等式与不等式课件-2027届高三数学一轮复习

等式与不等式 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.两个实数比较大小的方法 作差法 ___ , ___ , ___ （1） 课 前 基 础 巩 固 2 作商法 ___ , ___ , ___ （2） 课 前 基 础 巩 固 3 2.等式的性质 （1）如果,，那么 . （2）如果,那么___，___ . （3）如果,那么___，___ . 课 前 基 础 巩 固 4 3.不等式的性质 （1）对称性: ______（双向性）. （2）传递性:, （单向性）. （3）可加性:___ （双向性）. （4）可乘性:,___;,___ . （5）, _____________（单向性）. （6）,___ （单向性）. （7）乘方法则:___ （单向性）. 课 前 基 础 巩 固 5 常用结论 1.若，且 . 2.若，，则 . 3.若,,,，则 ; 若，，，，则 . 课 前 基 础 巩 固 6 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］设，，则与 的 大小关系为_______. [解析] ， 故 . 课 前 基 础 巩 固 7 2.［教材改编］已知，，则 的取值范围 是______. [解析] ，， 又 ， . 课 前 基 础 巩 固 8 3.［教材改编］下列命题为真命题的是_________（填序号）. ①若，则 ； ②若，则 ； ③若，则 ； ④若，则 . 课 前 基 础 巩 固 9 [解析] 对于①，若，则，所以 ，故①为真命 题； 对于②，若，则 ，故②为真命题； 对于③，若，，则满足，但 ， 故③为假命题； 对于④，若，则，所以 ，故④为真命题. 故填①②④. 课 前 基 础 巩 固 10 题组二 常错题 ◆ 索引：求取值范围时乱用不等式的加法法则致错;乘法运算时不 注意符号的影响致错;运用作差法时对差的变形不彻底或变形方向不 明确致错. 4.若，，则 的取值范围为______. [解析] 由，得，又 ，所以 ，所以的取值范围为 . 课 前 基 础 巩 固 11 5.已知实数，，则 的取值范围是________. [解析] 当时,； 当时， ． 综上可知，的取值范围是 ． 课 前 基 础 巩 固 12 6.已知，，为不全相等的实数， ， ，那么与 的大小关系是_______. [解析] 因为，，所以，当且仅当时取等号, 因为，， 为不全相等的实数，所以等号不成立，所以，所以 . 课 前 基 础 巩 固 13 探究点一 比较数（式）的大小 例1（1）（多选题）下列不等式中正确的是( ) A. B. C. D. ［思路点拨］通过作差法判断差的符号,进而得出结论； √ √ 课 堂 考 点 探 究 14 [解析] , ,故A正确； ，，的符号不确定，与 的大小不确定，故B错误； ， ，故C错误； ，，，， 故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 15 （2）已知,都是正数,比较大小：___ . ［思路点拨］把与作商后对, 的大小关系分类,借助指数 函数的性质比较大小. [解析] . 当时,, ,,; 当时,, , ,; 当时,, , ,. 综上所述, . 课 堂 考 点 探 究 16 [总结反思] （1）判断两个式子大小关系的常用方法:作差法、作商法、不等式 性质法、函数单调性法、中间量法、特殊值法等. （2）作差（商）法的一般步骤是:作差（商）,变形,定号,得出结论. 课 堂 考 点 探 究 17 变式题（1）已知，则与 的 大小关系是_______. [解析] 方法一：因为，所以 , ，所以 . 因为，所以，即 . 方法二：， ， 因为， ， 所以,所以 . 课 堂 考 点 探 究 18 （2）若，， ，则( ) A. B. C. D. [解析] 方法一：易知,,都是正数 , ，，， .故选B. 方法二：构造函数，则. 令 ，得；令，得. 在 上单调递增，在上单调递减， ，即 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 19 探究点二 不等式的性质 例2（1）已知，，， 均为实数，则下列说法正确的是( ) A.若，，则 B.若，则 C.若，则 D.若且，则 ［思路点拨］由不等式的性质及特例逐项判断即可； √ 课 堂 考 点 探 究 20 [解析] 对于A，取，，，，则 ， 故A错误； 对于B，当，时，，但 ，故B错误； 对于C，当 时， ，故C正确； 对于D，因为，，所以，则 ，故 D错误.故选C. 课 堂 考 点 探 究 21 （2）（多选题）若 ，则( ) A. B. C. D. ［思路点拨］由题得,分和 两种情况判断A,D;由 ,得,由,得与 同号,即可判 断B,C. √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 22 [解析] 由得. 当时，由 ，得，即，所以， ； 当 时，由，得，即，所以， ，故A，D正确； 由，得 ，由上析可知与同号， 即，所以与异号，即与 同号，故C正确; 由，得，故B错误.故选 . 课 堂 考 点 探 究 23 [总结反思] 解决不等式有关问题常用的三种方法 （1）直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式的性质判断不等式 是否成立时要特别注意前提条件. （2）利用特殊值法排除错误答案，需注意取值一定要遵循三个原则： 一是满足题设条件；二是取值要简单；三是所取的值要有代表性. （3）构造函数，利用函数的单调性判断. 课 堂 考 点 探 究 24 变式题（1）[2025·北京房山区一模]已知,，且 ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，令,，则 ，故A错误； 对于B，令,，则 ，故B错误； 对于C， ， 因为，所以，而, 且不同时为0， 故，即，故C正确； 对于D，令, ,则 ，故D错误.故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 25 （2）（多选题）[2025·山东临沂二模]已知 ，则下列不等 式一定正确的是( ) A. B. C. D. √ √ [解析] 对于A，,因为 ,所以 ,,,即 ,所以，故A正确. 对于B，取，此时 ，故B错误. 课 堂 考 点 探 究 26 对于C，令，，，则 ，故C错误. 对于D，若，则 ； 若，则； 若 ，则； 若或 ，则. 综上所述，只要,就一定有 ,故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 27 探究点三 不等式性质的综合应用 例3 （多选题）已知实数,满足, ， 则( ) A. B. C. D. ［思路点拨］利用不等式的可加性判断A，B；将 变形为 后判断C；将 变形为 后判断D. √ √ 课 堂 考 点 探 究 28 [解析] 因为所以,解得 ,故A正确； 因为所以 ,解得,故B 错误； 因为 ,,， 所以 ,故C正确； 因为, , ,所以,故D错误.故选 . 课 堂 考 点 探 究 29 [总结反思] 求代数式的取值范围需注意两点:（1）严格运用不等式的性质;（2） 利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求解取值范围，防止 在多次运用不等式的性质时扩大变量的取值范围. 课 堂 考 点 探 究 30 变式题 已知实数，，满足，且，那么 的 取值范围是_ ________. [解析] 因为，且，所以， ， . 由，得，故 . 由，得，故，所以.。 课 堂 考 点 探 究 31 【备选理由】例1考查利用作商法比较两数（式）的大小以及分类讨 论思想的运用; 例1 ［配例1使用］若且 ，则( ) A. B. C. D.与 的大小不确定 [解析] ， 当时，, ，则，； 当时，, ，则，. 综上， . √ 教 师 备 用 习 题 32 【备选理由】例2考查由不等关系写出不等式以及不等式的性质; 例2 ［配例2使用］[2025·广东茂名期中]某大学在校学生中，理科生 多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中， 一定成立的是( ) A.理科男生多于文科女生 B.文科女生多于文科男生 C.理科女生多于文科男生 D.理科女生多于理科男生 √ 教 师 备 用 习 题 33 [解析] 根据已知条件设理科女生有人，理科男生有 人，文科女 生有人，文科男生有人. 根据题意可知 ， ，根据异向不等 式可减的性质有，即有 ，所以理科女生多于文科男生，故C正确. 其他选项没有足够证据论证.故选C. 教 师 备 用 习 题 34 【备选理由】例3综合考查根据对数函数的值域求参数的取值范围、 由不等式的性质比较数（式）的大小、根据二次函数的最值求参数. 例3 ［配例3使用］[2025·辽宁大连三校联考] 记,,表示, , 三个数中的最大数.若函数 的值域为 ，则 的最小值为__. [解析] 若函数的值域为 ， 记，则，故 ， 由，得，且 ， 所以， 教 师 备 用 习 题 35 又，所以 ， 故. 由且 ，可得， 当且仅当 即时等号成立， 故的最小值为 . 教 师 备 用 习 题 作业手册 37 ◆ 基础热身 ◆ 1.已知， ，则( ) A. B. C. D. [解析] ， .故选D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 38 2.设，，，则， 的大 小关系为( ) A. B. C. D.不确定 [解析] 由题知，，因为 ，所 以 . √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 39 3.下列结论中正确的是( ) A.若且，则 B.若，则 C.若，，则 D.若，则 [解析] 对于A选项,令,,满足且 ,但,故A错误； 对于B选项,令,,满足 ,但,故B错误； 对于C选项,令,, ,,满足,,但 , 故C错误； 对于D选项,由及不等式的性质可得 ,故D正确.故选D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40 4.设，，， ，下列不等式恒成立的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，若，则, ，故A错误； 对于B，因为，所以 ，故B正确； 对于C，D，若，则， ，故C,D错误. 故选B. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 5.[2025·福州部分学校最后一卷]已知 ， ，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 因为， ， ，所以，所以 的取值范围是 .故选C. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 6.（多选题）[2025·广东茂名模拟]下列说法正确的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，，则 D.若，则 √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 [解析] 对于A，取,，满足,但是 ，故A错误； 对于B，因为，不等式两边同时乘负数 ，不等号方向改变， 所以,不等式两边同时乘负数 ，不等号方向改变，所以， 所以 ，故B正确； 对于C，因为， ， 所以，又，即，所以 ， 所以，故C正确； 对于D，由可得 ，故，所以不一定成立， 故D错误.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.已知，，则 的取值范围是_________. [解析] ，，故 . 又，，则 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 8.李明经营一家水果店，为增加销量，李明制定了两种促销方案．方 案一：一次购买水果的总价达到100元，顾客就少付 元．方案二： 每笔订单按八折销售．在促销活动中，某顾客购买水果的总价为120 元，该顾客通过计算发现选择方案二所付金额不高于选择方案一所 付金额，则 的最大值为____． 24 [解析] 由题意可得，解得，所以 的最 大值为24. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 ◆ 综合提升 ◆ 9.设，，的平均数为，与的平均数为，与的平均数为 . 若 ，则( ) A. B. C. D. [解析] 根据题意得，, ,. 对于A， ,,, , ，， ，故A错误. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 47 对于B，,, , ,,, ，故B正确. 对于C，, ,, ，, ,，故C错误. 对于D， ，， ，故D错误.故选B. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.设，，，其中 ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由，得，故 . 由对勾函数的性质可得， ， 且. 综上所述， .故选C. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 11.（多选题）[2025·长郡中学期末]已知， ，则使得“ ”成立的一个充分条件可以是( ) A. B. C. D. √ √ [解析] 对于A，因为，，所以由得，故 ， 故A正确； 对于B，取，，此时满足， ，，但 ，故B错误； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 对于C，由 可得，即，当, 时，， ，而 ，故C错误； 对于D，由可知，，因为, ， 所以，故D正确.故选 。 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 12.（多选题）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖 ，， 且，若再添加克糖 后，糖水会更甜，于是得出一个 不等式：，，且， ，趣称之为“糖水 不等式”.根据“糖水不等式”判断下列说法，其中一定正确的是( ) A.若，，则 B. C.若，，为的三条边长，则 D.若，，为的三条边长，则 √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 52 [解析] 对于A，由糖水不等式得， 时， ，故A错误. 对于B， ，故B正确. 对于C， ，故C正确. 对于D， ， ，故D正确.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 53 13.若，， ，则 的最小值为____. [解析] 因为，， ， 所以，，，从而，， ， 所以当，异号时，取得最小值 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 54 14.若实数，，，且， ，则 的取值范围是________. [解析] 因为，，所以 ， ，由，，，得 解得 ，故 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 55 $