04 期末复习-第4章 锐角三角函数（同步学练测）-【全效学习】2025-2026学年九年级上册数学同步课件（湘教版）

这是一份初中数学九年级上册湘教版第4章锐角三角函数的期末复习课件，包含题型归类（锐角三角函数定义、特殊角、解直角三角形及应用）和过关训练（基础达标、能力提升），提供例题、变式及解析作为学习支架。 资料特色突出核心素养，通过测量大厦高度、方位角等实际问题引导学生用数学眼光观察世界，借助构造直角三角形、方程思想培养数学思维，以规范解题步骤强化数学语言表达，帮助学生提升应用能力，为教师提供系统教学资源。 九年级学生面临升学考试，需重点掌握锐角三角函数的实际应用，该资料通过分层训练和真题示例，助力学生巩固基础、提升解题能力，适合期末复习使用。

第4章 锐角三角函数 数学九年级上册 [湘教版] 1 01 02 题型归类 过关训练 2 01 题型归类 3 一 锐角三角函数的定义 例1（1）如图,在中, ,, , 则下列三角函数表示正确的是( ) C A. B. C. D. 第4章 锐角三角函数 返回目录 4 （2）已知在中, ,,,则 的值为 ( ) A A. B. C. D. 【点悟】 把握好锐角三角函数的定义是解这类问题的关键.当题中 没有直角三角形时,通常根据已知条件构造一个直角三角形,然后利 用锐角三角函数的定义求解. 第4章 锐角三角函数 返回目录 5 1.[2024长春模拟] 已知是锐角,,则 的值为( ) B A. B. C. D. 第4章 锐角三角函数 返回目录 6 二 特殊角的三角函数值 例2 在中,若,则 的度数是 ( ) C A. B. C. D. 【点悟】 解这类问题,关键是熟悉 , , 角的三角函数值. 本题中,同时要注意非负数性质的应用. 第4章 锐角三角函数 返回目录 7 2.计算: . 解：原式 . 第4章 锐角三角函数 返回目录 8 三 解直角三角形 例3 如图,在中, , ,,求 的长. 第4章 锐角三角函数 返回目录 9 例3答图 解：如答图,过点作于点 . , . . , , , . 第4章 锐角三角函数 返回目录 10 【点悟】 在一个三角形中,如果已知角度或者角的三角函数值求线 段的长度,通常可考虑利用解直角三角形的知识求解.如果没有直角 三角形,可通过作辅助线构造直角三角形. 第4章 锐角三角函数 返回目录 11 3.[2024浙江] 如图,在中,,是边 上的中线, ,, .求： 第4章 锐角三角函数 返回目录 12 （1） 的长; 解：,, , . , , . 第4章 锐角三角函数 返回目录 13 （2） 的值. 解：是边 上的中线, , . , , . 第4章 锐角三角函数 返回目录 14 四 利用解直角三角形测量物体的高度（或宽度） 例4 [2023辽宁] 小亮利用所学的知识对大 厦的高度进行测量，他在自家楼顶 处 测得大厦底部的俯角是 ，测得大厦顶 部的仰角是 ，已知他家楼顶 处距地 面的高度为（图中点，，， 均在同一平面内）． 第4章 锐角三角函数 返回目录 15 （1）求两楼之间的距离 （结果保留根号）； 例4答图 解：如答图，过点作 ，垂足为 点 . 由题意，得 ， . 在中， ， ， . 两楼之间的距离为 . 第4章 锐角三角函数 返回目录 16 （2）求大厦的高度（结果取整数．参考数据： ， ，， ） 解：在中， ， . ， . 大厦的高度约为 ． 第4章 锐角三角函数 返回目录 17 【点悟】 仰角、俯角问题通常涉及两个仰角或两个俯角或一个仰 角、一个俯角.解题时,往往利用三角函数的定义分别在那两个角所 在的直角三角形中求出相应线段的长度,从而得解.当题中的关系比 较复杂时,有时也可先设未知数,用同一个未知数表示问题中不同的 未知量,然后根据问题中的数量关系列出方程求解. 第4章 锐角三角函数 返回目录 18 4.[2023张家界] “游张家界山水，逛 七十二奇楼”成为今年旅游新特色.某 数学兴趣小组用无人机测量奇楼 的高度，测量方案如图：先将无人 机垂直上升至距水平地面的 点，测得奇楼顶端的俯角为 ，再将无人机沿水平方向飞行 到达点，测得奇楼底端的俯角为， 求奇楼 的高度. （结果精确到.参考数据：， ， ） 第4章 锐角三角函数 返回目录 19 变式跟进4答图 解：延长交的延长线于点 ， 如答图， 则 . 由题意，得 ， . 在中， ， ， 第4章 锐角三角函数 返回目录 20 . 在中， ， ， . 答：奇楼的高度约为 ． 第4章 锐角三角函数 返回目录 五 利用解直角三角形解决方位角问题 例5 [2023通辽] 如图，一艘海轮位于灯塔 的 北偏东 方向，距离灯塔的 处， 它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯 塔的南偏东 方向上的处.这时， 处距 离灯塔 有多远？（结果取整数.参考数据： ， ， ，，， ） 第4章 锐角三角函数 返回目录 22 解：如答图. 例5答图 第4章 锐角三角函数 返回目录 23 由题意，得， ， ， . 在中， ， ， 在中， ， 处距离灯塔约 ． 第4章 锐角三角函数 返回目录 【点悟】 对于方位角问题,首先要明白方位角的表示方法,然后是将 实际问题抽象成数学问题,将它转化到直角三角形中去求解. 第4章 锐角三角函数 返回目录 25 5.如图,港口在港口的南偏西 方向上,距离 港口处.一艘货轮航行到处,发现 港口 在货轮的北偏西 方向上, 港口在货轮的北偏西 方向上.求此时货轮与 港口的距离. （结果取整数.参考数据： , ,, ） 第4章 锐角三角函数 返回目录 26 解：如答图,过点作,垂足为点 . 变式跟进5答图 第4章 锐角三角函数 返回目录 27 由题意,得 , . 在中, , , . 在中, , . 答：此时货轮与港口的距离约为 . 第4章 锐角三角函数 返回目录 六 利用解直角三角形解决坡度问题 例6 [2023泰州] 如图，堤坝长为 ，坡 度为，底端 在地面上，堤坝与对面的 山之间有一深沟，山顶处立有高 的铁塔 .小明欲测量山高，他在 处看到铁塔顶 端刚好在视线上，又在坝顶处测得塔底 的仰角 为.求堤坝的高度及山的高度 .（小明的身高忽略 不计，结果精确到. 参考数据： ， ， ） 第4章 锐角三角函数 返回目录 29 例6答图 解：如答图，过点作于点 . 坡度为 ， 设， ， ， ， ， . 如答图，过点作于点 ， 则， . 设 . 第4章 锐角三角函数 返回目录 30 , ， , . 坡度为 ， ， ， ， . 答：堤坝的高度为，山的高度为 ． 第4章 锐角三角函数 返回目录 【点悟】 对于坡度问题,将坡度转化为线段的比,并寻找合适的直角 三角形,利用直角三角形的边角关系建立方程是解题的关键. 第4章 锐角三角函数 返回目录 32 6.某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴， 决定在辖区的一条河上修建一座步行观光 桥.如图，该河旁有一座小山，山高 ，坡面的坡度 （注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点， 与河 岸，在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸 的俯角分 别为 ， ． 第4章 锐角三角函数 返回目录 33 （1）求山脚到河岸 的距离； 解：在中， . 的坡度 ， ， ， . 在中，， ， ， . 答：山脚到河岸的距离为 . 第4章 锐角三角函数 返回目录 34 （2）若在此处建桥，试求河宽的长度.（结果精确到 .参考 数据：，， ） 解：在中，， ， ， ， ， . 答：河宽的长度约为 ． 第4章 锐角三角函数 返回目录 35 02 过关训练 36 1.如果锐角 的正弦值为 ,则下列结论正确的是( ) C A. B. C. D. 第4章 锐角三角函数 返回目录 37 2.[2024四平模拟] 如图,河堤的横断面迎水坡 的坡比 是,堤高,则坡面 的长度是( ) C A. B. C. D. 第4章 锐角三角函数 返回目录 38 3.已知在中, ,, ,那么下列各式中正 确的是( ) C A. B. C. D. 第4章 锐角三角函数 返回目录 39 4.如图，，， 三点在正方形网格线的交点处. 若将绕着点逆时针旋转得到 ，则 的值为( ) B A. B. C. D. 第4章 锐角三角函数 返回目录 40 第4题答图 [解析] 如答图，过点作，垂足为点 ． 根据旋转的性质可知， ． 在中， ， .故选B. 第4章 锐角三角函数 返回目录 41 5.数学活动小组到某广场测量标志性建筑 的高度.如图,他们在地面上 点处测得 最高点的仰角为 ,再向前前进 至点处,又测得最高点的仰角为 ,点 C A. B. C. D. ,,在同一直线上,则该建筑物的高度约为（结果精确到 .参 考数据:,, , ） ( ) 第4章 锐角三角函数 返回目录 42 [解析] 由题意，可知 . 在中, , . , . 在中, , . , 第4章 锐角三角函数 返回目录 43 , , 解得 . 该建筑物的高度约为 .故选C. 第4章 锐角三角函数 返回目录 6.如图,一艘轮船在处观测灯塔位于南偏西 方向, 该轮船沿正南方向以的速度匀速航行 后 到达处,再观测灯塔位于南偏西 方向.若该轮船继 续向南航行至离灯塔最近的位置 处,则此时轮船与灯 塔之间的距离 为( ) D A. B. C. D. 第4章 锐角三角函数 返回目录 45 7.[2024遂宁模拟] 在锐角三角形中,已知, 满足 ,则 ____. 第4章 锐角三角函数 返回目录 46 8.如图，为消除淮河灾害，某市水利部门修建了横断面是梯形的淮 河大坝，坝顶宽，坝高，斜坡 的坡角 ，斜坡的坡度.求坝底 的宽度.（结果保留整 数.参考数据：， ） 第4章 锐角三角函数 返回目录 47 解：由题意，得，，垂足分别为点， ，则四边 形 是矩形， . ，斜坡的坡度 ， 在中， ， . 在中， ， 第4章 锐角三角函数 返回目录 48 ， ， ． 答：坝底的宽约为 ． 第4章 锐角三角函数 返回目录 9.[2023随州] 某校学生开展综合实践活动，测量 某建筑物的高度 ，在建筑物附近有一斜坡，坡 长，坡角 ，小华在 处测得建 筑物顶端的仰角为 ，在 处测得建筑物顶端 的仰角为 （已知点，，，在同一平面内，点， 在同 一水平线上）. 第4章 锐角三角函数 返回目录 50 （1）求点到地面 的距离； 第9题答图 解：过点作，交的延长线于点 ， 如答图. 在 中， 点到地面的距离为 ． 第4章 锐角三角函数 返回目录 51 （2）求该建筑物的高度 ． 解：过点作于点 ，如答图， 第9题答图 第4章 锐角三角函数 返回目录 52 则 . 在中， 设，则 ， 在中， ， . 在中， . , 第4章 锐角三角函数 返回目录 解得 ， ． 该建筑物的高度为 ． 第4章 锐角三角函数 返回目录 10.[2023锦州] 如图①，是某校教学楼正 厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板， 数学学习小组想要测量此展板的最高点到 地面的高度.他们绘制了如图②所示的展 板侧面的截面图，并测得， ， ， ，底座四边形 为矩形， .请帮助该数学学习小组求出展板最高点到地面 的距 离. （结果精确到.参考数据：， ） 第4章 锐角三角函数 返回目录 55 第10题答图 解：如答图，过点作于点，与直线 交于点，过点作于点，过点 作 于点 ， 四边形，四边形 均为矩形， ，， ， ， . 第4章 锐角三角函数 返回目录 56 在 中， . 在 中， . ， . 答：展板最高点到地面的距离约为 ． 第4章 锐角三角函数 返回目录 11.[2024济南] 城市轨道交通发展迅猛,为市民出行带来极大方便.某 校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离,数据勘测组通过勘 测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器、红外测距仪等 第4章 锐角三角函数 返回目录 58 过程资料 _________________________________________ 相关数据及说明：图中点,,,, , 在同一平面内,房顶,吊顶 和地 面所在的直线都平行,点 在与地 面垂直的中轴线上, , , , . 成果梳理 …… 轻轨高架站示 意图 请根据记录表提供的信息解答下列问题： 第4章 锐角三角函数 返回目录 59 （1）求点到地面 的距离; 第4章 锐角三角函数 返回目录 60 第11题答图 解：如答图,过点作,交的延长线于点 , 垂足为点 , , . 在中, , , . 答：点到地面的距离约为 . 第4章 锐角三角函数 返回目录 （2）求顶部线段 的长. （结果精确到.参考数据：, , ,,, ） 第4章 锐角三角函数 返回目录 62 解：如答图,过点作,垂足为点 . 第11题答图 , . 第4章 锐角三角函数 返回目录 63 , . 平行线间的距离处处相等, . , 在中， , . 答：顶部线段的长约为 . 第4章 锐角三角函数 返回目录 65 $