学易金卷：八年级数学下学期5月学情自测卷（上海专用，沪教版新教材八下第23～25章：四边形、平面直角坐标系、一次函数）

**基本信息** 聚焦四边形、坐标系、一次函数核心内容，通过伸缩晾衣架、正方形旋转等生活与动态情境，结合函数图像分析，实现基础巩固与能力提升的梯度考查，培养几何直观、推理意识与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|点平移、一次函数象限、多边形内角性质|基础概念辨析，如菱形中点四边形判定| |填空题|12/24|坐标对称、一次函数定义、重心、图形拼接面积|结合赵爽弦图考面积计算，体现数学文化| |解答题|8/58|平行四边形证明、行程函数图像、坐标系动点探究|第23题伸缩晾衣架应用考空间观念，第25题动点探究培养创新意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 考试版 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：沪教版新教材八年级下册第23~25章四边形、平面直角坐标系、一次函数 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后与点重合，则点的坐标是(    ) A． B． C． D． 2．一次函数的图像经过第一、三、四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．在下列叙述中，错误的是（   ） A．任何多边形的内角中最多有三个锐角 B．任何多边形的内角中最多有四个直角 C．对角线总条数等于其边数的多边形是五边形 D．从n边形一个顶点出发可以作条对角线 4．顺次连接菱形各边的中点得到的四边形是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 5．在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（    ） A．B．C． D． 6．如图，正方形中，E为边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接，若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共82分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．若点的横坐标不变，纵坐标乘以后得点，则在平面直角坐标系中，点与点关于______轴对称． 8．若函数是关于的一次函数，那么的取值范围是______． 9．在平面直角坐标系中，点与点，则长度为___________． 10．如图，在中，，，，点为斜边上的中点，点为的重心，那么_______． 11．如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，那么不等式的解集是_____． 12．如图1，将四个全等的直角三角形拼成一个四边形，然后将这四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图2所示），此大正方形的面积为9：如果再将这四个全等的直角三角形拼成的“风车”图形（如图3所示），此“风车”图形的外轮廓周长为16．那么四边形的面积为___________． 13．如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图像上，点和点C都在轴上，当的面积是6时，点C的坐标是______________． 14．如图，在中，C是上一点，且，如果E，F分别是，的中点，的面积为26，那么的面积为___________． 15．如图，正方形的边长为6，E是的中点，，与交于点F，则的长为__________． 16．已知a、b、c分别为的三条边长，c为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，如点在“勾股一次函数”的图像上，且的面积为4，则c的值为_______． 17．已知矩形，，将沿着直线翻折，点D落在点E处，如果点E到直线的距离是6，那么的长是______． 18．已知，直线与轴、轴分别相交于、，以线段为直角边在第一象限内作等腰，且点为坐标系中的一个动点，现要使得和的面积相等，则实数的值为______． 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（4分）在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为、、，试判断这个三角形的形状． 20．（6分）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，与一次函数的图象交于点，点的横坐标为3，轴，为垂足，． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 21．（6分）如图，将的边延长至点E，使，连接，F是边的中点，联结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的面积． 22．（8分）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，分别匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留了小时，然后以比原来速度慢千米/小时的速度沿原路返回甲地，设慢车离开甲地的时间为（小时），（千米）、（千米）分别表示慢车、快车离甲地的距离．图中线段与折线分别表示与之间的函数关系．根据图像进行以下探究： (1)甲、乙两地之间的距离是 千米； (2)慢车的速度是 千米/小时； (3)求快车从甲地到乙地的速度；（写出解答过程） (4)慢车出发 小时，两车相距千米？ 23．（8分）我们知道：当三角形三条边的长度均确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质也叫做三角形的稳定性． (1)与三角形不同，如果用四根木条制作成一个四边形的木框，随意拉动木框的边，它的形状却会发生改变，这说明四边形具有__________． (2)生活中，很多家庭使用的伸缩晾衣架也利用了上述四边形的特性．下图是一款伸缩晾衣架的示意图：该款伸缩晾衣架包含两侧的支架和三根晒被杆（图1），每一侧的支架由6根铝合金杆（宽度忽略不计）组成，支架的每个交点处均可以转动（图2）．其中，点分别是这些铝合金杆的中点．支架展开后，点在一直线上． 问题：如果把的度数称作支架的展开角度，当支架展开角度为时，晾衣架最远处点J离开墙面距离约为多少厘米？ (3)若要增加晒被杆的根数，需要增加铝合金杆的数量，在不改变原来设计方案的前提下，制作一款含4根晒被杆的伸缩晾衣架，共需要铝合金杆__________． 24．（8分）【教材呈现】如图是沪教版八年级下册教材第42页的第1题，请完成这道题的证明． (1)如图①，在四边形．中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． (2)【教材延伸】 如图②，延长图①中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． (3)【应用探究】 如图③，在中，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，求的长． 25．（9分）数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“平面直角坐标系”为背景开展探究活动．如图，已知四边形是平行四边形，点、点，连接，并延长交轴于点． (1)观察发现：直线的函数表达式为________． (2)探究迁移：若点P从点C出发，以2个单位/秒的速度沿x轴向左运动，同时点Q从点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴向右运动，P、Q均在线段上，过点作轴垂线交直线于点，过点作轴垂线交直线于点，连接，猜想四边形的形状（点P，Q重合除外），并证明你的结论； (3)拓展应用：在（2）的条件下，当点P运动多少秒时，四边形是正方形？不需说明理由，请直接写出你的结果． 26．（9分）如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (2)当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长； (3)当以为顶点的四边形的面积为时，请直接写出的长是___________． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共18分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷2、 填空题（每小题2分，共24分） 7._________________ 8. _________________ 9. _________________ 10. _________________ 11. _________________ 12. _________________ 13．_________________ 14．_________________ 15. _________________ 16. _________________ 17. _________________ 18. _________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19． （4分） 20.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （6分） 22.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（8分） 24. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26. （9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 全解全析 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：沪教版新教材八年级下册第23~25章四边形、平面直角坐标系、一次函数 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后与点重合，则点的坐标是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点向左平移个单位长度后，横坐标为，得到点， 再将点向下平移个单位长度，纵坐标为， ∴点的坐标为 ． 2．一次函数的图像经过第一、三、四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一次函数的一次项系数为， ∴该一次函数图像一定经过第一、三象限， ∵该函数图像还经过第四象限， ∴函数图像与y轴相交于y轴负半轴， 当时，，交点坐标为， ∴． 3．在下列叙述中，错误的是（   ） A．任何多边形的内角中最多有三个锐角 B．任何多边形的内角中最多有四个直角 C．对角线总条数等于其边数的多边形是五边形 D．从n边形一个顶点出发可以作条对角线 【答案】D 【详解】解：A、∵任意多边形的外角和为360度， ∴任意多边形的外角中，最多有三个钝角， ∴任意多边形的内角中，最多有三个锐角，原说法正确，不符合题意； B、当多边形的一个内角是直角时，与其相邻的外角也是直角，而任意多边形的外角和为360度，故任意多边形的外角中，最多有4个直角，即任何多边形的内角中最多有四个直角，原说法正确，不符合题意； C、边形对角线总条数公式为，当时，解得或（舍去），故对角线总条数等于其边数的多边形是五边形，原说法正确，不符合题意； D、从n边形一个顶点出发可以作条对角线，原说法错误，符合题意； 4．顺次连接菱形各边的中点得到的四边形是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】A 【详解】解：设菱形中，，，，分别是，，，的中点，连接，． ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 同理可得：，，，． ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，， ∴，即， ∴平行四边形是矩形． 5．在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，直线经过第一，三象限，且经过原点，直线经过第一，三，四象限，无符合题意的选项； 当时，直线经过第二，四象限，且经过原点，直线经过第一，二，三象限，B符合题意． 6．如图，正方形中，E为边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接，若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点F作，交的延长线于点G， 由旋转得，， ∴． ∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 第二部分（非选择题 共82分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．若点的横坐标不变，纵坐标乘以后得点，则在平面直角坐标系中，点与点关于______轴对称． 【答案】 【详解】解：设点的坐标为 由题意得，变换后点的坐标为 根据平面直角坐标系中对称点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数的两点关于轴对称． 可得点与点关于轴对称． 8．若函数是关于的一次函数，那么的取值范围是______． 【答案】 【详解】解： ， ∵函数是关于的一次函数， ∴， ∴． 9．在平面直角坐标系中，点与点，则长度为___________． 【答案】 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点与点， ∴． 10．如图，在中，，，，点为斜边上的中点，点为的重心，那么_______． 【答案】 【详解】解：，，， ， 点为斜边上的中点， ， 点为的重心， ． 11．如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，那么不等式的解集是_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 观察图像可知当时，， ∴当时， ， 所以不等式的解集是， 即不等式的解集是． 12．如图1，将四个全等的直角三角形拼成一个四边形，然后将这四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图2所示），此大正方形的面积为9：如果再将这四个全等的直角三角形拼成的“风车”图形（如图3所示），此“风车”图形的外轮廓周长为16．那么四边形的面积为___________． 【答案】8 【详解】设四个全等的直角三角形两个直角边为a、b，斜边为c，且，a、b、c均为正数， 根据勾股定理有：， 如图2所示的大正方形的面积为9， ，即， 如图3所示的“风车”图形的外轮廓周长为16， ，即， ， 则：， 四边形的面积为． 13．如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图像上，点和点C都在轴上，当的面积是6时，点C的坐标是______________． 【答案】或 【详解】解：点C在轴上，设点， ∴， ∵的面积是6， ∴， ∴，可得， 则有或， 解得或， ∴点或 ． 14．如图，在中，C是上一点，且，如果E，F分别是，的中点，的面积为26，那么的面积为___________． 【答案】 【详解】解：连接， ，的面积为26， ， 是的中点， ， 是的中点， ， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ． 15．如图，正方形的边长为6，E是的中点，，与交于点F，则的长为__________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．已知a、b、c分别为的三条边长，c为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，如点在“勾股一次函数”的图像上，且的面积为4，则c的值为_______． 【答案】4 【详解】解：∵点在“勾股一次函数”的图象上， ∴， ∴， 又∵a、b、c分别为的三条边长，c为斜边长，，的面积是4， ∴，， ∴， ∴， 解得或（负值舍去）， 故答案为：4． 17．已知矩形，，将沿着直线翻折，点D落在点E处，如果点E到直线的距离是6，那么的长是______． 【答案】或 【详解】解：①如图，当时，交于点，过点E作交于点H，则， ∵四边形是矩形， ， 根据折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， 即， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴； ②如图，时，过点E作交的延长线于点H，过点E作交于点F，则， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得，，， 在中，， 设，， 在中，， 即， 解得：， ∴， 综上，或； 故答案为：或． 18．已知，直线与轴、轴分别相交于、，以线段为直角边在第一象限内作等腰，且点为坐标系中的一个动点，现要使得和的面积相等，则实数的值为______． 【答案】或 【详解】解：当时，则， 点的坐标为， 当时，则， 解得：， 点的坐标为， ，， ， 又为等腰直角三角形， ， 当点在第四象限时，， ，，， ， 即， 解得：； 当点在第一象限时，， ，，， ， 即， 解得：； 综上所述，实数的值为或． 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（4分）在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为、、，试判断这个三角形的形状． 【详解】解：∵、、， ∴，，……（2分），……（3分） ∴，， ∴是等腰三角形.……（4分） 20．（6分）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，与一次函数的图象交于点，点的横坐标为3，轴，为垂足，． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点P，且点P的横坐标为3， ∴， ∴点；……（2分） （2）解：∵点轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点． ∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为．……（6分） 21．（6分）如图，将的边延长至点E，使，连接，F是边的中点，联结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∵F是的中点，点E在的延长线上， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形．……（2分） （2）解：作于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴的面积是．……（6分） 22．（8分）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，分别匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留了小时，然后以比原来速度慢千米/小时的速度沿原路返回甲地，设慢车离开甲地的时间为（小时），（千米）、（千米）分别表示慢车、快车离甲地的距离．图中线段与折线分别表示与之间的函数关系．根据图像进行以下探究： (1)甲、乙两地之间的距离是 千米； (2)慢车的速度是 千米/小时； (3)求快车从甲地到乙地的速度；（写出解答过程） (4)慢车出发 小时，两车相距千米？ 【详解】（1）从图象中、、点的纵坐标可以看出，两地相距千米；……（1分） （2）由图可知：慢车小时行驶了千米， 慢车的速度是：千米/小时；……（2分） （3）设快车从甲地到乙地的速度为千米/小时，从图象可知， 快车到达乙地的时间为小时， ∴点的横坐标为， 快车在乙地停留小时， 点的横坐标为， 返回时速度比原来速度慢千米/小时， 返回时速度为千米/小时， 由图可知：点的纵坐标为，此时快车在返途中，也行驶了千米， 快车由乙地返回到千米时的所用时间为：小时， 根据返回速度列方程：， 整理得：， ， 或（舍去）， 当时，返回速度为千米/小时，点横坐标为，返回时间为小时，千米，符合题意； 快车从甲地到乙地的速度为千米/小时；……（5分） （4）由（3）可得，快车从甲地到达乙地时，小时， 当时， 快车路程，慢车路程， ， 解得：； 当快车停留时，即时， 快车路程，慢车路程， ， 解得：； 当快车返回时，由题可得，返回总时间为小时， 当时，设直线解析式为， 点，在函数图象上， ， 解得：，， ， ， ， 或， 或， （舍去）， ； 满足条件的的值为或或．……（8分） 23．（8分）我们知道：当三角形三条边的长度均确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质也叫做三角形的稳定性． (1)与三角形不同，如果用四根木条制作成一个四边形的木框，随意拉动木框的边，它的形状却会发生改变，这说明四边形具有__________． (2)生活中，很多家庭使用的伸缩晾衣架也利用了上述四边形的特性．下图是一款伸缩晾衣架的示意图：该款伸缩晾衣架包含两侧的支架和三根晒被杆（图1），每一侧的支架由6根铝合金杆（宽度忽略不计）组成，支架的每个交点处均可以转动（图2）．其中，点分别是这些铝合金杆的中点．支架展开后，点在一直线上． 问题：如果把的度数称作支架的展开角度，当支架展开角度为时，晾衣架最远处点J离开墙面距离约为多少厘米？ (3)若要增加晒被杆的根数，需要增加铝合金杆的数量，在不改变原来设计方案的前提下，制作一款含4根晒被杆的伸缩晾衣架，共需要铝合金杆__________． 【详解】（1）解：随意拉动木框的边，它的形状却会发生改变，这说明四边形具有不稳定性；……（2分） （2）解：，点分别是这些铝合金杆的中点， ， 四边形为菱形， ， ， ， 连接，， 为等边三角形， ， 同理可得， 点在一直线上， 晾衣架最远处点J离开墙面距离约为；……（6分） （3）解：若要制作一款含4根晒被杆的伸缩晾衣架， 铝合金杆总的材料需要增加一个四边形的周长， 即共需要铝合金杆．……（8分） 24．（8分）【教材呈现】如图是沪教版八年级下册教材第42页的第1题，请完成这道题的证明． (1)如图①，在四边形．中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． (2)【教材延伸】 如图②，延长图①中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． (3)【应用探究】 如图③，在中，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，求的长． 【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴；……（2分） （2）证明：如图，由（1）得， ∵是的中点，是的中点，为的中点， ∴，， ∴，， ∴；……（5分） （3）证明：如图，连接，取中点，连接，，由（1）知， 由（2）可知，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， 由（1）知， ∴．……（8分） 25．（9分）数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“平面直角坐标系”为背景开展探究活动．如图，已知四边形是平行四边形，点、点，连接，并延长交轴于点． (1)观察发现：直线的函数表达式为________． (2)探究迁移：若点P从点C出发，以2个单位/秒的速度沿x轴向左运动，同时点Q从点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴向右运动，P、Q均在线段上，过点作轴垂线交直线于点，过点作轴垂线交直线于点，连接，猜想四边形的形状（点P，Q重合除外），并证明你的结论； (3)拓展应用：在（2）的条件下，当点P运动多少秒时，四边形是正方形？不需说明理由，请直接写出你的结果． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 将点、点，代入得， ， 解得， 直线的函数表达式为．……（2分） （2）解：四边形是矩形，理由如下： 当点在右侧时，如图所示， 点，， 直线的解析式为， 点从点出发，以2个单位/秒的速度沿轴向左运动，同时点从点出发，以1个单位/秒的速度沿轴向右运动，设运动时间为， ，，， ，， 点在直线上，点在直线上，且轴，轴， ，， ， 又轴，轴， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 当点在左侧时，如图所示， 设经过时间，则，，， ，， 同理可证四边形是矩形．……（5分） （3）解：当点在右侧时，四边形是正方形，如图所示， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 经过时间，，，， ， 解得， 经过，四边形是正方形． 当点在左侧时且在原点右侧时，四边形是正方形，如图所示， 经过时间，则，，，， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 解得， 此时，即，此时与原点重合，如图所示， 当经过时间时，四边形是正方形． 综上所述，当点运动或时，四边形是正方形．……（9分） 26．（9分）如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (2)当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长； (3)当以为顶点的四边形的面积为时，请直接写出的长是___________． 【详解】（1）解：， 证明：∵四边形为正方形， ∴，， 如图，作于，于， 则，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；……（3分） （2）解：∵正方形边长为1， ∴，， ∴， ∵点在边的延长线上， ∴为钝角， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；……（7分） （3）解：如图，当点在线段上时，作于，于， 由（1）可得，四边形为矩形，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵以、、、为顶点的四边形的面积为， ∴，即， ∴； 当点在的延长线上时，作于，延长交于， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵以、、、为顶点的四边形的面积为， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，的长为或．……（9分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 5 6 D D D A B A 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7.x 8.k≠-2 9.23 10. 3 11.x≥4 12.8 13.(4,0)或(-2,0) 13 14. 15.3√5 16.4 3 17.5或20 18.-3或7 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(4分) 【详解】解：：A(-2,)、B(2,3)、C(0,-1), ·AB=V-2-2+1-3)2=20=25,AC=V-2-02+1+12=8=22,…(2分) BC=V2-0)2+(3+12=V20=25,…(3分) AB=BC,AB2+AC2BC2, △ABC是等腰三角形.…(4分) 20.(6分) 【详解】(1)解：：一次函数y=-x+7的图象经过点P,且点P的横坐标为3， y=-3+7=4, 点P(3,4)；…(2分) (2)解：：点P3,4),PB⊥x轴， PB=4,OB=3. AB=2PB, .AB=8, .A0=AB-OB=5, .点A(-5,0) :一次函数y=c+b经过点P(3,4),A(-5,0), 1/11 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 [3k+b=4 -5k+b=0' 1 解得 k-2 5 。一次函数的表达式为y分+号…（6分) 15 21.(6分) 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ·BC∥AD,且BC=AD, :F是BC的中点，点E在AD的延长线上， :CF∥DE,CF=BC, 2 :DE=。AD, ny .CF=DE, 四边形CEDF是平行四边形.…(2分) (2)解：作CH⊥DE于点H,则∠CHD=∠CHE=90°， D HE B :CD∥AB, ∠CDH=LA=60°， ∴.∠DCH=90°-∠CDH=30°， :CD=2DH, :CH=CD:-DH2 =(2DH)2-DH2 =3DH, :AD=8, DE=4D=4, :CH2+EH2=CE',且EH=4-DH,CE=2万， :(3DH+(4-DH2=(27, 2/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得DH=3或DH=-1(不符合题意，舍去)， CH=√5x3=3√5， SABCD=AD.CH=8x3V3=243, .口ABCD的面积是243.…(6分) 22.(8分) 【详解】(1)从图象中A、B、E点的纵坐标可以看出，两地相距960千米；…(1分) (2)由图可知：慢车12小时行驶了960千米， :馒车的速度是：960÷12=80千米/小时；…(2分) (3)设快车从甲地到乙地的速度为千米/小时，从图象可知， 快车到达乙地的时间为60小时， .点A的横坐标为 960 :快车在乙地停留2小时， 960 ·点B的横坐标为00+2， :返回时速度比原来速度慢40千米/小时， :返回时速度为v-40)千米/小时， 由图可知：点C的纵坐标为480，此时快车在返途中，也行驶了480千米， 扶车由乙地运同到千米时的所用时间为：12-(0-2小09）小时，。 根据返回速度列方程：v-40= 480 10960, 整理得：v2-184v+3840=0, (v-160jv-24)=0, :v=160或v=24(舍去)， 与60时，返回速度为160-40=20干米小时，点B横坐标为60+2=8，返回时间为2-8=4小 120×4=480千米，符合题意； :快车从甲地到乙地的速度为160千米/小时；…(5分) (4)由(3)可得，快车从甲地到达乙地时，x=960÷60=6小时， 3/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :当0≤x≤6时， 快车路程⅓2=160x,慢车路程y=80x, 160x-80x=400, 解得：x=5; 当快车停留时，即6<x≤8时， 快车路程y2=960,慢车路程y=80x, 960-80x=400, 解得：x=7; 普快车返回时，由题可待，返回总时间为0+8=16小时 :当8<x≤16时，设BD直线解析式为y2=x+b, :点(8,960)，C(12,480)在函数图象上， [960=8k+b 480=12k+b 解得：k=-120,b=1920, .2=-120x+1920, .-120x+1920-80x=400, .1920-200x=400, .1920-200x=400或1920-200x=-400, x=7.6或x=11.6, :x=7.6<8(舍去)， .x=11.6; ·满足条件的x的值为5或7或11.6.…(8分) 23.(筋素材(8分) 【详解】(1)解：随意拉动木框的边，它的形状却会发生改变，这说明四边形具有不稳定性；…(2分) (2)解：：AE=BF=BD=CE=JF=38cm,CI=19cm,点G、H、I分别是这些铝合金杆的中点， .AG=BG=BH EH =EG=19cm, 四边形BGEH为菱形， 4/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :BH∥AG, “∠B=60°， LAGB=∠B=60°， 连接AB,JC,BC, B 面：△ABG为等边三角形， D :AB=BG=19cm, 同理可得BC=JC=19cm, “点A、B、C、J在一直线上， 晾衣架最远处点J离开墙面距离约为19×3=57cm;…(6分) (3)解：若要制作一款含4根晒被杆的伸缩晾衣架， 铝合金杆总的材料需要增加一个四边形的周长， 即共需要铝合金杆19×4=76(cm.…(8分) 24. (筋考向(8分) 【详解】(1)证明：：P是BD的中点，M是DC的中点， :PM=IBC, :P是BD的中点，N是AB的中点， AD =BC, :PM =PN, ∴∠PMN=∠PNM;…(2分) (2)证明：如图，由(1)得∠PMN=∠PNM, 5/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 F D N B 图2 :N是AB的中点，M是DC的中点，P为BD的中点， :PNI AD,PMBC, ∠AEN=∠PNM,∠PMN=∠F, ∠AEN=∠F;…(5分) (3)证明：如图，连接BD,取BD中点P,连接PM,，PN，由(1)知LPMW=LPNM, G D N 图3 由(2)可知，PMIBG,PN I AM, .∠PMN=∠CGM,∠PNM=∠AMN, ∴.∠CGM=∠AMN, :∠GMC=45°，∠AMN=∠GMC, .∠PMN=∠PNM=∠CGM=∠AMN=45°， ∠MPN=180°-45°×2=90°， ∴△PMN为等腰直角三角形， AD=BC=3, 由(1)知PM=PN=AD= 2 2 MN=PM+PN3 …(8分) 2 25.(9分) 【详解】(1)解：设直线AC的函数表达式为y=x+b, 将点A(2,2)、点C(6,0),代入得， 6/11 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2=2k+b 0=6k+b' 1 k=- 解得 2 b=3 ·直线4C的函数表达式为y=- x+3.…(2分) 2 (2)解：四边形EPQF是矩形，理由如下： 当点P在Q右侧时，如图所示， B 点A2,2,0(0,0), :直线OA的解析式为y=x, :点P从点C出发，以2个单位/秒的速度沿x轴向左运动，同时点Q从点0出发，以1个单位/秒的速度沿 x轴向右运动，设运动时间为t, :Cp=2t,OQ=t,0P=0C-CP=6-21, Qt,0),P(6-2t,0), :点E在直线AC:y=弓+3上，应F在直线OA:y=x,且DLx轴，EP1: 1 F0==t,EP=g=-26-20+3=1, :FO=EP 又：FQ⊥x轴，EP⊥x轴， :FQ∥EP,∠FQP=90° :四边形EPQF是平行四边形， 又∠FP=90°， ·四边形EPOF是矩形， 当点P在Q左侧时，如图所示， 7/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 设经过时间t,则OQ=t,CP=21,0P=0C-CP=6-2t, Qt,0),P(6-2t,0), 同理可证四边形EPQF是矩形.…(5分) (3)解：当点P在Q右侧时，四边形EPQF是正方形，如图所示， y P 第(2)问已证四边形EPQF是矩形， ·当PQ=FQ时，四边形EPOF是正方形， :经过时间t,Cp=2t,O0=FQ=t,PQ=0C-O9-CP=6-3t, .t=6-31, 解得1=2' 3 经过1，四边形EPQF是正方形。 当点P在Q左侧时且在原点O右侧时，四边形EPOF是正方形，如图所示， B A OP O 经过时间t,则OQ=FQ=t,CP=2t,0P=0C-CP=6-2t,P9=00-OP=t-(6-2t)=3t-6, 第(2)问已证四边形EPQF是矩形， ·当PQ=FQ时，四边形EPQF是正方形， 31-6=t 8/11 窗学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得t=3, 此时0P=0,即P(0,0),此时P与原点重合，如图所示， E(D) B 当经过时间t=3时，四边形EPQF是正方形. 综上所述，当点P运动1=名或1=3时，四边形EPQF是正方形.…(9分) 26.(9分) 【详解】(1)解：PB=PQ, 证明：：四边形ABCD为正方形， ∴.∠BCA=LDCA=45°，∠BCD=90°， 如图，作PE⊥BC于E,PF⊥CD于F, B E 则PE=PF,∠PEC=∠BC0=∠PFC=∠PEB=90°， :四边形PECF为矩形， ∠EPF=90°， :PQ⊥BP, ∴.∠BPQ=90°=∠EPF, ∴.∠BPQ-∠EPQ=∠EPF-∠EPQ, .∠BPE=∠QPF, ∴△BPE≌△QPF(ASA), PB=PQ;…(3分) (2)解：：正方形ABCD边长为1， .∠BAC=∠BCA=LACD=45°，AB=BC=1, AC=VAB2+BC2=√2， 9/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :点Q在边DC的延长线上， ∠PCQ=180°-45°=135°为钝角， D B :△PCQ是等腰三角形， ∴CP=C0, .∠Q=∠CPQ, :∠Q+∠CPQ=∠ACD=45°， .∠Q=∠CPQ=22.5°， :PQ⊥BP, .∠APB=180°-∠BPQ-∠CPQ=67.5°， ∴.∠ABP=180°-∠APB-∠BAP=67.5°， ∠ABP=∠APB, .AP=AB=1, ∴.PC=AC-AP=2-1;…(7分) (3)解：如图，当点Q在线段CD上时，作PE⊥BC于E,PF⊥CD于F, D B E 由(1)可得∠BCA=∠DCA=45°，四边形PECF为矩形，△BPE≌△QPF, :△PEC为等腰直角三角形，SBPE=SOPF, ·PE=CE, :四边形PECF为正方形， .S日边形BPQc=S.BPE+S日边形PEcO=S.POP+S日边形PEcQ=S正方形PEcr, :以P、B、C、Q为顶点的四边形的面积为3 1 10/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1 ·.S正方形PECF= ，夏→之。、 PC=PE2+CE2= 1,16 当点Q在DC的延长线上时，作PG⊥AB于G,延长GP交CD于H, D G H B :四边形ABCD为正方形， .∠ABC=∠BCD=90°，∠BCA=∠DCA=45°， ∴.∠ABC=∠BCD=∠HGB=90°， :四边形GBCH为矩形， .∠GHC=90°，BG=CH,BC=GH=1, .CHP为等腰直角三角形， .HC=PH=BG, :PQ⊥BP, :.∠GBP+∠BPG=∠BPG+∠GQH=90°， ∠GBP=∠QPH, △BPG≌△POH(ASA), .BP=PO,GP=OH,BG=PH 设BG=PH=CH=a,则QH=GP=1-a, 、C、?为顶点的四边形的 .Snawo-Samwon-5.wo-5.ca)x 1 x(I-a)-ja 1 2 a×a= 31 1 解得a=3 :PH-CH=3 1 PC-P+CH 3 综上所述，PC的长为6或 …(9分) 3 11/112025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 日 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一===-====。==一一====。==。--== 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【√1[/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D1 5.[A1[B][C1[D] 2[AJ[B][C][D] 4[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题2分，共24分） 10 13. 16. 17. 18 请在各题且的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(4分) 20.(6分) P B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) 22.(8分) V(千米) 960-.-A.B E 480 12 D(小时) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) 晒被杆 支架 图1 图2 24.(8分) E M D C D M N B N B N B 图① 图② 图③ 请在各颗日的答颗区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 情在各颗日的答颗区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(9分) A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(9分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 考试版 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：沪教版新教材八年级下册第23~25章四边形、平面直角坐标系、一次函数 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后与点重合，则点的坐标是(    ) A． B． C． D． 2．一次函数的图像经过第一、三、四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．在下列叙述中，错误的是（   ） A．任何多边形的内角中最多有三个锐角 B．任何多边形的内角中最多有四个直角 C．对角线总条数等于其边数的多边形是五边形 D．从n边形一个顶点出发可以作条对角线 4．顺次连接菱形各边的中点得到的四边形是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 5．在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（    ） A．B．C． D． 6．如图，正方形中，E为边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接，若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共82分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．若点的横坐标不变，纵坐标乘以后得点，则在平面直角坐标系中，点与点关于______轴对称． 8．若函数是关于的一次函数，那么的取值范围是______． 9．在平面直角坐标系中，点与点，则长度为___________． 10．如图，在中，，，，点为斜边上的中点，点为的重心，那么_______． 11．如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，那么不等式的解集是_____． 12．如图1，将四个全等的直角三角形拼成一个四边形，然后将这四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图2所示），此大正方形的面积为9：如果再将这四个全等的直角三角形拼成的“风车”图形（如图3所示），此“风车”图形的外轮廓周长为16．那么四边形的面积为___________． 13．如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图像上，点和点C都在轴上，当的面积是6时，点C的坐标是______________． 14．如图，在中，C是上一点，且，如果E，F分别是，的中点，的面积为26，那么的面积为___________． 15．如图，正方形的边长为6，E是的中点，，与交于点F，则的长为__________． 16．已知a、b、c分别为的三条边长，c为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，如点在“勾股一次函数”的图像上，且的面积为4，则c的值为_______． 17．已知矩形，，将沿着直线翻折，点D落在点E处，如果点E到直线的距离是6，那么的长是______． 18．已知，直线与轴、轴分别相交于、，以线段为直角边在第一象限内作等腰，且点为坐标系中的一个动点，现要使得和的面积相等，则实数的值为______． 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（4分）在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为、、，试判断这个三角形的形状． 20．（6分）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，与一次函数的图象交于点，点的横坐标为3，轴，为垂足，． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 21．（6分）如图，将的边延长至点E，使，连接，F是边的中点，联结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的面积． 22．（8分）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，分别匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留了小时，然后以比原来速度慢千米/小时的速度沿原路返回甲地，设慢车离开甲地的时间为（小时），（千米）、（千米）分别表示慢车、快车离甲地的距离．图中线段与折线分别表示与之间的函数关系．根据图像进行以下探究： (1)甲、乙两地之间的距离是 千米； (2)慢车的速度是 千米/小时； (3)求快车从甲地到乙地的速度；（写出解答过程） (4)慢车出发 小时，两车相距千米？ 23．（8分）我们知道：当三角形三条边的长度均确定时，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质也叫做三角形的稳定性． (1)与三角形不同，如果用四根木条制作成一个四边形的木框，随意拉动木框的边，它的形状却会发生改变，这说明四边形具有__________． (2)生活中，很多家庭使用的伸缩晾衣架也利用了上述四边形的特性．下图是一款伸缩晾衣架的示意图：该款伸缩晾衣架包含两侧的支架和三根晒被杆（图1），每一侧的支架由6根铝合金杆（宽度忽略不计）组成，支架的每个交点处均可以转动（图2）．其中，点分别是这些铝合金杆的中点．支架展开后，点在一直线上． 问题：如果把的度数称作支架的展开角度，当支架展开角度为时，晾衣架最远处点J离开墙面距离约为多少厘米？ (3)若要增加晒被杆的根数，需要增加铝合金杆的数量，在不改变原来设计方案的前提下，制作一款含4根晒被杆的伸缩晾衣架，共需要铝合金杆__________． 24．（8分）【教材呈现】如图是沪教版八年级下册教材第42页的第1题，请完成这道题的证明． (1)如图①，在四边形．中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． (2)【教材延伸】 如图②，延长图①中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． (3)【应用探究】 如图③，在中，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，求的长． 25．（9分）数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“平面直角坐标系”为背景开展探究活动．如图，已知四边形是平行四边形，点、点，连接，并延长交轴于点． (1)观察发现：直线的函数表达式为________． (2)探究迁移：若点P从点C出发，以2个单位/秒的速度沿x轴向左运动，同时点Q从点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴向右运动，P、Q均在线段上，过点作轴垂线交直线于点，过点作轴垂线交直线于点，连接，猜想四边形的形状（点P，Q重合除外），并证明你的结论； (3)拓展应用：在（2）的条件下，当点P运动多少秒时，四边形是正方形？不需说明理由，请直接写出你的结果． 26．（9分）如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (2)当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长； (3)当以为顶点的四边形的面积为时，请直接写出的长是___________． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $