幼苗数量是用人工移栽每天移栽幼苗数量的4倍，且人工移栽完这批幼苗比机器移栽完多用3天．若这批黄花菜幼苗的总数为4000株．设人工移栽每天移栽幼苗的数量是x株，可列方程为________． 13．（2026·陕西咸阳·二模）太阳能是一种可再生资源．现有甲、乙两种品牌的太阳能照明灯，已知相同光照环境下，乙品牌比甲品牌每小时多储存电量，乙品牌储存电量与甲品牌储存电量所用的时间相等，则乙品牌每小时可储存________电量． 14．（25-26八年级上·四川南充·期末）春运期间，两列火车匀速行驶．一列长的客运火车完全通过一条长的山体隧道和一列长的货运火车完全通过一座长的跨河大桥所用时间恰好相等．当这列货运火车完全通过该山体隧道时，同一时间内客运火车行驶的路程为________ 15．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）在“母亲节”前夕，某花店用3000元购进第一批鲜花礼盒，上市后很快销售一空，根据市场的需求，该花店又用5000元购进第二批鲜花礼盒，且第二批购进的鲜花盒数是第一批购进的鲜花盒数的2倍，每盒鲜花进价比第一批少了10元，那么第一批鲜花礼盒的进价是每盒_____元． 16．（2026·广西玉林·一模）为迎接年广西“三月三”，某校开展了“壮韵三月三”游园活动，其中兑奖处准备了一个不透明的抽奖箱，箱内装有绣球兑换券和铜鼓兑换券两种完全相同的奖券，其中绣球兑换券有张．为估算铜鼓兑换券的数量，工作人员设计了如下方案：每次从箱子中随机摸出一张奖券，记录奖项后放回，摇匀后再摸，重复多次后，统计数据如下表 摸奖券次数 摸到绣球兑换券次数 请根据以上数据，估算箱子中铜鼓兑换券的张数__________． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·河南周口·期中）甲、乙两人从A地到B地，甲骑慢车，乙骑快车，乙速度是甲的3倍，乙比甲早40分钟到达，A、B相距12千米． （1）求甲、乙速度； （2）甲出发10分钟后乙出发追甲，乙多久追上？ 18．（2026·广东深圳·一模）随着人们生活水平的不断提升，体育器材逐渐成为日常消费用品．某体育用品商场预计某品牌运动器材会十分畅销，便以元购进一批该款运动器材．商品上市后迅速售罄，商场随即又用元购进第二批同款运动器材．第二批购进的数量是第一批的倍，每套器材的进价比第一批多出元． （1）该商场两次共购进这种运动器材多少套？ （2）如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每套器材售价至少是多少元（结果取整数）？（） 19．（2026·广西南宁·一模）为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天．设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花． （1）用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘________千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要________天； （2）求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克． 20．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20只，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球实验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 52 138 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 （1）若从盒子里随机摸出1只球，则摸到白球的概率的估计值为_____；（精确到） （2）盒子里白球有_____只； （3）若将个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.4 分式方程的应用（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】列分式方程解应用题步骤 1 【知识点二】列分式方程解应用题型 1 【题型 1】分式方程的应用——行程问题 2 【题型 2】分式方程的应用——工程问题 4 【题型 3】分式方程的应用——销售与利润问题 7 【题型 4】分式方程的应用——和、差、倍、分问题 11 二.培优题型精析 13 【题型 5】列一（二）元一次方程组与分式方程综合 13 【题型 6】列一元一次不等式（组）与分式方程综合 17 【题型 7】列分式方程与一次函数综合 21 三.同步检测 25 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 25 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 30 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 34 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】列分式方程解应用题步骤 1、审：审题，找出题目已知量、未知量，梳理等量关系； 2、设：设未知数（一般直接设所求量，注意带单位）； 3、列：根据等量关系，列出分式方程； 4、解：去分母，化为整式方程，解方程； 5、验：（1）代入最简公分母，检验是否为增根；（2）检验结果是否符合实际题意（正数、合理数量等）； 6、答：规范写出答案，带上单位。 【知识点二】列分式方程解应用题型 1、 工程问题：（1）数量关系：工作总量工作时间工作效率；（2）常见考法：单独做工或合作做工；工作效率提升或减缓，时间变化；规定工期完工或延期完工等； 2、行程问题：（1）核心关系：路程速度时间；（2）常见类型：普通行驶：提速、减速导致时间差；航行问题：顺水、逆水（水流速度影响）；行走、骑行、开车速度对比； 3、销售与价格问题：总价数量单价；（2）常见考法：单价变化、优惠打折；多买、少买，数量差价；进价、售价、人均费用问题。 4、其他经典题型： （1）倍数与数量关系：两个量数量对比、增减变化； （2）浓度问题：溶液稀释、加浓（少量考查）； （3）平均数问题：人均产量、人均分数类。 【题型 1】分式方程的应用——行程问题 【例题1】（贵州省遵义市2025年初中生数学学科八年级竞赛试卷）小张骑自行车沿街道匀速行走，发现每隔从背后驶过一辆2路公交车，每隔迎面驶来一辆2路公交车．假设每辆2路公交车行驶速度相同，且2路公交车总站每固定时间发一辆车．则2路公交车总站间隔多长时间发一辆车？ 【答案】 【分析】①迎面驶来的两车距离（公交车速人骑车速）；②背后开来的两车距离（公交车速人骑车速），据此列出方程组即可． 解：设同向行驶的相邻两车的间距为，发车间隔的时间为，小张骑自行车相邻两车间距所用的时间为，根据题意得： 化简得 ，得 解得． 答：2路公交车总站发车间隔的时间是． 【变式1】（2026·江西宜春·一模）为了保障城市物资供应，货车要从仓库运送一批新鲜蔬菜到市区．仓库到市区的路程为100千米．如果用普通货车运送，比预定时间晚2小时到达；如果用高速货车运送，比预定时间早1小时到达．已知高速货车的速度是普通货车的2倍．设预定时间为小时，则可列分式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据预定时间表示出两种货车的行驶时间，结合速度公式得到两车速度，再根据高速货车速度是普通货车速度的2倍的等量关系列方程即可． 解：∵预定时间为小时，普通货车比预定时间晚小时到达， ∴普通货车的行驶时间为小时，可得普通货车速度为， ∵高速货车比预定时间早小时到达， ∴高速货车的行驶时间为小时，可得高速货车速度为， ∵高速货车的速度是普通货车的倍， ∴可列方程． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程多．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的．小王乘公交车上班平均每小时行驶____． 【答案】40 【分析】本题主要考查了列分式方程解应用题，根据题意找等量关系是解题的关键．设自驾车速度为，则公交车速度为，根据乘公交车所用时间是自驾车所用时间的，列出分式方程求解即可． 解：设小王自驾车平均每小时行驶，则乘公交车平均每小时行驶， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 则， ∴小王乘公交车上班平均每小时行驶． 故答案为：40． 【变式3】（2026·辽宁·模拟预测）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多0.1小时． （1）求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； （2）若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，0.2小时后接到医院通知，急救药品需要在10分钟以内（含10分钟）送达，则无人机的速度至少要提高到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 【答案】（1）无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时；（2）无人机的速度至少提高到48千米/时 【分析】（1）设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，根据传统车辆匀速配送所用时间要比无人机配送多0.1小时，列分式方程即可求解； （2）根据题意列不等式即可解答． 解：（1）解：设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的根， ， 答：无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时． （2）解：设无人机的速度提高到千米/时，则 ， 解得， 答：无人机的速度至少提高到48千米/时． 【题型 2】分式方程的应用——工程问题 【例题2】（2026·重庆·模拟预测）某工厂有A，B型机器人搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人2小时搬运的化工原料和B型机器人3小时搬运的化工原料重量相同． （1）两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？ （2）两种机器人系统升级优化后，A型机器人每小时增加的搬运化工原料重量是B型机器人每小时增加的搬运化工原料重量的1.5倍．工厂里有一批共480千克的化工原料需要搬运．升级后，A型机器人搬运了一半，另外一半由B型机器人搬运，两种类型的机器人一共用了5小时完成，求升级后A型机器人每小时可以搬运多少千克化工原料． 【答案】（1）A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料.；（2）升级后A型机器人每小时可以搬运120千克化工原料． 【分析】（1）设B型机器人每小时搬运千克化工原料，则A型机器人每小时搬运千克化工原料，根据工作效率时间工作总量列出方程求解即可； （2）设B型机器人每小时增加千克，则A型机器人每小时增加千克，根据工作总量工作效率工作时间，两种类型的机器人一共用了5小时完成，列出方程求解即可． 解：（1）解：设B型机器人每小时搬运千克化工原料，则A型机器人每小时搬运千克化工原料， 由题意可得：， 解得：， ∴， 答：A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料． （2）解：设B型机器人每小时增加千克，则A型机器人每小时增加千克， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴A型机器人每小时可以搬运：（千克）， 答：升级后A型机器人每小时可以搬运120千克化工原料． 【变式1】（2026·广东广州·一模）某快递公司引进智能机器人进行包裹分拣，一台智能机器人每小时分拣包裹的数量是一个工人平均分拣数量的40倍．已知分拣8000件同样的包裹，一台智能机器人所用时间比20个工人同时分拣所用时间还要少40分钟，设一个工人平均每小时分拣个包裹，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意得到机器人和20个工人的工作效率，再根据“时间=总工作量÷工作效率”表示出两者的工作时间，统一单位后根据时间关系列方程即可． 解：∵设一个工人平均每小时分拣个包裹， ∴一台智能机器人每小时分拣个包裹，20个工人每小时共分拣个包裹． ∵总工作量为8000件，， ∴机器人分拣8000件的时间为小时，20个工人分拣8000件的时间为小时， 统一单位：． ∵一台智能机器人所用时间比20个工人同时分拣所用时间少小时， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30min后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．乙每小时加工________个零件． 【答案】40 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确的运算是解题的关键． 根据题意可得到等量关系：乙用的时间-甲用的时候=小时，由此列出方程求解即可． 解：设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件，根据题意得 ： 解这个方程得： ， 经检验：是原方程的解， 故答案为：． 【变式3】（2026·重庆大渡口·二模）列方程解下列问题： 现有甲、乙两运输公司，已知甲运输公司每天的运输量比乙运输公司每天的运输量多吨，甲运输公司天的运输总量比乙运输公司天的运输总量多吨． （1）求甲、乙两运输公司每天的运输量分别是多少吨？ （2）随着业务的增加，甲、乙两运输公司都提高了运输能力．提高后，每天乙运输公司的运输量较提高前每天的运输量增加同样的数量，且每天甲运输公司的运输量较提高前每天增加的数量是乙运输公司每天增加数量的倍．若甲、乙两运输公司各运输货物吨，乙运输公司比甲运输公司多用天．求乙运输公司每天增加的运输量． 【答案】（1）甲运输公司每天运输量为吨，乙运输公司每天运输量为吨；（2）乙运输公司每天增加的运输量为吨 【分析】（1）设乙运输公司每天的运输量为吨，则甲运输公司每天的运输量为吨，根据甲运输公司天的运输总量比乙运输公司天的运输总量多吨列一元一次方程，求出的值即可得答案； （2）设乙运输公司每天的运输量每天增加吨，则甲运输公司每天的运输量每天增加吨，根据甲、乙两运输公司各运输货物吨，乙运输公司比甲运输公司多用天列方程，求出的值即可． 解：（1）解：设乙运输公司每天的运输量为吨，则甲输货公司每天的运输量为吨， ∵甲运输公司天的运输总量比乙运输公司天的运输总量多吨， ∴， 解得：， ∴（吨）． 答：甲运输公司每天运输量为吨，乙运输公司每天运输量为吨． （2）解：设乙运输公司每天的运输量每天增加吨，则甲运输公司每天的运输量每天增加吨， ∵甲、乙两运输公司各运输货物吨，乙运输公司比甲运输公司多用天， ∴， 解得：， 经检验：是分式方程的解，且符合题意， ∴乙运输公司每天增加的运输量为吨． 【题型 3】分式方程的应用——销售与利润问题 【例题3】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知用2400元购买甲种路灯的数量与用3200元购买乙种路灯的数量相等，且购买1盏乙种路灯比购买1盏甲种路灯多花20元． （1）求购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是多少元； （2）该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且购买甲种路灯的数量不超过购买乙种路灯数量的，求购买多少盏甲种路灯时，购买总费用最小，并求出最小的购买总费用． 【答案】（1）购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是60元、80元；（2）购买甲种路灯10盏时，购买总费用最小，最小的购买总费用为3000元． 【分析】 （1）设甲种路灯单价x元，乙种路灯单价元，根据题意列分式方程求解即可，注意检验． （2）设购买甲种路灯m盏，则乙种盏，得到，求出m的取值范围，设购买总费用为w元．根据题意得，根据w随m的增大而减小，求出w取最小值即可． 解：（1）解：设购买1盏甲种路灯是x元，则购买1盏乙种路灯是元． 根据题意得， 解得． 检验：当时，， 是此方程的解，且符合题意． ． 答：购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是60元、80元． （2）解：设购买甲种路灯m盏，则购买乙种路灯盏． 根据题意得， 解得． 设购买总费用为w元． 根据题意得， ， ∴w随m的增大而减小， 时，． 答：购买甲种路灯10盏时，购买总费用最小，最小的购买总费用为3000元． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地的1.25倍，用300元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．设菜苗基地每捆种菜苗的价格为元，则可列方程为__________． 【答案】 【分析】根据题目中给出的价格关系，分别表示出在市场和菜苗基地购买菜苗的数量，再根据“用元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆” 这一条件列出等式． 解：设菜苗基地每捆种菜苗的价格为元，则市场上每捆价格为元． 基地购买数量：捆； 市场购买数量：​捆； 根据数量差为，列方程：． 故答案为：． 【点拨】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是理清价格与数量的对应关系，根据题目中的数量差这一等量关系，准确列出分式方程． 【变式2】（2026·福建漳州·一模）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题（注释：椽是传统木构建筑用以支撑屋顶材料的木杆）．设这批椽有株，则符合题意的方程是 （   ） 原文：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽． 译文：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设这批椽有x株，则一株椽的价钱为，拿一株椽后，剩余株，根据剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，列出方程即可． 解：设这批椽有x株，依题意得 ． 【变式3】（25-26九年级下·河南南阳·期中）宇树科技机器人从去年的《秧》到今年的《武》，在舞台上“舞”出了新高度，是前沿科技和中国功夫的完美融合．某公司计划购买A，B两种型号的机器人用于分拣货物．已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣的货物，且A型机器人分拣货物所用的时间与B型机器人分拣货物所用的时间相同． （1）求A，B两种型号的机器人每小时分别分拣多少货物． （2）该公司计划购买A，B两种型号的机器人共10台，且购进一台A型机器人花费25万元，购进一台B型机器人花费20万元．若要求这两种型号的机器人每小时分拣的货物不少于，则该公司如何购进这两种型号的机器人才能使花费最低？最低花费是多少？ 【答案】（1）A型机器人每小时分拣货物，B型机器人每小时分拣货物；（2）该公司购进3台A型机器人，7台B型机器人才能使花费最低，最低花费为215万元 【分析】（1）设A型机器人每小时分拣货物，则B型机器人每小时分拣货物．根据A型机器人分拣货物所用的时间与B型机器人分拣货物所用的时间相同列出分式方程求解即可得出答案． （2）设购进A型机器人a台，则购进B型机器人台．由这两种型号的机器人每小时分拣的货物不少于得出a的取值范围，设总花费为W万元，则．然后根据一次函数的图象和性质求解即可． 解：（1）解：设A型机器人每小时分拣货物，则B型机器人每小时分拣货物． 由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解且符合题意． ∴． 答：A型机器人每小时分拣货物，B型机器人每小时分拣货物． （2）解：设购进A型机器人a台，则购进B型机器人台． 由题意，得， 解得． 设总花费为W万元，则． ∵， ∴W随a的增大而增大． ∴当a取最小值，即时，W最小，最小值为（万元）． （台）． 答：该公司购进3台A型机器人，7台B型机器人才能使花费最低，最低花费为215万元． 【题型 4】分式方程的应用——和、差、倍、分问题 【例题4】（2026九年级下·吉林长春·专题练习）机器人是人工智能与机器人技术（Robotics）的结合体．它不仅仅是能执行重复任务的机械臂，而是具备了“感知、思考、决策、行动”能力的智能体．某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等．求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料． 【答案】A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料 【分析】设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运，根据“A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等”列分式方程，即可求解． 解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 此时． 答：A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料． 【变式1】（2024·北京西城·二模）某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握分式方程的应用是解题的关键． 设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元，根据采购数量相同可列方程． 解：设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元， 依题意得，， 故选：C． 【变式2】（2024·山西晋中·三模）山西省宁武县被中国粮食行业协会命名为“中国高原莜麦之乡”，莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一．某莜麦标准化种植基地在改良前总产量为，改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的1.5倍，则改良前的平均亩产量为_______ 【答案】168 【分析】本题考查了分式方程的应用，设改良前的平均亩产量为，根据“改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩”列分式方程求解即可． 解：设改良前的平均亩产量为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 所以改良前的平均亩产量为． 【变式3】（2026·山东济宁·一模）随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． （1）每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ （2）若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】（1）每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米；（2）购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元 【分析】（1）设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米，根据题意列出，即可得到答案； （2）设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得，解得，设总成本为w元，则，当时，总成本w最低，即可得到答案． 解：（1）解：设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米．由题意，得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米． （2）解：设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得， 解得， 设总成本为w元，则， ，， 当时，总成本w最低， 最低成本为:，此时， 答：购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元． 二.培优题型精析 【题型 5】列一（二）元一次方程组与分式方程综合 【例题5】（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）某手工商店为响应“绿色生活”倡议，计划为社区市集制作环保袋，推广环保理念．现将员工按熟练程度分为两个组，高级组和初级组每天一共可以制作个环保袋，高级组3天制作的环保袋数量比初级组4天制作的环保袋数量多100个． （1）请问高级组和初级组每天制作的环保袋数量分别是多少个？ （2）由于环保袋销量很好，市集供不应求，商店为两组购进新设备以提高效率．升级后，初级组每天比原来多制作个环保袋，而高级组每天比原来多制作个环保袋．若升级后，高级组制作3000个环保袋所用天数与初级组制作1200个环保袋所用天数相同，求的值． 【答案】（1）高级组每天制作100个环保袋，初级组每天制作50个环保袋；（2）50 【分析】（1）设高级组每天制作个环保袋，初级组每天制作个环保袋，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）根据题意升级后，初级组每天制作个环保袋，高级组每天制作个环保袋，进而根据所用天数相同，列出分式方程，解方程，即可求解． 解：（1）解：设高级组每天制作个环保袋，初级组每天制作个环保袋 根据题意， 解得： 答：高级组每天制作100个环保袋，初级组每天制作50个环保袋 （2）解：升级后，初级组每天制作个环保袋，高级组每天制作个环保袋 解得： 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴的值为． 【变式1】（2026·河南·一模）某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木箱需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的3倍． 单价（元） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m a 160 长方形木板 b 600 （1）填空：__________，__________；（用含m的代数式表示） （2）求m的值； （3）现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完． 【答案】（1）；；（2）m的值为8；（3）制作竖式木箱12个，横式木箱4个，恰好将木板用完 【分析】（1）根据“数量总价单价”分别表示出正方形木板和长方形木板的数量 （2）根据（1）中结果，结合两者数量关系列出分式方程求解； （3）先根据第（1）问算出正方形木板20块、长方形木板60块，再根据两种木箱的用料，列出方程组求解，就能得到各自的制作数量． 解：（1）解： 根据题意得：，； （2）解：根据题意，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． m的值为8． （3）解：由（2）可知，， 即正方形木板有20块，长方形木板有60块． 设制作竖式木箱x个，横式木箱y个． 由题意，得， 解得 答：制作竖式木箱12个，横式木箱4个，恰好将木板用完． 【变式2】（2026·重庆·模拟预测）列方程（组）解下列问题： 旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范．某手工作坊制作了“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多分钟，制作对“花扣”和对“一字扣”共用分钟． （1）求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟； （2）因工作坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的倍，分钟制作的“花扣”对数是分钟制作的“一字扣”对数的，求升级后制作一对“一字扣”需多少分钟． 【答案】（1）制作一对“花扣”需要分钟，制作一对“一字扣”需要分钟；（2）分钟 【分析】（）通过设制作一对“花扣”和“一字扣”的时间为未知数，根据两种盘扣的制作时间差、总用时这两个等量关系，列出二元一次方程组，求解方程组得到两种盘扣各自的制作时间； （）设升级后“一字扣”的制作时间为未知数，结合升级前的时间和时间增加的倍数关系，表示出升级后“花扣”的制作时间，再根据两种盘扣在固定时长内制作数量的比例关系列出分式方程，求解并检验后，得到升级后“一字扣”的制作时间． 解：（1）解：设制作一对“花扣”需要分钟，制作一对“一字扣”需要分钟， 根据题意列方程组：， 解得， 答：制作一对“花扣”需要分钟，制作一对“一字扣”需要分钟． （2）解：设升级后制作一对“一字扣”需要分钟，则每对“一字扣”增加的时间为分钟，对应每对“花扣”增加的时间为分钟，升级后制作一对“花扣”的时间为： 根据题意列方程：， 化简得， 解得， 经检验是原方程的解，符合实际意义， 答：升级后制作一对“一字扣”需分钟． 【变式3】（2026九年级下·重庆·专题练习）为迎接3月日国际数学文化节，学校要准备两种趣味闯关道具．去年共准备了件，今年道具数量有所增加：其中A道具数量比去年多，B道具数量比去年多，今年两种道具总数比去年多件． （1）求今年准备的A，B两种道具各多少件？ （2）今年文化节活动当天，两组同学同时布置道具，第一组摆A道具，第二组摆B道具．已知第一组每小时摆的数量是第二组的倍，第一组比第二组提前分钟完成．求第二组每小时摆多少件B道具． 【答案】（1）今年准备A道具件，B道具件；（2）第二组每小时摆件B道具． 【分析】（1）设去年准备的A道具件，道具件，根据“今年A道具数量比去年多，B道具数量比去年多，今年两种道具总数比去年多件”为等量关系列二元一次方程组求解，再计算今年A，B两种道具各多少件即可； （2）设第二组每小时摆件B道具，则第一组每小时摆件A道具，根据“第一组比第二组提前分钟完成”为等量关系列分式方程求解即可． 解：（1）解：设去年准备的A道具件，道具件， ， 解得， 则（件），（件）， 答：今年准备A道具件，B道具件． （2）解：设第二组每小时摆件B道具， ， 经检验是原方程的解， 答：第二组每小时摆件B道具． 【题型 6】列一元一次不等式（组）与分式方程综合 【例题6】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）某商场计划销售，两种型号的商品，经调查，用1800元采购型商品的件数是用500元采购型商品的件数的3倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多20元． （1）求一件，型商品的进价分别为多少元？ （2）若该商场购进，型商品共100件进行试销，其中型商品的件数不大于型的件数，已知型商品的售价为170元/件，型商品的售价为160元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？ 【答案】（1）一件A型商品的进价为120元，一件B型商品的进价为100元；（2）该商品获得的最小利润为5500元 【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件型商品的进价元，根据题意，得，解方程即可． （2）设购进型商品个，则购进B型商品个，且，获利w元，根据题意，得，解答即可． 解：（1）解：设一件B型商品的进价为x元，则一件型商品的进价元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根．且符合题意， 此时， 答：一件A型商品的进价为120元，一件B型商品的进价为100元． （2）解：设购进型商品个，则购进B型商品个，且，获利w元， 根据题意，得， 由，得w随a的增大而减小， 由得， 故当时，w取得最小值，且最小值为， 故该商品获得的最小利润为5500元． 【变式1】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）渝北中学提档升级工程中要维修一段4800米长的围墙，有甲、乙两个工程队可供选择，甲、乙的工作效率始终保持不变．已知甲队每天比乙队多修40米，甲队单独修完这条路所用天数是乙队的． （1）求甲、乙两队每天各修围墙多少米？ （2）若施工时发现，需要维修的围墙总长度为米．先由甲队单独施工6天，再由两队合作施工天完成任务，请直接列出与的函数解析式． （3）若需要维修的围墙总长度为4800米，施工方决定先由两队合作施工若干天，再由甲队单独施工完成，要求总工期不超过20天．求两队至少需要合作多少天？ 【答案】（1）甲队每天修路200米，乙队每天修路160米；（2）；（3）两队至少需要合作5天 【分析】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用及一元一次不等式的应用； （1）设乙队每天修围墙x米，则甲队每天修围墙米，根据题意列分式方程，求解并检验即可； （2）根据题意求解即可； （3）设两队需要合作t天，根据题意列出不等式，求解即可． 解：（1）解：设乙队每天修围墙x米，则甲队每天修围墙米，由题意得 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（米）， 答：甲队每天修路200米，乙队每天修路160米； （2）解：由题意得：； （3）解：设两队需要合作t天，由题意得 解得， 答：两队至少需要合作5天． 【变式2】（2026·山东聊城·一模）为传承中华优秀传统文化，厚植学生家国情怀，学校精心策划并计划租用客车，组织全体师生前往孔子故里相关研学基地，开展主题为“弘扬儒学，传承经典”的研学实践活动． 请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一： 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客720人与用B型客车载客540人的车辆数相同． 材料二： A型客车租车费用为3800元/辆；B型客车租车费用为3500元/辆． 若租用B型客车，租车费用打八折． 学校参加研学活动师生共有570人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】（1）A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人；（2）36000元 【分析】（1）设A型客车每辆载客量为x人，根据题意列出分式方程即可求解； （2）设租A型客车m辆，B型客车辆，租车总费用w，根据载客量和总人数列出不等式确定m的取值范围，再计算出w，利用一次函数的性质即可求解． 解：（1）解：（1）设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为人， 由题意得，， 解得，， 经检验：是方程的根， ∴． 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． （2）解：设租A型客车m辆，B型客车辆，租车总费用w， 由题意得，， 解得， 由题意得，， ， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，， ∴本次研学活动学校最少租车费用为36000元． 【变式3】（25-26八年级下·河南南阳·期中）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我县某村出产的甲、乙两种猕猴桃．已知乙种猕猴桃每箱售价比甲种猕猴桃每箱售价多20元，400元所买甲种猕猴桃箱数与500元所买乙种猕猴桃箱数相等． （1）求甲、乙两种猕猴桃每箱的售价； （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种猕猴桃共12箱，且甲种猕猴桃的箱数不超过乙种猕猴桃的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【答案】（1）甲种猕猴桃每箱80元，则乙种猕猴桃每箱100元；（2）该公司最少需花费元 【分析】（1）设甲种猕猴桃每箱元，根据“400元所买甲种猕猴桃箱数与500元所买乙种猕猴桃箱数相等”列分式方程求解即可； （2）设购买甲种猕猴桃箱，根据“甲种猕猴桃的箱数不超过乙种猕猴桃的箱数”求出m的取值范围，设该公司需花费元，根据题意得到的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可． 解：（1）解：设甲种猕猴桃每箱元，则乙种猕猴桃每箱元， 依题意，得 解得 经检验，是原方程的解． 当时，， 所以乙种猕猴桃每箱100元， 答：甲种猕猴桃每箱80元，则乙种猕猴桃每箱100元； （2）解：设购买甲种猕猴桃箱，则购买乙种猕猴桃为箱． 依题意，得 解得 设该公司需花费元， 根据题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值，此时， 答：该公司最少需花费元． 【题型 7】列分式方程与一次函数综合 【例题7】（2026·山东青岛·一模）2026年马年春节联欢晚会中《武》《奶奶的最爱》等机器人表演节目火爆全网，让机器人成为新春热点．某文化演艺公司计划采购A，B两种型号的表演机器人，用于各类文艺演出的舞台呈现．据了解，A型机器人的单价比B型机器人的单价低3000元，用580000元购买A型机器人的数量和用640000元购买B型机器人的数量相同． （1）求A，B两种型号表演机器人的单价各是多少元； （2）该文化演艺公司计划购买A，B两种型号的表演机器人共25台，且A型机器人的购买数量不超过B型机器人购买数量的3倍，购买A型机器人多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】（1）A型机器人的价格为29000元，则B型机器人的价格为32000元；（2）故购买A型机器人18台，购买B型机器人7台时，费用最低，最低费用746000元 【分析】（1）设A型机器人的价格为x元，则B型机器人的价格为元，根据用580000元购买A型机器人的数量和用640000元购买B型机器人的数量相同，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，A型机器人买了台，采购费用为，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数的解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 解：（1）解：设A型机器人的价格为x元，则B型机器人的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根且符合题意， 此时， 答：A型机器人的价格为29000元，则B型机器人的价格为32000元． （2）解：根据题意，A型机器人买了台，则购买B型机器人的数量为台， 根据题意，得，解得， 采购费， 由得w随a的增大而减小， ∵a为整数，故当时，w取得最小值，最小值为（元） 故购买A型机器人18台，购买B型机器人7台时，费用最低，最低费用746000元． 【变式1】（2026·黑龙江佳木斯·一模）某文具店准备购进A、B两种文具，A种文具每件的进价比B种文具每件的进价多20元，用5000元购进A种文具的数量和用3000元购进B种文具的数量相同．文具店将A种文具每件的售价定为80元，B种文具每件的售价定为45 元． （1）A种文具每件的进价和B种文具每件的进价各是多少元? （2）文具店计划用不低于1560元且不超过1600元的资金购进A、B两种文具共40件，该文具店有几种进货方案? （3）在（2）的条件下，文具店利用哪种方案销售这40件文具获得的利润最大． 【答案】（1）A种文具每件的进价50元，B种文具每件的进价30元；（2）该文具店共有3种进货方案；（3）购进A种文具20件，B种文具20件时获得的利润最大 【分析】（1）设A种文具每件的进价为x元，根据“用5000元购进A种文具的数量和用3000元购进B种文具的数量相同”列分式方程，求解即可； （2）设购进A种文具a件，则购进B种文具件，根据资金的范围列出一元一次不等式，求出a的取值范围，取正整数即可得到进货方案数； （3）表示出总利润与a的关系式，根据一次函数的增减性，即可求出利润最大对应的进货方案． 解：（1）解：设A种文具每件的进价为元，则B种文具每件的进价为元． 由题意得， 解得， 经检验 是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A种文具每件的进价50元，B种文具每件的进价30元； （2）解：设购进A种文具a件，则购进B种文具件． 由题意得： ， 整理得 ， 解得：， ∵a为正整数， ∴a的取值为18，19，20，共3种情况， 答：该文具店共有3种进货方案； （3）解：设总利润为W元，A种文具每件的利润为（元），B种文具每件的利润为（元）， 则：， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∴当时，W取得最大值，此时． 答：购进A种文具20件，B种文具20件时获得的利润最大． 【变式2】  （24-25八年级上·湖南邵阳·期末） 2020年4月，我市各中小学校安全有序开学复课，为了切实做好安全防控工作，开学前夕，我市某中学准备在大药房采购一批口罩和水银温度计供师生使用．已知每盒口罩有100只，每盒水银温度计有10支，每盒口罩价格比每盒水银温度计价格高150元，且用1200元购买的口罩盒数与用300元购买的水银温度计盒数相同． （1）求每盒口罩的价格和每盒水银温度计的价格分别是多少元？ （2）采购员带着3200元钱准备采购口罩和水银温度计共计20盒，由于水银温度计紧缺，药房规定，至少采购两盒口罩才能采购一盒水银温度计，请你帮忙计算采购员可以采购口罩和水银温度计分别多少盒？ 【答案】（1）每盒水银温度计价格50元，每盒口罩价格200元；（2）可以购买14盒口罩，6盒水银温度计 【分析】（1）设每盒水银温度计价格x元，则每盒口罩价格元，根据“用1200元购买的口罩盒数与用300元购买的水银温度计盒数相同”建立分式方程求解； （2）设购买y盒口罩，则购买盒水银温度计，根据题意建立不等式组求解即可． 解：（1）解：设每盒水银温度计价格x元，则每盒口罩价格元， 由题意得： ，       解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：每盒水银温度计价格50元，每盒口罩价格200元； （2）解：设购买y盒口罩，则购买盒水银温度计， 由题意得： 解得 y只能取整数， ， 答：可以购买14盒口罩，6盒水银温度计． 【变式3】（2026·湖北黄石·一模）为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．已知每个篮球比每个排球贵50元，用600元购买篮球的个数与用400元购买排球的个数相同． （1）每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ （2）该校计划购买篮球和排球共30个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍． ①一共有多少种购买方案？ ②请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用． 【答案】（1）每个篮球的价格为150元，则每个排球的价格为100元；（2）①一共有20种购买方案；②最节省费用的购买方案是购买篮球10个，排球20个，最少费用为3500元 【分析】（1）每个篮球的价格为x元，则每个排球的价格为元，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）①设购买篮球的个数为m个，则购买排球的个数为个，由题意易得不等式组，进而求解即可； ②设购买篮球和排球的总费用为w元，由题意得易得，然后根据一次函数的性质进行求解即可． 解：（1）解：设每个篮球的价格为x元，则每个排球的价格为元，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴； 答：每个篮球的价格为150元，则每个排球的价格为100元． （2）解：①设购买篮球的个数为m个，则购买排球的个数为个，由题意得： ， 解得：， ∵m为整数， ∴m的值可以为10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29，共20个； 答：一共有20种购买方案． ②设购买篮球和排球的总费用为w元，由题意得： ， ∵，且， ∴当时，w有最小值，最小值为； 答：最节省费用的购买方案是购买篮球10个，排球20个，最少费用为3500元． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2026·广东东莞·一模）小亮与小红周末去松山湖的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据小红的骑行速度先表示出小亮骑行速度，然后根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列方程即可，注意统一时间单位． 解：小红的骑行速度为，小亮的速度是小红速度的倍， 小亮的速度为， 两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了，， 可得方程． 2．（25-26九年级下·海南·月考）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每天多搬5吨，A型机器人搬运100吨所用的时间与B型机器人搬运80吨所用的时间相等，两种机器人每天分别搬运多少化工原料？设A型机器人每天搬运吨化工原料，根据题意列方程得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】等量关系为A型机器人搬运100吨的时间与B型机器人搬运80吨的时间相等，据此列方程即可． 解：设A型机器人每天搬运吨，则B型机器人每天搬运吨，A型机器人搬运100吨的时间为，B型机器人搬运80吨的时间为， ∵两者所用时间相等， ∴列方程得． 3．（2025·河南商丘·模拟预测）某学校为有效地落实和推行“双减”政策，丰富学生课余生活，采购了一批科学实验器材和运动器材，它们的单价共800元，用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同，设科学实验器材单价为x元，依题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，找到等量关系列出分式方程即可． 解：由于用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同， ． 4．（2026·湖南永州·一模）甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知甲机器人每天比乙机器人每天少做140个零件，若设甲机器人每天做x个零件，则符合题意的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵ 设甲机器人每天做个零件，甲每天比乙少做140个零件， ∴ 乙机器人每天做 个零件. ∵ 时间总工作量日工作量，且二者所用时间相等， ∴ 甲做360个零件的时间为，乙做480个零件的时间为， ∴ 根据时间相等的等量关系，可得方程 ． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．则物体A的体积为（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题根据密度公式，结合已知的密度比和体积差，设未知数列方程求解即可． 解：设物体A的体积为， ∵物体B的体积比物体A大， ∴物体B的体积为， 根据密度公式，得，， 已知，，， 因此， 化简得， ， ， 解得， ∴物体A的体积为，答案选B． 6．（2026·广东惠州·一模）由于平台优化派单算法及改善交通工具，某外卖小哥现在每小时比原来可多送3件外卖，送40件的时间比原来少用了3小时．设原来平均每小时送件外卖，依题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原来每小时送件外卖，先表示出现在每小时送的外卖数量，再根据“时间总件数每小时送件数”分别表示出原来和现在送件外卖所用的时间，最后根据时间关系列方程即可． 解：∵原来平均每小时送件外卖，现在每小时比原来多送件， ∴现在平均每小时送件， ∴原来送件外卖所用时间为小时，现在送件外卖所用时间为小时， ∵现在送件的时间比原来少用小时， ∴原来所用时间现在所用时间， 即列方程得． 7．（25-26八年级上·福建福州·月考）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得27个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得12个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设甲农妇有x个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋，设甲的单价为a个铜板，乙的单价为b个铜板，根据卖得的钱数相同以及交换鸡蛋后的卖价关系列出方程即可． 解：设甲的单价为a个铜板，乙的单价为b个铜板， 则甲卖自己的鸡蛋得钱个铜板，乙卖自己的鸡蛋得钱个铜板， ∴， ∵甲卖乙的鸡蛋按甲的单价得27铜板，乙卖甲的鸡蛋按乙的单价得12铜板， ∴，， ∴， ∴，即， 故选A． 8．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）随着科技和环保意识的不断提高，电动汽车行业的发展前景越来越好．如图，，分别表示某款燃油汽车和某款电动汽车所需费用y（元）与行驶路程s（千米）的关系．已知燃油汽车每千米所需的费用比电动汽车每千米所需的费用的3倍多0.1元，设电动汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图像中提取信息并列分式方程，掌握利用路程相等建立等量关系，结合总费用与单位里程费用的公式列方程是解题的关键． 先根据题意表示出燃油汽车每千米的费用，再由图像可知两种汽车行驶路程相同，结合路程=总费用÷每千米费用列出等式方程． 解：∵电动汽车每千米所需的费用为元 ∴燃油汽车每千米所需的费用为元 ∵从图像中可以看出，当燃油汽车的费用为35元时，行驶的路程为；当电动汽车的费用为10元时，行驶的路程也为， ∴燃油汽车行驶的路程=电动汽车行驶的路程 ∵路程=总费用÷每千米费用 ∴ 燃油汽车行驶的路程为，电动汽车行驶的路程为 ∴ 根据路程相等，可列出方程： 故选：D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026·江西吉安·二模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题可译为：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为里/天，则可列方程：________． 【答案】 【分析】根据它们所需时间与规定时间的关系列方程即可． 解：设慢马的速度为里/天， 由题意可列方程：. 10．（25-26八年级上·山西忻州·期末）以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“绛州鼓乐”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做个、甲工作组做个所用的时间与乙工作组做个所用的时间相等．若设甲工作组每天做个，则根据题意，可列方程为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，设甲工作组每天做个，则乙工作组每天做个，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 解：设甲工作组每天做个，则乙工作组每天做个， 根据题意得，， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·全国·周测）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名，某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为______元． 【答案】55 【分析】本题考查了分式方程的应用，解决本题的关键是根据题意建立分式方程. 设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可. 解：设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元， 解得： 经检验，是分式方程的解，且符合题意. 答：大号“龙辰辰”的单价为55元. 故答案为：55 ． 12．（25-26八年级上·陕西安康·期末）某种植园区计划移栽一批黄花菜幼苗．已知用机器移栽每天可移栽的幼苗数量是用人工移栽每天移栽幼苗数量的4倍，且人工移栽完这批幼苗比机器移栽完多用3天．若这批黄花菜幼苗的总数为4000株．设人工移栽每天移栽幼苗的数量是x株，可列方程为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找到等量关系是解决本题的关键． 先根据题意可得机器每天移栽幼苗株，再根据总幼苗为4000株，分别表示人工和机器所需天数，最后根据人工移栽比机器移栽多用3天列方程即可． 解：∵人工每天移栽幼苗株， ∴机器每天移栽幼苗株， ∵总幼苗数为4000株， ∴人工移栽所需天数为天，机器移栽所需天数为天， 根据题意，人工移栽比机器移栽多用3天， ∴， 故答案为：． 13．（2026·陕西咸阳·二模）太阳能是一种可再生资源．现有甲、乙两种品牌的太阳能照明灯，已知相同光照环境下，乙品牌比甲品牌每小时多储存电量，乙品牌储存电量与甲品牌储存电量所用的时间相等，则乙品牌每小时可储存________电量． 【答案】 【分析】设乙品牌每小时可储存电量，根据储存时间相等列分式方程求解并检验即可． 解：设乙品牌每小时可储存电量，则甲品牌每小时可储存电量， ​， 解得， 经​检验，是原方程的解且符合实际意义， ∴乙品牌每小时可储存电量． 14．（25-26八年级上·四川南充·期末）春运期间，两列火车匀速行驶．一列长的客运火车完全通过一条长的山体隧道和一列长的货运火车完全通过一座长的跨河大桥所用时间恰好相等．当这列货运火车完全通过该山体隧道时，同一时间内客运火车行驶的路程为________ 【答案】/米 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． 根据两车完全通过各自隧道和大桥的时间相等，建立速度关系；再根据货运火车完全通过山体隧道的时间，计算同一时间内客运火车行驶的路程． 解：设客运火车速度为，货运火车速度为 ， ∴客运火车完全通过山体隧道的路程为，时间， 货运火车完全通过跨河大桥的路程为 ，时间， ∵时间相等，即， ∴， ∴， ∵， ∴原方程有意义， 当货运火车完全通过山体隧道的路程为，时间为， ∴同一时间内，客运火车行驶的路程 ， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）在“母亲节”前夕，某花店用3000元购进第一批鲜花礼盒，上市后很快销售一空，根据市场的需求，该花店又用5000元购进第二批鲜花礼盒，且第二批购进的鲜花盒数是第一批购进的鲜花盒数的2倍，每盒鲜花进价比第一批少了10元，那么第一批鲜花礼盒的进价是每盒_____元． 【答案】60 【分析】设第一批鲜花礼盒每盒的进价为元，则第二批每盒进价为元，根据第二批购进盒数是第一批的倍，列分式方程求解检验即可. 解：设第一批鲜花礼盒的进价是每盒元，则第二批每盒进价为元. 第一批购进的盒数为盒，第二批购进的盒数为盒. ∵第二批购进的鲜花盒数是第一批购进鲜花盒数的倍， ∴， 交叉相乘化简得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故第一批鲜花礼盒的进价是每盒元. 16．（2026·广西玉林·一模）为迎接年广西“三月三”，某校开展了“壮韵三月三”游园活动，其中兑奖处准备了一个不透明的抽奖箱，箱内装有绣球兑换券和铜鼓兑换券两种完全相同的奖券，其中绣球兑换券有张．为估算铜鼓兑换券的数量，工作人员设计了如下方案：每次从箱子中随机摸出一张奖券，记录奖项后放回，摇匀后再摸，重复多次后，统计数据如下表 摸奖券次数 摸到绣球兑换券次数 请根据以上数据，估算箱子中铜鼓兑换券的张数__________． 【答案】 【分析】本题利用频率估计概率的知识点，先根据大量重复试验中，频率可估计概率，由表格数据可知，摸到绣球兑换券的频率逐渐稳定在，即估计摸到绣球兑换券的概率为． 解：设箱子中铜鼓兑换券有张， 由表格中的数据可知，当摸奖次数为时，摸到绣球兑换券的频率为，由此估计摸到绣球兑换券的概率约为， 根据概率公式得：， 解方程：， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解，符合题意． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·河南周口·期中）甲、乙两人从A地到B地，甲骑慢车，乙骑快车，乙速度是甲的3倍，乙比甲早40分钟到达，A、B相距12千米． （1）求甲、乙速度； （2）甲出发10分钟后乙出发追甲，乙多久追上？ 【答案】（1）甲的速度为12千米/时，乙的速度为36千米/时；（2）乙5分钟追上 【分析】（1）设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为千米/时，根据“乙比甲早40分钟到达”列分式方程求解； （2）设乙出发t小时追上，根据题意列出一元一次方程求解． 解：（1）解：设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为千米/时， 根据题意得， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意 ∴（千米/时） 答：甲的速度为12千米/时，乙的速度为36千米/时； （2）解：设乙出发t小时追上， 根据题意得，， 解得小时分钟， 答：乙5分钟追上． 18．（2026·广东深圳·一模）随着人们生活水平的不断提升，体育器材逐渐成为日常消费用品．某体育用品商场预计某品牌运动器材会十分畅销，便以元购进一批该款运动器材．商品上市后迅速售罄，商场随即又用元购进第二批同款运动器材．第二批购进的数量是第一批的倍，每套器材的进价比第一批多出元． （1）该商场两次共购进这种运动器材多少套？ （2）如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每套器材售价至少是多少元（结果取整数）？（） 【答案】（1）该商场两次共购进这种运动器材套；（2）每套器材售价至少是元． 【分析】（）设第一批购进运动器材套，则第二批购进套，根据题意可得，然后解分式方程并检验即可； （）设每套器材售价为元，由总利润率不低于可得，然后解不等式并检验即可． 解：（1）解：（1）设第一批购进运动器材套，则第二批购进套， 根据题意可得：， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则两次共购进：（套）， 答：该商场两次共购进这种运动器材套； （2）解：设每套器材售价为元， ∵成本为（元）， ∴利润为， 由总利润率不低于可得：， 解得， 因为取整数， 所以的最小值为， 所以每套器材售价至少是元． 19．（2026·广西南宁·一模）为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天．设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花． （1）用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘________千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要________天； （2）求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克． 【答案】（1）；；（2）50千克 【分析】（1）根据一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍可得一台智能采摘机器人平均每天可采摘千克茉莉花；采摘200千克茉莉花需要的时间=总重量÷每天采摘量，即天； （2）根据“一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天”列分式方程解答即可． 解：（1）解：根据题意得：一台智能采摘机器人平均每天可采摘千克茉莉花； 采摘200千克茉莉花需要的时间为（天）； （2）解：依题意，得， 解得． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 智能采摘机器人平均每天采摘量：． 答：这台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花50千克． 20．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20只，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球实验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 52 138 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 （1）若从盒子里随机摸出1只球，则摸到白球的概率的估计值为_____；（精确到） （2）盒子里白球有_____只； （3）若将个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据频率估计概率的原理，试验次数足够大时，频率稳定在概率附近，据此求解即可； （2）已知盒子总球数为20只，由（1）得摸到白球的概率为，进而计算白球数即可； （3）加入个白球后，白球总数为，总球数为，由“摸到白球的概率为”列方程，进行求解即可． 解：（1）解：由表格数据得：当摸球次数时，摸到白球的频率稳定在左右， ∴摸到白球的概率的估计值为； （2）解：∵盒子中总共有20只球，由（1）得摸到白球的概率为， ∴白球数量为：（只）； （3）解：由题意得，白球总数变为，盒子中总球数变为， ∵“随机摸出1个球是白球的概率为”， ∴ 解得， 经检验，， ∴是原方程的解， ∴的值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $