终极攻略·2026年高考数学考前20天冲刺讲义（四）

目 录 倒计时08天 ➤直线与圆（选填题）……………………………………………………………01 聚焦直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、弦长与切线等综合 5大考向23个核心考点 倒计时07天 ➤圆锥曲线（选填题）……………………………………………………………10 聚焦椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质等 5大考向14个核心考点 倒计时06天 ➤概率与统计综合（选填题） …………………………………………………29 聚焦概率模型、统计图表、数字特征、分布列与独立性检验等 6大考向21个核心考点 倒计时05天 ➤平面向量（选填题）…………………………………………………………43 聚焦向量加减数乘、数量积、夹角、模长、共线垂直与坐标运算等 6大考向12个核心考点 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 倒计时08天 为者常成，行者常至。 ——《晏子春秋》 直线与圆（选填题） 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码：①核心考点包括直线的倾斜角与斜率、位置关系（平行垂直）、距离公式（点到线、线到线），圆的方程（标准式、一般式）、直线与圆的位置关系（相切、相交、相离）、弦长与切线方程、圆与圆的位置关系。②难度以中低档为主，常以数形结合为解题核心，注意几何性质（垂径定理、圆心到直线距离）优先于代数联立。 ►高考前沿：聚焦圆上的点到直线距离最值、切线长最值及两圆公共弦方程；突出直观想象与数学运算，强调利用对称性、几何意义快速求解，避免繁琐计算。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   两点间的距离公式 ，， 终极考点2   中点坐标公式 ，，为的中点，则： 终极考点3   三角形重心坐标公式 终极考点4   直线的斜率与倾斜角的定义及其关系 （1） 斜率：表示直线的变化快慢的程度；，直线递增，，直线递减， （2） 倾斜角：直线向上的部分与轴正方向的夹角，范围为 （3） 直线的斜率与倾斜角的关系： 不存在 终极考点5   两点间的斜率公式 ，， 终极考点6   直线的斜截式方程 ，其中为斜率，为轴上的截距 终极考点7   直线的点斜式方程 已知点，直线的斜率，则直线方程为： 终极考点8   直线的一般式方程 终极考点9   两条直线的位置关系 （1） 平行的条件 ①斜截式方程：，， ②一般式方程：，， （2） 重合的条件 ①斜截式方程：，， ②一般式方程： ，， （3） 垂直的条件 ①斜截式方程：，， ②一般式方程： ，， 终极考点10   点到直线的距离公式 点，直线，点到直线的距离为： 终极考点11   两条平行线间的距离公式 ，， 终极考点12   圆的标准方程 ，其中圆心坐标为，半径为 终极考点13   圆的一般方程 （） 配方可得：， 圆心坐标为，半径为 终极考点14   表示圆的充要条件： 终极考点15   点与圆的位置关系 已知点，圆的方程为： 若，点在圆内 若，点在圆上 若，点在圆外 终极考点16   直线与圆的位置关系 直线，圆 代数关系，其中为联立方程根的个数， 几何关系，其中为圆心到直线的距离 终极考点17   圆上一点的切线方程 终极考点18   圆与圆的位置关系 设圆的半径为，设圆的半径为，两圆的圆心距为 若，两圆外离，若，两圆外切，若，两圆内切 若，两圆相交，若，两圆内含，若，同心圆 两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条； 两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条； 两圆内含，公切线的条数为0条； 终极考点19   弦长公式 设，， 则 或： 终极考点20   圆上一点到圆外一点的距离的最值 终极考点21   圆上一点到圆上一点的距离的最值 终极考点22   圆上一点到直线距离的最值 终极考点23   过圆内一点的最长弦和最短弦 最长弦：直径；最短弦：垂直于直径 真题精研--复盘经典 把握规律 考向01 点到直线的距离公式 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 解题妙法 三步解题法： 1. 代公式：点 到直线 的距离 。 1. 注意形式：若直线方程为斜截式 ，先化为一般式 再代入。 1. 几何应用：常用于求三角形的高、圆中弦心距、平行线间距离（在一条线上取点），以及判断点与圆的位置关系（圆心到直线距离与半径比较）。 口诀：点线距离代公式，分母根号平方和；分子绝对值莫忘，几何意义要记牢。 考向02 直线与圆的位置关系求参数 2．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______． 考向03 切线问题 4．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 解题妙法 三步解题法： 1. 点在圆上：过圆上一点 的切线只有一条，切线方程： 圆 ： 圆 ： 1. 点在圆外：过圆外一点可作两条切线。 几何法：设切线斜率 ，写出点斜式方程，利用圆心到切线距离等于半径，解出 （注意斜率不存在的情况）。 切线长公式：，其中 为点到圆心的距离。 1. 公切线：两圆公切线问题，利用圆心距与半径和、差的关系判定条数，再求方程。 口诀：点在圆上用替换，点在圆外设斜率；距离等于半径解，切线长用勾股理。 考向04 求圆的方程 6．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为____________． 7．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________． 8．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 解题妙法 三步解题法： 1. 选形式： 标准式：，需确定圆心 和半径 。 一般式：，圆心 ，半径 （须 ）。 1. 列方程求参数：根据条件（如过三点、圆心在直线上、与直线相切、弦长等）建立关于 或 的方程组。 过三点：设一般式，代入解 。 圆心在直线上：设圆心坐标满足该直线方程。 与直线相切：圆心到直线距离等于半径。 已知弦长：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形。 1. 解出并验证：解方程组，代回方程；注意直径两端点可直接得圆心为它们中点，半径为半长。 技巧：优先利用几何条件（如弦的中垂线过圆心）简化计算。 考向05 最值与范围综合 9．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 10．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 11．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 12．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 一、单选题 1．（2026·山东聊城·二模）已知直线，，且，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江西·二模）已知直线与圆相交于A，B两点，则（   ） A． B．2 C． D．1 3．（2026·河南濮阳·二模）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 4．（2026·四川成都·三模）若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·广东江门·二模）若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·广东揭阳·二模）若点关于动直线l：的对称点为N，则点N的轨迹为（   ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 7．（2026·山西太原·二模）已知圆与圆有且仅有三条公切线，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知直线：与圆：交于，两点，当的面积最大时，（    ） A． B． C．0或 D．0或 二、多选题 9．（2026·河北保定·一模）圆与圆的公切线的交点坐标可以是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·江苏南京·模拟预测）已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 11．（2026·河北·二模）已知圆的半径为2，则（   ） A． B．原点在圆的内部 C．圆与圆有且仅有1条公切线 D．直线与圆交于两点，的面积为 12．（2026·河南开封·二模）已知点是圆上一动点，点，点，则（   ） A．点到直线的距离的最大值为 B．满足的点有2个 C．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 D．的最小值是 三、填空题 13．（2026·山东潍坊·一模）已知点和圆，若以线段中点为圆心，为半径的圆与交于两点，则__________. 14．（2026·重庆·模拟预测）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程为__________． 15．（2026·浙江嘉兴·二模）已知，若直线上存在点P满足，则实数c的最大值是_________． 倒计时07天 临渊羡鱼，不如退而结网。 ——《汉书・董仲舒传》 圆锥曲线（选填题） 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码：①核心考点为椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程、几何性质（离心率、渐近线、焦点弦、焦半径、通径），常以离心率求值范围、双曲线渐近线与直线关系、抛物线焦点弦性质为压轴点。②难度中档至压轴，强调定义转化（如椭圆上点到两焦点距离之和为2a）、特值法与二级结论应用。 ►高考前沿：聚焦离心率的多种求法（构造a、b、c齐次式或用几何条件）及双曲线渐近线与离心率的关联；突出逻辑推理与数学运算，强化焦点三角形、焦半径公式等常用结论的记忆与快速应用。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   切线方程 ①过圆上任意一点的切线方程为 ②过椭圆上任意一点的切线方程为 ③过双曲线上任意一点的切线方程为 ④设 为抛物 线 上的点, 则过该点的切线方程为 终极考点2   切点弦方程 平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆的切点弦方程为 ②椭圆的切点弦方程为 ③双曲线的切点弦方程为 ④抛物线的切点弦方程为 ⑤二次曲线的切点弦方程为 终极考点3   相切的条件 ①椭圆与直线相切的条件是 ②双曲线与直线相切的条件是 终极考点4   斜率关系 若A、B、C、D是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC、BD的斜率存在且不等于零,并有,(,分别表示AC和BD的斜率) 终极考点5   常见不等式 已知椭圆方程为，两焦点分别为，，设焦点三角形中，则() 终极考点6   椭球体积 椭圆绕Ox坐标轴旋转所得的旋转体的体积为 终极考点7   纵坐标之和 y=kx+m与椭圆相交于两点，则纵坐标之和为 终极考点8   渐近线围成的四边形面积 过双曲线上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为 终极考点9   帕斯卡定理 如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上 终极考点10   斜率定值 过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值 推论1：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值 推论2：过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B两点，则直线AB的斜率为定值 终极考点11   椭圆和双曲线的结论汇总 椭圆 双曲线 标准方程 焦点 焦点 焦半径 为离心率，为点的横坐标. 为离心率，为点的横坐标. 焦半径范围 为椭圆上一点，为焦点. 为双曲线上一点，为焦点. 通径 过焦点与长轴垂直的弦称为通径. 通径长为 过焦点与实轴垂直的弦称为通径. 通径长为 如图，直线过焦点与椭圆相交于两点.则的周长为. （即） 如图，直线过焦点与双曲线相交于两点.则. 焦点弦 倾斜角为的直线过焦点与椭圆相交于两点. 焦点弦长. 最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径. 倾斜角为的直线过焦点与双曲线相交于两点. 焦点弦长. 与数量关系 直线过焦点与椭圆相交于两点，则. 直线过焦点与双曲线相交于两点，则. 已知点是椭圆上一点，坐标原点， 则. 已知点是双曲线上一点，坐标原点， 则. 焦三角形 如图，是椭圆上异于长轴端点的一点，已知，， ，则 （1）； （2）离心率. 如图，是双曲线上异于实轴端点的一点，已知，， ，则 （1）； （2）离心率. 垂径定理 如图，已知直线与椭圆相交于两点，点为的中点，为原点，则 . 如图，已知直线与双曲线相交于两点，点为的中点，为原点，则 . （注：直线与双曲线的渐近线相交于两点，其他条件不变，结论依然成立） 斜率乘积定理 如图，已知点椭圆长轴端点（短轴端点），是椭圆上异于的一点， 则. 推广：如图，已知点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零， 如图，已知点双曲线实轴端点，是双曲线上异于的一点， 则. 推广：如图，已知点是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零， . 周角定理 直线过焦点与椭圆相交于两点，点， 则（即）. 直线过焦点与双曲线相交于两点，点， 则（即）. 切线方程 已知点是椭圆上一点，则椭圆在点处的切线方程为. 已知点是双曲线上一点，则双曲线在点处的切线方程为. 终极考点12   补充结论1 1．过定点（定点在双曲线外且不在渐近线上）的直线与双曲线交点个数问题： 设斜率为的直线过定点，双曲线方程为，过点与双曲线相切时的斜率为. （1）当时，直线与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上； （2）当时，直线与双曲线只有一个交点； （3）当时，直线与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上； （4）当时，直线与双曲线只有一个交点； （5）当时，直线与双曲线没有交点. 2．如图，是双曲线的焦点，过点作垂直双曲线的其中一条渐近线，垂足为，为原点，则. 3．点是双曲线上任意一点，则点到双曲线的渐近线的距离之积为定值. 4．点是双曲线上任意一点，过点作双曲线的渐近线的平行线分别与渐近线相交于两点，为原点，则平行四边形的面积为定值. 终极考点13   抛物线的结论 如图，抛物线方程为，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，为原点，直线的倾斜角为. 1． 2．焦半径：，，. 3．焦点弦：. 4．的数量关系：，. 5．三角形的面积. 6．以焦点弦为直径的圆与准线相切；以焦半径为直径的圆与轴相切. 7．直线的斜率之和为零（），即. 8．点三点共线；点三点共线. 9．如图，点是抛物线，为原点，若，则直线过定点. 终极考点14   补充结论2 1.已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.则 （1）; （2）|OP|2+|OQ|2的最大值为; （3）的最小值是. 2.与共轭的双曲线方程为，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆心，C为半径的圆上；③。 3.与有相同焦点的双曲线方程为 4.与有相同焦点的椭圆方程为： 5.与有相同焦点的双曲线方程为： 6.与有相同离心率的双曲线方程为： ①焦点在轴上时： ②焦点在轴上时： 7.与有相同的渐近线方程为：； 真题精研--复盘经典 把握规律 考向01 求曲线方程 1．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________． 2．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________． 3．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 5．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 解题妙法 三步解题法： 1. 定类型：根据条件判断曲线是椭圆、双曲线还是抛物线，注意焦点位置（x轴或y轴）。 2. 列方程求参数：利用已知条件（焦点坐标、顶点坐标、过点、离心率、渐近线等）建立关于 的方程（组）。 椭圆：；双曲线：；抛物线： 或 。 3. 解并检验：解出参数，代入标准方程，注意椭圆 ，双曲线 ，抛物线 ，并检查是否有增根。 技巧：已知曲线过两点，可先设一般方程（如椭圆 ）代入求解，避免讨论焦点位置。 考向02 圆锥曲线的基本性质 6．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为________． 7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______. 8．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 9．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 解题妙法 三步解题法： 1. 回顾定义：椭圆定义 ；双曲线定义 ；抛物线定义 （到焦点距离等于到准线距离）。 1. 几何性质： 椭圆/双曲线：顶点、焦点、长轴/实轴、短轴/虚轴、渐近线（双曲线）、准线、焦半径。 抛物线：顶点、焦点、准线、通径（长为 ）。 1. 利用定义转化：涉及椭圆或双曲线上一点到两焦点的距离问题，优先考虑定义，常与三角形中位线、余弦定理结合。选填中可直接用焦半径公式（椭圆 等）。 口诀：定义优先解距离，焦半径公式要熟；双曲渐近线斜率，抛物线通径 。 考向03 离心率综合 10．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 12．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 13．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 14．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 15．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 16．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 解题妙法 三步解题法： 1. 写出基本关系：椭圆 （），双曲线 （），且 。 1. 利用条件列齐次式：根据几何条件（如焦点三角形边长、角度、点的坐标、渐近线夹角、直线与曲线相交的等量关系）得到关于 的齐次方程。 1. 化为 的方程求解：消去 或 ，得到 的二次方程（或不等式），解出 ，注意范围取舍。选填中可用特殊值法或验证选项。 技巧：双曲线渐近线斜率 ，若已知渐近线方程或夹角，可迅速求出 。椭圆中焦点三角形顶角最大时点位于短轴端点，可用余弦定理。 考向04 弦长综合 17．（2023·全国甲卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 18．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 19．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 20．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 21．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 解题妙法 三步解题法： 1. 设直线方程：根据已知条件设直线 或 （避免斜率不存在讨论）。 2. 联立消元：与曲线方程联立，得关于 （或 ）的一元二次方程，判别式 保证相交。 3. 弦长公式：（消 时）或 。过焦点的弦可用焦半径公式简化（如抛物线 ）。选填中常直接利用韦达定理计算。 口诀：设线联立韦达用，弦长公式两点距；过焦弦长有捷径，抛物线中加 项。 考向05 多选题综合 22．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 23．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 24．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（    ） A． B．点在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时， 25．（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 26．（2025·全国一卷·高考真题）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 解题妙法 三步解题法： 1. 逐项判断：多选题常涉及曲线形状、离心率范围、焦点弦性质、最值问题、轨迹方程等。先判断每个选项的真假，可结合特殊值、图形特征、常见结论（如椭圆中焦点三角形面积 ）快速甄别。 1. 几何直观：画出草图，利用圆锥曲线的对称性、通径最短、椭圆双曲线的范围（ 等）排除明显错误的选项。 1. 代数验证：对不易直观判断的选项，联立方程或用含参运算进行简单验证，注意多选题往往有2个或3个正确选项，选全得分，选错或少选不得分，不确定的选项慎重对待。 技巧：多选题中常见陷阱，忽视双曲线的渐近线限制、忽略椭圆中 、抛物线开口方向等。用特例（如取 或直角情形）快速检验。 终极预测--压轴实战 稳拿高分 一、单选题 1．（2026·四川泸州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则其长轴长为（    ） A． B．2 C． D．4 2．（2026·四川遂宁·二模）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 3．（2026·北京海淀·一模）抛物线的焦点为F，点A在W上，且，则线段中点的横坐标为（   ） A．2 B． C．3 D． 4．（2026·河北保定·二模）已知直线 为双曲线的一条渐近线，则（   ） A． B．645 C． D．5 5．（2026·广东惠州·二模）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则的面积为（    ） A． B． C．2 D． 6．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）点在抛物线上，为的焦点，轴，过且与轴平行的直线与的准线交于点的面积2，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2026·浙江金华·二模）抛物线的焦点为F，斜率为2的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·陕西渭南·二模）若直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，则（    ） A． B．8 C．10 D． 9．（2026·四川资阳·三模）已知为坐标原点，为椭圆的右顶点．若椭圆上存在两点，，使得以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·广东广州·二模）已知分别为双曲线的左、右焦点，点在的渐近线上，且满足，则的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 11．（2026·云南昭通·二模）已知双曲线的渐近线与以为圆心，面积为的圆相切，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 12．（2026·湖南浙江·模拟预测）已知椭圆，过其右焦点作直线交椭圆于，两点，取点关于轴的对称点，若点为的外心，则（    ） A． B． C． D．以上都不对 13．（2026·河北邯郸·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其右支上有一点，满足的垂直平分线与右支交于点，且直线过右焦点，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．（2026·青海西宁·二模）已知双曲线 的左、右焦点分别为，若渐近线上存在关于原点对称的两点M，N  (M在第一象限)，且，线段的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 15．（2026·江西宜春·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，则（    ） A． B．的方程为 C．原点到直线的距离为 D． 16．（2026·四川达州·二模）椭圆的左、右焦点为，，P为上的动点，下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．存在点，使 C．的最大值为12 D．到的距离的最大值为4 17．（2026·山西吕梁·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的离心率为 B．内切圆半径的最大值为 C．椭圆C内接矩形面积的最大值为 D．若，则的最小值是1 18．（2026·陕西咸阳·模拟预测）设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，则（    ） A． B． C． D．与的面积之比为 19．（2026·河北沧州·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过点的直线与的左、右两支分别交于，两点（在第一象限内），为原点，若，点到两条渐近线的距离之积为，则（   ） A．的渐近线方程为 B．的离心率为2 C．面积的最小值为 D．直线，的倾斜角之和为 20．（2026·安徽马鞍山·二模）已知曲线，则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线与轴有4个公共点 C．曲线上存在一点，使得 D．曲线上任意一点，都有 21．（2026·湖南浙江·模拟预测）已知曲线，则下列说法正确的有（    ） A．曲线是中心对称图形 B．曲线与直线有三个不同的交点 C．该曲线可以成为一个函数的图象 D．当时， 三、填空题 22．（2026·宁夏·一模）已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是____________. 23．（2026·广东湛江·二模）已知抛物线：，点，，点在上运动，则面积的最小值为______. 24．（2026·河南开封·二模）抛物线的焦点为，为的准线与轴的交点，为上一点，若，则__________． 抛物线的焦点，准线方程为， 25．（2026·河南焦作·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率不为零的直线与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y轴交于点E，若，则________． 倒计时06天 士不可以不弘毅，任重而道远。 ——《论语・泰伯》 概率与统计综合（选填题） 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码：①核心考点包括古典概型、互斥与对立事件、相互独立事件、条件概率、全概率公式，统计方面考查频率分布直方图（估计均值中位数）、样本数字特征（平均数、方差）、抽样方法（简单随机抽样、分层抽样）。②难度中低档为主，强调概念辨析与公式应用，注意概率中“有序无序”及统计中“方差变化规律”。 ►高考前沿：聚焦条件概率与全概率公式的实际情境（如疾病检测、抽签问题）及统计图表的快速读取；突出数据分析与数学运算，培养用排除法、特殊值法处理概率大小比较与统计结论判断。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1-10   概率综合 1. 等可能性事件的概率. 2. 互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)． 3. 个互斥事件分别发生的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 4. 独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B). 5. 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)． 6. 次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率 7. 条件概率 条件概率的定义 条件概率的性质 已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)． 当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B也可以记成AB) 类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝ (1)0≤P(B|A)≤1， (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同 前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．　 8. 条件概率的三种求法 定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A) 基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ 缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简 9. 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝ ，此公式为全概率公式. （1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数. （2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 10. 贝叶斯公式 一般地,设是一组两两互斥的事件,有且,则对任意的事件有 终极考点1-11   期望方差及样本数字特征 1. 离散型随机变量的分布列的两个性质 （1）; （2）. 2. 数学期望 3. 数学期望的性质 （1）. （2）若～,则. (3) 若服从几何分布,且，则. 4. 方差 5. 标准差=. 6.方差的性质 (1)； (2）若～，则. (3) 若服从几何分布,且，则. 7.方差与期望的关系 . 8.正态分布密度函数 ，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差. 9.对于，取值小于x的概率 . . 10.数字样本特征 （1） 众数：在一组数据中出现次数最多的数 （2） 中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若为偶数个，中位数为中间两个数的平均数 （3） 平均数：，反映样本的平均水平 （4） 方差： 反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度； 越大，样本波动越大，越不稳定；越小，样本波动越小，越稳定； （5） 标准差：，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样 （6） 极差：等于样本的最大值最小值 11.求随机变量X的分布列的步骤： (1)理解X的意义，写出X可能取得全部值； (2)求X取每个值的概率； (3)写出X的分布列； (4)根据分布列的性质对结果进行检验. 还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布. （1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解； （2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算； （3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算，若～,则，. 真题精研--复盘经典 把握规律 考向01 样本数字特征综合 1．（2025·全国二卷·高考真题）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（   ） A．8 B．9 C．12 D．18 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 解题妙法 三步解题法： 1. 明确特征定义： 平均数 ，中位数（排序后中间位置值），众数（出现最多的数），极差（最大减最小）。 方差 ，标准差 。 2. 利用性质巧算： 若每个数据加减常数，平均数变化相同，方差不变；若乘以常数，平均数乘以该数，方差乘以平方。 两组数据合并后的平均数与方差可用加权公式。 3. 由频率分布直方图估算： 平均数用组中值乘以频率之和；中位数找累计频率0.5对应的数值；众数是最高矩形底边中点。 口诀：平均数看重心，方差看离散；直方图估特征，组中值与频率。 考向02 古典概率 4．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国乙卷·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为______． 8．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________. 解题妙法 三步解题法： 1. 确定样本空间：计算总基本事件数 （常用排列组合或列举法）。 2. 求事件A包含的基本事件数 ：利用排列、组合、分步计数原理，注意“有序”还是“无序”。 3. 计算概率 ：约分至最简分数或小数。选填中常用正难则反（对立事件）、捆绑法、插空法等技巧。 口诀：古典概率等可能，排列组合算总数；特殊优先正难反，分子分母要写对。 考向03 条件概率 9．（2023·全国甲卷·高考真题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 10．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______． 解题妙法 三步解题法： 1. 识别条件：已知某事件 发生的条件下，求事件 的概率，记为 。 2. 套公式：（）。 若为古典概型，也可用缩小样本空间法：。 3. 计算并化简：先算出 和 ，再相除；注意 独立时 。 技巧：条件概率的常用场景——不放回抽奖、已知某结果推断原因（结合全概率）；选填中优先采用缩小样本空间法，直接数个数。 考向04 独立重复事件的概率 11．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 解题妙法 三步解题法： 1. 判断模型：每次试验结果只有两种可能（成功/失败），且各次独立，概率 不变 → 二项分布 。 2. 公式计算：恰好发生 次的概率 。 至少发生 次：需对 求和，常用对立事件简化。 3. 注意“n次独立重复试验”与“有放回抽取”等价；若为“无放回”则用超几何分布，需区分。 口诀：独立重复二项式，；至少问题用对立， 固定是前提。 考向05 正态分布 12．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 13．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 解题妙法 三步解题法： 1. 标准正态化：若 ，则 。 2. 利用对称性：曲线关于 对称，；，，。 3. 求概率：将所求区间转化为 的区间，利用标准正态分布表（或给定数值）计算；选填中常直接使用3σ原则估算。 技巧：对于 ，若 ，则 ，利用对称性简便计算。 考向06 分布列及期望 14．（2025·全国一卷·高考真题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 15．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______ 解题妙法 三步解题法： 1. 列分布列：确定随机变量 的所有可能取值及其概率，检验概率和为1。 1. 期望公式：；方差 ，或 。 1. 常见分布期望方差（选填直接套）： 二项分布 ：，。 超几何分布 ：。 两点分布：，。 若 ，则 ，。 终极预测--压轴实战 稳拿高分 一、单选题 1．（2026·河南周口·模拟预测）一组从小到大排列的数据：，，，，.若它们的第百分位数比平均数大，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南许昌·模拟预测）已知正态分布，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽铜陵·模拟预测）已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（   ） A．经验回归直线必过点 B． C．当时，预测值 D．当时，样本点对应的残差为 4．（2026·山东济南·二模）某机构用不同的人工智能系统对一幅素描作品进行评分，得到7个数据．去掉一个最高分和一个最低分后，得到的5个数据与原始数据相比一定不变的是（    ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 5．（2026·四川成都·二模）已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、乙、丙中奖的概率分别为，则（   ） A．最大 B．最大 C．最大 D． 6．（2026·江苏·模拟预测）已知五个数的极差为4，方差为2，则的（    ） A．极差为4，方差为2 B．极差为4，方差为4 C．极差为8，方差为4 D．极差为8，方差为8 7．（2026·山东德州·二模）一组不全相等的数据的平均数为，方差为；设新数据的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·河北唐山·二模）已知随机变量，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 9．（2026·河南安阳·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026·辽宁辽阳·二模）小张的停车位被其它车辆占据，小张准备拨打车上的联系电话，可是电话号码的最后一位被遮挡，小张准备随机尝试，则小张在第一次拨打错误的条件下，第三次恰好拨打正确的概率是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·安徽淮北·二模）某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 12．（2026·广东佛山·二模）有一组样本数据，，，…，，由这组数据得到新样本数据，，，…，，其中（）则两组样本数据的数字特征不一定相同的是（   ） A．中位数 B．极差 C．平均数 D．方差 13．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知数据、、、的平均数，方差为．设，数据、、、的方差为，数据、、、、、、、的方差为，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（2026·重庆·二模）已知随机变量服从二项分布，随机变量服从正态分布，则（    ） A． B． C． D． 15．（2026·山东聊城·二模）某医学研究团队为探究新型降压药的疗效与患者年龄的关联，将120名高血压患者按年龄分为“中青年组（<60岁）”和“老年组（岁）”，记录用药后的疗效（“有效”“无效”），得到如下列联表： 患者 疗效 总计 有效 无效 中青年组 10 40 50 老年组 40 30 70 总计 50 70 120 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 则下列说法中正确的有（    ） A．若在“老年组”中按疗效分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，则至少抽到1名“无效”患者的概率为 B．从所有患者中随机抽取1人，设事件“该人在中青年组”，事件“该药对此人有效”，则事件A与B相互独立 C．根据小概率值的独立性检验，认为“降压药疗效与患者年龄有关”，且该推断犯错误的概率不超过 D．若将列联表中“中青年组有效”的人数改为15，“中青年组无效”的人数改为35，则所得值比原值大 16．（2026·青海海东·二模）从甲、乙、丙、丁四名学生中随机选出两人参加数学竞赛，则下列选项中的两个事件的关系是互斥但不对立的是（   ） A．“甲被选中”和“乙被选中” B．“甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” C．“甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” D．“甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” 17．（2026·广东广州·二模）在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则（   ） A． B． C． D． 18．（2026·广东汕头·二模）从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么下列说法正确的是（   ） A．2个球都是白球的概率为 B．2个球都不是白球的概率为 C．2个球不都是白球的概率为 D．2个球恰好有一个球是白球的概率为 19．（2026·重庆九龙坡·二模）一个袋子中有 4 个红球和 2 个白球，采用不放回方式依次摸取 2 个球. 设事件 为“第一次摸到红球”，事件 为“第二次摸到红球”，则（   ） A． B． C． D． 与 相互独立 20．（2026·浙江嘉兴·二模）下列说法正确的是（   ） A．数据9，10，10，11，12，14，16，17，19，21的第60百分位数为14 B．对于随机事件A与B，若，则事件A与B相互独立 C．已知一组样本数据的平均值为5，极差为7，中位数为6，则数据的平均值为9，极差为14，中位数为11 D．若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近1 三、填空题 21．（2026·山西运城·一模）如图，某片雪花有6个主枝，每个主枝上有9个侧枝，从该雪花的所有侧枝中随机选取2个，则它们位于同一主枝上的概率为______． 22．（2026·辽宁鞍山·二模）将甲、乙、丙、丁、戊五名同学分到三个不同的公益活动小组，每组至少一人，至多两人，则甲乙恰好被分到同一小组的概率为________． 23．（2026·江苏南京·模拟预测）有3个编号分别为1，2，3的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子.记“从号盒子取出的球是白球”为事件，则_______. 24．（2026·广东广州·模拟预测）箱中有连续编号1到15的小球，现从箱中一次随机取出5个球，若已知取出的5个球的编号中位数为9，则这5个球中的最大编号与最小编号之差恰好等于9的概率为__________． 25．（2026·云南玉溪·二模）是1，2，3，4，5的一个随机排列，对每一个中间位置的数，要求它左右相邻的两个数与中，至少有一个大于它，则该排列满足此条件的概率为__________． 倒计时05天 博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。 ——《礼记・中庸》 平面向量（选填题） 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码：①核心考点包括向量的线性运算（加法、减法、数乘）、数量积的几何意义与坐标运算（求模、夹角、投影）、共线定理与平面向量基本定理（基底拆分）。②难度中低档至中档，常以三角形或四边形为背景，考查最值（数量积范围、模长最值）及位置关系（垂直、平行）。 ►高考前沿：聚焦极化恒等式求数量积最值及向量与平面几何结合（用基底表示向量、奔驰定理）；突出数学运算与直观想象，强化坐标法、基底法和几何法（如投影、平行四边形法则）的灵活选择。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   向量的运算 （1） 两点间的向量坐标公式： ，，终点坐标始点坐标 终极考点2   向量的加减法 ， ， 终极考点3   向量的数乘运算 ，则： 终极考点4   向量的模 ，则的模 终极考点5   相反向量 已知，则；已知 终极考点6   单位向量 终极考点7   向量的数量积 终极考点8   向量的夹角 终极考点9   投影向量 向量在上的投影向量为 终极考点10   向量的平行关系 终极考点11   向量的垂直关系 终极考点12   向量模的运算 真题精研--复盘经典 把握规律 考向01 平行与垂直 1．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则_________． 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 解题妙法 三步解题法： 1. 坐标表示：设 ，（若未给坐标，可建系或选基底）。 2. 平行条件：（交叉相乘相等）。 3. 垂直条件：。 若为几何背景，可用向量式转化（如 得直角）。 口诀：平行交叉差为零，垂直数量积为零；坐标基底灵活用，几何向量互化灵。 考向02 向量线性运算与几何综合 5．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 考向03 模长 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 7．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则___________ 8．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则______． 解题妙法 三步解题法： 1. 模长平方：。 2. 常用公式：。 3. 求模： 已知坐标：直接开方。 已知数量积和模：利用上述公式。 几何意义：向量模即对应有向线段的长度，可转化为图形中的距离（如圆中弦长）。 口诀：模长平方转数量积，加减平方展开易；几何图形找线段，坐标代入直接算。 考向04 夹角 10．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 11．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 解题妙法 三步解题法： 1. 公式：，。 2. 已知坐标：直接代入点积与模长。 3. 已知几何关系：利用三角形内角、边长（余弦定理）或向量运算化简。 若两向量垂直，；平行同向 ，反向 。 注意钝角时余弦为负，可以通过点积符号快速判断。 考向05 数量积 12．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 14．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 解题妙法 三步解题法： 1. 公式：。 2. 几何意义：数量积等于 乘 在 上的投影长度（带符号）。 3. 求法技巧： 已知模与夹角：直接套定义。 已知坐标：代数运算。 几何图形中：利用投影、基底展开，如 （由余弦定理）。 分配律：。 口诀：数量积有三种法，模乘夹角的余弦，坐标相乘再求和，几何投影化线段。 考向06 范围与最值 15．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________． 16．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______． 18．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 一、单选题 1．（2026·陕西宝鸡·三模）已知与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东广州·二模）已知非零向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏·模拟预测）已知，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知，，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2026·安徽池州·二模）已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山东德州·模拟预测）已知，，为向量，则“”是“或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·安徽马鞍山·二模）已知四边形为平行四边形，，为与的交点，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·河北·模拟预测）在中，已知，，，，则（   ） A． B． C．1 D． 9．（2026·北京房山·一模）已知平面直角坐标系中，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·四川南充·二模）在中，，，若，，，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026·河南濮阳·二模）如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中不正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值是 12．（2026·河北保定·一模）平面内三个向量，，满足，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（25-26高三上·江苏扬州·期末）已知都是单位向量，且，则下列结论正确的有（   ）. A． B． C．与的夹角为 D．存在，使得 14．（2026·河北·一模）已知向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上的投影向量为 C．与夹角的余弦值为 D．若与垂直，则实数 三、填空题 15．（2026·重庆·二模）已知正方形ABCD边长为2，E为线段CD的中点，若AF⊥BE于F，则_______. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 目 录 倒计时08天 ➤直线与圆（选填题）……………………………………………………………01 聚焦直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、弦长与切线等综合 5大考向23个核心考点 倒计时07天 ➤圆锥曲线（选填题）……………………………………………………………27 聚焦椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质等 5大考向14个核心考点 倒计时06天 ➤概率与统计综合（选填题） …………………………………………………79 聚焦概率模型、统计图表、数字特征、分布列与独立性检验等 6大考向21个核心考点 倒计时05天 ➤平面向量（选填题）…………………………………………………………111 聚焦向量加减数乘、数量积、夹角、模长、共线垂直与坐标运算等 6大考向12个核心考点 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 倒计时08天 为者常成，行者常至。 ——《晏子春秋》 直线与圆（选填题） 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码：①核心考点包括直线的倾斜角与斜率、位置关系（平行垂直）、距离公式（点到线、线到线），圆的方程（标准式、一般式）、直线与圆的位置关系（相切、相交、相离）、弦长与切线方程、圆与圆的位置关系。②难度以中低档为主，常以数形结合为解题核心，注意几何性质（垂径定理、圆心到直线距离）优先于代数联立。 ►高考前沿：聚焦圆上的点到直线距离最值、切线长最值及两圆公共弦方程；突出直观想象与数学运算，强调利用对称性、几何意义快速求解，避免繁琐计算。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   两点间的距离公式 ，， 终极考点2   中点坐标公式 ，，为的中点，则： 终极考点3   三角形重心坐标公式 终极考点4   直线的斜率与倾斜角的定义及其关系 （1） 斜率：表示直线的变化快慢的程度；，直线递增，，直线递减， （2） 倾斜角：直线向上的部分与轴正方向的夹角，范围为 （3） 直线的斜率与倾斜角的关系： 不存在 终极考点5   两点间的斜率公式 ，， 终极考点6   直线的斜截式方程 ，其中为斜率，为轴上的截距 终极考点7   直线的点斜式方程 已知点，直线的斜率，则直线方程为： 终极考点8   直线的一般式方程 终极考点9   两条直线的位置关系 （1） 平行的条件 ①斜截式方程：，， ②一般式方程：，， （2） 重合的条件 ①斜截式方程：，， ②一般式方程： ，， （3） 垂直的条件 ①斜截式方程：，， ②一般式方程： ，， 终极考点10   点到直线的距离公式 点，直线，点到直线的距离为： 终极考点11   两条平行线间的距离公式 ，， 终极考点12   圆的标准方程 ，其中圆心坐标为，半径为 终极考点13   圆的一般方程 （） 配方可得：， 圆心坐标为，半径为 终极考点14   表示圆的充要条件： 终极考点15   点与圆的位置关系 已知点，圆的方程为： 若，点在圆内 若，点在圆上 若，点在圆外 终极考点16   直线与圆的位置关系 直线，圆 代数关系，其中为联立方程根的个数， 几何关系，其中为圆心到直线的距离 终极考点17   圆上一点的切线方程 终极考点18   圆与圆的位置关系 设圆的半径为，设圆的半径为，两圆的圆心距为 若，两圆外离，若，两圆外切，若，两圆内切 若，两圆相交，若，两圆内含，若，同心圆 两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条； 两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条； 两圆内含，公切线的条数为0条； 终极考点19   弦长公式 设，， 则 或： 终极考点20   圆上一点到圆外一点的距离的最值 终极考点21   圆上一点到圆上一点的距离的最值 终极考点22   圆上一点到直线距离的最值 终极考点23   过圆内一点的最长弦和最短弦 最长弦：直径；最短弦：垂直于直径 真题精研--复盘经典 把握规律 考向01 点到直线的距离公式 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 解题妙法 三步解题法： 1. 代公式：点 到直线 的距离 。 1. 注意形式：若直线方程为斜截式 ，先化为一般式 再代入。 1. 几何应用：常用于求三角形的高、圆中弦心距、平行线间距离（在一条线上取点），以及判断点与圆的位置关系（圆心到直线距离与半径比较）。 口诀：点线距离代公式，分母根号平方和；分子绝对值莫忘，几何意义要记牢。 考向02 直线与圆的位置关系求参数 2．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______． 【答案】（中任意一个皆可以） 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． 【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或． 故答案为：（中任意一个皆可以）． 考向03 切线问题 4．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【答案】或或 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B.      解题妙法 三步解题法： 1. 点在圆上：过圆上一点 的切线只有一条，切线方程： 圆 ： 圆 ： 1. 点在圆外：过圆外一点可作两条切线。 几何法：设切线斜率 ，写出点斜式方程，利用圆心到切线距离等于半径，解出 （注意斜率不存在的情况）。 切线长公式：，其中 为点到圆心的距离。 1. 公切线：两圆公切线问题，利用圆心距与半径和、差的关系判定条数，再求方程。 口诀：点在圆上用替换，点在圆外设斜率；距离等于半径解，切线长用勾股理。 考向04 求圆的方程 6．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为____________． 【答案】或或或． 【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可； 【详解】[方法一]：圆的一般方程 依题意设圆的方程为， （1）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （2）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （3）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即； 故答案为：或 或 或． [方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心） 设 （1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为， 则，所以圆的方程为； （2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为； （3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为； （4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为． 故答案为：或 或 或． 【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁； 方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解． 7．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________． 【答案】 【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程. 【详解】[方法一]：三点共圆 ∵点M在直线上， ∴设点M为，又因为点和均在上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R， ∴， ，解得， ∴，， 的方程为. 故答案为： [方法二]：圆的几何性质 由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为. 故答案为： 8．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 解题妙法 三步解题法： 1. 选形式： 标准式：，需确定圆心 和半径 。 一般式：，圆心 ，半径 （须 ）。 1. 列方程求参数：根据条件（如过三点、圆心在直线上、与直线相切、弦长等）建立关于 或 的方程组。 过三点：设一般式，代入解 。 圆心在直线上：设圆心坐标满足该直线方程。 与直线相切：圆心到直线距离等于半径。 已知弦长：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形。 1. 解出并验证：解方程组，代回方程；注意直径两端点可直接得圆心为它们中点，半径为半长。 技巧：优先利用几何条件（如弦的中垂线过圆心）简化计算。 考向05 最值与范围综合 9．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.    故选：C 10．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 11．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【答案】C 【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可. 【详解】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 12．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 13．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可； 【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上， 所以所在直线即为直线，所以直线为，即； 圆，圆心，半径， 依题意圆心到直线的距离， 即，解得，即； 故答案为： 终极预测--压轴实战 稳拿高分 一、单选题 1．（2026·山东聊城·二模）已知直线，，且，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行求出实数的值，再利用平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】因为，则，解得，即直线的方程为，可化为， 故与的距离为. 2．（2026·江西·二模）已知直线与圆相交于A，B两点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【详解】将圆C的方程化为标准形式，得，故圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为，所以． 3．（2026·河南濮阳·二模）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 直线可化为， 令，得，故直线过定点， 由图知，当且仅当时，点到直线距离取得最大值：， 故圆上的点到直线距离最大值为. 4．（2026·四川成都·三模）若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心到点的距离等于到轴距离计算求解轨迹方程. 【详解】设圆心，圆过点，且与轴相切， 则，化简得，即得， 则圆心的轨迹方程为. 5．（2026·广东江门·二模）若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，直线的斜率， 所以直线的斜率. 6．（2026·广东揭阳·二模）若点关于动直线l：的对称点为N，则点N的轨迹为（   ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】A 【分析】先求出直线l过定点，再利用对称性得，最后根据圆的定义即可判断. 【详解】由直线l：， 令，解得， 则直线l（不包含直线）过定点， 由对称性可知，，即点N到定点的距离为， 又直线l不包含直线， 所以点关于直线的对称点不在点N的轨迹中， 则N的轨迹是以为圆心，为半径的圆（去掉点），因此，点N的轨迹为圆的一部分. 7．（2026·山西太原·二模）已知圆与圆有且仅有三条公切线，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据公切线条数判断两圆的位置关系，再根据圆心距列式求解. 【详解】∵圆的标准方程为，∴圆的圆心为，半径为. 又圆的圆心为，半径为. ∴两圆的圆心距为. ∵两圆有且仅有三条公切线，∴两圆外切， ，解得. 8．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知直线：与圆：交于，两点，当的面积最大时，（    ） A． B． C．0或 D．0或 【答案】C 【分析】根据三角形面积公式分析可知当时，的面积最大，此时圆心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】圆：得圆心为，半径， 的面积， 当时，的面积最大，此时圆心到直线的距离为， 则，解得或. 二、多选题 9．（2026·河北保定·一模）圆与圆的公切线的交点坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】首先求出两圆的圆心与半径，再利用公切线方程求解交点坐标即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，    由题意得，圆心，半径. 将整理得，圆心，半径. 圆心距，两圆外切， 所以共有三条公切线，两两相交可得三个交点. 外公切线交点在连心线延长线上，由位似性质得交点为， 由图可得一条外公切线为， 设另一条外公切线方程为， 由圆心到切线距离等于半径得， 解得，所以； 两圆联立且内公切线的切点在连心线上， 所以切点坐标为，内公切线斜率为 ，方程为； 此时两两交点，对应选项A； ，对应选项B；，对应选项C； 故选项D不是公切线交点. 10．（2026·江苏南京·模拟预测）已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 【答案】BCD 【详解】由得，所以圆的圆心坐标为，半径为，故A错误； 由圆：得圆心，半径，所以，故B正确； 又，所以，所以圆与圆相交，故C正确； 由，两式相减得：， 由圆心到直线的距离为：， 所以圆与圆的公共弦的长为，故D正确. 11．（2026·河北·二模）已知圆的半径为2，则（   ） A． B．原点在圆的内部 C．圆与圆有且仅有1条公切线 D．直线与圆交于两点，的面积为 【答案】BC 【分析】根据半径可求解，即可判断AB，进而根据两圆的位置关系可判断C，根据点到直线的距离公式以及圆的弦长公式即可求解D. 【详解】的圆心和半径分别为, 故，则，A错误， 由于，故原点在圆内，B正确， 的圆心和半径分别为,由于， 故两圆内切，因此两圆只有一条公切线，C正确， 到直线的距离为，则， 故，D错误. 12．（2026·河南开封·二模）已知点是圆上一动点，点，点，则（   ） A．点到直线的距离的最大值为 B．满足的点有2个 C．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 D．的最小值是 【答案】BCD 【分析】利用点到直线的距离公式来判断A，利用的动点的轨迹是以为直径的圆，然后借助两圆位置关系来判断B，根据切线的性质求得两圆相交弦所在直线方程来判断C，设存在定点，使得点在圆上任意位置时都有，求得点，计算判断D. 【详解】对于A，原点到直线的距离为， 所以圆上动点到直线的距离的最大值为，故 A错误； 对于B，满足的动点的轨迹是以为直径的圆， 设线段的中点为，则，圆的半径为， 所以圆， ，因为，所以圆与圆相交，故B正确； 对于C，过点作圆的两条切线，切点分别为， 由切线性质可知四点共圆，该圆的方程为， 则直线的方程为两圆的相交弦， 所以，故C正确； 对于D，设存在定点，使得点在圆上任意位置时都有， 设，则， 化简可得， 因为，所以，即点 所以， 当且仅当三点共线且点在中间时等号成立， 所以的最小值是，故D正确． 三、填空题 13．（2026·山东潍坊·一模）已知点和圆，若以线段中点为圆心，为半径的圆与交于两点，则__________. 【答案】 【分析】先确定圆心的坐标和圆的半径，再证明为新圆的直径，为直角，结合勾股定理求结论. 【详解】因为圆的方程， 所以圆心的坐标为，圆的半径，， 又点，所以 ，线段的中点坐标为， 新圆以中点为圆心，为半径，因此是新圆的直径， 因为交点在新圆上，所以，即是直角三角形，斜边为， 在中： ，又， 所以 ，故. 14．（2026·重庆·模拟预测）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程为__________． 【答案】 【分析】首先根据导数的几何意义求出切线方程，然后求出和坐标轴的交点，最后利用几何法求圆的方程. 【详解】将曲线化为，求导得，在点的切线斜率， 由点斜式得切线方程：，整理为. 切线与坐标轴的交点为、，围成的三角形三个顶点为、、， 中，直角三角形的外接圆直径为斜边. 斜边的中点为，即圆心，，半径， 因此外接圆的标准方程为：（或展开为）. 15．（2026·浙江嘉兴·二模）已知，若直线上存在点P满足，则实数c的最大值是_________． 【答案】/ 【分析】由求得的轨迹为圆，结合直线与圆的位置关系即可求得c的最大值. 【详解】设， 由题意得， 整理得， 所以的轨迹为以为圆心，半径的圆， 因为在直线上， 所以与相切或相交， 则到的距离， 解得， 故c的最大值是. 倒计时07天 临渊羡鱼，不如退而结网。 ——《汉书・董仲舒传》 圆锥曲线（选填题） 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码：①核心考点为椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程、几何性质（离心率、渐近线、焦点弦、焦半径、通径），常以离心率求值范围、双曲线渐近线与直线关系、抛物线焦点弦性质为压轴点。②难度中档至压轴，强调定义转化（如椭圆上点到两焦点距离之和为2a）、特值法与二级结论应用。 ►高考前沿：聚焦离心率的多种求法（构造a、b、c齐次式或用几何条件）及双曲线渐近线与离心率的关联；突出逻辑推理与数学运算，强化焦点三角形、焦半径公式等常用结论的记忆与快速应用。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   切线方程 ①过圆上任意一点的切线方程为 ②过椭圆上任意一点的切线方程为 ③过双曲线上任意一点的切线方程为 ④设 为抛物 线 上的点, 则过该点的切线方程为 终极考点2   切点弦方程 平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆的切点弦方程为 ②椭圆的切点弦方程为 ③双曲线的切点弦方程为 ④抛物线的切点弦方程为 ⑤二次曲线的切点弦方程为 终极考点3   相切的条件 ①椭圆与直线相切的条件是 ②双曲线与直线相切的条件是 终极考点4   斜率关系 若A、B、C、D是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC、BD的斜率存在且不等于零,并有,(,分别表示AC和BD的斜率) 终极考点5   常见不等式 已知椭圆方程为，两焦点分别为，，设焦点三角形中，则() 终极考点6   椭球体积 椭圆绕Ox坐标轴旋转所得的旋转体的体积为 终极考点7   纵坐标之和 y=kx+m与椭圆相交于两点，则纵坐标之和为 终极考点8   渐近线围成的四边形面积 过双曲线上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为 终极考点9   帕斯卡定理 如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上 终极考点10   斜率定值 过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值 推论1：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值 推论2：过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B两点，则直线AB的斜率为定值 终极考点11   椭圆和双曲线的结论汇总 椭圆 双曲线 标准方程 焦点 焦点 焦半径 为离心率，为点的横坐标. 为离心率，为点的横坐标. 焦半径范围 为椭圆上一点，为焦点. 为双曲线上一点，为焦点. 通径 过焦点与长轴垂直的弦称为通径. 通径长为 过焦点与实轴垂直的弦称为通径. 通径长为 如图，直线过焦点与椭圆相交于两点.则的周长为. （即） 如图，直线过焦点与双曲线相交于两点.则. 焦点弦 倾斜角为的直线过焦点与椭圆相交于两点. 焦点弦长. 最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径. 倾斜角为的直线过焦点与双曲线相交于两点. 焦点弦长. 与数量关系 直线过焦点与椭圆相交于两点，则. 直线过焦点与双曲线相交于两点，则. 已知点是椭圆上一点，坐标原点， 则. 已知点是双曲线上一点，坐标原点， 则. 焦三角形 如图，是椭圆上异于长轴端点的一点，已知，， ，则 （1）； （2）离心率. 如图，是双曲线上异于实轴端点的一点，已知，， ，则 （1）； （2）离心率. 垂径定理 如图，已知直线与椭圆相交于两点，点为的中点，为原点，则 . 如图，已知直线与双曲线相交于两点，点为的中点，为原点，则 . （注：直线与双曲线的渐近线相交于两点，其他条件不变，结论依然成立） 斜率乘积定理 如图，已知点椭圆长轴端点（短轴端点），是椭圆上异于的一点， 则. 推广：如图，已知点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零， 如图，已知点双曲线实轴端点，是双曲线上异于的一点， 则. 推广：如图，已知点是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零， . 周角定理 直线过焦点与椭圆相交于两点，点， 则（即）. 直线过焦点与双曲线相交于两点，点， 则（即）. 切线方程 已知点是椭圆上一点，则椭圆在点处的切线方程为. 已知点是双曲线上一点，则双曲线在点处的切线方程为. 终极考点12   补充结论1 1．过定点（定点在双曲线外且不在渐近线上）的直线与双曲线交点个数问题： 设斜率为的直线过定点，双曲线方程为，过点与双曲线相切时的斜率为. （1）当时，直线与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上； （2）当时，直线与双曲线只有一个交点； （3）当时，直线与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上； （4）当时，直线与双曲线只有一个交点； （5）当时，直线与双曲线没有交点. 2．如图，是双曲线的焦点，过点作垂直双曲线的其中一条渐近线，垂足为，为原点，则. 3．点是双曲线上任意一点，则点到双曲线的渐近线的距离之积为定值. 4．点是双曲线上任意一点，过点作双曲线的渐近线的平行线分别与渐近线相交于两点，为原点，则平行四边形的面积为定值. 终极考点13   抛物线的结论 如图，抛物线方程为，准线与轴相交于点，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，为原点，直线的倾斜角为. 1． 2．焦半径：，，. 3．焦点弦：. 4．的数量关系：，. 5．三角形的面积. 6．以焦点弦为直径的圆与准线相切；以焦半径为直径的圆与轴相切. 7．直线的斜率之和为零（），即. 8．点三点共线；点三点共线. 9．如图，点是抛物线，为原点，若，则直线过定点. 终极考点14   补充结论2 1.已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.则 （1）; （2）|OP|2+|OQ|2的最大值为; （3）的最小值是. 2.与共轭的双曲线方程为，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆心，C为半径的圆上；③。 3.与有相同焦点的双曲线方程为 4.与有相同焦点的椭圆方程为： 5.与有相同焦点的双曲线方程为： 6.与有相同离心率的双曲线方程为： ①焦点在轴上时： ②焦点在轴上时： 7.与有相同的渐近线方程为：； 真题精研--复盘经典 把握规律 考向01 求曲线方程 1．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________． 【答案】 【分析】根据抛物线的几何性质可求的值. 【详解】因为抛物线的顶点到焦点的距离为，故，故， 故答案为：. 2．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答. 【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距， 由双曲线的离心率为，得，解得，则， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 3．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案. 【详解】如图，    因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 5．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 解题妙法 三步解题法： 1. 定类型：根据条件判断曲线是椭圆、双曲线还是抛物线，注意焦点位置（x轴或y轴）。 2. 列方程求参数：利用已知条件（焦点坐标、顶点坐标、过点、离心率、渐近线等）建立关于 的方程（组）。 椭圆：；双曲线：；抛物线： 或 。 3. 解并检验：解出参数，代入标准方程，注意椭圆 ，双曲线 ，抛物线 ，并检查是否有增根。 技巧：已知曲线过两点，可先设一般方程（如椭圆 ）代入求解，避免讨论焦点位置。 考向02 圆锥曲线的基本性质 6．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为________． 【答案】 【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解. 【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为. 故答案为：. 7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______. 【答案】 【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可. 【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为， 准线方程为，点到的准线的距离为. 故答案为：. 8．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 9．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断. 【详解】设，则的中点， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有两个交点，故D正确； 故选：D. 解题妙法 三步解题法： 1. 回顾定义：椭圆定义 ；双曲线定义 ；抛物线定义 （到焦点距离等于到准线距离）。 1. 几何性质： 椭圆/双曲线：顶点、焦点、长轴/实轴、短轴/虚轴、渐近线（双曲线）、准线、焦半径。 抛物线：顶点、焦点、准线、通径（长为 ）。 1. 利用定义转化：涉及椭圆或双曲线上一点到两焦点的距离问题，优先考虑定义，常与三角形中位线、余弦定理结合。选填中可直接用焦半径公式（椭圆 等）。 口诀：定义优先解距离，焦半径公式要熟；双曲渐近线斜率，抛物线通径 。 考向03 离心率综合 10．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率． 【详解】由得，，所以， 即，所以， 故选：B． 11．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，， 于是，则， 即. 故选：D 12．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 13．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得，即可得离心率. 【详解】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 14．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 15．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 【答案】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 16．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 【答案】/ 【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解. 方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解. 解题妙法 三步解题法： 1. 写出基本关系：椭圆 （），双曲线 （），且 。 1. 利用条件列齐次式：根据几何条件（如焦点三角形边长、角度、点的坐标、渐近线夹角、直线与曲线相交的等量关系）得到关于 的齐次方程。 1. 化为 的方程求解：消去 或 ，得到 的二次方程（或不等式），解出 ，注意范围取舍。选填中可用特殊值法或验证选项。 技巧：双曲线渐近线斜率 ，若已知渐近线方程或夹角，可迅速求出 。椭圆中焦点三角形顶角最大时点位于短轴端点，可用余弦定理。 考向04 弦长综合 17．（2023·全国甲卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出； 方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出． 【详解】方法一：因为，所以， 从而，所以． 故选：B. 方法二： 因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又，平方得： ，所以． 故选：B. 18．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 19．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可. 【详解】将直线与椭圆联立，消去可得， 因为直线与椭圆相交于点，则，解得， 设到的距离到距离，易知， 则，， ，解得或（舍去）， 故选：C. 20．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 21．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值； 方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出； 方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出． 【详解】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B． 【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大． 解题妙法 三步解题法： 1. 设直线方程：根据已知条件设直线 或 （避免斜率不存在讨论）。 2. 联立消元：与曲线方程联立，得关于 （或 ）的一元二次方程，判别式 保证相交。 3. 弦长公式：（消 时）或 。过焦点的弦可用焦半径公式简化（如抛物线 ）。选填中常直接利用韦达定理计算。 口诀：设线联立韦达用，弦长公式两点距；过焦弦长有捷径，抛物线中加 项。 考向05 多选题综合 22．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【答案】AC 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC.    23．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 24．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（    ） A． B．点在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点在C上时， 【答案】ABD 【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误. 【详解】对于A：设曲线上的动点，则且， 因为曲线过坐标原点，故，解得，故A正确. 对于B：又曲线方程为，而， 故. 当时，， 故在曲线上，故B正确. 对于C：由曲线的方程可得，取， 则，而，故此时， 故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误. 对于D：当点在曲线上时，由C的分析可得， 故，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理. 25．（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 【答案】ACD 【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误. 【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故， 故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则，则为直角三角形，且，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即， 故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为， 故D正确， 故选：ACD. 26．（2025·全国一卷·高考真题）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D. 【详解】法一：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去，得， 易知，则， 所以 ， 综上，，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线的斜率存在时，， ， 所以， 则； 综上，，故D正确. 故选：ACD. 解题妙法 三步解题法： 1. 逐项判断：多选题常涉及曲线形状、离心率范围、焦点弦性质、最值问题、轨迹方程等。先判断每个选项的真假，可结合特殊值、图形特征、常见结论（如椭圆中焦点三角形面积 ）快速甄别。 1. 几何直观：画出草图，利用圆锥曲线的对称性、通径最短、椭圆双曲线的范围（ 等）排除明显错误的选项。 1. 代数验证：对不易直观判断的选项，联立方程或用含参运算进行简单验证，注意多选题往往有2个或3个正确选项，选全得分，选错或少选不得分，不确定的选项慎重对待。 技巧：多选题中常见陷阱，忽视双曲线的渐近线限制、忽略椭圆中 、抛物线开口方向等。用特例（如取 或直角情形）快速检验。 终极预测--压轴实战 稳拿高分 一、单选题 1．（2026·四川泸州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则其长轴长为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】椭圆的标准形式为，则，即， 离心率，即，解得， ， ，故长轴长为． 2．（2026·四川遂宁·二模）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】由题意得：，解得或. 3．（2026·北京海淀·一模）抛物线的焦点为F，点A在W上，且，则线段中点的横坐标为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据方程可得焦点和准线，结合抛物线定义可得，即可得结果. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 设，则，解得， 所以线段中点的横坐标为. 4．（2026·河北保定·二模）已知直线 为双曲线的一条渐近线，则（   ） A． B．645 C． D．5 【答案】D 【分析】根据双曲线渐近线性质求解即可. 【详解】因为直线 ，即为双曲线的一条渐近线， 所以，解得. 5．（2026·广东惠州·二模）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则的面积为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先利用抛物线得到焦点坐标，再通过抛物线的定义得到点的横坐标，进而求出纵坐标，最后利用三角形的面积公式算出答案 【详解】由可得焦点坐标为， 所以，所以代入抛物线可得， 因此的面积为. 6．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）点在抛物线上，为的焦点，轴，过且与轴平行的直线与的准线交于点的面积2，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】 由抛物线的定义可得， 所以. 7．（2026·浙江金华·二模）抛物线的焦点为F，斜率为2的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设直线的方程为，， 由抛物线可得准线方程为， 又，，所以，，所以， 又因为，，所以， 所以，所以， 所以. 8．（2026·陕西渭南·二模）若直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，则（    ） A． B．8 C．10 D． 【答案】C 【分析】联立直线与抛物线方程，根据抛物线的定义结合韦达定理即可求得结果. 【详解】由题意可知，抛物线的准线为，设， 则根据抛物线的定义可知. 因为直线与抛物线交于，两点， 所以联立方程可得，化简得. 根据韦达定理得，所以. 9．（2026·四川资阳·三模）已知为坐标原点，为椭圆的右顶点．若椭圆上存在两点，，使得以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，代入椭圆方程可得，进而计算可解. 【详解】由题意可得，, 由题意可知四边形是正方形，所以与垂直且平分，即， 因为在椭圆上， 所以，即， 所以椭圆的离心率为. 10．（2026·广东广州·二模）已知分别为双曲线的左、右焦点，点在的渐近线上，且满足，则的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由题设，结合且，应用二倍角正切公式、双曲线离心率求法求解. 【详解】点在的渐近线上，且满足， 所以在中，而，则， 所以， 又双曲线的渐近线方程为， 所以，所以离心率. 11．（2026·云南昭通·二模）已知双曲线的渐近线与以为圆心，面积为的圆相切，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，根据双曲线的渐近线公式与直线与圆的位置关系，可列方程，可得答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为圆的圆心为，面积为，设圆的半径为， 则，故， 由渐近线与圆相切，则圆心到直线的距离，即， 所以双曲线的离心率为 12．（2026·湖南浙江·模拟预测）已知椭圆，过其右焦点作直线交椭圆于，两点，取点关于轴的对称点，若点为的外心，则（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】先求出右焦点的坐标.分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时不符合题意；直线斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理得到、坐标的关系，利用外心性质，设出坐标，算出和的值，再作比即可. 【详解】 因为椭圆 ，得 ， ，右焦点 . 因为关于轴对称，的中垂线就是轴，故在轴上，设， 直线斜率不存在时，不存在满足题意，舍去； 设过的直线，，， ， 所以 ， 由外心性质，所以， 所以， 整理得， 又，，所以， 即，整理得 ， 则. =， 所以. 13．（2026·河北邯郸·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其右支上有一点，满足的垂直平分线与右支交于点，且直线过右焦点，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义与垂直平分线性质，确定核心线段关系，联立方程求点横坐标，利用直线与双曲线右支交于两点，建立离心率不等式，确定最终范围. 【详解】设，不妨设，, 设，则， 得，解得, 的垂直平分线与右支交于点且直线过点，等价于直线与双曲线右支交于另一点， 则，即， 进一步推导：，得， 代入，解得，又，所以. 14．（2026·青海西宁·二模）已知双曲线 的左、右焦点分别为，若渐近线上存在关于原点对称的两点M，N  (M在第一象限)，且，线段的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据渐近线以及中点坐标公式，再代入双曲线方程，根据离心率求解即可. 【详解】 因为，关于原点对称，且，所以， 所以，因为点在双曲线的渐近线上，且在第一象限，所以， 故线段的中点的坐标为，将其代入，得， 解得. 二、多选题 15．（2026·江西宜春·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，则（    ） A． B．的方程为 C．原点到直线的距离为 D． 【答案】AC 【详解】把点代入抛物线方程得： ， 即，得，A正确. 由 时，抛物线为，因此准线的方程为，B错误. 时，焦点坐标为， 由，可得直线的斜率​， 直线方程整理为， 原点到直线的距离，C正确， 由抛物线定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 到准线​的距离为​，即，D错误. 16．（2026·四川达州·二模）椭圆的左、右焦点为，，P为上的动点，下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．存在点，使 C．的最大值为12 D．到的距离的最大值为4 【答案】ACD 【分析】由椭圆方程得出基本参数，，，进而得到焦点及相关线段长，判断周长，分析最大值情况判断B选项，分析取值及相关距离情况判断C、D选项. 【详解】因为椭圆，得，，， 所以焦点，，满足， 所以， 在A选项中，的周长为，A正确， 在B选项中，在短轴端点时最大， 此时，为等边三角形， 最大角为，不存在满足条件的，B错误， 在C选项中，设，， 代入椭圆，得， 又，最大值为，代入得最大值为，C正确， 在D选项中，过作直线的垂线，垂足记为， 当与不重合时，为直角三角形，， 当与重合时，到距离等于，D正确. 17．（2026·山西吕梁·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的离心率为 B．内切圆半径的最大值为 C．椭圆C内接矩形面积的最大值为 D．若，则的最小值是1 【答案】ABD 【分析】对A，直接利用离心率公式即可判断；对B，写出半径表达式即可判断；对C，利用基本不等式即可判断；对D，利用椭圆定义结合三点共线即可判断. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，记内切圆半径为，由，得， 则，所以当时，，故B正确； 对于C选项，不妨取P为第一象限点，设，则由，得， 当且仅当时取等，所以，故C错误； 对于D选项，，当为线段与椭圆的交点时，等号成立，故D正确． 18．（2026·陕西咸阳·模拟预测）设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，则（    ） A． B． C． D．与的面积之比为 【答案】ABC 【分析】联立方程消去后根据韦达定理可判断A；根据抛物线的定义列方程可解得，可判断B；根据弦长公式或两点间的距离公式可判断C；将面积比转化为线段比可判断D. 【详解】因为，由抛物线的定义知， 所以，所以在的右侧， 又，所以，如图： 由消去得， 所以，故A正确. 所以，解得或（舍去），故B正确. 所以，所以， 由韦达定理知，代入得，解得或（舍去）， 所以直线方程为，令得，所以； 令得，所以； 令得，所以， 所以，故C正确. 所以，由题意知三点共线，到与的距离相等， 所以，即与的面积之比为，故D错误. 19．（2026·河北沧州·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过点的直线与的左、右两支分别交于，两点（在第一象限内），为原点，若，点到两条渐近线的距离之积为，则（   ） A．的渐近线方程为 B．的离心率为2 C．面积的最小值为 D．直线，的倾斜角之和为 【答案】ACD 【分析】根据求出，设，，利用点到直线距离公式求出到两条渐近线的距离，由题意列式即可求出，可判断A；根据求出，可判断B；设直线，将直线方程与双曲线方程联立求出，，进而求出，根据函数的单调性即可判断C；设直线，的倾斜角分别为，，证明即可判断D. 【详解】由，得， 设，，则点到渐近线的距离分别为，， 所以， 所以，故的渐近线方程为，故A正确； ，所以，故B错误； 由上知，设直线， 将其代入，得， 则，， 所以， 函数在上单调递增， 所以当时取得最小值，故C正确； 设直线，的倾斜角分别为，， 易知，，，， ， 又，所以，D正确． 20．（2026·安徽马鞍山·二模）已知曲线，则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线与轴有4个公共点 C．曲线上存在一点，使得 D．曲线上任意一点，都有 【答案】AD 【分析】化简得，再利用点的对称性证出A；利用对称性可判断B；利用反证法，以及求证C；利用基本不等式三角函数的有界性求证D. 【详解】对A：，曲线过原点， 若点在曲线上，则点也在曲线上， 故曲线关于原点，轴，轴，直线均对称，故A正确； 对B：由对称性及曲线过原点，曲线与x轴必有奇数个公共点，故B错误； 对C：假设存在一点，使得，则， 过点的直线方程为，则， 由对称性不妨设， 则，矛盾，故C错误； 对D：，等号成立时， 此时无法成立，故等号取不到， 由得成立，故D正确． 21．（2026·湖南浙江·模拟预测）已知曲线，则下列说法正确的有（    ） A．曲线是中心对称图形 B．曲线与直线有三个不同的交点 C．该曲线可以成为一个函数的图象 D．当时， 【答案】ACD 【分析】选项A：根据中心对称定义代入验证.选项B.联立两方程，分析方程的零点.选项C.根据函数的定义求解即可.选项D.对函数求导，分析其单调性，得到最小值. 【详解】选项A.若点在曲线上，满足. 将代入方程， 左边，右边左边， 因此也在曲线上，曲线关于原点中心对称，A正确. 选项B.联立 代入曲线方程，整理得， 是一个解，剩余.当（如）时，无额外实根，仅1个交点， 不是一定有三个交点，B错误. 选项C.令，则，代入原方程可得参数形式：. 对求导得，故是上严格增函数，与一一对应， 因此每个对应唯一，满足函数定义，曲线可以作为函数的图像，C正确. 选项D.即，因，故. 对求导得，令，得驻点， 代入得，D正确. 三、填空题 22．（2026·宁夏·一模）已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是____________. 【答案】9 【分析】直线方程与抛物线方程联立，求得，利用抛物线定义可得，再根据基本不等式得结果. 【详解】由题知，的焦点，准线为，， 如图，作准线，准线， 联立，得， 设，则， 又， ，等号成立时， 故的最小值是. 23．（2026·广东湛江·二模）已知抛物线：，点，，点在上运动，则面积的最小值为______. 【答案】1 【分析】由题意可得直线的方程，设点坐标为，求解到直线的距离，再求的最小值即可求解. 【详解】由题意直线的方程为，. 设点坐标为（）， 则到直线的距离为， 当且仅当时取等号，此时. 于是面积的最小值为. 24．（2026·河南开封·二模）抛物线的焦点为，为的准线与轴的交点，为上一点，若，则__________． 【答案】 【分析】结合条件设点列方程求B点横坐标，利用余弦定理求解即可. 【详解】 抛物线的焦点，准线方程为， 因此准线与轴交点，可得，由题意. 设，在抛物线上满足，又， 因此代入整理得， 解得正根（抛物线横坐标非负）. 在中，由抛物线焦半径性质得， 代入得， 根据余弦定理代入得. 25．（2026·河南焦作·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率不为零的直线与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y轴交于点E，若，则________． 【答案】6 【分析】设直线AB的方程为，，，并与抛物线方程联立，结合韦达定理求出AB中点M的坐标，再进一步求出直线EM的方程，据此得到E点的坐标，进而得到，同时根据梯形中位线及抛物线性质求出，最后比较两者可得、之间的比例关系，结合题干所给条件分别求出、的具体值即可． 【详解】如图所示， 设过F的直线AB的方程为，      联立直线与抛物线方程，可得，整理得， 设，，由韦达定理， 所以AB的中点M满足，， 即，又垂直平分线EM的斜率为， 所以EM的方程为， 展开整理，则EM与y轴的交点满足， 即，所以， 根据梯形中位线可得， 所以，解得，所以， 所以． 倒计时06天 士不可以不弘毅，任重而道远。 ——《论语・泰伯》 概率与统计综合（选填题） 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码：①核心考点包括古典概型、互斥与对立事件、相互独立事件、条件概率、全概率公式，统计方面考查频率分布直方图（估计均值中位数）、样本数字特征（平均数、方差）、抽样方法（简单随机抽样、分层抽样）。②难度中低档为主，强调概念辨析与公式应用，注意概率中“有序无序”及统计中“方差变化规律”。 ►高考前沿：聚焦条件概率与全概率公式的实际情境（如疾病检测、抽签问题）及统计图表的快速读取；突出数据分析与数学运算，培养用排除法、特殊值法处理概率大小比较与统计结论判断。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1-10   概率综合 1. 等可能性事件的概率. 2. 互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)． 3. 个互斥事件分别发生的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 4. 独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B). 5. 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)． 6. 次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率 7. 条件概率 条件概率的定义 条件概率的性质 已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)． 当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B也可以记成AB) 类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝ (1)0≤P(B|A)≤1， (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同 前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．　 8. 条件概率的三种求法 定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A) 基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ 缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简 9. 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝ ，此公式为全概率公式. （1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数. （2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 10. 贝叶斯公式 一般地,设是一组两两互斥的事件,有且,则对任意的事件有 终极考点1-11   期望方差及样本数字特征 1. 离散型随机变量的分布列的两个性质 （1）; （2）. 2. 数学期望 3. 数学期望的性质 （1）. （2）若～,则. (3) 若服从几何分布,且，则. 4. 方差 5. 标准差=. 6.方差的性质 (1)； (2）若～，则. (3) 若服从几何分布,且，则. 7.方差与期望的关系 . 8.正态分布密度函数 ，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差. 9.对于，取值小于x的概率 . . 10.数字样本特征 （1） 众数：在一组数据中出现次数最多的数 （2） 中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若为偶数个，中位数为中间两个数的平均数 （3） 平均数：，反映样本的平均水平 （4） 方差： 反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度； 越大，样本波动越大，越不稳定；越小，样本波动越小，越稳定； （5） 标准差：，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样 （6） 极差：等于样本的最大值最小值 11.求随机变量X的分布列的步骤： (1)理解X的意义，写出X可能取得全部值； (2)求X取每个值的概率； (3)写出X的分布列； (4)根据分布列的性质对结果进行检验. 还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布. （1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解； （2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算； （3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算，若～,则，. 真题精研--复盘经典 把握规律 考向01 样本数字特征综合 1．（2025·全国二卷·高考真题）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（   ） A．8 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】由平均数的计算公式即可求解. 【详解】样本数据的平均数为. 故选：C. 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 【答案】C 【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D. 【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误. 故选；C. 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 【答案】BD 【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差，显然，即， 所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 解题妙法 三步解题法： 1. 明确特征定义： 平均数 ，中位数（排序后中间位置值），众数（出现最多的数），极差（最大减最小）。 方差 ，标准差 。 2. 利用性质巧算： 若每个数据加减常数，平均数变化相同，方差不变；若乘以常数，平均数乘以该数，方差乘以平方。 两组数据合并后的平均数与方差可用加权公式。 3. 由频率分布直方图估算： 平均数用组中值乘以频率之和；中位数找累计频率0.5对应的数值；众数是最高矩形底边中点。 口诀：平均数看重心，方差看离散；直方图估特征，组中值与频率。 考向02 古典概率 4．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解. 【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 5．（2023·全国乙卷·高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答. 【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表： 乙甲 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有36个不同结果，它们等可能， 其中甲乙抽到相同结果有，共6个， 因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率. 故选：A 6．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解. 解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【详解】解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，出场次序共有24种， 其中符合题意的出场次序共有8种， 故所求概率； 解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲最后出场共种方法，同理乙最后出场共种方法，于是共种出场顺序符合题意； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，所求概率为. 故选：C 7．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为______． 【答案】 【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率. 【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种， 设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则， 故，故， 故， 若，则，则为：，故有2种， 若，则，则为：， ，故有10种， 当，则，则为： ， ， 故有16种， 当，则，同理有16种， 当，则，同理有10种， 当，则，同理有2种， 共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为， 故所求概率为. 故答案为： 8．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________. 【答案】/0.5 【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可. 【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为. 对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而甲在该轮得分的概率，所以. 从而. 记. 如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以； 如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以. 而的所有可能取值是0，1，2，3，故，. 所以，，两式相减即得，故. 所以甲的总得分不小于2的概率为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举. 解题妙法 三步解题法： 1. 确定样本空间：计算总基本事件数 （常用排列组合或列举法）。 2. 求事件A包含的基本事件数 ：利用排列、组合、分步计数原理，注意“有序”还是“无序”。 3. 计算概率 ：约分至最简分数或小数。选填中常用正难则反（对立事件）、捆绑法、插空法等技巧。 口诀：古典概率等可能，排列组合算总数；特殊优先正难反，分子分母要写对。 考向03 条件概率 9．（2023·全国甲卷·高考真题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 【答案】A 【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解. 【详解】同时爱好两项的概率为， 记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以. 故选:. 10．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______． 【答案】 【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求解第一空；采用列举法或者条件概率公式可求第二空. 【详解】解法一：列举法 给这5个项目分别编号为,从五个活动中选三个的情况有： ,共10种情况， 其中甲选到有6种可能性：， 则甲参加“整地做畦”的概率为：； 乙选活动有6种可能性：， 其中再选择有3种可能性：， 故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为. 解法二： 设甲、乙选到为事件，乙选到为事件， 则甲选到的概率为； 乙选了活动，他再选择活动的概率为 故答案为：； 解题妙法 三步解题法： 1. 识别条件：已知某事件 发生的条件下，求事件 的概率，记为 。 2. 套公式：（）。 若为古典概型，也可用缩小样本空间法：。 3. 计算并化简：先算出 和 ，再相除；注意 独立时 。 技巧：条件概率的常用场景——不放回抽奖、已知某结果推断原因（结合全概率）；选填中优先采用缩小样本空间法，直接数个数。 考向04 独立重复事件的概率 11．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 【答案】ABD 【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答. 【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，A正确； 对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件， 是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，B正确； 对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和， 它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误； 对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率， 单次传输发送0，则译码为0的概率，而， 因此，即，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 解题妙法 三步解题法： 1. 判断模型：每次试验结果只有两种可能（成功/失败），且各次独立，概率 不变 → 二项分布 。 2. 公式计算：恰好发生 次的概率 。 至少发生 次：需对 求和，常用对立事件简化。 3. 注意“n次独立重复试验”与“有放回抽取”等价；若为“无放回”则用超几何分布，需区分。 口诀：独立重复二项式，；至少问题用对立， 固定是前提。 考向05 正态分布 12．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 【答案】B 【分析】根据正态分布以及相关系数的概念直接判断即可. 【详解】对于A，根据正态分布对称性可知，，A说法正确； 对于B，根据正态分布对称性可知，，B说法错误； 对于C和D，相关系数越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确. 故选：B 13．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出. 【详解】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 解题妙法 三步解题法： 1. 标准正态化：若 ，则 。 2. 利用对称性：曲线关于 对称，；，，。 3. 求概率：将所求区间转化为 的区间，利用标准正态分布表（或给定数值）计算；选填中常直接使用3σ原则估算。 技巧：对于 ，若 ，则 ，利用对称性简便计算。 考向06 分布列及期望 14．（2025·全国一卷·高考真题）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 【答案】/ 【分析】法一：根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得；法二，根据题意假设随机变量，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得. 【详解】法一：依题意，的可能取值为1、2、3， 总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式， 故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出， 由排列数可知事件的可能情有况种， 故， 所以 . 故答案为：. 法二：依题意，假设随机变量，其中： 其中，则， 由于球的对称性，易知所有相等， 则由期望的线性性质，得， 由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为， 由于抽取独立，三次均未取出球的概率为， 因此球至少被取出一次的概率为：， 故， 所以. 故答案为：. 15．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______ 【答案】 【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解. 【详解】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件， 则； 设运动量达标为事件，， 所以，； 故答案为：； 解题妙法 三步解题法： 1. 列分布列：确定随机变量 的所有可能取值及其概率，检验概率和为1。 1. 期望公式：；方差 ，或 。 1. 常见分布期望方差（选填直接套）： 二项分布 ：，。 超几何分布 ：。 两点分布：，。 若 ，则 ，。 终极预测--压轴实战 稳拿高分 一、单选题 1．（2026·河南周口·模拟预测）一组从小到大排列的数据：，，，，.若它们的第百分位数比平均数大，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据百分位数定义求第百分位数，再由条件列方程求即可. 【详解】 因为， 所以第百分位数为第项和第项数据的平均值， 又这组数据的平均数为 ， 由已知 ，故， 解得，满足， 因此. 2．（2026·河南许昌·模拟预测）已知正态分布，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正态分布满足，则， 所以. 3．（2026·安徽铜陵·模拟预测）已知变量和有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（   ） A．经验回归直线必过点 B． C．当时，预测值 D．当时，样本点对应的残差为 【答案】D 【详解】对于A，因为，， 所以经验回归直线必过点，A错误； 对于B，因为经验回归方程为过点， 所以，解得，B错误； 对于C，将代入经验回归方程得，C错误； 对于D，当时，实际值，预测值， 所以残差为，D正确． 4．（2026·山东济南·二模）某机构用不同的人工智能系统对一幅素描作品进行评分，得到7个数据．去掉一个最高分和一个最低分后，得到的5个数据与原始数据相比一定不变的是（    ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【答案】A 【分析】根据中位数的定义即可求解. 【详解】根据题意，将7个数据从小到大排列，去掉一个最高分和最低分，得到5个有效评分，原始数据和有效评分相比，最中间的数没有发生改变，所以中位数不改变. 5．（2026·四川成都·二模）已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、乙、丙中奖的概率分别为，则（   ） A．最大 B．最大 C．最大 D． 【答案】D 【分析】计算甲中奖的概率，直接利用古典概型，乙中奖的情况，全概率公式，丙中奖的情况用全概率公式分多种情况计算. 【详解】计算甲中奖概率：甲第一个抽取，5张奖券共2张有奖，因此； 计算乙中奖概率，乙中奖分两种情况： 甲中奖后乙中奖：概率为； 甲未中奖后乙中奖：概率为； ； 计算丙中奖概率，分情况计算丙中奖情况： 甲中、乙中、丙中：； 甲中、乙不中、丙中：； 甲不中、乙中、丙中：； 甲不中、乙不中、丙中：； ； 因此. 6．（2026·江苏·模拟预测）已知五个数的极差为4，方差为2，则的（    ） A．极差为4，方差为2 B．极差为4，方差为4 C．极差为8，方差为4 D．极差为8，方差为8 【答案】D 【详解】设原数据的最大值为，最小值为，方差为， 则原极差，原方差； 新数据的最大值为，最小值为， 则极差为， 根据方差的性质可得，新数据方差为； 故新数据的极差为8，方差为8. 7．（2026·山东德州·二模）一组不全相等的数据的平均数为，方差为；设新数据的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得的平均数为，故，故AB错误； 又 ，而不全相等，故， 所以，故C正确，D错误. 8．（2026·河北唐山·二模）已知随机变量，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态曲线的性质逐项判断即可. 【详解】 因为，，则， 因为，，则， 对于A，，A错误； 对于B，，故，B错误， 对于CD，， ， 则，D正确； 所以，C错误. 9．（2026·河南安阳·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，再结合得，最后计算即可. 【详解】因为 所以，， 所以， 因为，即， 所以， 10．（2026·辽宁辽阳·二模）小张的停车位被其它车辆占据，小张准备拨打车上的联系电话，可是电话号码的最后一位被遮挡，小张准备随机尝试，则小张在第一次拨打错误的条件下，第三次恰好拨打正确的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记“小张第一次拨打错误”为事件，“第三次恰好拨打正确”为事件； 易知, 因此小张在第一次拨打错误的条件下，第三次恰好拨打正确的概率是. 11．（2026·安徽淮北·二模）某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【详解】由题意可得，，， 对于A，表示向下的面同时有数字1和2，即面4，所以，故A错误； 对于B，的情况只有面4，故， 又，满足，故B正确； 对于C，表示同时有数字1、2和3，即面4，所以，故C错误； 对于D，表示向下的面有数字2或3，包含面2、面3、面4，共3个面， 故，表示向下的面有数字1，且有数字2或3，即面4， 故，所以， 不满足独立事件定义，故D错误． 12．（2026·广东佛山·二模）有一组样本数据，，，…，，由这组数据得到新样本数据，，，…，，其中（）则两组样本数据的数字特征不一定相同的是（   ） A．中位数 B．极差 C．平均数 D．方差 【答案】A 【详解】由题意得：，所以， 所以新样本数据，，，…，的平均数为 ， 所以平均数相同； 设样本数据，，，…，的方差为， 所以新样本数据，，，…，的方差为，所以方差相同； 设样本数据，，，…，，的中位数为， 新样本数据，，，…，的中位数为， 当样本数据，，，…，，的中位数为时， 新样本数据，，，…，的中位数为， 所以中位数不一定相同； 设原始样本数据的最大值为，最小值为，则其极差为. 由于，因此新样本数据的最大值为，最小值为，则其极差为， 故两组样本数据的极差相同. 13．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知数据、、、的平均数，方差为．设，数据、、、的方差为，数据、、、、、、、的方差为，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方差的性质可判断A选项；求得，代入代数式可判断B选项；利用方差公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，根据方差的性质可得，A对； 对于B选项，根据平均数的性质可得， 所以，B对； 对于C选项，由平均数的性质可知， 数据、、、的平均数为， 所以数据、、、、、、、的平均数为， ，所以， ，C错； 对于D选项， ，D对. 二、多选题 14．（2026·重庆·二模）已知随机变量服从二项分布，随机变量服从正态分布，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为，则， ，所以A错误， 又，则， 所以，所以B正确， 又因为，所以C正确，D错误. 15．（2026·山东聊城·二模）某医学研究团队为探究新型降压药的疗效与患者年龄的关联，将120名高血压患者按年龄分为“中青年组（<60岁）”和“老年组（岁）”，记录用药后的疗效（“有效”“无效”），得到如下列联表： 患者 疗效 总计 有效 无效 中青年组 10 40 50 老年组 40 30 70 总计 50 70 120 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 则下列说法中正确的有（    ） A．若在“老年组”中按疗效分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，则至少抽到1名“无效”患者的概率为 B．从所有患者中随机抽取1人，设事件“该人在中青年组”，事件“该药对此人有效”，则事件A与B相互独立 C．根据小概率值的独立性检验，认为“降压药疗效与患者年龄有关”，且该推断犯错误的概率不超过 D．若将列联表中“中青年组有效”的人数改为15，“中青年组无效”的人数改为35，则所得值比原值大 【答案】AC 【分析】选项A，用分层抽样先确定抽出的“有效”和“无效”人数，再做组合概率；选项B，用独立事件定义检验是否等于；选项C，计算列联表的值，与临界值比较；选项D分别计算修改前后的值大小. 【详解】选项A，老年组中有效与无效的人数比为 按疗效分层抽样抽取7人，则应抽到：4人有效，3人无效， 再从这 7 人中随机抽取 2 人，至少抽到 1 名无效患者的概率为所以 A 正确； 选项B，设事件：表示“该人在中青年组”，事件：表示“该药对此人有效”， 则而 若相互独立，则应有 显然所以事件与不相互独立，B 错误； 选项C，由题中列联表， 所以 即 因为所以根据小概率值的独立性检验， 可以认为“降压药疗效与患者年龄有关”，且该推断犯错误的概率不超过，所以C正确； 选项D，若将“中青年组有效”改为 15，“中青年组无效”改为 35， 则新列联表中 此时 即，而原来的 所以修改后的值比原来的小，D 错误. 16．（2026·青海海东·二模）从甲、乙、丙、丁四名学生中随机选出两人参加数学竞赛，则下列选项中的两个事件的关系是互斥但不对立的是（   ） A．“甲被选中”和“乙被选中” B．“甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” C．“甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” D．“甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” 【答案】BD 【分析】根据互斥事件与对立事件的定义判断即可. 【详解】“甲被选中”和“乙被选中”可以同时发生，所以不互斥，故A不合题意； “甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” 两个事件不会同时发生，故它们互斥， 同时两事件的并集{丙丁， 乙丁}不包含所有可能事件，即它们不对立，故B符合题意； “甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” 不会同时发生，即它们互斥， 且它们至少有一个发生，即两个事件相互对立，故C不合题意； “甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” 不会同时发生，故它们互斥， 例如当选出的是{甲， 丁}时，该结果不属于这两个事件，即它们的并集不是全集，它们不对立，故D符合题意. 17．（2026·广东广州·二模）在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，由题意得：，，正确； 对于B，，，错误; 对于C，，正确； 对于D，，错误. 18．（2026·广东汕头·二模）从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么下列说法正确的是（   ） A．2个球都是白球的概率为 B．2个球都不是白球的概率为 C．2个球不都是白球的概率为 D．2个球恰好有一个球是白球的概率为 【答案】ACD 【分析】借助相互独立事件概率公式、对立事件概率公式逐项计算即可得. 【详解】设事件表示从甲口袋内摸出1个白球，事件表示从乙口袋内摸出1个白球； 对A：，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：， 故D正确. 19．（2026·重庆九龙坡·二模）一个袋子中有 4 个红球和 2 个白球，采用不放回方式依次摸取 2 个球. 设事件 为“第一次摸到红球”，事件 为“第二次摸到红球”，则（   ） A． B． C． D． 与 相互独立 【答案】BC 【分析】根据古典概型、条件概率和独立事件的定义计算判断即可. 【详解】由题意可得，，所以A错误； ，所以B正确； ，所以，所以C正确； 由于，所以， 所以与不相互独立，所以D错误. 20．（2026·浙江嘉兴·二模）下列说法正确的是（   ） A．数据9，10，10，11，12，14，16，17，19，21的第60百分位数为14 B．对于随机事件A与B，若，则事件A与B相互独立 C．已知一组样本数据的平均值为5，极差为7，中位数为6，则数据的平均值为9，极差为14，中位数为11 D．若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近1 【答案】BC 【分析】利用百分位数定义计算可得A；利用对立事件概率公式与相互独立事件定义计算可得B；利用平均数、极差与中位数的性质计算可得C；利用相关系数定义可得D. 【详解】对A：，故这组数据的第60百分位数为，故A错误； 对B：由，则， 故事件A与B相互独立，故B正确； 对C：新数据的平均值为，极差为， 中位数为，故C正确； 对D：若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近，故D错误. 三、填空题 21．（2026·山西运城·一模）如图，某片雪花有6个主枝，每个主枝上有9个侧枝，从该雪花的所有侧枝中随机选取2个，则它们位于同一主枝上的概率为______． 【答案】 【详解】某片雪花的总侧枝数为，故它们位于同一主枝上的概率为. 22．（2026·辽宁鞍山·二模）将甲、乙、丙、丁、戊五名同学分到三个不同的公益活动小组，每组至少一人，至多两人，则甲乙恰好被分到同一小组的概率为________． 【答案】/ 【详解】由题可知分组后排列共有种方法， 其中甲、乙两名同学去同一个公益活动小组有种方法， 所以甲、乙两名同学去同一个公益活动小组的概率为. 23．（2026·江苏南京·模拟预测）有3个编号分别为1，2，3的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子.记“从号盒子取出的球是白球”为事件，则_______. 【答案】/0.8 【分析】利用乘法公式和条件概率公式即可求解. 【详解】由题意得， 所以， ， 所以. 24．（2026·广东广州·模拟预测）箱中有连续编号1到15的小球，现从箱中一次随机取出5个球，若已知取出的5个球的编号中位数为9，则这5个球中的最大编号与最小编号之差恰好等于9的概率为__________． 【答案】 【分析】枚举法列出所有情况进行计算. 【详解】设取出的5个球编号从小到大排列为， 由已知中位数为9即，则需从中选取，需从中选取， 故基本事件总数为． 若满足最大编号与最小编号之差为9，设，则． 由知， 由即知，且即，故， 此时的选法总数为， 求和得符合条件的事件数为， 故所求概率为． 25．（2026·云南玉溪·二模）是1，2，3，4，5的一个随机排列，对每一个中间位置的数，要求它左右相邻的两个数与中，至少有一个大于它，则该排列满足此条件的概率为__________． 【答案】 【分析】由题意可知1，2，3，4，5的全排列有种，进而判断出5的位置，然后对第二位进行分类讨论，同时注意数字4的位置，结合对称性可求解出满足要求的排列的总数，再求概率即可． 【详解】由题意可知1，2，3，4，5的全排列有种， 因为没有比5大的数，所以5只能排在第一位或者第五位， 当5排在第一位时，若4排在第二位，此时排列可以是（5，4，1，2，3）， （5，4，2，1，3），（5，4，3，1，2），（5，4，3，2，1），共4种情况； 当5排在第一位时，若3排在第二位，此时若4排在中间位置（如或）， 其邻居（来自剩下的数）必然都小于4，不满足题设条件，故4只能排在第五位， 此时排列可以是（5，3，1，2，4），（5，3，2，1，4），共2种情况； 当5排在第一位时，若2排在第二位，此时没有比4大的数，故4只能排在第五位， 此时排列可以是（5，2，1，3，4），共1种情况； 当5排在第一位时，若1排在第二位，此时没有比4大的数，故4只能排在第五位， 此时排列可以是（5，1，2，3，4），共1种情况； 由上可知，当5排在第一位时，共有8种情况； 同理可得，当5排在第五位时，也有8种情况满足条件； 综上所述，共有种排列满足条件， 所以该排列满足此条件的概率为． 倒计时05天 博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。 ——《礼记・中庸》 平面向量（选填题） 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码：①核心考点包括向量的线性运算（加法、减法、数乘）、数量积的几何意义与坐标运算（求模、夹角、投影）、共线定理与平面向量基本定理（基底拆分）。②难度中低档至中档，常以三角形或四边形为背景，考查最值（数量积范围、模长最值）及位置关系（垂直、平行）。 ►高考前沿：聚焦极化恒等式求数量积最值及向量与平面几何结合（用基底表示向量、奔驰定理）；突出数学运算与直观想象，强化坐标法、基底法和几何法（如投影、平行四边形法则）的灵活选择。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   向量的运算 （1） 两点间的向量坐标公式： ，，终点坐标始点坐标 终极考点2   向量的加减法 ， ， 终极考点3   向量的数乘运算 ，则： 终极考点4   向量的模 ，则的模 终极考点5   相反向量 已知，则；已知 终极考点6   单位向量 终极考点7   向量的数量积 终极考点8   向量的夹角 终极考点9   投影向量 向量在上的投影向量为 终极考点10   向量的平行关系 终极考点11   向量的垂直关系 终极考点12   向量模的运算 真题精研--复盘经典 把握规律 考向01 平行与垂直 1．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则_________． 【答案】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：， 解方程可得：. 故答案为：. 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 3．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 解题妙法 三步解题法： 1. 坐标表示：设 ，（若未给坐标，可建系或选基底）。 2. 平行条件：（交叉相乘相等）。 3. 垂直条件：。 若为几何背景，可用向量式转化（如 得直角）。 口诀：平行交叉差为零，垂直数量积为零；坐标基底灵活用，几何向量互化灵。 考向02 向量线性运算与几何综合 5．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 考向03 模长 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 7．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则___________ 【答案】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 8．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答. 【详解】向量满足， 所以. 故选：B 9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则______． 【答案】 【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解. 【详解】法一：因为，即， 则，整理得， 又因为，即， 则，所以. 法二：设，则， 由题意可得：，则， 整理得：，即. 故答案为：. 解题妙法 三步解题法： 1. 模长平方：。 2. 常用公式：。 3. 求模： 已知坐标：直接开方。 已知数量积和模：利用上述公式。 几何意义：向量模即对应有向线段的长度，可转化为图形中的距离（如圆中弦长）。 口诀：模长平方转数量积，加减平方展开易；几何图形找线段，坐标代入直接算。 考向04 夹角 10．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解. 【详解】因为，所以， 则，， 所以. 故选：B. 11．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形,根据几何意义求解. 【详解】因为,所以, 即,即,所以. 如图,设, 由题知,是等腰直角三角形, AB边上的高, 所以, , . 故选:D. 解题妙法 三步解题法： 1. 公式：，。 2. 已知坐标：直接代入点积与模长。 3. 已知几何关系：利用三角形内角、边长（余弦定理）或向量运算化简。 若两向量垂直，；平行同向 ，反向 。 注意钝角时余弦为负，可以通过点积符号快速判断。 考向05 数量积 12．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 13．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解. 【详解】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B. 14．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 【答案】 ； 【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 解题妙法 三步解题法： 1. 公式：。 2. 几何意义：数量积等于 乘 在 上的投影长度（带符号）。 3. 求法技巧： 已知模与夹角：直接套定义。 已知坐标：代数运算。 几何图形中：利用投影、基底展开，如 （由余弦定理）。 分配律：。 口诀：数量积有三种法，模乘夹角的余弦，坐标相乘再求和，几何投影化线段。 考向06 范围与最值 15．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解. 【详解】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；.    16．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出． 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故选：D. 17．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【详解】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 18．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得    当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 终极预测--压轴实战 稳拿高分 一、单选题 1．（2026·陕西宝鸡·三模）已知与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得. 2．（2026·广东广州·二模）已知非零向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得：， 整理可得：， 根据数量积定义可得：， 又因为， 所以， 又因为为非零向量，所以， 所以等式约去，整理可得：. 3．（2026·江苏·模拟预测）已知，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，将两侧同时平方，可得，代入夹角公式，即可得答案. 【详解】因为， 所以，则， 则， 因为，所以，即向量的夹角为. 4．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知，，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算及向量的共线结论可得. 【详解】因为，，所以，， 由，所以，解得． 5．（2026·安徽池州·二模）已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量在另一个向量上的投影向量公式求解即可. 【详解】因为，所以，， 所以在上的投影向量为 6．（2026·山东德州·模拟预测）已知，，为向量，则“”是“或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】已知，，为向量，记命题：，命题：或. 若成立，则或，当时，，则； 当时，，因此，即是或的必要条件. 反之，若成立，即，可能与垂直且均非零向量， 此时且，故不能推出，即不是的充分条件. 所以“”是“或”的必要不充分条件. 7．（2026·安徽马鞍山·二模）已知四边形为平行四边形，，为与的交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以 因为，所以，所以 8．（2026·河北·模拟预测）在中，已知，，，，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由平面向量的加减法得出，再应用数量积的定义及运算律计算求解． 【详解】由，则，因此， ． 9．（2026·北京房山·一模）已知平面直角坐标系中，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点，由可得点轨迹为圆，结合极化恒等式可得，再结合点和圆的位置关系求解范围即可. 【详解】如图所示， 由得，是直角三角形，斜边，取中点， 根据直角三角形斜边中线性质，可得， 即在以原点为圆心、半径的圆上. 根据向量极化恒等式，对任意，为中点， 有 ，代入，得： 因为，在为圆心、半径1的圆上， 所以的范围是：， 即， 故. 10．（2026·四川南充·二模）在中，，，若，，，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以与为基底表示，再结合向量的数量积运算求解 【详解】因为 又与共线，可设，则， 同理与共线，设，又 所以 又 所以，解得 故 所以 又 故 11．（2026·河南濮阳·二模）如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中不正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值是 【答案】B 【分析】根据平面向量基本定理、向量共线的定义、余弦定理、向量的模的计算、基本不等式的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，所以A正确； 对于B，由A选项知，所以. 在中，利用余弦定理得，B错误； 对于C，因为点三点共线，所以存在实数使得， 因为，由A知， 所以，所以 ，即，C正确； 对于D，由C可知，结合题意可知， 所以 当且仅当，即时，等号成立，此时取最小值为，D正确. 12．（2026·河北保定·一模）平面内三个向量，，满足，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，并分析该方程的几何意义，将要求的的最大值，转化为求圆上的点到原点距离的最大值，利用几何图形的性质求解. 【详解】 根据点积公式，代入已知，得， 即​，故夹角​. 建立平面直角坐标系，设，，设， 记点，，，则就是原点到点的距离. 题意给出，即. 得，在中由正弦定理（为外接圆半径） 代入得，得，即点在半径为的外接圆上. 的中点，所以垂直平分线为， 过点分别作垂线，垂足为，因为且， 又，所以，代入垂直平分线中得的横坐标为， 即满足​的外接圆圆心为， 原点到圆心的距离， 原点到圆上点的最大距离为​， 即的最大值为. 二、多选题 13．（25-26高三上·江苏扬州·期末）已知都是单位向量，且，则下列结论正确的有（   ）. A． B． C．与的夹角为 D．存在，使得 【答案】ABD 【分析】根据向量的数量积，模长，求两向量的夹角公式计算即可. 【详解】对于，，故正确； 对于，，，所以，故正确； 对于，设与的夹角为，，则，所以，故错误； 对于，假设存在，使得，则，因为是单位向量，所以，所以假设成立，故正确. 故选：. 14．（2026·河北·一模）已知向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上的投影向量为 C．与夹角的余弦值为 D．若与垂直，则实数 【答案】AC 【详解】对A，，则，故A正确； 对B，在上的投影向量为，故B错误； 对C，与夹角的余弦值为，故C正确； 对D，，若与垂直， 则，解得，故D错误. 三、填空题 15．（2026·重庆·二模）已知正方形ABCD边长为2，E为线段CD的中点，若AF⊥BE于F，则_______. 【答案】/ 【分析】设，以为基底表示，根据得出值即可求出. 【详解】设， 因为E为线段CD的中点，所以， 则，， 因为AF⊥BE，所以 ， 得或（舍）， 则， 故. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $