山东枣庄市薛城区2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 高二数学期中试卷聚焦导数、排列组合、二项式定理核心知识，通过火箭发射瞬时速度、产品检测等真实情境，梯度考查数学抽象、逻辑推理与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|导数几何意义、二项式系数|第4题火箭高度与瞬时速度，体现数学眼光| |多选|3/18|导数计算、函数单调性|第11题函数与导函数图象分析，考查推理能力| |填空|3/15|排列组合、展开式系数|第12题无重复数字四位数，强化抽象能力| |解答题|5/77|导数应用、组合计数、函数证明|17题产品检测分步计数，18题函数不等式证明，呼应高考对应用与逻辑的考查|

试卷类型:A 高 二 数 学 2026.04 本试卷共4页，满分为150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，则的值可以是 A．10 B．12 C．13 D．15 2．函数在区间上的平均变化率为 A．4 B．5 C．6 D．7 3．的第一位小数为，第二位小数为，第三位小数为，则分别为 A． B． C． D． 4．某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，设其在时的瞬时速度为，则当其瞬时速度为时， A． B． C． D． 5．已知的展开式中的系数为，则实数的值为 A． B． C． D． 6．设函数，，则的最小值和最大值分别为 A．， B．， C．， D．， 7．4名同学选报天文、合唱、羽毛球三个社团，每人限报一个，仅有2名同学报同一社团的报名种数为 A．12 B．24 C．36 D．72 8．过点作曲线的切线l，则l的斜率为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列求导正确的是 A． B． C． D. 10．已知 下列各式正确的是 A． B． C． D． 11．已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是 A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．用数字、、、、组成的无重复数字的四位数的个数为_______．（用数字作答） 13．在的展开式中，不含的所有项的系数和为______（用数值作答）. 14．已知函数，若任意，都有，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题共13分） 已知的展开式二项式系数和为． (1)求的值； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中二项式系数最大的项． 16．（本小题共15分） 已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在上的最大值与最小值. 17．（本小题共15分） 6件产品中有2件次品，4件正品. （1）从中任意抽取3件，抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？ （2）从中任意抽取3件，抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？ （3）对这6件产品一一进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束. （ⅰ）若恰在第1次检测时，找到第一件次品，且第4次检测时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的抽法？ （ⅱ）若至多检测4次就能找到所有次品，则共有多少种不同的抽法？ 18．（本小题共17分） 已知函数． （1）若，证明； （2）若，当时，，求的取值范围． 19．（本小题共17分） 已知，． （1）当时，讨论的单调性； （2）设，若在上有极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 高二数学试题第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题参考答案 2026.04 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1~8 ABAB DCCC 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. AD 10.CD 11. ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13． 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．解：（1）由题意得，故. 2分 （2）的展开式通项公式为 ,. 5分 令，解得， 7分 所以展开式中的常数项为. 9分 （3），展开式共有7项，二项式系数最大的项为第四项， 11分 由（2）可知， 故展开式中二项式系数最大的项为. 13分 16．解：（1）因为，所以， 2分 有，. 4分 因此，在处的切线方程为 ， 即 . 6分 （2） 由， 令，解得，或. 8分 当变化时，，的变化情况如下表所示. 单调递增 单调递减 单调递增 10分 在区间上，当时，有极小值. 12分 又由于 ，， 14分 所以，在上的最大值是4，最小值是. 15分 17．解：（1）从2件次品中抽出1件的抽法有种，从4件正品中抽出2件的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为 . 2分 （2）抽出的3件中至少有1件次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件次品的抽法种数为 . 6分 （3）（ⅰ）第1次和第4次为次品，第2，3次测试为正品： 共有. 10分 （3）（ⅱ）第1，2次测出次品结束：， 前2次有1次测出次品，第3次测出次品结束：， 前3次有1次测出次品，第4次测出次品结束：， 前4次全部测出正品：， 共有种. 15分 18．解：（1）当时，，函数的的定义域为. 则. 2分 由可得，由可得， ∴函数在区间单调递减，在区间上单调递增， 4分 ∴函数的最小值为．故. 6分 （2）当时，恒成立； 7分 当时，原不等式等价于， 8分 令函数，， 9分 则， 12分 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增， 15分 ∴，∴． 综上所述，k的取值范围是． 17分 19．解：（1）由题意知的定义域为， 当时，， 1分 当时，，则在上单调递减， 3分 当时，由，解得；由，解得． 即在上单调递增，上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 5分 （2）（ⅰ）由题意得，所以的定义域为， 在上有极值点等价于在上有变号零点． 令，即在上有变号零点． 当时，显然在上恒成立，无变号零点，不满足题意； 7分 当时，上恒成立. 所以在上单调递增. 9分 令，解得. 11分 （ⅱ）此时在上有唯一零点． 在上单调递增， 故当时，，即； 当时，，即， 故在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点. 14分 方法一：由上分析，，又，故．17分 方法二：因，由，可得， 则， 15分 令，显然在上单调递减， 16分 则，即，故． 17分 高二数学试题答案 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $