专题 5.2 分式的运算（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 5.2 分式的运算（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】分式的乘除法 1 【题型 1】分式的乘法 1 【题型 2】分式的除法 3 【题型 3】分式的乘除法混合运算 5 【知识点二】分式的加减法 7 【题型 4】最简公分母与通分 8 【题型 5】同分母分式的加减法 10 【题型 6】异分母分式的加减法 11 【题型 7】分式的加减乘除混合运算 13 【题型 8】分式的化简求值 15 二.培优题型精析 17 【题型 9】分式加减乘除混合运算 17 【题型 10】分式的化简求值 21 【题型 11】分式运算的实际应用 24 【题型 12】分式的最值 28 三.同步检测 32 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 32 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 36 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 40 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】分式的乘除法 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母; 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 即：， 【要点提示】（1）除法只颠倒除式，被除式保持不变，不要两个分式都颠倒；（2）含多项式分式相乘，优先因式分解，再约分，禁止直接拆开硬乘；（3）整式可看成分母为1的分式，再套用法则计算。 【题型 1】分式的乘法 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式乘法的运算法则是解题的关键． （1）先根据分式的乘法法则计算，再约分即可； （2）先将分子和分母因式分解，然后按照分式的乘法法则计算，再约分即可． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25七年级上·上海松江·月考）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法法则是解题关键．根据分式的乘法法则计算即可得． 解：原式 ， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘法运算，熟知运算法则和因式分解是解题的关键．通过因式分解分母并利用符号变化简化表达式． 解：原式 = ， 故选： C． 【变式3】（2024七年级下·浙江·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算． （1 ）先乘方，再计算乘除． （2 ）先把分子分母因式分解，然后约分即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型 2】分式的除法 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查分式的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先将除法化为乘法，然后约分即可． （2）先把分式的分子和分母分解因式，除法化成乘法，然后约分即可． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·河北张家口·期末）分式的运算结果为，则“□”处的运算符号是（    ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 【答案】D 【分析】此题考查了分式的加减乘除运算．本题可先利用平方差公式对分母因式分解，再将各运算符号代入分式运算，对比结果确定正确符号． 解：∵ 将“”代入□： 原式= = 与题目运算结果一致． 代入其他符号验证： 若为“＋”： 若为“－”： 若为“×”： ∴“□”处的运算符号是÷， 故选D 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，先将除法运算转换为乘法运算，再因式分解后约分即可求解，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 解：原式， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的除法运算，因式分解在分式约分中的应用，掌握分式除法转化为乘法，再因式分解约分的步骤是解题的关键． （1）将除法转化为乘法，对分子提取负号变形后约分； （2）将除法转化为乘法，对分子分母的多项式因式分解后约分． 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型 3】分式的乘除法混合运算 【例题2】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分式的混合运算． （1）根据分式的除法法则把除法转化为乘法，再根据分式的乘法法则进行计算； （2）首先进行乘方和除法运算，可得：原式，再根据分式的性质通分、相减． 解：（1）解： （2）解： ． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果为___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，掌握因式分解和分式的约分是解题的关键． 先将分式的除法转化为乘法，然后对分子和分母进行因式分解，最后通过约分简化表达式． 解：原式 ． 故答案为：． 【变式3】（2025八年级上·湖北武汉·专题练习）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）根据分式的乘除运算法则计算即可． （2）先计算乘方，再计算乘除即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【知识点二】分式的加减法 （1）同分母的分式相加减，分母不变,把分子相加减。 即： 【要点提示】（1）分母恒定：运算全程分母保持不变，只对分子做加、减运算；（2）分子整体运算：分子是多项式时，加减必须整体加括号，防止符号出错；（3）符号易错：减去一个分式时，减数分子每一项都要变号；（3）结果化简：计算完毕后，务必约分，结果化为最简分式或整式。 （2） 通分与最简公分母：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。为了计算方便，异分母的分式通分时,通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母。 （3） 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再按同分母的分式的加减法法则进行计算。 【要点提示】（1） 核心步骤：先通分→再加减→最后化简，三步缺一不可；（2）通分关键：找各分母的最简公分母，不要盲目直接相乘，简化计算；（3）分子运算：通分后分子为多项式时，必须添加括号，避免符号错误；（4）符号规则：减去一个分式时，减数分子各项全部变号；（4）结果要求：计算结束后，务必因式分解、约分，化为最简分式或整式；（5）隐含条件：所有分母、最简公分母均不能为 0。 【题型 4】最简公分母与通分 【例题4】（2026八年级下·全国·专题练习）把，，通分过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的通分，需先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，给每个分式的分子分母同乘相应因式，逐一验证选项即可找出错误项．据此判断即可得答案． 解：∵三个分式的分母分别为，，， ∴最简公分母为，故A选项正确； ∴，故B选项正确； ∴，故C选项正确； ∴，故D选项错误． ∴故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·广东肇庆·期末）如果把分式与进行通分，它们的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简公分母的确定．先将分式的分母因式分解，再根据最简公分母的定义，取各分母所有因式的最高次幂的乘积得到最简公分母． 解：分式与的最简公分母是． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）分式，，的最简公分母是____________． 【答案】 【分析】 取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 解：各分式的分母分别为，，，则最简公分母为． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）对分式，通分，两个分式的最简公分母是______，通分的结果是______；=______． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，通分等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 两个分式的分母分别为和，最简公分母需取系数的最小公倍数和变量的最高次幂，即； 通分时根据分式的基本性质，将分子和分母同乘相应因式． 解：分母和的系数最小公倍数为6， 分母中最高次幂为， 故最简公分母为； 通分：， ， 故答案为：，，． 【题型 5】同分母分式的加减法 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1；（2） 解：（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）化简的结果为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 解：原式． 【变式2】（2026·辽宁沈阳·一模）计算的结果是______． 【答案】a 【分析】根据同分母分式的减法法则计算，再因式分解约分得到最简结果． 解：． 【变式3】（25-26八年级下·山东济南·月考）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 解：（1）解：； （2）解： ． 【题型 6】异分母分式的加减法 【例题6】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先确定公分母为，再通分化成同分母分式计算即可； （2）先确定公分母，再通分化为同分母分式计算． 解：（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式1】（25-26九年级上·河南三门峡·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的加减运算，需将整式转化为同分母分式，再依据同分母分式的加减法则计算． 解：∵原式=， ∴将化为分母为的分式，得， ∵同分母分式相加，分母不变，分子相加， ∴分子计算：， ∴原式． 故选：C． 【变式2】（2026·湖北鄂州·模拟预测）化简分式的结果是___________． 【答案】 解： ． 【变式3】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）化简： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型 7】分式的加减乘除混合运算 【例题7】（25-26八年级下·河南周口·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和因式分解是解题关键． （1）先算括号内的分式加法，再分解因式，最后进行分式乘法运算并约分； （2）先算括号内的分式加法，再分解因式，将除法转化为乘法，最后约分． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的混合运算，正确计算是解题的关键． 先化简括号内的表达式，将其通分为一个分式，然后利用除以分数等于乘以倒数的性质，最后约分得到结果． 解：∵ 原式 = 故选： A． 【变式2】（25-26八年级上·山东德州·期末）化简的结果是____________________ ． 【答案】/ 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，即可求解． 解：原式 ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 解：（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ． 【题型 8】分式的化简求值 【例题8】（25-26八年级下·河南南阳·期中）先化简，再求值：，在，，中选取适当的一个作为x的值代入求分式的值． 【答案】，当时，原式． 【分析】先根据分式混合运算法则化简，得出最简结果，再根据分式有意义的条件得出，代入求值即可． 解： = = =， ∵有意义， ∴，， ∴，， ∴在，，中只能取， 当时，原式． 【变式1】（25-26八年级上·广东广州·月考）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的化简求值、完全平方公式，由已知方程变形得到 ，利用完全平方公式可得，最后代入化简后的表达式求解． 解：，且 ， 等式两边除以，可得：， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（2026·四川成都·二模）已知，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】本题先根据分式的运算法则化简原式，再结合已知等式变形，整体代入化简后的式子计算即可得到结果． 解： ， ， 移项得：， 将代入， 可得：原式． 【变式3】（25-26九年级下·重庆沙坪坝·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】，4 【分析】先按照分式混合运算顺序化简原式，再根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则计算出的值，代入化简后的式子即可求出结果． 解： ， ， 将代入化简后的式子得： 原式． 二.培优题型精析 【题型 9】分式加减乘除混合运算 【例题9】（25-26八年级上·全国·课后作业）化简： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】先将除法转化为乘法，再进行约分，最后通分计算减法； 先对括号内的分式进行加法运算，再将除法转化为乘法，然后约分计算； 先对括号内的分式进行加法运算，再将除法转化为乘法，然后对分子分母进行因式分解并约分． 解：（1）解：原式 ． 故答案为：． （2）解：原式 ． 故答案为：． （3）解：原式 ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式加法、除法的运算法则，正确对分子分母进行因式分解以便约分． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）已知为整数，且计算的结果为整数，则所有符合条件的的值的和为（   ） A．0 B．12 C．10 D．8 【答案】C 【分析】先对原式进行分式的混合运算，将其化简为最简形式，再根据结果为整数且为整数的条件，确定的取值，最后计算所有符合条件的的值之和． 解：∵ 原式 = = = = = ． 令（为整数），则， ∴ ． ∵ 为整数， ∴ 为整数，即为的因数：， ． 当时，；时，；时，；时，． 当时，原式无意义，舍去， ∴的值只能为，，． ∴ 所有值之和为． 故选：C． 【点拨】本题考查了分式的混合运算、分式有意义的条件以及整数解的确定，解题关键是先化简分式，再根据整除性确定的取值，同时要排除使分母为的情况． 【变式2】  （25-26八年级上·全国·课后作业）若，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】先化简代数式，再结合已知条件求值，即可解答． 解：原式 ， 又， 提取公因式，，， 则代数式的值为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的乘除运算、除法变乘法、因式分解约分是解题的关键． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）.；（2）. 【分析】本题涉及分式的加减与除法运算，需要先对括号内的分式进行通分相加，再将除法转化为乘法进行计算． 解：（1）原式 ． （2）原式 ． 【点拨】在分式混合运算中，通分是关键步骤，要注意将分子分母因式分解后再进行运算． 【题型 10】分式的化简求值 【例题10】（2026·重庆·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】先分别计算整式乘法与分式除法部分，将整式乘法展开合并同类项，分式除法转化为乘法后约分，再将两部分通分合并得到最简分式；最后代入a的求值结果计算最终数值． 解：原式 ， 原式． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式化简、平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．先将分式化简为，然后利用完全平方公式得出，，代入计算即可得出结果． 解： ， 由，且， ，， ，， ， ，， 原式， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）已知为整数且满足代数式的值为整数，则的所有取值为______ 【答案】或或 【分析】本题考查了分式的特殊解，熟悉掌握因式分解化简分式是解题的关键． 先简化代数式，将除法转化为乘法并约简，得到最简分式；令分式值为整数，利用整数条件求解，并排除使分母为零的值． 解：原式= = = = =， 设 （为整数），则， 整理得：， ∴， 令（为整数且），则， 由于为整数，需为整数，故为的因数：，， 代入求： 时，； 时，； 时，； 时，（舍去，因分母为零）； 时，（舍去，因分母为零）； 时，（舍去，因分母为零） 综上，的所有取值为：，，， 故答案为：，，． 【变式3】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）先化简，再从，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式的化简求值、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后选择一个分式有意义的a的值求解即可． 解： ， ∵当a取和2时，分式无意义， ∴a只能取1， 当时，原式． 【题型 11】分式运算的实际应用 【例题11】（2026·江苏扬州·一模）谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． （1）刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg，第二次大米的价格为5元/kg．两次购买大米总体看谁更划算？ （2）如果第一次购买大米的价格为元/kg，第二次购买大米的价格为元/kg，且，则两次购买大米总算下来谁更划算呢？ 【答案】（1）总体看刘奶奶更划算；（2）总体看刘奶奶更划算 【分析】对于（1），因为已知两次大米的具体单价，所以分别根据刘奶奶和张奶奶的购买习惯，计算两人两次购买的总花费和总质量，再利用平均单价公式算出各自的平均单价，最后比较大小． 对于（2），因为单价是字母和，所以同样按照（1）的思路，用含、的代数式表示出两人的总花费、总质量，进而得到平均单价的代数式，再通过作差法比较两个代数式的大小，判断谁的平均单价更低． 解：（1）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg， 张奶奶两次购买大米的均价为元/kg， ， 总体看刘奶奶更划算． （2）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg， 张奶奶两次购买大米的均价为元/kg， ， 又购买大米的价格都在波动，即，， ， ， 总体看刘奶奶更划算． 【变式1】（25-26八年级上·河北石家庄·月考）一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作30小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】B 【分析】设工作总量为1，根据甲乙合作完成时间得到合作工作效率，结合甲单独完成时间得到甲的工作效率，进而求出乙的工作效率，再根据时间工作总量工作效率，计算乙单独完成需要的时间． 解：设工作总量为1， ∵甲单独做需小时完成，甲乙合作小时完成， ∴甲的工作效率为，甲乙合作的工作效率为， ∴乙的工作效率为， ∴乙单独完成需要的时间为（小时）． 【变式2】（25-26八年级上·北京丰台·期末）甲、乙二人在某公园的健身步道进行健走锻炼，他们从同一起点同时出发，最终到达同一终点．设甲一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走；乙一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走．若健走全程为2公里，甲、乙健走全程的时间分别为，且． （1）___________（用含有的式子表示）； （2）___________（填“甲”或“乙”）首先到达终点． 【答案】 乙 【分析】本题主要考查了分式减法的应用，正确表示出是解题的关键． （1）根据时间等于路程除以速度求出甲两段路程的时间，求和可得，先求出乙的平均速度，进而求出，再作差即可得到答案； （2）根据（1）的结果结合即可得到结论． 解：（1）由题意得， ， ∴ ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴当时，，，即，则乙先到． 故答案为：乙． 【变式3】（24-25八年级下·福建福州·期中）小张和小王的加油习惯不同，小张每次都说：“师傅，帮我把油箱加满！”，而小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油！”（油箱未加满）．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小张和小王第一次加油油价为元／升，第二次加油油价为元／升． （1）用含，的代数式分别表示小张和小王两次所加油的平均单价；（结果化成最简） 小张两次所加油的平均单价：______； 小王两次所加油的平均单价：______． （2）小张和小王的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由． 【答案】（1）小王两次所加油的平均单价为元/升；小张两次加油的平均单价为元/升；（2）当时，两种加油方式的平均单价相同；当时，小王的加油方式更省钱，见详解； 【分析】本题考查分式运算的实际应用；作差法比较两个实数的大小． （1）根据加油量=费用÷油的单价，平均单价=两次加油花的钱÷两次加油的总量列代数式即可； （2）用小王的平均油价减去小张的平均油价，如果大于0则小张的省钱，如果小于0则小王的省钱，等于0则费用一样； 解：（1）解：小王两次所加油的平均单价为： 元/升； 设小张油箱加满能加a升． 小张两次加油的平均单价为元/升； （2）解：， ∵，， ∴当时，，即， 两种加油方式的平均单价相同； 当时， 即，即， 小王加油的平均单价低，小王的加油方式更省钱． 【变式1】（25-26九年级上·北京顺义·期末）已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查基本不等式的运用，掌握基本不等式公式是解题的关键． 先将原式拆分并化简，再利用正实数的基本不等式（当且仅当时取等号）求解最小值． 解：∵，为正实数， ∴原式可拆分化简为：， ∵正实数，满足， 令，， 则， 当且仅当，即时取等号， ∴， 即原式的最小值为9， 故选D． 【题型 12】分式的最值 【例题12】（25-26八年级上·上海·月考）阅读下面内容：当，时，，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为________；当时，的最大值为________． （2）当时，求的最小值． （3）如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题主要考查分式的值、三角形的高与面积的关系及完全平方公式，熟练掌握分式的求值及完全平方公式是解题的关键； （1）根据题中所给公式可直接进行求解； （2）由题意可把所求分式进行变形，然后再利用公式进行求解最值即可； （3）设，由题意易得，则有，然后根据题中所给公式可进行求解． 解：（1）解：当时，； ∴当且仅当时，即当时，有最小值2； 当时，， ∵， ∴，即． ∴当且仅当时，即当时，有最大值； 故答案为：2，； （2）解：当时， ， ∴当时，当且仅当时，即当时，y的最小值为11； （3）解：设， ∵， ∴由等高三角形可得：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：，当且仅当，即时取等号， 即四边形面积的最小值为25． 【变式2】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 【答案】 3+ 3 【分析】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算． （1）将分子化为分母的倍数与常数的和，然后拆分分式； （2）先将分式化为整式与常数分子的分式的和，再利用分母求最小值． 解：（1）解：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，分式取得最小值3． 【变式3】（25-26八年级上·吉林·期末）下面是八年级数学的拓展学习片段： 例题：求证：． 证明：∵， ∴， ∴． 认真学习例题后，解答下面问题： （1）求证：； （2）若，则的最小值为_____． 若，则的最大值为_____． （3）的最小值为_____． 的最小值为_____． （4）有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值． 【答案】（1）见分析；（2），；（3），；（4）． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，完全平方公式的几何背景，熟练掌握并能灵活运用配方法是解题的关键． （）依据题意，由，则，从而，即可得解； （）依据题意，由，则，从而得解； 依据题意，由，又，可得，进而得解； （）依据题意得，，可得的最小值为，从而得解； 依据题意得，，则的最小值为，从而得解； （）依据题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为，，则 ，第三个正方形的边长为，故第三个正方形的面积为，又，可得，即可得解． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：由题意，∵， ∴， 故答案为：； 由题意，∵， 又， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：； （3）解：由题意得，， ∴的最小值为， 故答案为：； 由题意得，， ∴的最小值为， 故答案为：； （4）解：由题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为，， ∴，第三个正方形的边长为， ∴第三个正方形的面积为， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴第三个正方形面积的最大值为． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·江苏南京·月考）分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照规则分别确定系数的最小公倍数和各字母的最高次幂，相乘后即可得到结果． 解：① 取各分母系数的最小公倍数，两个分母系数均为，最小公倍数为； ② 取各分母中所有出现字母的最高次幂，出现的字母为 ，，，每个字母的最高次数都是， 将所得结果相乘，最简公分母为 ． 2．（25-26八年级上·北京西城·期末）下列各式从左到右的变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键． 根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，逐项判断变形是否正确． 解：A: （分子从变为，分母从变为，未同时乘以或除以相同整式）． 变形不一定正确． B:（分子分母同乘，且）． 变形一定正确． C: （除非）． 变形不一定正确． D: （分子分母同乘得，，除非）． 变形不一定正确． 故选B． 3．（2026·天津东丽·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通分后利用同分母分式的运算法则进行化简． 解： ． 4．（25-26七年级下·全国·单元测试）若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式的通分、解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握分式的运算法则． 先根据分式的通分求出，再求解即可． 解：， ， ， 解得． 故选：． 5．（2026·河南周口·一模）如果，那么的值为（　　） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】先通过分式运算法则化简所求代数式，再利用已知条件整体代入求值． 解：∵ ∴ ． 6．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的加减运算的应用， 根据原计划和实际的工作效率，分别求出完成时间，再计算两者的差值即为推迟天数． 解：原计划时间为：总路程为米，原计划每天修米，故原计划完成时间为天． 实际时间为：实际每天修米，故实际完成时间为天． ∴推迟天数为实际时间减去原计划时间， ∴ ． 故选：B． 7．（2025·河北唐山·三模）下面是一道化简求值题，其中括号内的部分丢失：（   ）已知该题化简的结果是，则括号内的式子为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了分式混合运算，括号内的式子为，进行分式混合运算，即可求解；能熟练进行分式混合运算是解题的关键． 解：由题意得 ； 故选：C． 8．（2025·山东威海·一模）定义运算：（，且为正整数）．若，；；…，化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字类规律探究，分式的加法运算，先根据给定的式子，推出，再根据异分母的分式的加法法则，进行计算即可． 解：当时， ， ， ， ∴， ∴ ； 故选A． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·天津·开学考试）计算：______ 【答案】 【分析】先根据分式除法法则将除法转化为乘法，再对多项式因式分解，最后约分得到计算结果． 解： ． 10．（25-26八年级上·北京延庆·期末）计算：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘方和乘法运算，需熟练掌握相关运算法则．运用分式的运算法则进行化简即可． 解：． 故答案为：． 11．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）若，则_____． 【答案】/ 【分析】先根据题意求出，然后整体代入求解即可． 解：∵， ∴， ∴，即 ∴． 12．（24-25八年级上·山东济南·期末）计算______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则进行计算即可求解． 解：， 故答案为：． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：______． 【答案】1 【分析】本题考查分式混合运算，关键是熟练掌握通分约分． 先对括号内的表达式进行通分并计算加法运算，然后利用乘法进行约分化简． 解： ， 故答案为：1． 14．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）已知可以写成，根据这一做法解决：当整数的值为______时，分式的值为整数． 【答案】3或1或7或-3 【分析】先将分式通过拆分变形为整式与真分式相加的形式，转化为；再根据分式的值为整数，得出必须为整数，进而确定是5的约数，最后通过枚举5的所有整数约数求出的整数值． 解：， 是整数， 应是整数， ， 或或或， 解得：或或或． 15．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）张华和李明同时从甲地沿同一线路步行去乙地．张华在前半段路程的平均步行速度是，在后半段路程的平均步行速度是；李明全程的步行速度是．已知甲乙两地的路程为，且，张华从甲地到乙地所用的时间为______；张华和李明先到达乙地的是_______（填“张华”或“李明”或“同时到达”或“不能确定”） 【答案】 李明 【分析】本题考查了分式混合运算的应用，理解题意是解题的关键． 根据时间路程速度，求出张华从甲地到乙地所用的时间；再求出李明从甲地到乙地所用的时间，利用作差法比较两人所用时间的多少，用时较少的即可先到达乙地． 解：张华从甲地到乙地所用的时间为； 李明从甲地到乙地所用的时间为， ， ∵，，， ∴，即张华所用的时间大于李明所用的时间， ∴先到达乙地的是李明． 故答案为：；李明． 16．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变的更甜．假如现在有一杯质量为100克的糖水，其中含有a克糖（）；现在再向其中添加10克糖，据此我们可以提炼出一个关于糖水的不等式．小聪得到的不等式是“”；小敏得到的不等式是“”．聪明的你认为________所得到的不等式是正确的． 【答案】小敏 【分析】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用作差法进行比较，即可解答． 解：， ， ， ， ， 不能确定的正负， 小聪得到的不等式不一定正确； ， ， ， ， ， ， 小敏得到的不等式正确； 故答案为：小敏 （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解： ； （2）解： ． 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中a从，，0，1，2中选取一个合适的数． 【答案】，当时，原式；（答案不唯一，或当时，原式） 【分析】先根据分式的运算法则把所给分式化简，再从，，0，1，2中选取一个使原分式有意义的数代入计算即可． 解：原式， 根据分式有意义的条件可得，， 当时，原式． 当时，原式． 19．（25-26八年级上·山东淄博·月考）化简及求值： （1）； （2）； （3）； （4）已知与互为相反数，求式子的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），． 【分析】本题考查分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，绝对值与完全平方的非负性掌握知识点是解题的关键． （1）先利用分式的相应的法则及完全平方公式对式子进行化简即可． （2）先利用分式的相应的法则及平方差公式对式子进行化简即可； （3）先利用分式的相应的法则及平方差公式与完全平方公式对式子进行化简即可； （4）根据绝对值与完全平方的非负性求出a，b的值，再利用分式的相应的法则及平方差公式与完全平方公式对式子进行化简，最后代入相应的值运算即可． 解：（1）解：原式 ； （2）原式 （3）原式 （4）由题意得：， 即有， ， ， 即， ∴ = ． 20．（24-25九年级下·全国·二轮复习）阅读材料：整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过对整体的形式、结构和已知条件进行综合分析，从而简化问题并得出结论的一种思想方法．常用的途径有：整体代入，整体设元等． 例如：ab=1，求证： 证明：左边 请根据阅读材料解答下列问题： （1）已知，，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）先根据分式的加法法则把原式进行化简，再把，代入进行计算即可； （2）把代入进行计算即可． 解：（1）解：，， ． （2）解：， =1． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.2 分式的运算（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】分式的乘除法 1 【题型 1】分式的乘法 1 【题型 2】分式的除法 2 【题型 3】分式的乘除法混合运算 2 【知识点二】分式的加减法 3 【题型 4】最简公分母与通分 3 【题型 5】同分母分式的加减法 4 【题型 6】异分母分式的加减法 4 【题型 7】分式的加减乘除混合运算 5 【题型 8】分式的化简求值 5 二.培优题型精析 5 【题型 9】分式加减乘除混合运算 5 【题型 10】分式的化简求值 6 【题型 11】分式运算的实际应用 6 【题型 12】分式的最值 8 三.同步检测 9 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 9 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 10 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 10 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】分式的乘除法 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母; 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 即：， 【要点提示】（1）除法只颠倒除式，被除式保持不变，不要两个分式都颠倒；（2）含多项式分式相乘，优先因式分解，再约分，禁止直接拆开硬乘；（3）整式可看成分母为1的分式，再套用法则计算。 【题型 1】分式的乘法 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【变式1】（24-25七年级上·上海松江·月考）计算：___________． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2024七年级下·浙江·专题练习）计算： （1）； （2）． 【题型 2】分式的除法 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【变式1】（25-26八年级上·河北张家口·期末）分式的运算结果为，则“□”处的运算符号是（    ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：______． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【题型 3】分式的乘除法混合运算 【例题2】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）计算 （1） （2） 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果为___________． 【变式3】（2025八年级上·湖北武汉·专题练习）计算： （1） （2） 【知识点二】分式的加减法 （1）同分母的分式相加减，分母不变,把分子相加减。 即： 【要点提示】（1）分母恒定：运算全程分母保持不变，只对分子做加、减运算；（2）分子整体运算：分子是多项式时，加减必须整体加括号，防止符号出错；（3）符号易错：减去一个分式时，减数分子每一项都要变号；（3）结果化简：计算完毕后，务必约分，结果化为最简分式或整式。 （2） 通分与最简公分母：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。为了计算方便，异分母的分式通分时,通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母。 （3） 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再按同分母的分式的加减法法则进行计算。 【要点提示】（1） 核心步骤：先通分→再加减→最后化简，三步缺一不可；（2）通分关键：找各分母的最简公分母，不要盲目直接相乘，简化计算；（3）分子运算：通分后分子为多项式时，必须添加括号，避免符号错误；（4）符号规则：减去一个分式时，减数分子各项全部变号；（4）结果要求：计算结束后，务必因式分解、约分，化为最简分式或整式；（5）隐含条件：所有分母、最简公分母均不能为 0。 【题型 4】最简公分母与通分 【例题4】（2026八年级下·全国·专题练习）把，，通分过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·广东肇庆·期末）如果把分式与进行通分，它们的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）分式，，的最简公分母是____________． 【题型 5】同分母分式的加减法 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）化简的结果为（   ） A． B． C． D．1 【变式2】（2026·辽宁沈阳·一模）计算的结果是______． 【变式3】（25-26八年级下·山东济南·月考）计算： （1） （2） 【题型 6】异分母分式的加减法 【例题6】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式1】（25-26九年级上·河南三门峡·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖北鄂州·模拟预测）化简分式的结果是___________． 【变式3】（24-25八年级下·江苏泰州·月考）化简： （1）； （2）． 【题型 7】分式的加减乘除混合运算 【例题7】（25-26八年级下·河南周口·期中）计算： （1）； （2）． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东德州·期末）化简的结果是____________________ ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【题型 8】分式的化简求值 【例题8】（25-26八年级下·河南南阳·期中）先化简，再求值：，在，，中选取适当的一个作为x的值代入求分式的值． 【变式1】（25-26八年级上·广东广州·月考）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·四川成都·二模）已知，则代数式的值是______． 【变式3】（25-26九年级下·重庆沙坪坝·期中）先化简，再求值：，其中 二.培优题型精析 【题型 9】分式加减乘除混合运算 【例题9】（25-26八年级上·全国·课后作业）化简： （1）． （2）． （3）． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）已知为整数，且计算的结果为整数，则所有符合条件的的值的和为（   ） A．0 B．12 C．10 D．8 【变式2】  （25-26八年级上·全国·课后作业）若，则代数式的值为______． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）计算： （1）． （2）． 【题型 10】分式的化简求值 【例题10】（2026·重庆·一模）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）已知为整数且满足代数式的值为整数，则的所有取值为______ 【变式3】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）先化简，再从，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【题型 11】分式运算的实际应用 【例题11】（2026·江苏扬州·一模）谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． （1）刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg，第二次大米的价格为5元/kg．两次购买大米总体看谁更划算？ （2）如果第一次购买大米的价格为元/kg，第二次购买大米的价格为元/kg，且，则两次购买大米总算下来谁更划算呢？ 【变式1】（25-26八年级上·河北石家庄·月考）一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作30小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【变式2】（25-26八年级上·北京丰台·期末）甲、乙二人在某公园的健身步道进行健走锻炼，他们从同一起点同时出发，最终到达同一终点．设甲一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走；乙一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走．若健走全程为2公里，甲、乙健走全程的时间分别为，且． （1）___________（用含有的式子表示）； （2）___________（填“甲”或“乙”）首先到达终点． 【变式3】（24-25八年级下·福建福州·期中）小张和小王的加油习惯不同，小张每次都说：“师傅，帮我把油箱加满！”，而小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油！”（油箱未加满）．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小张和小王第一次加油油价为元／升，第二次加油油价为元／升． （1）用含，的代数式分别表示小张和小王两次所加油的平均单价；（结果化成最简） 小张两次所加油的平均单价：______； 小王两次所加油的平均单价：______． （2）小张和小王的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·北京顺义·期末）已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【题型 12】分式的最值 【例题12】（25-26八年级上·上海·月考）阅读下面内容：当，时，，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为________；当时，的最大值为________． （2）当时，求的最小值． （3）如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值． 【变式2】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 【变式3】（25-26八年级上·吉林·期末）下面是八年级数学的拓展学习片段： 例题：求证：． 证明：∵， ∴， ∴． 认真学习例题后，解答下面问题： （1）求证：； （2）若，则的最小值为_____． 若，则的最大值为_____． （3）的最小值为_____． 的最小值为_____． （4）有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·江苏南京·月考）分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京西城·期末）下列各式从左到右的变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津东丽·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·单元测试）若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（2026·河南周口·一模）如果，那么的值为（　　） A．1 B．0 C． D． 6．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河北唐山·三模）下面是一道化简求值题，其中括号内的部分丢失：（   ）已知该题化简的结果是，则括号内的式子为（   ） A． B． C． D．不能确定 8．（2025·山东威海·一模）定义运算：（，且为正整数）．若，；；…，化简：（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·天津·开学考试）计算：______ 10．（25-26八年级上·北京延庆·期末）计算：___________． 11．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）若，则_____． 12．（24-25八年级上·山东济南·期末）计算______． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：______． 14．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）已知可以写成，根据这一做法解决：当整数的值为______时，分式的值为整数． 15．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）张华和李明同时从甲地沿同一线路步行去乙地．张华在前半段路程的平均步行速度是，在后半段路程的平均步行速度是；李明全程的步行速度是．已知甲乙两地的路程为，且，张华从甲地到乙地所用的时间为______；张华和李明先到达乙地的是_______（填“张华”或“李明”或“同时到达”或“不能确定”） 16．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变的更甜．假如现在有一杯质量为100克的糖水，其中含有a克糖（）；现在再向其中添加10克糖，据此我们可以提炼出一个关于糖水的不等式．小聪得到的不等式是“”；小敏得到的不等式是“”．聪明的你认为________所得到的不等式是正确的． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： （1）； （2）． 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中a从，，0，1，2中选取一个合适的数． 19．（25-26八年级上·山东淄博·月考）化简及求值： （1）； （2）； （3）； （4）已知与互为相反数，求式子的值． 20．（24-25九年级下·全国·二轮复习）阅读材料：整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过对整体的形式、结构和已知条件进行综合分析，从而简化问题并得出结论的一种思想方法．常用的途径有：整体代入，整体设元等． 例如：ab=1，求证： 证明：左边 请根据阅读材料解答下列问题： （1）已知，，求的值； （2）若，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $