江西乐平中学等校2025-2026学年下学期高三数学阶段性作业

2025~2026学年度下学期高三数学阶段性作业 命题人：席米有 审题人：马志峰 考试时长：120分钟 试卷分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.已知集合M=(x∈Nx2-x-6<0),N=(-2,0,2),则MnN=（) A.{0,2} B.（-2,0 c.{-2) D.(2} 2 2.已知复数z= 5则=() A.5 B.2 c.√5 D.1 3.双曲线y2 后京=1（0>0,6>0)的一条渐近线的倾斜角为 π ,则此双曲线的高心率是() 3 A.2 B.5 C.2 D. 25 3 4、东风一41是我国目前公开最先进、性能最强的路基洲际战路核导弹，是国家战略核力量的中流砥柱 在平面直角坐标系中，某东风导弹从原点O(0,0)发射，位移向量为a=(6,8),为进行轨迹修正，控制系 统施加一个校正向量b=(2,-1),则导弹实际合位移向量（即位移向量与校正向量的和)的模长为() A.9 B.V113 C.10 D.√⑧5 5.设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2+x)=f(-x),f(-1)=1,则f(2025)=() A.-1 B.0 C.1 D.2 6,若将函数f因=sin(@x一孕(@>0)的图象向右平移子个单位长度后所得图象关于y箱对称，则0的 最小值为（) C3 D. 2 7.设抛物线y2=2px(P>O)的焦点为F,抛物线上一点B,满足直线FB与y轴正半轴交于点M,且B 扫描全能王创建 在F,M之间，若2FB=BM,且点B到抛物线准线的距离为， 则点M的纵坐标为() A.2√2 B.√5 c.2W6 D.√6 8.已知a>0,b>0,c>0,且1+2a-a2=a3,1+3b-b2=b4,1+4c-c2=c.5°，则() A.b<a<c B.c<b<a C.a<c<b D,a<b<c 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在正方体ABCD-AB,CD,中，下列结论正确的是（) D A.AD与BD所成的角为90° B B.AD,与B,C所成的角为90 C.AD与平面ABCD所成的角为45° D.AD与平面BDDB,所成的角为30° 10.下列结论正确的是() A.样本数据15,21,12,27,19,24,23,13,26,18的第75百分位数为23 B.若一组样本数据，，，6的方差s2=,【06-2+(,-22+…+(m6一2]，则这组 2026 样本数据的总和为4052 C.若随机变量X服从二项分布B(6,),Y=2X-1,则E(Y)=5. D.若随机变量X服从正态分布N(5,σ2)，且P(3<X<5)=0.3,P(7<X<9)=0.15,则 P(X<1)=0.1 1.数列a,}各项都是正整数，0=号学]+[学](a=1,2,…7),这里[)表示不超过x的最大整 数.若4=8，则下列选项正确的是（) A.a7=10或11 B.a1可以为33 C.4可以为41 D.41有7种可能的取值情况 器 扫描全能王创建 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12.函数f(x)=山x+x2在点x=1处的切线方程是 13.已知数列{4n}和bn},a,=b=1,且满足 ant=an +26+4 bat =2an +b+2. 数列{an+b,+3}前4项和为 14.若函数f(x)=cos2x+2sinx+2a-1在区间[0,2π]内有且仅有2个零点，则实数a的取值范围 为 四、解答题：本题共5小题，共77分. 1 15.(13分)在△4BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且4cosB-二b=c. (1)求角A的大小： (2)若△ABC边BC上的中线AD的长度为2，求△ABC面积的最大值， 16,(15分)某科技企业研发的新一代人形机器人在量产前进行性能测试，其中行走稳定性是核心指标， 测试分为平地行走和斜坡行走两个项目，规定：两个项目均达标，则机器人性能合格；至少一个项目不达标， 则机器人性能不合格，已知该型号机器人平地行走达标的概率为兰，斜坡行走达标的概率为三，且两个项 3 5 4 目是否达标相互独立 (1)随机抽取1台该机器人进行测试，求这台机器人性能合格的概率； (2)随机抽取3台该机器人进行独立测试，设X表示这3台机器人中性能合格的台数，求随机变量X的 分布列和数学期望E(X)； (3)该企业对机器人进行技术升级后，重新测试，升级后每台机器人性能合格的概率提升至卫(0<p≤1)， 若随机抽取4台机器人测试，至少有1台性能合格的概率不低于25 求实数卫的取值范围。 256 扫描全能王创建 17.(15分)如图，平面四边形ABCD中AB=AD=2N2,BC=DC=2且BC⊥DC,AC∩BD=E, △ABD绕BD旋转到△PBD的位置，使得PB⊥BC且PD⊥DC, (1)证明：BD⊥平面PAC: (2)求四棱锥P-ABCD的高： (3)求二面角B-PC-D的正弦值. 18.（17分)已知椭图C: 2子+1(a>b>0),以原点0为圆心，a+b为半径的圆被称为桶 圆C的蒙日圆.若椭圆C的离心率是5，它的蒙日圆为圆E:x+y2=5. 2 (1)求椭圆C的方程： (II)过圆E上一点M作椭圆C的两条切线分别为MA和MB,切椭圆C于点A和点B,求证：MA⊥MB: ()若直线AB与坐标轴交于P、2两点，求△PO2面积的最小值. 19.（(17分)设函数/)=t产-0r2-x. (1)当a=1时，判断函数f(x)的单调性： (2)当a>1时， ①证明：函数∫(x)有两个极值点，x2,(:<x2),且-x随着a的增大而增大： ②证明：f,)<1+in￥-五 2 器 扫描全能王创建数学参考答案 单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B B C D 多选题 9 10 11 答案 BCD BC ABD 1.A 【详解】由x2-x-6<0,解得-2<x<3,则M={0,1,2},所以M∩N={0,2}. 2.D 2 【详解】法一：复数z= 25+025+9-5+1. V3-i(W3-0(3+)422 别--1 片封高F西 2 3.C 【解】双自线号茶-1(a>0,6>0)的条新近线的板斜角为 π 3 a2+b2 =V1+(3)2=2 a 02 ∴此双曲线的离心率为2 4.B 【详解】合位移向量为a+b=(6,8)+(2,-1)=(8,7),所以合位移向量的模长为 a+=V82+72=113 5.A 【详解】由于f(x+2)=f(-)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数， 则f(2025)=f1)=-f(-1)=-1 6.B 【详解】函数()的图象向右平移乙个单位长度所得函数为： 4 答案第1页，共10页 则g(x)图象关于y轴对称， 即、ωππ=c+5,k∈Z,则w=-40 43 3 2 因为o>0,所以当k=-1时，ω的最小值为 3 7.C 【详解】由题知抛物线的焦点0准线为=号 设M(0,b),b>0,由2FB=BM可知点B为MF靠近F的三等分点， 因为点：到抛物线准线的距离为了： 所以P+卫=5 323 ,解得p=2, 所以抛物线的方程为少=4，B2,马 33, 将点号的代入桃销线方程用号 2,解得万=2W6, 所以点M的纵坐标为2√6 8.D 【详解】因为a>0,且1+2a-2=a-3,所以上-a=30-2, a 同理，由1+36-6=b4,可得b=4-3, b 由1+4c-c2=c-5°，可得1-c=5°-4. 令fe)xx>0,得f)-是1k0,所以（在0+四）上单调递减 满足上4=3-2的a即为函数y=f()与y=3产-2交点的横坐标 满足上b=4华-3的6即为函数y=寸()与y=4-3交点的横坐标： b 满足c=5P-4的c即为函数y=/四)与y=5-4交点的横坐园 在同一平面直角坐标系中画出y=∫(x),y=3-2,y=4-3,y=5-4的图象，如图所示：从图象 中可以直观地看出，三个交点的横坐标关系为M<b<c. 9.BCD 答案第2页，共10页 【详解】如下图，BD∥B,D且△4BD为等边三角形，则AD与BD所成的角为60°，A错误； 由AD∥BC,且AD⊥AD,则AD⊥BC,故AD与BC所成的角为90°，B正确： 由DD⊥平面ABCD,则AD与平面ABCD所成的角为∠D,AD=45° D C正确； 由DD⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,则DD⊥AC,又BD⊥AC, DD∩BD=D且都在平面BDD,B,内，则AC⊥平面BDDB, 所以AD,与平面BDD,B所成角为∠AD0,且si∠ADO=40_」 AD,2' 故∠AD,O=30°，D正确. .10.BC 【详解】选项A,样本12,13,15,18,19,21,23,24,26,27共n=10个数据，10×7.5%=7.5， 第75百分位数为第8项数据24，A错误； 送项，方交女-空x-列，因为对5低2驴+化2小++62门做行本 均值x=2,样本总和为2026·x=2026×2=4052,B正确； 选顶C,若X6号》则C)=理6片3，根据期塑性质ar+)a3(D1b,得 1 E(Y)=E(2X-1)=2×3-1=5,C正确： 选项D,正态分布N(5,σ2)的对称轴为x=5,由对称性得P1<X<3)=P(7<X<9)=0.15,则 P(X<1)=P(X<5)-P(3<X<5)-P1<X<3)=0.5-0.3-0.15=0.05,D错误 11.ABD 【详解】设an=6k,6k,+1,6k+2,6k.+3,6k.+4,6k,+5. 则对应的a41分别为5k,5k,5k+1,5kn+2,5km+3,5k,+3. 由a=8,可得a=10或11，选项A正确： 可得a,=12或13或14： 可得4=15或16或17： 答案第3页，共10页 可得44=18或19或20或21： 可得4=22或23或24或25或26： 可得42=27或28或29或30或31或32： 可得4=33或34或35或36或37或38或39，共7种.选项BD正确，C错误. 12.3x-y-2=0 【详解】了)-2，了=+21=3，又f0=n1+1-1, 故函数f(x)=nx+x2在点x=1处的切线方程是y=3(x-1)+1 整理得3x-y-2=0. 13.200 【详解】由已知 a+1=an+2b,+4, b,1=2a,+b+2.两式相加得：a+b=3a,+3b+6, 整理得：a+1+b+1+3=3(an+3b.+3),又，4+b+3=5, ∴数列{a.+bn+3}是以5为首项，3为公比的等比数列， 数列a,+h,+3别前4项和为50-3)=20. 1-3 14.0,2U( 【详解】依题方程sin2x-sinx=a在[0,2π]上有两个不等的实数解，令t=sinx,x∈[0,2π]，则 te[-1,1],则a=t-t,te[-1,1] 当t∈(-1,0)U(0,1)时，每个t都对应两个x值： 当t=-1或t=1时，每个t都对应一个x值： 当t=0时，每个t都对应三个x值. 当a= 时1=， 4 )，则s卫x二，x三[O,2x]有两个x的值 0 满足题意： 0时，每个a都有两个1（∈(0，》与它对应，当tE(O时，函数tnXt白 有两个x与t对应，此时方程sin2x-sinx=a在[0,2π]上有四个不等的实数解，不满足题意： 当a=0时，t=0或t=1,则sinx=0或sinx=1,x∈[0,2π]有四个x的值，不满足题意： 答案第4页，共10页 当au∈(0,2)时，每个a与t,(t∈(-1,0)一一对应，当t∈(-1,0)时，函数t=sinx,x∈[0,2π]都有两个 x与t对应，满足题意： 当a=2时，t=-1,则sx=-1,x∈[0,2π]有一个x的值，不满足题意； 综上所述，实数a的取值范围为(0,2U(- 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.【详解】(1)因为acos B-b=c, 由正弦定理得sin Acos B-二sinB=sinC, …1分 sin Acos B-I sin B=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 2 1 即-÷sinB=cos Asin B, …3分 2 ”B∈(0，sinB>0,则cosA=- …5分 :A∈(0，)，.A= 2π …6分 3 (2)因为D是BC中点，所以D-(aB+AC) …8分 两边平方得而-丽+4c=面+ac+2亚c到 所以4=1(C2+b2+2bcc08A)）,即b2+c2-bc=16,…10分 又由均值不等式得b2+c2-bc≥2bc-bc=bc, 所以bc≤16，当且仅当b=c=4时等号成立， …12分 所以Skc=bcsimAs 2 16x3 21 2 =45,即4BC面积的最大值为43.…13分 4 3 16.【详解】(1)设事件A:机器人平地行走达标，P(A)=-;设事件B机器人斜坡行走达标，P(B)= 41 由题意，事件A与B相互独立，则性能合格为事件AB.根据独立事件概率乘法公式： P(AB)=P(A)P(B)=* 4、3_3 …4分 答案第5页，共10页 ②油思意，X服从二项分布：X一B(3,.X的可能取值为01,23.…5分 根据=项分布概率公式。PX=)=CC令（孕，居=0l23: x=0=cgr9r-盘mr==cr- r--cr-路 PX=3)=C3 ……9分 X的分布列为 X 0 1 2 3 8 36 54 27 125 125 125 125 …10分 X的数学期望E()=3x3_9 …11分 55 (3)设升级后，4台机器人中性能合格的台数为Y,则Y~B(4,p) “至少有1台合格”的对立事件为“4台均不合格”，其概率为(1-p)4.…12分 由题意1-1-p)≥255 Γ256 整理得：(1-p)4≤ 又0<p≤1，解得3 1 256 ≤ps1, 故实数P的取值范围为己】 …15分 17.【详解】(I)证明：，AB=AD,BC=DC,AC=AC, ∴.△ABC与△ADC全等，.∠BAC=∠DAC,即∠BAE=∠DAE 又，AB=AD,∴AE⊥BD且点E是的BD中点 又，PB=PD,由点E是的BD中点可得PE⊥BD ,AC∩PE=E,AC与PE都在平面PAC内， ..BD⊥平面PAC: ……5分 (2)·BD⊥平面PAC,且BD在平面ABCD内，∴.平面PAC⊥平面ABCD, 在△PAC中作PO⊥AC交AC于点O,连接OB与OD ,:平面PAC∩平面ABCD=AC ∴.PO⊥平面ABCD,即PO为四棱锥P-ABCD的高 又，PB=PD,∴OB=OD ,PB⊥BC且PO⊥BC,PO∩PB=P 答案第6页，共10页 ∴.BC⊥平面PBO,∴.BC⊥BO 同理可得CD⊥OD,又，BC⊥DC ∴.四边形OBCD是正方形， ∴OB=BC=2, 在直角△POB中，PB=2√2， .P0=2 即四棱锥P-ABCD的高为2； …10分 (3)法1：·PB=PD,BC=DC,PC=PC, ∴△PBC与△PDC全等，过点B作BF⊥PC交PC于点F,连接DF, 则DF⊥PC, ∴.∠BFD为二面角B-PC-D的平面角，∠BFD∈[O,x] 在ABFD中，BR=DP=26 3，BD=22 cos∠BFD=3381 2.82则sm∠BD=5 1 …l5分 3 法2：以O为坐标原点，分别以有向线段OB,OD,OP为x,y,2轴正方向建立如图空间直角坐标系. 则B(2,0,0),C(22,0),D(0,2,0),P(0,0,2), 则PC=(2,2,-2),BC=(0,2,0),DC=(2,0,0),…12分 令m=(x,y,z)为平面BPC的法向量， → :PC=2x+2y-2z=0 则 ,取=(1,0,1)： m.BC=2y=0 同理，取平面DPC的法向量一法向量n=(0,1,1): l·n 1 1 所以cos<,n>= √2×√22' ……14分 仪二而布B-心-D的干面角9F来位血8=-o天风办令-号 15分 答案第7页，共10页 18.【详解】①因为椭圆的蒙日圆为x2+y2=5,所以a2+b2=5, 因为椭圆的离心率为5，所以S-5 2 a 2 [a2+b2=5 联立方程组9=3 a 2 ,解得a=2,b=1,c=√5， a2=b2+c2 则椭圆c的方程为兰+少=1。 …4分 4 (I)设点M的坐标为(x,), (1)当切线MA和MB斜率都存在时，设过点M直线方程为y=(x-)+%, y=k(x-x)+%, 联立得{ 若L 消去y,得：(4k2+1)x2+8k(%-kx,)x+4k2x2-8kx%。+4%2-4=(①，…6分 方程①的判别式△=16k2(2-2x。+k2x2)-4(4k2+1042x,2-86y+4,2-④，若过点M直线为椭 圆的切线，则有△=0，化简得：(x2-4)k2-2xyk+y,2-1=0②， …7分 那么关于k的方程②的两个根k与k,分别为切线MA和MB的斜率， 此时kk,=5=1-1,即MLB, x。2-4x,2-4 …8分 (2)当切线MA或MB斜率不存在时，不妨令MA斜率不存在， 则切线MA方程为x=2（或x=-2),x,=2(或x,=-2),代入圆E方程得y。=±1， 可求得切线MB方程为y=2(或y=-2),∴.LMB; …10分 综上所述，MALMB …11分 四当椭圆切线斜率存在时，不妨令)中过点M切线方程为y=kx+t,即令-xk+y。=t, 设切点A坐标为(：，y), ①式可化为(4k2+1)x2+8tx+4t2-4=0,△=0=t2=4h2+1, D式可化为Y+8x+16k-0,即5=货，易得y 1 又水薪代入切线方程=红+1整现可的号y1: 答案第8页，共10页 当椭圆切线斜率不存在时，切点A坐标为（任，）时切线方程仍满足+y=1,…12分 4 “椭圆上点A华标为，，切线1方程为学+v=1, 同理可得，点B坐标为（化，），切线MB方程为+y=1, 4 点MG,)代入MA方程与MB方程可得：5+，=1与+为⅓=1， 4 4 “直线AB的方程为+，y=1, …………13分 4 r传 14 .Soe2W' …14分 叉无+g=5≥2K,即产号（当且仅当k以小=0时取等号），…15分 1 、2 2 5e互产号（当且仅当时取等号）， 14、4 2 ∴APOQ面积的最小值为号 …17分 备注：本题若直接给出圆锥曲线上一点处的切线方程扣1分. 8.【详解】)当a=1时，f)=e-x,则∫(=e-x卫 令g(x)=f'(x)=e-x-1,则g(x)=e-1, 由g(x)=e-1>0可得x>0, 则函数g(x)在(0+∞)上递增，在上（-o,0)递减，则g(x)≥g(0)=0, 即f(x)≥O在R上恒成立，所以函数f(x)在R上单调递增。 …4分 (2)证明：f'(x)=e--1,f"(x)=e-a,显然函数f"(x)=e-a在R上单调递增.…5分 ①当a>1时，lna>0,由f"(x)=0,解得x=lna.可知，f'(x)在(-o,na)上单调递减，在(lna,+oo) 上单调递增，f'()m=f'(na)<0,且f'(0)=0, 当x∈(-oo,0)时，f'(x)>0,当x∈(0，na)时，f'()<0,所以x=0为极大值点，…7分 由(1)中g)≥g0)=0,知e≥r+1>r,则当r>1时，e=e> 4, 所以>菩a+,所以当≥4a+小时，了>0， 当x∈na,x)时，f'(x)<0:当x∈(c2,4(a+I)时，f'(x)>0.所以x=x2为极小值点，…9分 所以f(x)有两个极值点. 答案第9页，共10页 因为G)=0,所以a=心-1」 设)=e- (r>0),则h=ee+r-) x? 由上可知，ex≥-x+1,所以h(x)≥0，h(x)单调递增，所以x随着a的增大而增大，且x-x=x, 所以x2-x随着a的增大而增大. …11分 ②由a=- ，可得fx)=1-)e- 2 要证/c)<1+m,即证0-之e<1+ 2 2 …l2分 即证2-x- 2+sim<0, e 设p(a)=2-x-2+sinr e,x>0, …13分 =2+sinx-cosx,)=2(cos-D0. …15分 e e 所以p'(x)单调递减，所以'(x)<p'0)=0, 所以p(x)在(0，+∞)上单调递减， 所以p(x)<p(0)=0, 所以命题得证. ……17分 答案第10页，共10页