专题5.2 分式的运算 同步讲义（题型导航+知识梳理+巩固测试）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

专题5.2 分式的运算 同步讲义（北师大版） 题型导航 题型1.分式乘法 题型2.分式除法 题型3.分式乘除混合运算 题型4.分式乘方 题型5.含乘方的分式乘除混合运算 题型6.同分母分式加减法 题型7.最简公分母 题型8.通分 题型9.异分母分式加减法 题型10.整式与分式相加减 题型11.已知分式恒等式，确定分子或分母 题型12.分式加减混合运算 题型13.分式加减的实际应用 题型14.分式加减乘除混合运算 题型15.分式化简求值 题型16.分式最值 题型17.巩固测试 知识梳理 知识点一、分式的乘除 1.分式的乘法法则：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 2.字母表示：，其中是整式，． 3.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 4.字母表示：，其中是整式，． 知识点二、分式的乘方 1.分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方， 2.字母表示：（为正整数）． 3.重点提示： （1） 分式乘方时，分式加上括号． （2）分式乘方时，先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负． （3）算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分． （4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体．如． 知识点三、通分 1.把几个异分母分式，分别化成与原来分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 核心：分母变相同，分式值不变. 关键：找最简公分母 2.最简公分母如何确定： （1）找系数：取各分母系数的最小公倍数， (2)看字母：（因式）：取所有出现的字母（或因式）， (3)看次数：取同一字母（因式）的最高次幂. （4）最后相乘，就是最简公分母。 3.通分步骤 (1)对每个分母因式分解 (2)确定最简公分母 （3）用分式基本性质，分子分母同乘适当整式 （4）写成同分母形式 知识点四、同分母分式的加减 1. 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 2. 字母表示：. 3.重点提示:分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 知识点五、异分母分式的加减 1.异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 2.字母表示为：. 3.运算步骤：（1）通分，（2）进行同分母分式的加减运算，（3）把结果化成最简分式. 知识点六、分式的混合运算 1.运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的. 2.运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律. 题型解读 题型1分式乘法 1．已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C．2 D． 3．计算：__________． 题型2.分式除法 1．使式子有意义的的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．，且 2．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 3．计算：______ 题型3.分式乘除混合运算 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．粗心的小倩在放学回家后，发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是她跑步到学校取了练习册，再步行回家（取书时间忽略不计）．已知跑步速度为米/分，步行速度为米/分，则她往返一趟的平均速度为_____． 题型4.分式乘方 1．计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 2．下列分式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．计算：_____． 题型5.含乘方的分式乘除混合运算 1．计算的结果是（    ） A．a B．a3 C．a6 D．a9 2．下列分式计算错误的是（   ） A． B． C． D． 3．当，时，____． 题型6.同分母分式加减法 1．如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C．2 D．x 3．某工厂存有原材料吨，原计划每天用吨，为了响应政府“节能减排”的号召，该工厂经过技术革新，现在每天用的原材料比原计划节省一半，则可以多用__________天． 题型7.最简公分母 1．如果把分式与进行通分，它们的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 2．把分式，和通分，下列结论错误的是（   ） A．最简公分母是 B． C． D． 3．已知分式与（，是常数且的最简公分母为，则______，_______． 题型8.通分 1．把，，通分过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 2．分式的分母经过通分后变为，那么分子应变为（   ） A． B． C． D． 3．把，，通分后，各分式的分子之和为________． 题型9.异分母分式加减法 1．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 2．已知，则代数式的值为_____． 3．在至中使得不是既约分数的整数有 __________个． 题型10.整式与分式相加减 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的取值范围为（　　） A． B． C．且 D．且 3．若，则分式的值为______． 题型11.已知分式恒等式，确定分子或分母 1．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．若的值为，则的值为（　　） A． B． C． D．． 3．若，则________． 题型12.分式加减混合运算 1．对于正数，规定，例如：．的值为（   ） A． B． C． D． 2．当x分别取值，，，…，，1，2，…，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于（    ） A．1 B． C．1009 D．0 3．化简：______ 题型13.分式加减的实际应用 1．某施工队每天挖掘米隧道，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘米隧道，比原来少用的天数为（  ） A． B． C． D． 2．建筑学要求：家用住宅房间窗户的面积必须小于房间地面的面积，但窗户的面积与地面面积的比值越大，采光条件越好．小明提出把房间的窗户和地面都增加相同的面积，他这样做采光条件（　　） A．变好了 B．变差了 C．不变 D．无法确定 3．有甲、乙两名采购员去同一家红富士苹果公司分别购买两次红富士苹果，两次购买红富士苹果价格分别为元/千克和元/千克，且，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次用去800元，乙每次购买100千克．请判断甲、乙的购货方式__________合算．（填“甲”或“乙”或“一样”） 题型14.分式加减乘除混合运算 1．计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 2．动车提速后，平均速度变为原来的倍，若行驶同样路程，时间可缩短到原来的（    ） A． B． C． D． 3．若，则代数式的值为________． 题型15.分式化简求值 1．已知，则的值为（   ） A．2 B．4 C． D． 2．如果，则（    ） A． B．3 C． D．2 3．若，则的值是______． 题型16.分式最值 1．已知，为实数，且，，则下列关于的说法正确的是（   ）． A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为 C．有最大值，且最大值为 D．有最小值，且最小值为 2．若，都是正数， 满足则分式的最大值与最小值的和是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的最小值是__________． 巩固测试 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 3．化简的结果是（   ） A． B． C． D．x 4．已知，则的值为（    ） A．36 B．12 C．6 D．3 5．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 6．已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 7．分式与的最简公分母是______． 8．将分式通分时，需要把的分子、分母同时乘以_______． 9．小明由家去学校然后又按原路返回，去时每分钟行米，回来时每分钟行米，那么小明来回平均速为___米/分（用含和的式子表达）． 10．已知，且，则________． 11．若实数a，b同时满足，，则的值为________． 三、解答题 12．计算： (1) (2) (3)先化简，再求值：；其中． 13．已知，求整数，的值． 14．先化简，再求值．，其中． 15．安安与宁宁相约去爬山，两人从云中湖同时出发，沿同一路线攀登抵达山顶铜鼓包，随后立即从山顶沿原路返回云中湖．安安上山的平均速度为，下山的平均速度为；宁宁借助登山机械骨骼，上下山全程的平均速度为，已知，且、均为正数． (1)安安往返所需时间为________，宁宁往返所需时间为________；（用含有，的式子表示） (2)两人谁先返回云中湖？请说明理由． 16．已知为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式取到最小值，最小值为______； (2)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙（墙足够长），其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形生物园的宽为多少米时，所用的篱笆的总长度最短？最短为多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 分式的运算 同步讲义（北师大版） 题型导航 题型1.分式乘法 题型2.分式除法 题型3.分式乘除混合运算 题型4.分式乘方 题型5.含乘方的分式乘除混合运算 题型6.同分母分式加减法 题型7.最简公分母 题型8.通分 题型9.异分母分式加减法 题型10.整式与分式相加减 题型11.已知分式恒等式，确定分子或分母 题型12.分式加减混合运算 题型13.分式加减的实际应用 题型14.分式加减乘除混合运算 题型15.分式化简求值 题型16.分式最值 题型17.巩固测试 知识梳理 知识点一、分式的乘除 1.分式的乘法法则：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 2.字母表示：，其中是整式，． 3.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 4.字母表示：，其中是整式，． 知识点二、分式的乘方 1.分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方， 2.字母表示：（为正整数）． 3.重点提示： （1） 分式乘方时，分式加上括号． （2）分式乘方时，先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负． （3）算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分． （4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体．如． 知识点三、通分 1.把几个异分母分式，分别化成与原来分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 核心：分母变相同，分式值不变. 关键：找最简公分母 2.最简公分母如何确定： （1）找系数：取各分母系数的最小公倍数， (2)看字母：（因式）：取所有出现的字母（或因式）， (3)看次数：取同一字母（因式）的最高次幂. （4）最后相乘，就是最简公分母。 3.通分步骤 (1)对每个分母因式分解 (2)确定最简公分母 （3）用分式基本性质，分子分母同乘适当整式 （4）写成同分母形式 知识点四、同分母分式的加减 1. 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 2. 字母表示：. 3.重点提示:分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 知识点五、异分母分式的加减 1.异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 2.字母表示为：. 3.运算步骤：（1）通分，（2）进行同分母分式的加减运算，（3）把结果化成最简分式. 知识点六、分式的混合运算 1.运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的. 2.运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律. 题型解读 题型1分式乘法 1．已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将M、N统一分母，再根据分式运算法则计算各选项判断即可． 【详解】解：∵ ，． ∴A． ，A错误； B．， B错误； C．．与选项一致， C正确； D．，D错误． 2．计算的结果是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的乘法运算，需将分子与分母分别相乘后约分简化． 【详解】解：， 故选：A． 3．计算：__________． 【答案】 【分析】先确定积的符号，再依据分式乘法法则，将分子、分母分别相乘后约分得到最简结果． 【详解】解： ． 题型2.分式除法 1．使式子有意义的的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．，且 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义要求分母不为0，且除法运算中除式不能为0，据此列出不等式即可得到x的取值范围． 【详解】解：依题意， 则，，， 解得，且， 故选：D． 2．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式除法、二次根式乘法、积的乘方运算及同类项合并，根据相关运算法则逐一计算各选项判断正误． 【详解】解：∵分式除法法则为除以一个分式等于乘它的倒数， ∴选项A：，计算正确，不符合题意； ∵二次根式乘法法则为（）， ∴选项B：，计算正确，不符合题意； ∵积的乘方法则为，幂的乘方法则为， ∴选项C：，计算错误，符合题意； ∵同类项合并法则为同类项系数相加，字母及指数不变， ∴选项D：，计算正确，不符合题意； 故选：C． 3．计算：______ 【答案】 【分析】先根据分式除法法则将除法转化为乘法，再对多项式因式分解，最后约分得到计算结果． 【详解】解： ． 题型3.分式乘除混合运算 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对分式乘方进行展开，再将除式的分子分母分别因式分解，接着把除法转化为乘法并取除式的倒数，最后通过约去分子分母的公因式，得到最简分式． 【详解】解： ． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂相乘，积的乘方，分式的乘除混合运算，解题的关键是正确运用各运算法则． 运用指数法则和分式运算法则逐一验证每个选项的运算是否正确． 【详解】解：A、（除非），故A选项运算错误，不符合题意； B、，故B选项运算错误，不符合题意； C、，故C选项运算错误，不符合题意； D、，故D选项运算正确，符合题意； 故选：D． 3．粗心的小倩在放学回家后，发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是她跑步到学校取了练习册，再步行回家（取书时间忽略不计）．已知跑步速度为米/分，步行速度为米/分，则她往返一趟的平均速度为_____． 【答案】米/分 【分析】本题考查列代数式，分式乘除混合运算，掌握知识点是解题的关键． 平均速度是总路程与总时间的比值，设从家到学校的距离为s米，则总路程为2s米，总时间为分钟，通过计算可得平均速度 【详解】解：设从家到学校的距离为s米，依题意，得 平均速度为 （米/分）． 故答案为：米/分． 题型4.分式乘方 1．计算的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的乘方运算，需运用积的乘方、幂的乘方的运算法则计算． 【详解】解：， 故选：D． 2．下列分式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质和变形，选项A分子分母同加1，不符合分式性质；选项B分子分母同乘，但未指定，变形不一定成立；选项C分子分母互为相反数，变形正确；选项D立方计算错误，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：A、取，，则，，不相等，故A选项错误，不符合题意； B、变形需才成立，但未指定条件，故B选项错误，不符合题意； C、，故C选项正确，符合题意； D、，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，应用负整数指数幂的含义进行计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 题型5.含乘方的分式乘除混合运算 1．计算的结果是（    ） A．a B．a3 C．a6 D．a9 【答案】A 【分析】先计算乘方，再进行约分即可得到结果． 【详解】解： ∴ 化简得结果为． 2．下列分式计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题可根据分式的运算进行排除选项即可． 【详解】解：A、，计算正确，故不符合题意； B、，原计算错误，故符合题意； C、，计算正确，故不符合题意； D、，计算正确，故不符合题意； 故选B． 3．当，时，____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除运算，首先根据分式的乘除运算法则进行计算，把分式化简可得原式，然后再把，代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 故答案为： ． 题型6.同分母分式加减法 1．如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逆用同分母分式加减法，将转化为，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．计算的结果是（    ） A． B． C．2 D．x 【答案】C 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，将异分母分式转化为同分母分式，再根据同分母分式加法法则计算并化简． 【详解】解： =； ∵， ∴原式． 故选：C． 3．某工厂存有原材料吨，原计划每天用吨，为了响应政府“节能减排”的号召，该工厂经过技术革新，现在每天用的原材料比原计划节省一半，则可以多用__________天． 【答案】 【分析】先分别求出原计划和革新后的使用天数，再通过分式减法求出两者的差值，即为多用的天数． 【详解】解：据题可知，原计划使用原材料的天数为天， 技术革新后每天使用的原材料为吨， 现在使用原材料的天数为天， 多用的天数为天． 题型7.最简公分母 1．如果把分式与进行通分，它们的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是最简公分母的确定.将两个分式的分母因式分解，然后找出所有因式，再进一步求解即可. 【详解】解：∵ 第一个分母：， 第二个分母：， ∴最简公分母是. 故选：C. 2．把分式，和通分，下列结论错误的是（   ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的通分，掌握确定最简公分母的方法，通分时分子分母需同乘相应因式，确保变形恒等是解题的关键． 先确定三个分式的最简公分母，再逐一验证每个选项的通分是否正确． 【详解】解：A、最简公分母为， 正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、正确通分应为，但选项D中分子为，错误，符合题意； 故选：D． 3．已知分式与（，是常数且的最简公分母为，则______，_______． 【答案】 3 5或10 【分析】本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，理解最简公分母的定义是解题的关键． 根据最简公分母的定义，系数部分取分母系数的最小公倍数，变量部分取各变量因式的最高次幂，即可求出、的值． 【详解】解：第一个分式的分母为 ，第二个分式的分母为 ， 根据最简公分母的定义，其系数应为各分母系数的最小公倍数，字母部分应包含所有字母因式，且各字母的指数取其在各分母中出现的最大指数 ∵最简公分母为 ． ∴两个分母系数和的最小公倍数为，且的最高次幂为． ∵的最高次幂为 ， ∵两个分母系数和的最小公倍数为， 当2与互质时，它们的最小公倍数为，解得； 当2是的因数时，它们的最小公倍数为 综上，或， 解得： 或 ， 故答案为：，或． 题型8.通分 1．把，，通分过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的通分，需先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，给每个分式的分子分母同乘相应因式，逐一验证选项即可找出错误项．据此判断即可得答案． 【详解】解：∵三个分式的分母分别为，，， ∴最简公分母为，故A选项正确； ∴，故B选项正确； ∴，故C选项正确； ∴，故D选项错误． ∴故选：D． 2．分式的分母经过通分后变为，那么分子应变为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，分式的通分，掌握以上知识点是解题的关键． 根据分式的基本性质，分母通分后乘以了，因此分子也需乘以相同的量以保持分式值不变. 【详解】∵ 原分式为 ，通分后分母变为 ， ∵， ∴分母乘以了， 根据分式的基本性质，分子也需乘以， ∴新分子为， 故选： C． 3．把，，通分后，各分式的分子之和为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分． 先将各分式的分母因式分解，确定最简公分母为，再通分得到各分式的分子，最后将分子相加并化简． 【详解】解：各分母分解因式： ， ， ， 可知最简公分母为． 的分子通分后为， 的分子通分后为， 的分子通分后为， 分子之和为： ． 故答案为：． 题型9.异分母分式加减法 1．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用平方差公式分解分母，再通分计算，约分后即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 2．已知，则代数式的值为_____． 【答案】4 【分析】先对已知等式通分变形，得到与的关系式，再将所求分式整理变形，利用整体代入法计算求值. 【详解】解：∵， ∴， ∴； ． 3．在至中使得不是既约分数的整数有 __________个． 【答案】87 【分析】将变形为，然后根据既约分数的定义分析即可． 【详解】解：． 不是既约分数，则分子与分母有大于1的公因数，因为是质数，要使最大公约数大于1，则必须是的倍数． ∵ ∴， ∵， 在至中有 87 个的倍数，即有个不是既约分数， ∴至中使得不是既约分数的整数有87个． 题型10.整式与分式相加减 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的加减运算，需将整式转化为同分母分式，再依据同分母分式的加减法则计算． 【详解】解：∵原式=， ∴将化为分母为的分式，得， ∵同分母分式相加，分母不变，分子相加， ∴分子计算：， ∴原式． 故选：C． 2．已知，则的取值范围为（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的化简，根据题意表示出，，，，即可求得每个数为一个循环，进而根据分式有意义的条件得出的取值范围，即可求解． 【详解】解：，，，， ∴且，，即且 故选：D 3．若，则分式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，将所求分式化为，然后代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 题型11.已知分式恒等式，确定分子或分母 1．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对进行等价变形得到，再整体代入待求的代数式中计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确进行变形是解题关键． 2．若的值为，则的值为（　　） A． B． C． D．． 【答案】D 【分析】根据条件先求出的值，然后整体代入求解即可． 【详解】由题意可得，，则， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查分式求值问题，灵活根据条件变形，并熟练运用整体思想是解题关键． 3．若，则________． 【答案】 2 【分析】先对等式右边进行通分，根据分式相等的性质得到分子相等，再利用多项式相等对应系数相等建立方程组，求解得到B的值． 【详解】解：对等式右边通分，得， 已知， 分母相同且分式相等，因此分子相等，即， 将等式右边整理为多项式的形式，得， 根据多项式相等，对应项的系数相等，可得方程组， 将， 代入第二个方程，得， ， 解得． 题型12.分式加减混合运算 1．对于正数，规定，例如：．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减，读懂题目信息，理解新定义的运算方法是解题的关键．根据，可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 2．当x分别取值，，，…，，1，2，…，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于（    ） A．1 B． C．1009 D．0 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的求值， 先把和代入代数式，并对代数式化简求值，得到它们的和为0，进而求解即可． 【详解】解：当和时， ， ∴， ∵当时，． ∴其和等于0． 故选：D． 3．化简：______ 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，将异分母化为同分母得，将结果化为最简分式或整式，即可求解；掌握分式加减的步骤是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 题型13.分式加减的实际应用 1．某施工队每天挖掘米隧道，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘米隧道，比原来少用的天数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式减法运算的实际应用，核心是通过计算不同施工效率下的施工天数，进而求出天数差．先根据原日挖掘量求出改进技术后的日挖掘量，再分别计算两种情况下挖掘米隧道所需的天数，最后用原天数减去改进后的天数得到少用的天数． 【详解】解：原来每天挖掘米，挖掘米隧道需要的天数为； 改进施工技术后，每天挖掘的长度为米，此时挖掘米隧道需要的天数为； 因此比原来少用的天数为． 故选：D． 2．建筑学要求：家用住宅房间窗户的面积必须小于房间地面的面积，但窗户的面积与地面面积的比值越大，采光条件越好．小明提出把房间的窗户和地面都增加相同的面积，他这样做采光条件（　　） A．变好了 B．变差了 C．不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质和运用知识解决实际问题的能力．增加前的窗户面积与地板面积的比值减去增加后的窗户面积与地板面积的比值，即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴，， 即． 所以他这样做采光条件变好了． 3．有甲、乙两名采购员去同一家红富士苹果公司分别购买两次红富士苹果，两次购买红富士苹果价格分别为元/千克和元/千克，且，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次用去800元，乙每次购买100千克．请判断甲、乙的购货方式__________合算．（填“甲”或“乙”或“一样”） 【答案】甲 【分析】本题考查分式混合运算的应用，读懂题意，掌握分式混合运算的应用是解题的关键． 求出甲乙两人分别购买两次的平均价格，进行比较即可解答． 【详解】解：甲采购两次总支付金额为1600元， 总购买数量为（千克）， 平均价格为（元/千克）． 乙采购两次总支付金额为元， 总购买数量为200千克， 平均价格为（元/千克）． ， ∵，，， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴甲的平均价格较低，购货方式更合算． 故答案为：甲． 题型14.分式加减乘除混合运算 1．计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先对第一个分式的分母因式分解，再将两个分式通分，合并化简后即可得到结果． 【详解】解： ． 2．动车提速后，平均速度变为原来的倍，若行驶同样路程，时间可缩短到原来的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】路程一定时，时间与速度成反比，通过表示出提速前后的时间，即可求出提速后时间缩短到原来的多少． 【详解】解：设动车原来的平均速度为， ∵路程为， ∴原来行驶的时间为． ∵提速后平均速度变为原来的倍， ∴提速后速度为， ∴提速后行驶时间为， ∴提速后时间与原来时间的比值为． 即时间可缩短到原来的． 3．若，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】先计算第二个小括号内分式的减法，再计算分式的除法并化简，然后将化为，再代入计算即可． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，， ∴原式． 题型15.分式化简求值 1．已知，则的值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】解： 当时，原式． 2．如果，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简求值，先将利用分式混合运算法则化简为，再由得出，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ ， 又∵， ∴， 故原式的值为2． 故选：D． 3．若，则的值是______． 【答案】6 【分析】将，变形得，再两边平方，最后等式变形即可． 【详解】由，得， 两边平方，得， 得， ∴． 题型16.分式最值 1．已知，为实数，且，，则下列关于的说法正确的是（   ）． A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为 C．有最大值，且最大值为 D．有最小值，且最小值为 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质、代数式的消元变形，通过消元将二元问题转化为一元问题，再结合不等式范围推导最值，是解题的关键． 由得，代入得，进而将表示为，分析其取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 代入，得， 即， 整理得， ∴解得， ∵， 又∵， ∴， ∴， 当时，等号成立，即取得最小值， ∴有最小值． 故选：． 2．若，都是正数， 满足则分式的最大值与最小值的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题设，利用第一个方程得到的表达式，代入两个不等式化简，即可得到的取值范围，进而计算最大值与最小值的和． 【详解】解：， 设， ，都是正数， ， 由①得： ④， 将④代入②得： ， 化简得：， ，两边同除以得：， ∴，即， 再将④代入③得：， 化简得：， ，两边同除以得：， ∴， ，两边同除以得：，即， 的最大值为，最小值为，最大值与最小值的和为． 3．已知，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算、完全平方式的非负性、不等式的性质、分母有理化等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．先根据分式的混合运算法则得，设，根据完全平方式的非负性和分母有理化，结合不等式的性质求解即可． 【详解】解  ∵， ∴， ∴ ， 设，则， 当时取得等号， ∴， 解得：， ∴，． 因此，当，时，取得最小值． 故答案为：． 巩固测试 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘法运算和完全平方公式的因式分解，掌握先对多项式因式分解，再通过约分简化计算的技巧是解题的关键． 先对分母的多项式进行因式分解，再观察分子分母的公因式，通过约分简化分式乘法运算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 约去公因式 得 ， 故选：C． 2．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的除法运算，掌握分式除法转化为乘法，即除以一个分式等于乘以它的倒数是解题的关键． 根据除法法则，除以一个分数等于乘以它的倒数，然后进行乘法运算． 【详解】解：∵ ， ∴ . 因此，结果为． 故选：B． 3．化简的结果是（   ） A． B． C． D．x 【答案】D 【分析】先统一分母后合并分子，再因式分解约分得到结果． 【详解】解： 原式 ， ， ， ． 4．已知，则的值为（    ） A．36 B．12 C．6 D．3 【答案】C 【分析】先根据分式的乘方法则和幂的运算法则化简已知等式左边的表达式，再通过指数运算得出结果，从而求出的值. 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查分式的乘方和除法运算，在进行分式运算时，要牢记分式乘方、除法的运算法则，注意符号的处理. 5．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减运算．先统一分母符号，再通过通分将分式化为同分母分式，最后合并分子并化简得到结果即可解答． 【详解】解：原式可变形为， 确定最简公分母为，通分后得： ， 合并分子并展开得：， 化简分子：， 原式， 故选：． 6．已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查基本不等式的运用，掌握基本不等式公式是解题的关键． 先将原式拆分并化简，再利用正实数的基本不等式（当且仅当时取等号）求解最小值． 【详解】解：∵，为正实数， ∴原式可拆分化简为：， ∵正实数，满足， 令，， 则， 当且仅当，即时取等号， ∴， 即原式的最小值为9， 故选D． 二、填空题 7．分式与的最简公分母是______． 【答案】 【分析】确定最简公分母需取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积，据此即可得到结果． 【详解】解：两个分式的分母分别为和． 各分母系数的最小公倍数为． 字母因式中的最高次幂为，的最高次幂为． 因此最简公分母为． 8．将分式通分时，需要把的分子、分母同时乘以_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分，确定最简公分母是解题的关键．将分母分解因式后，找到各分母的最简公分母作为公分母，再将各分式化为该公分母的形式即可． 【详解】解：分式的最简公分母为， ∴需要把的分子、分母同时乘以， 故答案为：． 9．小明由家去学校然后又按原路返回，去时每分钟行米，回来时每分钟行米，那么小明来回平均速为___米/分（用含和的式子表达）． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，熟练掌握速度路程时间，是解题的关键．设家到学校的路程为单位1，根据速度公式，列出代数式，然后再化简即可． 【详解】解：设家到学校的路程为单位1，则小明来回的平均速度为： （米/分）． 故答案为：． 10．已知，且，则________． 【答案】2 【分析】本题考查分式的加减，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会恒等变形，由题意，可得，因为，所以，推出，由此即可解决问题． 【详解】解析：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 11．若实数a，b同时满足，，则的值为________． 【答案】 【分析】将原等式变形为关于和的二元一次方程组，求解得到与的值，再将所求分式通分变形后代入计算即可． 【详解】解：∵实数a，b同时满足，， 则， 设，，方程组化为， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 即，， ， ． 三、解答题 12．计算： (1) (2) (3)先化简，再求值：；其中． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了分式的乘方，分式的混合运算，化简求值，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． （1）根据积的乘方运算法则求解即可； （2）利用平方差公式和分式的通分法则进行求解即可； （3）利用完全平方公式和分式的通分法则进行化简，最后将字母的值代入求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 当时， ． 13．已知，求整数，的值． 【答案】 【分析】先对等式左边进行通分，与等式右边的分子比较系数，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解： ． ， ， ，解得． 14．先化简，再求值．，其中． 【答案】， 【分析】先计算单项式乘以多项式，完全平方公式，分式的减法，再计算分式的除法，然后合并同类项，最后化简的值，代入求值即可． 【详解】解：原式 ； ， 原式． 15．安安与宁宁相约去爬山，两人从云中湖同时出发，沿同一路线攀登抵达山顶铜鼓包，随后立即从山顶沿原路返回云中湖．安安上山的平均速度为，下山的平均速度为；宁宁借助登山机械骨骼，上下山全程的平均速度为，已知，且、均为正数． (1)安安往返所需时间为________，宁宁往返所需时间为________；（用含有，的式子表示） (2)两人谁先返回云中湖？请说明理由． 【答案】(1)； (2)宁宁先返回云中湖；理由见解析 【分析】代数式比大小一般使用作差法或者作商法，掌握好分式的性质和因式分解是关键． （1）根据速度、路程和时间之间的关系分别计算即可； （2）利用作差法比较两个分式的大小，从而得出结论． 【详解】（1）解：安安往返所需时长：（小时）， 宁宁往返所需时长：（小时）． （2）解：宁宁先返回云中湖，理由如下： ∵，，且， ∴ ∴ ∴宁宁先返回云中湖． 16．已知为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式取到最小值，最小值为______； (2)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙（墙足够长），其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形生物园的宽为多少米时，所用的篱笆的总长度最短？最短为多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)时，代数式取最大值，最大值为． 【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解． （1）根据例题，可得，故当且仅当时，代数式取到最小值，最小值为6，即可获得答案； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得代数式解析式为，根据例题，即可获得答案； （3）将原代数式变形为，由取最小值，即可确定取何值时， 取到最大值，并求得最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴当时，代数式取到最小值，最小值为． （2）解：设这个矩形的宽为米，篱笆长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形生物园，则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，代数式有最小值，最小值为40， ∴宽为10米，为20米时，所用的篱笆最短，篱笆的最短长度是40米； （3）解：∵， ∴， 又∵， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为4， ∴此时有最大值，最大值为， ∴时，代数式取最大值，最大值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $