福建厦泉五校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题

**基本信息** 融合赵爽弦图文化传承与缉私现实应用，梯度覆盖复数、解三角形、向量、立体几何等高一核心内容，突出数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数虚部、解三角形、斜二测画法|第8题以赵爽弦图为情境，考查几何直观与创新意识| |多选|3/18|复数性质、三角形判定、向量关系|第11题结合向量夹角与三角形面积，体现推理能力| |填空|3/15|向量模、几何体表面积、外接圆性质|第13题圆柱挖圆锥模型，考查空间观念| |解答题|6/77|复数方程、向量最值、解三角形应用、几何体体积与动态最值|第18题缉私问题融合解三角形与实际应用，第19题几何体动态最值考查运算能力与空间想象|

厦泉五校2025-2026学年高一年级第二学期期中联考 数学试题 (考试时间：120分钟满分：150分 审核人：英林中学) 试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 第I卷（选择题共58分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.(1+5i)i的虚部为（) A.-1 B.0 C.1 D.6 2△BC中，角4及C所对的边分别为a,点c,者a=5b=A=牙则B=《） A 3π B. C. 4 6 3.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'CD,已知AB=4,C"D'=2,则 下列说法正确的是() A.AD=22 B.AB=2 C.四边形ABCD的面积为3√2 0(A) B D.四边形ABCD的周长为6+25+2√2 4.如图，D是△ABC的边AC的中点，点E在BD上，且BE=2ED,则() A.A亚-2AB+1AC B.A正=2AB+AC 3 6 3 31 c4正-46+号4c D.花-}西+c 31 5.已知向量AB=(-1,2),BC=(4,-1),则向量AC在向量AB方向上的投影向量为() 后副 〔 c.（ .店副 6.已知直三棱柱ABC-AB C的6个顶点都在球O的球面上，若AB3,AC4,AB⊥AC,AA,=12,则球 0的半径为() A.3 2 B.13 2 C.210 D.3V10 第1页共4页 7.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，对称中心为O,以O为 圆心作半径为1的圆，点M为圆O上任意一点，则AD.CM的取值范 围为() A.[-6,4] B.[0,8] c.[-8,0] D.-65,0 8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人 称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示 的等边△ABC,若EF=2,in∠ACP-3W5 则AC=() 14 A.8 B.7 C.6 D.5 二。多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.己知21，z2都是复数，下列选项中正确的是（ ) A.若z22=0,则z1=0或22=0 B.若z=z3,则z=22 C.若z1=Z2,则Z+22是实数 D.若z2=z,则z=z2 10.△ABC的内角：A,B,C所对边分别为a,b,c,下列说法中正确的是( ) A.若sinA>sinB,则A>B B.若sin2A=sin2B,则△ABC是等腰三角形 C.若a2+b2-c2>0,则△ABC是锐角三角形 D.若品-品。点则△ABC是等腰直角三角形 11·下列说法正确的是（) A.已知向量a=(1,1),b=(x,2),且a1b,则x=-2 B.向量ā=(2,3)，b=(x,2),则“a,b的夹角为锐角”是“x>-3”的充要条件 C.若2OA+OB+3OC-0,S40c、SABc分别表示△AOC、△ABC的面积，则S△Aoc:S△ABc=1:6 BA BC 1 D.在△ABC中，向量AB与AC满足 BC=0,且T 网园i,则△c为等边 三角形 第2页共4页 第II卷（非选择题92分） 三。填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12已知向量ab的夹角为60°，日=2，=1，则a+2 13.在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱 的上底面重合，圆锥的顶点是圆柱的下底面中心，这个几何体的表面积为 14.己知在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=5,点0为 其外接圆的圆心，已知B0·AC=12,则当角C取到最大值时△ABC的面积 为 四。解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)已知复数z=5+10i,复数z2在复平面内对应的点为Z(3,-4). (1)若复数z2是关于x的方程x2+mx+n-1=0的一个根，m、n∈R,求m+n的值： (2)若复数2满足=1+二，求复数2的共轭复数z. 16.（本小题满分15分)已知a,b,c是同一平面内的三个不同向量，其中a=(1,2). (1)若c=25,且aWc,求c; (2)若=2，且ka+=V2a-k(k>0),求a.b的最小值，并求出此时a与夹角的余弦值， 17.（本小题满分15分)在①ac0sB+V3 bsin A=2a,②bsin(B+C)=V5 acos B,③2cosC+5-2只 bb 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答， 问题：△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C.已知 (1)求B; (2)若D为AC的中点，BD=√13，c=2,求△ABC的面积. 第3页共4页 18.(本小题满分17分)如图A、B是在沿海海面上相距15+5√3海里的两个哨所，B位于A的 正南方向.A哨所在凌晨1点发现其南偏东30方向处有一艘走私船，同时，B哨所也发现走私 船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于A点南偏西30的D点，且A 与D相距20W3海里，试求： (1)刚发现走私船时，走私船与哨所A的距离： 北林 A (2)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏 东 东多少度？ (3)若缉私艇得知走私船以103海里/时的速度从C向北偏东15方向 逃窜，立即以30海里/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时 间才能追上走私船？ 19.（本小题满分17分)现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥P-AB,CD, 下部是正四棱柱ABCD-AB,CD(如图所示)，且正四棱柱的高OO是正四棱锥的高PO的4 倍 D C B D月 B (1)若AB=6,PO,=2,求该几何体的体积. (2)若正四棱锥的侧棱长为6，PO=2, (i)求正四棱锥P-AB,CD的侧面积. (ii)若O,N分别是线段AB,PB上的动点，求AQ+QN+NC的最小值. 第4页共4页报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App ■ (用户名和初始密码均为准考证号) 厦泉五校2025-2026学年高一年级第二学期期中联考 数学科答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚，并认真核对 条形码上的姓名和准考证号。 2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不 (正面朝上，切勿贴出虚线方框) 留痕迹。 3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答 无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时，必须用2B铅笔，并描浓。 正确填涂 ■ 缺考标记 4.在草稿纸、试题卷上答题无效。 5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。 客观题(1~8为单选题9~11为多选题) I[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 1I[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][c][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][c][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][c][D] 5[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 I I 囚囚■ ■ 16. 17. 囚囚■ 0 ■ 18. 北 东 D B 1 I I ■ 囚■囚 ■ 口 19. D ◇ C B C Oi 囚■囚 a 厦泉五校2025-2026学年高一年级第二学期期中联考 数学科参考答案及评分标准 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C A D D D B C B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．AC D 10．AD 11．ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14．5 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知复数z1＝5+10i，复数z2在复平面内对应的点为Z（3，﹣4）． （1）若复数z2是关于x的方程x2+mx+n﹣1＝0的一个根，m、n∈R，求m+n的值； （2）若复数z满足，求复数z的共轭复数． 【解析】 （1）z2＝3﹣4i， ········2分 因为复数z2是关于x的方程x2+mx+n＝1＝0的一个根， 所以（3﹣4i）2+m（3﹣4i）+n﹣1＝0，即3m+n﹣8﹣（4m+24）i＝0， ······4分 即， ······5分 解得m＝﹣6，n＝26，所以m+n＝20； ······7分 （2） 由题意可得， ······11分 所以． ······13分 16．已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中. （1）若，且，求； （2）若，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值. 【解析】（1）因为，且，所以设，·····2分 所以，解得， ········5分 所以或. ········7分 （2）由，得， 所以， ·······9分 因为，，可得， ······10分 因为，所以， 当且仅当，时取等号.所以. ·····13分 设与夹角为，则此时. ·······15分 17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 问题：的内角，，的对边分别为，，.已知______. （1）求； （2）若为的中点，，，求的面积. 【解析】（1）若选①， 由正弦定理可得，因为， 所以， ·······2分 即， ·······5分 因为，所以，所以，则.·····7分 若选②，则，·······2分 由正弦定理可得，又，·······4分 所以，即，因为，所以.·····7分 若选③，则， 由正弦定理可得， ······2分 即， 所以， ······4分 所以，又， 所以，因为，所以. ·······7分 （2）因为为的中点，所以，因为，···9分 所以， ·····11分 即，解得或（舍去），·····13分 所以. ·····15分 18．如图是在沿海海面上相距海里的两个哨所，位于的正南方向.哨所在凌晨1点发现其南偏东方向处有一艘走私船，同时，哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于点南偏西的点，且与相距海里，试求：   (1)刚发现走私船时，走私船与哨所的距离； (2)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？ (3)若缉私艇得知走私船以海里/时的速度从向北偏东方向逃窜，立即以30海里/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？ 【详解】（1）由在的南偏东，在的东北偏方向，在中， ，由正弦定理得， ·····2分 ， 代入上式得：海里． 答：走私船与观测点的距离为海里； ······5分 （2）在中，海里，海里，， ． ······7分 ， ，解得海里， ······8分 又， 且，所以， 故刚发现走私船时，走私船距缉私艇30海里，在缉私艇的北偏东方向上． ······11分 （3）设小时后缉私艇在处追上走私船，则， 又，， 在中，由余弦定理得， ，化简得 解得．故缉私艇至少需要小时追上走私船． ···17分    19．现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. (1)若，，求该几何体的体积. (2)若正四棱锥的侧棱长为，， （i）求正四棱锥的侧面积. （ii）若，分别是线段，上的动点，求的最小值. 【解析】（1）由条件可知，正四棱柱的高， 所以正四棱柱的体积为， 三棱锥的体积为， 所以该几何体的体积为； ······5分 （2）（ⅰ），所以， 正四棱锥侧面的高为， ······7分 所以正四棱锥的侧面积为； ······9分 （ⅱ）如图，将长方形，和展开在一个平面， ，，设 ，， ，所以， 所以， ， ······12分 ······14分 当四点共线时，最短， 所以 所以的最小值为. ······17分 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦泉五校2025-2026学年高一年级第二学期期中联考 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分 审核人：英林中学 ） 试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（1+5i）i的虚部为（　　） A．-1 B．0 C．1 D．6 2. △ABC中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 3. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 4. 如图，D是△ABC的边AC的中点，点E在BD上，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为 (　　) A. B. C. 2 D.3 7. 如图，已知正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△ABC，若，则AC＝（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知z1，z2都是复数，下列选项中正确的是（　 　） A．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0 B．若，则z1＝z2 C．若，则z1+z2是实数 D．若，则|z1|＝|z2| 10.的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是     A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是等腰直角三角形 11．下列说法正确的是（ ） A. 已知向量，，且，则 B. 向量，，则“的夹角为锐角”是“”的充要条件 C. 若，、分别表示、ΔABC面积，则 D. 在ΔABC中，向量与满足，且，则ΔABC为等边三角形 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量的夹角为，，，则________． 13．在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的顶点是圆柱的下底面中心，这个几何体的表面积为________. 14．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝5，点O为其外接圆的圆心，已知12，则当角C取到最大值时△ABC的面积为 　 ． 4. 解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知复数z1＝5+10i，复数z2在复平面内对应的点为Z（3，﹣4）． （1）若复数z2是关于x的方程x2+mx+n﹣1＝0的一个根，m、n∈R，求m+n的值； （2）若复数z满足，求复数z的共轭复数． 16．（本小题满分15分）已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中. （1）若，且，求； （2）若，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值. 17．（本小题满分15分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 问题：的内角，，的对边分别为，，.已知______. （1）求； （2）若为的中点，，，求的面积. 18．（本小题满分17分）如图是在沿海海面上相距海里的两个哨所，位于的正南方向.哨所在凌晨1点发现其南偏东方向处有一艘走私船，同时，哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于点南偏西的点，且与相距海里，试求： (1)刚发现走私船时，走私船与哨所的距离； (2)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？ (3)若缉私艇得知走私船以海里/时的速度从向北偏东方向逃窜，立即以30海里/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？ 19．（本小题满分17分）现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. (1)若，，求该几何体的体积. (2)若正四棱锥的侧棱长为，， （i）求正四棱锥的侧面积. （ii）若，分别是线段，上的动点，求的最小值. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $