02 期末复习-第2章 一元二次方程（同步学练测）-【全效学习】2025-2026学年九年级上册数学同步课件（湘教版）

这是一份初中数学湘教版九年级上册《全效学习》第2章“一元二次方程”的期末复习课件，共51页，内容分为“题型归类”和“过关训练”两部分。题型归类涵盖概念、解法、根的判别式、根与系数的关系及应用，每个题型配例题、变式训练及详细解析，过关训练分基础达标与能力提升，包含选择、填空、解答题及实际应用问题。 资料特色鲜明，融合数学核心素养，例题选自2024年各地模拟题，引导学生用数学眼光观察现实问题，解题过程强调逻辑推理与符号运算，培养数学思维，实际应用问题（如增长率、利润问题）构建模型，提升数学语言表达能力。题型分类清晰，点悟总结方法，变式训练巩固，能帮助学生系统掌握知识、提升解题能力，为教师提供结构化教学资源，便于备课和分层教学。九年级学生面临升学考试，需重点关注一元二次方程的核心知识及应用，该资料通过系统的题型归类和分层训练，助力学生夯实基础、提升应试能力，适应升学考试要求。

第2章 一元二次方程 数学九年级上册 [湘教版] 1 01 02 题型归类 过关训练 2 01 题型归类 3 一 一元二次方程及其解的概念 例1 [2024北京模拟] 若是关于的方程 的解, 则多项式 的值是( ) C A.1 011 B.1 015 C.2 021 D.2 029 第2章 一元二次方程 返回目录 4 1.下列方程中,为一元二次方程的是( ) B A. B. C. D. 第2章 一元二次方程 返回目录 5 2.[2024大冶模拟] 将一元二次方程 化成一般形式 后,一次项系数为( ) B A.4 B. C. D.1 第2章 一元二次方程 返回目录 6 二 一元二次方程的解法 例2 解方程: . 解： , , 或 , , . 【点悟】 对于形如 的一元二次方程,我们可 以直接将方程变形为,然后解, , 即得方程的解. 第2章 一元二次方程 返回目录 7 3.[2024四平模拟] 一元二次方程 的根是( ) A A., B., C., D., 第2章 一元二次方程 返回目录 8 4.代数式 有最大值或最小值吗？若有,请求出最大值或 最小值. 解： , 当时,有最小值,最小值为 . 第2章 一元二次方程 返回目录 9 三 一元二次方程根的判别式 例3（1）关于的方程 的实数根的情况，下列判断 正确的是( ) B A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.有一个实数根 第2章 一元二次方程 返回目录 10 （2）若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根， 则实数 的值为( ) C A. B. C. D.4 第2章 一元二次方程 返回目录 11 （3）已知关于的一元二次方程 . ①求证:该方程总有实数根; 证明： , 无论 为何值,该方程总有实数根. 第2章 一元二次方程 返回目录 12 ②若该方程有一个根大于2,求 的取值范围. 解：设方程的两个根分别为, , 解方程,得 , , . 由题意,可知,即 , 的取值范围为 . 第2章 一元二次方程 返回目录 13 【点悟】 根的判别式主要有以下三个方面的应用: （1）不解方程,直接判断一元二次方程根的情况,如（1）题. （2）根据根的情况,确定某个未知系数的值（或取值范围）,如（2） 题.对于这类题,一定要注意隐含条件,比如二次项系数不为0的条件. （3）证明一元二次方程根的情况,如（3）题. 第2章 一元二次方程 返回目录 14 5.关于的一元二次方程 有两个不相等的实 数根，则 的取值范围是_____________. 且 第2章 一元二次方程 返回目录 15 6.若关于的一元二次方程 有两个不相 等的实数根. （1）求 的取值范围; 解：,, , , 即 , 解得 . （2）若是该方程的一个实数根,求实数 的值. 解： . 第2章 一元二次方程 返回目录 16 四 一元二次方程根与系数的关系 例4 [2024益阳模拟] 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根. （1）求 的取值范围； 解：由题意，得 , 解得 , 故的取值范围是 . 第2章 一元二次方程 返回目录 17 （2）设,是方程的两个根且,求 的值. 解：,是一元二次方程 的两个根， , , , 整理，得 , 解得, . , 的值为 . 第2章 一元二次方程 返回目录 18 【点悟】 在运用根与系数的关系解题时,常见的恒等变形有: , , 等.值得注意的是,利用根与系数的 关系解题时,同样要注意 的前提条件. 第2章 一元二次方程 返回目录 19 7.[2024宿迁模拟] 已知关于 的一元二次方程 有实数根,是否存在实数 ,使方程的 两个实数根的平方和等于44？若存在,求出 的值,若不存在,请说明 理由. 第2章 一元二次方程 返回目录 20 解：设方程的两个实数根为, , 则, , . 令,即 , 解得, . 方程 有实数根, , 解得 . 综上所述， 的值为1. 第2章 一元二次方程 返回目录 21 五 一元二次方程的应用 例5 为满足师生阅读需求,某校图书馆的藏书量不断增加,2022年年 底的藏书量为5万册,2024年年底的藏书量为7.2万册. （1）求该校这两年藏书的年平均增长率; 解：设该校这两年藏书的年平均增长率为 . 由题意,得 , 解得, （不合题意,舍去）. 答:这两年藏书的年平均增长率为 . 第2章 一元二次方程 返回目录 22 （2）假设2025年该校藏书的年平均增长率与前两年相同,请你预测 到2025年年底该校的藏书量是多少. 解： （万册）. 答:预测到2025年年底该校的藏书量是8.64万册. 第2章 一元二次方程 返回目录 23 【点悟】 对于平均增长（降低）率问题,应用公式 可 直接列方程,其中为增长（降低）前的数量, 为增长率（降低率）, 为增长（降低）后的数量.解这类问题,还要注意两点:一是设增长 率（降低率）为,而不设为 ,这样能简化计算;二是要注意根据具 体问题的实际意义检验结果的合理性. 第2章 一元二次方程 返回目录 24 8.如图,在中, ,, . 点从点开始沿边向点以的速度移动,点 从点开始沿边向点以 的速度移动.如果点 ,分别从点,同时出发,经过___后 的面积等 于面积的 . 3 第2章 一元二次方程 返回目录 25 9.某商场从厂家以每件40元的价格购进一批商品,当商场按单价50元 出售时,能卖500件.已知该产品的售价每涨价1元,其销售量就会减少 10件,为了使利润达到8 000元,售价应定为多少？这时应进货多少件？ 第2章 一元二次方程 返回目录 26 解：设每件商品涨价元,则商品的销售单价为 元,销售量为 件. 由题意,得 , 整理,得 , 解得, . 经检验，, 都符合题意. 当时,, ; 当时,, . 答:为了使利润达到8 000元,售价应定为60元或80元.若售价为60元, 则应进货400件;若售价为80元,则应进货200件. 第2章 一元二次方程 返回目录 27 02 过关训练 28 1.用求根公式解一元二次方程时，，， 的值分别是 ( ) C A.3，，4 B.3，，2 C.3，， D.3，4， 第2章 一元二次方程 返回目录 29 2.已知 , 是一元二次方程 的两个实数根,则 的值为( ) C A. B.0 C.1 D.2 第2章 一元二次方程 返回目录 30 3.用配方法解一元二次方程 ,下列配方正确的是 ( ) C A. B. C. D. 第2章 一元二次方程 返回目录 31 4.一元二次方程 的根的情况为( ) A A.无实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法确定 第2章 一元二次方程 返回目录 32 5.已知,是方程的两个实数根,则 的 值是 ( ) A A.2 029 B.2 028 C.2 027 D.2 025 第2章 一元二次方程 返回目录 33 6.为响应中央“房住不炒”的基本政策，某房企连续降价两次后的平 均价格比降价之前减少了 ，则平均每次降价的百分率为( ) B A. B. C. D. 第2章 一元二次方程 返回目录 34 7.已知关于的一元二次方程的一个根为 ,则它的 另一个根为____. 8.关于的方程有两个实数根,则 的取值范 围是__________________. 9.有一人患了流感,经过两轮传染后,共有121人患了流感,则每轮传染 中平均每人传染了____人. 10.[2024天津模拟] 已知方程的两根分别为, ,则 的值为__. 且 10 第2章 一元二次方程 返回目录 35 11.解方程: （1） （配方法）; 解：, . （2） ; 解：, . （3） （公式法）; 解：, . （4） . 解：, . 第2章 一元二次方程 返回目录 36 12.[2024怀化模拟] 一元二次方程的根, 分别满足以下条件,求出实数 的对应值或取值范围. （1）两个根的平方和为12; 解：由题意，得, , , , 整理，得 . 解得 或2. 第2章 一元二次方程 返回目录 37 （2）两个根均大于2; 解： , 方程总有两个不相等的实数根. 一元二次方程 两个根均大于2, ,且 , 即 , 而, , ,且 , 解得 , 综上所述， . 第2章 一元二次方程 返回目录 38 （3） . 解：由,则 . , 解得, . , , 整理，得 , 解得或 . 第2章 一元二次方程 返回目录 39 13.[2024沈阳模拟] 如图是某地下停车场的平面示意图,从“入口”至 “出口”均是车道,停车场的长为,宽为 ,停车场内车道的宽都 相等.若停车位的占地面积为 ,求车道的宽度. 第2章 一元二次方程 返回目录 40 解：设车道的宽度为 ,则停车位所占区域的面积等同于长为 、宽为 的矩形的面积, 由题意，得 , 整理，得 , 解得, （不符合题意,舍去）. 答：车道的宽度为 . 第2章 一元二次方程 返回目录 41 14.[2024济南模拟] 济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔,放 心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量,四月份售出375个,六 月份售出540个,且从四月份到六月份月增长率相同. （1）求该品牌头盔销售量的月增长率; 解：设该品牌头盔销售量的月增长率 . 由题意，得 , 解得, （不合题意,舍去）. 答：该品牌头盔销售量的月增长率为 . 第2章 一元二次方程 返回目录 42 （2）经市场调研发现,此种品牌头盔如果每个盈利10元,月销售量为 500个.若在此基础上每个涨价1元,则月销售量将减少20个.现在既要 使月销售利润达到6 000元,又要尽可能让顾客得到实惠,那么该品牌 头盔每个应涨价多少元？ 第2章 一元二次方程 返回目录 43 解：设该品牌头盔每个应涨价 元. 由题意，得 , 整理，得 , 解得, . 要尽可能让顾客得到实惠, . 答：该品牌的头盔每个应涨价5元. 第2章 一元二次方程 返回目录 44 15.已知是关于的方程 的一个根,并且这个 方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边的长,则 的周长 为( ) B A.10 B.14 C.10或14 D.8或10 第2章 一元二次方程 返回目录 45 16.某茶专卖店销售品牌玫瑰花茶，按每千克400元出售，平均每周 可售出 ，其进价为每千克240元，后来经过市场调查发现， 每千克的销售价每降低10元，则平均每周的销售量可增加 ． （1）若该专卖店销售这种花茶要想平均每周获利20 800元，请解 答下列问题： 第2章 一元二次方程 返回目录 46 ①每千克茶叶应降价多少元？ 解：设每千克茶叶应降价 元． 由题意，得 ， 解得， ． 答：每千克茶叶应降价80元或30元. 第2章 一元二次方程 返回目录 47 ②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场， 该店应按原售价的几折出售？ 解：由①可知每千克茶叶可降价30元或80元． 要尽可能让利于顾客， 每千克茶叶应降价80元， 此时，售价为 （元）， ． 答：该店应按原售价的八折出售. 第2章 一元二次方程 返回目录 48 （2）在降价情况下，该专卖店销售这种品牌花茶平均每周获利能 达到25 000元吗？请说明理由． 第2章 一元二次方程 返回目录 49 解：该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到25 000元. 理由如下： 设每千克茶叶降价 元. 由题意，得 ， 整理,得 ， ， 原方程没有实数根， 即该专卖店销售这种品牌花茶平均每周获利不能达到25 000元． 第2章 一元二次方程 返回目录 50 51 $