北京市大兴区第一中学2025-2026学年第二学期期中练习高一数学

**基本信息** 高一数学期中试卷以三角函数、向量、立体几何等核心知识为载体，通过正三棱柱盛水问题、集合性质证明等设计，考查空间观念与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|复数运算、向量垂直等|如第3题复数求解，基础巩固| |填空题|5/25|正方体截球体积等|第13题空间几何体体积，考查几何直观| |解答题|6/85|体积计算与证明|第19题容器水面高度、第21题集合性质证明，体现应用意识与创新思维|

2025~2026学年度第二学期期中练习 高一数学参考答案 1、 选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D A D A A B B D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11） （12） (答案不唯一) （13） （14）； （15）①③④ 三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共15分） 已知复数.为虚数单位. （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若为实数，求的值； （Ⅲ）若，在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围. 解：（Ⅰ）因为，所以，，所以 （Ⅱ）因为为实数， 所以 ，解得； （Ⅲ），因为在复平面上 对应的点在第二象限，所以 解得 所以 （17）（共14分） 解:（Ⅰ）因为，，， 所以……1分 .……2分 所以……3分 . ……4分 （Ⅱ）因为，……1分 ……2分 ……3分 ，……4分 所以.……5分 （Ⅲ）因为 ……1分 ……2分 所以. ……4分 .……5分 （18） （共14分） 解：（Ⅰ）因为，，且与的夹角为， 所以，……2分 所以……4分 .……6分 （Ⅱ）由向量与向量互相垂直， 所以，……2分 即，……4分 所以，……6分 所以，或． ……8分 （19）（共14分） 解：（Ⅰ）因为正三棱柱中，侧棱，底面边长， 由题意可得底面内四边形的面积,……2分 所以正三棱柱中水的体积．……4分 又因为底面三角形的面积，……6分 所以底面水平放置后水面高．……7分 （Ⅱ）设三棱锥的高为． 由题意三棱锥的体积，……2分 所以，则 所以三棱锥的高为． ……4分 （Ⅲ）个.……3分 （20）（共14分） 解：（Ⅰ）因为在中，, 所以 .……2分 由正弦定理，得 ……3分 所以. ……4分 因为所以为锐角，……5分 所以 . ……6分 （Ⅱ）选择条件②：,. 由余弦定理得， ……2分 由得 所以，即. ……4分 解得，所以，……6分 所以的面积. ……8分 选择条件③：,． 在中,，所以. ……2分 由正弦定理得 . ……4分 又因为 ……6分 故的面积.……8分 （21）（共14分） 解：（Ⅰ）集合具有性质，不具有性质. ………4分 （Ⅱ）因为集合具有性质 所以，且 …………1分 所以 …………2分 所以 或 所以 . …………3分 当时，满足以上条件的正整数只有：或 且都满足： . …………4分 （Ⅲ）证明：假设存在具有性质集合. 因为集合，所以设集合中最小的元素为, …………1分 若，则由于，且， 因为，即： ， …………2分 所以集合不具有性质 ，矛盾. 所以 . …………3分 设集合中除以外的最小元素为，则 . …………4分 因为，且， 因为，且， 因为集合中比小的元素只有， 所以，即：， …………5分 即集合中除以外的最小元素为， 因为，集合具有性质， 所以， 这与集合中除以外的最小元素为相矛盾， …………6分 综上，不存在具有性质集合. 高一答案第 3 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期中练习试卷 高一数学 2026.04 本试卷共页，150分。考试时间120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。 第一部分 （选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）的值为 （A） （B） （C） （D） （2）在中，已知，，，则 （A） （B） （C） （D） （3）已知复数满足，则 （A） （B） （C） （D） （4）已知向量且，则实数 （A） （B） （C） （D） （5）已知正三棱柱中，，则该正三棱柱的表面积为 （A） （B） （C） （D） （6）已知，且，则的值为 （A） （B） （C） （D） （7）如图，在所有棱长均为的正四棱锥中，以为顶点的圆锥在此正四棱锥的内部（含表面），则该圆锥体积的最大值为    （A） （B） （C） （D） （8）设是非零向量，则“”是“”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不必要也不充分条件 （9）在中，已知，，，点在线段上运动，当取得最小值时， （A） （B） （C） （D） （10）已知向量满足与的夹角为，记，则 的取值范围为 （A） （B） （C） （D） 第二部分 （非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）已知是锐角，且，则______． （12）若的计算结果是实数，则满足条件的一个的值是______． （13）如图所示的几何体是从棱长为的正方体中，截去以正方体的一个顶点为球心，半径为1的球面所围成的几何体后得到的剩余部分，则该几何体的体积为 ． （14）在中，，． ①若，则= ； ②若满足条件的有两个，则的取值范围是 ． （15）锐角三角形中，，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④. 其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题15分） 已知复数.为虚数单位. （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若为实数，求的值； （Ⅲ）若，在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围. （17）（本小题14分） 已知，，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值 ． （18）（本小题14分） 已知向量满足，，且与的夹角为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若向量与互相垂直，求实数的值 . （19）（本小题14分） 如图1，正三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边长，若侧面水平放置时，水面恰好经过的中点 . 图1 图2 （Ⅰ）当底面水平放置时（如图2所示），求水面的高度； （Ⅱ）已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高； （Ⅲ）当底面水平放置时（如图2所示），打开上底面的盖子，从上底面 放入半径为的小铁球，且沉入水中，当水从上底面溢出时，求放入的小铁球个数的最小值．（结论不要求证明） （20）（本小题14分） 在中，. （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一组作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积 . 条件①,； 条件②,； 条件③,． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答给分． （21）（本小题14分） 已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. （Ⅰ）判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） （Ⅱ）若集合具有性质，求的值； （Ⅲ）求证：不存在具有性质集合. 学科网（北京）股份有限公司 $