2026年中考数学一轮专项复习 选填题 题组训练（重庆适用）

2026年中考数学 选填题 题组训练 目 录 【题组一】 1 【题组二】 4 【题组三】 6 【题组四】 9 【题组五】 12 【题组六】 15 【题组七】 18 【题组八】 21 【题组九】 24 【题组十】 26 【题组十一】 29 【题组十二】 32 【题组一】 1．以下各数中最大的是（   ） A．1 B．3 C．0 D． 2．下列垃圾分类图标中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列问题中适合全面调查的是（   ） A．检测沙坪坝区的空气质量 B．检测神舟二十号载人飞船的零部件质量情况 C．调查华为三折叠屏手机的使用寿命 D．了解全国中学生的视力情况 4．已知反比例函数的图象经过点，则下列各点在该反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 5．下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 6．我国森林面积逐年地加，年森林覆盖面积为亿公顷，年森林覆盖面积达亿公顷，设森林覆盖面积年平均增长率为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，是的直径，是的弦．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．小南用大小相同的棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5颗棋子，第②个图案中有9颗棋子，第③个图案中有13颗棋子，第④个图案中有17颗棋子，…，按此规律，则第8个图案中，棋子的数量是（   ） A．33 B．34 C．35 D．36 9．如图，在正方形中，，为中点，连接为上一点，连接，把线段绕着点顺时针旋转后得到线段，连接和，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．已知整式，其中为正整数，为自然数，且整式从左到右的奇数项系数的和与偶数项系数的和的乘积为，下列说法： ①满足条件的所有整式中存在单项式； ②当时，满足条件的所有整式中，不存在其中的两个分解因式后含有相同的多项式因式； ③当时，满足条件的整式共有36个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．超市举办某饮料促销活动，在一箱该饮料（12瓶）中有3瓶的瓶盖内印有“奖”字，小明买了一箱这种饮料，他打开一瓶饮料中奖的概率为_____． 12．如图，边长相等的正五边形和正三角形的一边重合，则_____°． 13．已知：，且是整数，则______． 14．若实数同时满足，则的值为_____． 15．如图，以为直径的与相切于点，以为边作菱形，点均在上，与交于点，连接，与交于点，连接．若，则的长为_____，的长为_____． 16．对于一个四位自然数，如果满足百位与十位数字之和大于千位数字，同时百位与十位数字之和小于个位数字，就称这个数为“合理数”．对于合理数，将其百位与十位的差替换原来的百位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，将的百位与十位的差替换原来的十位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，记．例如：当时，．若为最大的合理数，则_____；一个合理数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若为偶数，为整数，且（为整数），则满足条件的合理数为_____． 【题组二】 17．下列四个数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 18．下面四个字中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 19．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．调查“神舟二十二号”飞船各零部件的质量情况 B．调查某批次灯泡的使用寿命情况 C．调查某市中学生视力情况 D．调查某水域的水质情况 20．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比是（   ） A．9∶1 B．25∶4 C．9∶4 D．25∶9 21．如图，是的直径，点，在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 22．已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 23．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有3个圆点，第②个图中有7个圆点，第③个图中有11个圆点，第④个图中有15个圆点……，按照这一规律，第⑩个图中圆点的个数是（   ） A．39 B．40 C．41 D．35 24．年重庆城市足球超级联赛（渝超）某赛区采用了单循环赛制（每两队之间只比赛场）、该赛区一共进行了45场比赛，若设该赛区共有支球队参赛，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 25．如图，在正方形中，点在线段上，，连接，将绕点逆时针旋转90°得，将沿直线翻折到正方形所在的平面内得，连接，连接交于点，则的值是（   ） A． B． C． D． 26．已知整式，其中n，为正整数，，，…，均为自然数，若，，下列说法中：①满足条件的所有整式M中有且只有4个单项式；②当时，满足条件的所有整式M的和为；③满足条件的整式M共有22个．正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 27．木星赤道的半径大约是71000千米，将数据71000用科学记数法表示为________． 28．一个不透明的袋子中装有三张卡片，上面分别写有，1，2（卡片除了上面的数字外，其他完全相同），从中随机抽取1张卡片，抽取的卡片上的数字为正数的概率为________． 29．若一个多边形的每一个外角都是和它相邻内角的，这个多边形的边数是___________． 30．已知，则的值是________． 31．如图，四边形为的内接四边形，为的直径，对角线、相交于点，交于点，、的延长线相交于点．已知，点为中点，，则的长为________． 32．对于一个五位自然数，如果它满足万位数字与个位数字之和等于百位数字，且千位数字与十位数字之和等于百位数字的2倍，则称这个五位数为“对称数”．例如：59631，∵，，∴59631是对称数．则最小的“对称数”是________．若是一个“对称数”，记，．若是一个完全平方数且与之差能够被7整除，则的最小值是________． 【题组三】 33．下列各数中，比小的是（   ） A． B． C． D． 34．下列四幅图片中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 35．下列与宜宾相关的事件中，属于随机事件的是（    ） A．宜宾境内的金沙江与岷江在三江口汇入长江 B．游览宜宾蜀南竹海时，遇到下雨天气 C．宜宾兴文石海景区的溶洞内会出现阳光直射现象 D．宜宾李庄古镇的“李庄白肉”在制作过程中会使用猪肉 36．如图，内接于，连接，若，则度数是（   ）． A． B． C． D． 37．估计的值在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 38．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的周长比为，则的值是（   ） A． B． C． D． 39．用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　） A．20 B．21 C．23 D．26 40．若点都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 41．如图，正方形的对角线上有一点E，满足，连接，过点B作于点G，点F为线段上一点，连接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 42．若，为任意正数，已知，，，，进行如下操作：在，，，中任选两个作差后并求其绝对值．例如：选，作差并求其绝对值，即．则下列说法中： 所有的操作结果中存在一个结果与另外一个结果的比值为常数； 若，存在两个整数，使得所有操作结果的和为； 若，，，均为整数，且满足，则的值为或或；正确的个数为（   ） A． B．1 C．2 D．3 43．不透明袋子中装有7个绿球和3个红球，这些球除颜色外其余均相同．从袋子中随机摸出1个球，则恰好摸出绿球的概率为_____ 44．代数式有意义时，应满足的条件为______． 45．如图，直角三角板的顶点在直尺的一条边上，若，则________． 46．若是关于x的方程的解，则的值为_____ 47．如图，四边形内接于圆，为圆直径，、交于点，点是的中点，切圆于，交延长线于．若，点到的距离为，则______，______． 48．若一个四位正整数，它的千位数字和百位数字之和为7的倍数，十位数字和个位数字之和为8的倍数，则称这个四位数为“七上八下数”．比如：数字1653，因为，，所以1653是“七上八下数”．若数字是“七上八下数”，其中，，，．记，，若为完全平方数，且是3的倍数，则________，满足条件的__________． 【题组四】 49．下列四个数中，最小的数是（   ） A． B． C．0 D．2 50．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，该几何体的左视图是（） A． B． C． D． 51．下列调查，样本具有代表性的是（　　） A．了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查 B．了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查 C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查 D．了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查 52．下表是反比例函数的y与x的几组对应值，其中a的值为（    ） x a 1 y 1 2 4 A． B． C． D． 53．下列式子从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 54．如图，点A，B，P在上，若，，则（   ） A． B． C． D． 55．已知，AD和分别是与的角平分线，，，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 56．如图，线段上的一点C把分割为两条线段，当满足时，则称点C是线段的黄金分割点．某校园有一条笔直的林荫道全长110米，园艺队计划在林荫道旁安装一款景观灯，景观灯的位置为线段上的点C，设米，且该景观灯恰好是林荫道的黄金分割点，则x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 57．如图，在正方形中，E、F分别是、上的点，其中，交于点M，交于点N，过E点作于点H，连接交于点G，则的值为（   ） A．4 B． C． D． 58．已知整式，其中n，为自然数，，，...，均为正整数，且．下列说法： ①若，则关于x的方程的解为； ②若，且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最大值为12； ③若A为整系数多项式，则所有符合条件的多项式共有19个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 59．不透明的袋子中装了2个红球，3个黑球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，刚好是红球的概率为______． 60．一个正多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则这个正多边形是正_____边形． 61．若n为正整数，且满足，则_________． 62．已知实数x，y满足，，则的值为_________． 63．如图，以为直径作，点C为上的点，连接，将沿射线方向平移至，连接交于点E，连接并延长交于点F，且．若，连接，则的周长为_________． 64．如果一个四位数满足各个数位数字均不为0且互不相等，当时，则称M为“启航数”，M的千位数字与百位数字组成的两位数为A，十位数字与个位数字组成的两位数为B，规定：，．若N为最小的“启航数”，则的值为_________；已知两个“启航数”，，其中为整数，且，则的值为_________． 【题组五】 65．-7的相反数是（  ） A．7 B．-7 C． D． 66．下列四幅图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 67．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 68．如图，与是以点为位似中心的位似图形，且，则与的周长比为（   ） A． B． C． D． 69．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（   ） A．对某批节能电灯的使用寿命的调查 B．对重庆市初三学生每天的体育锻炼时间的调查 C．对春节期间市场上某品牌汤圆在我市的销售情况的调查 D．对某校九年级3班学生一周使用手机时间的调查 70．估计的值应在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 71．如图，四边形内接于，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 72．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x、y的二元一次方程组中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 73．如图，正方形中，O为对角线的中点，F为正方形外一点，连接、、，将沿翻折，D点恰好落在上的E点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 74．已知整式，其中n、为正整数，、、为整数，且．下列说法： ①若n为偶数，，则； ②当，时，满足条件的所有M的值的最小值为； ③当，时，满足条件的整式M共有6个． 其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 75．故宫博物院北院区在建设时使用了混凝土仿生自修复技术，模仿生物组织损伤愈合的机能来提高建筑寿命，当出现不足米的裂缝时，这种混凝土可以“自愈”，将用科学记数法表示为__________． 76．学校开展“阳光体育打卡”活动，学生每天参加体育锻炼后可随机抽取一张积分卡，卡片正面完全一样，反面印有积分可能是：5分、10分、15分、20分（每种卡片数量相等，每次抽取后立即补齐）、小明连续打卡两天后都参与了抽奖，则他抽到的积分不低于25分的概率为________． 77．如图，将长方形纸条折叠，若，则的度数为______． 78．若实数x，y同时满足，，则的值为__________． 79．如图，在中，为的直径，弦于点E，连接．直线与相切于点D，于点H，交于点M，交于点N．若，，则________；________． 80．对于一个四位自然数，若它的千位数字是个位数字的2倍还多1，十位数字比百位数字多1，称为“腾跃数”．则最大的“腾跃数”为___________，若一个“腾跃数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，若与均为整数，则符合条件的的值为___________． 【题组六】 81．下列实数中最大的是（   ） A．0 B． C． D．1 82．下列图形是轴对称图形但不是中心对称图形的是（   ） A．平行四边形 B．等边三角形 C．矩形 D．圆 83．4月23日是世界读书日，某校为了了解初三1500名学生周末阅读时间，从中随机抽取了100名学生进行调查．下列说法正确的是（   ） A．学校采用的调查方式是全面调查 B．总体是1500名学生 C．样本是100名学生的周末阅读时间 D．样本容量是100名学生 84．如图，与是以O为位似中心的位似图形，，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 85．已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 86．如图，是的外接圆，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 87．小琪同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和黑色正方形按一定规律搭建图形，图①中有2个黑色正方形，图②中有4个黑色正方形，图③中有7个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形……按此规律，图⑩中的黑色正方形的个数为（   ） A．53 B．54 C．55 D．56 88．每年的4月24日是“中国航天日”，学校组织了一场“未来航天工程师”青创赛．本次青创赛共有x名学生参加，每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，已知本次青创赛一共进行了240次评审，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 89．如图，正方形中，绕点旋转至，旋转角为，连接，的角平分线与的延长线相交于点，连接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 90．已知整式，其中n为正整数，（，1，2…n，为整数），．若M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，满足．下列说法： ①符合条件的n的最大值为3； ②若时，在满足条件的所有整式M中，则M的最小值为； ③若时，则满足条件的整式M共有7个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 91．一个不透明口袋中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外都相同，若从中随机摸出一个球，则恰好摸到白球的概率为___． 92．若一个多边形的内角和与外角和之差为，那么此多边形的边数为_________． 93．若m为正整数，且满足，则______． 94．若实数a，b同时满足，，则______． 95．如图，是的直径，为上一动点，且在直径上方，连接，，点为的中点，连接与相交于点，作于点，，与交于点（点在下方）；与交于点，若，，则的直径为______；的长为______． 96．我们规定，一个四位正整数（各个数位上的数字互不相等），若满足，则称这个四位数为“倍半数”，例如：四位数，因为，所以是“倍半数”．按照这个规定，最大的“倍半数”是______．一个“倍半数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记，，若被除余，且能被整除，则满足条件的“倍半数”为______． 【题组七】 1．2的相反数是（　　） A． B．2 C． D．0 2．重庆非遗文化底蕴深厚，传统造物中既有“对称和谐”的古典美学，也有“旋转灵动”的匠心设计．下列古典图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列调查中，适合采用抽样调查的是（    ） A．旅客上飞机前的安检 B．对“长征五号”遥八运载火箭零部件的检查 C．调查我校初一某班的身高情况 D．日光灯管厂要检测一批护眼灯管的使用寿命 4．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，依次规律，第9个图形圆的个数为（ ） A．94 B．85 C．84 D．76 6．“一丝一粟，来处不易”是中国民间谚语，一粒粟的重量非常轻，大约为千克，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 7．已知反比例函数的图象经过点，那么下列各点在此函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 8．某新能源企业第一个月生产钠离子电池成本为605万元，因技术升级，生产成本逐月下降，第三个月生产钠离子电池成本为500万元.设该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．如图，正方形边长为4，点是对角线上一点，．过点作于点于点，连接．延长交于点，连接，则的长为（） A． B． C． D． 10．若整式，其中为正整数，n为自然数，均为整数，且满足：．若，则下列说法： ①存在满足条件的单项式M； ②若，满足条件的整式M恰有13个； ③若M为二次三项式，则满足条件的所有M的最小值都大于． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．重庆市广益中学校初2026届某班有50名同学，其中共有10名同学参与了文艺汇演节目．从该班随机抽取1名同学，抽到参与文艺汇演的同学的概率是________． 12．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 13．已知：，其中为正整数，则的值为_________． 14．若实数x，y同时满足，则的值为________ 15．如图，平行四边形的顶点A，B，C在上，点A为弧的中点，交于点E，连接并延长交的延长线于点F，连接，若的直径为10，，则______，______． 16．一个四位正整数，各个数位上的数字均不为0，当（为正整数）时，称这个四位数为“顺利数”．将的千位数字与十位数字调换，百位数字与个位数字调换后得到的新四位数记为，规定，当最大时，的值为___________；若为整数，且能被13整除，则满足条件的正整数的和为___________． 【题组八】 17．的绝对值是（   ） A．5 B． C． D． 18．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 19．下列问题中，适合抽样调查的是（    ） A．公司招聘员工，对应聘人员进行面试 B．进入高铁站对旅客携带的物品进行安检 C．了解一批笔芯的使用寿命 D．调查你们班同学的视力情况 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，以原点为位似中心，在第三象限内作的位似图形，位似比为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 21．如图，点为反比例函数的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为，．若四边形的面积为4，则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 22．如图，，等腰直角三角板的锐角顶点在直线上，，则为（    ） A． B． C． D． 23．如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第7个图形中黑色棋子的个数为（    ） A．9 B．22 C．25 D．19 24．如图所示的扇形中，为圆上一点，连接交于点，，若，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 25．如图，在正方形中，为边的中点，连接，将沿翻折到正方形所在平面内，得到，连接，，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 26．已知整式，其中，为正整数，，为整数，且，，下列说法： ①当时，满足条件的单项式有3个； ②当时，满足条件的整式有8个； ③满足条件的二次二项式有10个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 27．小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约毫米，用科学记数法表示为__________． 28．一只不透明的袋子中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．两次都摸到白球的概率是____． 29．若为正整数，且满足，则__________． 30．若，，则的值是______． 31．如图，矩形内接于，对角线的长为13，点是上一点，，延长、与所在直线交于点、，，则线段的长为______． 32．我们规定：一个四位自然数，各数位上的数字满足，若满足千位数字与百位数字之差等于十位数字与个位数字之差，则称该自然数为“等差数”．记．例如：自然数2356，因为，，且，所以2356是“等差数”，且；而1347，因为，，，所以1347不是“等差数”．若是“等差数”，且，则的最大值为____；一个“等差数”，将其千位和十位数字调换位置，百位和个位数字调换位置，得到一个新的四位自然数，记．若是一个完全平方数，且满足（，均为正整数），则的最小值为____． 【题组九】 33．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 34．“学习强国”平台上线的某天，全国大约有人在此平台上学习，用科学记数法表示的数的原数为（    ） A．126300000 B．12630000 C．1263000000 D．1263000 35．下列调查中，调查方式选择合理的是（    ） A．为了解某小区居民天然气安全情况，选择全面调查 B．为了解全国初中生每周做家务的时间，选择全面调查 C．为检验神舟十四号载人飞船各设备零件的质量，选择抽样调查 D．为了解一批节能灯的使用寿命，选择全面调查 36．估算的运算结果应在（    ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 37．如图，，是上直径两侧的两点，设，则（） A． B． C． D． 38．如图， 用相同的圆点按照一定的规律拼出图形． 第一幅图3个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图11个圆点，第四幅图15个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（      ）    A．399 B．420 C．450 D．499 39．某校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是36个，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 40．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A．4 B． C．2 D． 41．如图，在正方形中，对角线与相交于点，点为边的中点，于点，，交的延长线于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 42．已知整式，其中n，，，，…，均为自然数，且，下列说法： ①当，时，则； ②若，则存在一个n使得满足条件的整式有6个； ③若时，则满足条件的所有整式有且仅有85个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 43．________． 44．小明准备在暑假到重庆游玩，第一天他想在洪崖洞、解放碑、长江索道、山城步道这四个景点中随机选取两个去游玩，他选取背面完全相同的四张卡片，在正面分别写上景点名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中洪崖洞和长江索道的概率是________． 45．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是______． 46．一个多边形的内角和与外角和的度数总和为，多边形的边数是________． 47．如图，是的外接圆，是的直径，过点的切线交的延长线于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则________． 48．设M是各数位上的数字都不相同的四位数，若M的千位数字与十位数字之和、百位数字与个位数字之和都为8，则称这个四位数为“忠发数”．例如：四位数8602，因为，所以8602是“忠发数”．若将“忠发数”M的千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置，得到一个新数，记，则______；若“忠发数”M使分式的值为正数，且能被12整除，则M的最大值为______． 【题组十】 49．﹣6的相反数是（　　） A．﹣6 B．﹣ C．6 D． 50．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 51．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．调查全国年轻人喜欢的奶茶品牌 B．调查重庆市民对长寿湖元旦烟花的燃放效果是否满意 C．调查某市中学生课外阅读情况 D．调查“长征十二号”火箭各部分零件合格情况 52．如图，和是以点为位似中心的位似图形，，周长为4，则的周长为（   ） A．6 B．10 C．12 D．15 53．估算的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 54．如图，点A，B，C，D在上，弦，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 55．用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个五角星，第②个图案中有7个五角星，第③个图案中有12个五角星，第④个图案中有18个五角星，按此规律排列下去，则第⑧个图案中五角星的个数为（　　） A．42 B．52 C．56 D．63 56．有3人患了流感，经过两轮传染后共有432人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 57．如图，在正方形中，点是靠近点的四等分点，连接，的角平分线交于点，将沿着所在直线进行翻折，点的对称点记为，连接并延长交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 58．已知整式，其中，，均为绝对值不超过2的整数，为自然数，规定为中所有项的指数和．下列说法中： ①当时，满足条件的共有25个； ②当时，恒成立，满足条件的共有4个； ③当时，，则满足条件的共有14个． 其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 59．计算：________． 60．一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的3个红球和1个黄球，从中随机摸出两个球，恰好都是红球的概率是________． 61．从一个多边形的一个顶点出发能引5条对角线，则这个多边形的内角和为______°． 62．若实数，同时满足，，则的值为______． 63．如图，在菱形中，点、、均在圆上，为菱形对角线，与圆交于点，过作圆切线，交于点，交于点．若，，则长为______；长为______． 64．若一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等且不为零，其中满足，则称这个四位自然数为“差方数”．例如，故6743是“差方数”，则最大的“差方数”为______；对于“差方数”M，将其千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，所得新数记为N，记，，若为整数，且是一个完全平方数，则满足条件的所有M值的和为______． 【题组十一】 65．在有理数，，，中，最大的数是（   ） A． B． C． D． 66．当前，科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革，以下科技公司的图标中是轴对称图形的为（   ） A． B． C． D． 67．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（    ） A．调查全市居民的防诈意识 B．调查全市中学生的睡眠时间 C．调查某批节能灯管的使用寿命 D．调查某班学生周末电子产品的使用情况 68．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，位似比为，已知点，，则点在第一象限的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 69．将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形如此下去，则第10个图中共有正方形的个数为（   ） A．26 B．28 C．30 D．33 70．《九章算术》中“盈不足术”问题的原文为：“今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数，物价各几何？”译文为：“现有一些人共同购买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？”设共同购买该物品的有x人，该物品的价格是y元，则根据题意，列方程组为（    ） A． B． C． D． 71．已知点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 72．设实数的整数部分为，小数部分为．则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 73．如图所示，将正方形的边绕点顺时针旋转至，连接，的平分线交于点，连接，与边交于点，与对角线交于点．则的值为（   ）． A． B． C． D． 74．已知整式，其中n，是正整数，，……，，为非负整数，且满足，或3（，2，3，……，n）．下列说法正确的个数有（   ） ①在所有满足条件的整式M中，单项式共有2个． ②当且时，满足条件的整式M有7个． ③当时，若是5的整数倍，满足条件的所有整式M的和的最小值为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 75．某芯片制造工艺中，一个晶体管的核心尺寸约为0.000000003米．将0.000000003用科学记数法表示为______． 76．初三体育锻炼有跳绳、立定跳远、跑步、铅球4个项目需要继续强化练习．甲、乙两名同学分别从这4个项目中随机选择一个项目进行初测．甲、乙两人中有一个人选择铅球、一个人选择跳绳的概率为______． 77．等腰的一个外角的大小为，则这个三角形的底角的大小为________． 78．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 79．如图，为的直径，为的一条弦，连接，交于点E，，的延长线与交于点F，过点F作的切线分别交的延长线于点G和点H，已知，则的半径______，连接，则______． 80．一个四位正整数的各个数位上的数字均不为，且，，则称这个四位数为“两全其美数”．例如：四位数，因为，，且均不为，所以是“两全其美数”．则最小的“两全其美数”是______；若将的千位数字与百位数字互换，十位数字与个位数字互换，得到的新数记为，记，，若被除余，且，则所有满足条件的之和是______． 【题组十二】 81．以下各数是有理数的是（    ） A． B． C． D． 82．下列国产软件图标属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 83．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 84．如图，，直线与射线相交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 85．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 86．下列命题是假命题的是（   ） A．对角线相等的菱形是正方形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 87．下列图形都是由同样大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个，第②个图形中一共有12个，第③个图形中一共有21个，，按此规律排列，则第⑥个图形中的个数为（    ） A．60 B．45 C．77 D．50 88．如图，四边形内接于，它的一个外角，分别连接，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 89．如图，在矩形中，为对角线，平分交于点F，点E是上一点，连接、，若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 90．已知关于的整式，其中为正整数，为自然数，为正整数，且满足．下列说法：（   ） ①当时，所有满足条件的整式的值的总和为16； ②若规定均为正整数，则的可能取值有3种； ③若，则的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 91．马拉松(Marathon)国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离26英里385码，折合约为42000米，用科学记数法表示42000为 ______． 92．一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数是________． 93．2026年3月14日是全球的第七个“国际数学日”，其主题为“数学与希望”．为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校在活动日策划了“数阵寻宝”“方程追击”“连数成画”三个挑战游戏．每人随机选择参与其中一个游戏，则小陈和小赵选择的游戏相同的概率为___________． 94．已知是方程的一个根，则的值是_____． 95．如图，点A，B是上两点，连接，直径与垂直于点E，点F在上，连接，，过点A作的垂线交于点G，交于点H，若，，，则的长度为__________，的长度为__________． 96．一个四位数，各数位上的数字互不相等且均不为0，若将的千位数字和百位数字组成的两位数与的十位数字和个位数字组成的两位数相加，和为完全平方数，则称这个四位数为“方数”．例如：四位数4816，，是“方数”，则最大的“方数”是__________，若是一个“方数”，且是整数，则满足条件的的最大值与最小值的差是________． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学 选填题 题组训练（解析版） 目录 【题组一】 1 【题组二】 10 【题组三】 18 【题组四】 27 【题组五】 35 【题组六】 43 【题组七】 52 【题组八】 59 【题组九】 68 【题组十】 76 【题组十一】 85 【题组十二】 94 【题组一】 1．以下各数中最大的是（   ） A．1 B．3 C．0 D． 【答案】B 2．下列垃圾分类图标中，是中心对称图形的是（  ） A．B．C． D． 【答案】C 3．下列问题中适合全面调查的是（   ） A．检测沙坪坝区的空气质量 B．检测神舟二十号载人飞船的零部件质量情况 C．调查华为三折叠屏手机的使用寿命 D．了解全国中学生的视力情况 【答案】B 4．已知反比例函数的图象经过点，则下列各点在该反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 5．下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 选项A和C的指数为，选项B和D的指数为，且， ∴ 最大数在B和D中产生． 又∵ B和D指数相同，比较， ∴ ， 故选D． 6．我国森林面积逐年地加，年森林覆盖面积为亿公顷，年森林覆盖面积达亿公顷，设森林覆盖面积年平均增长率为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设森林覆盖面积年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】设森林覆盖面积年平均增长率为， 依题意得：， 故选：． 7．如图，是的直径，是的弦．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握以上性质是解题的关键．连接，由直径所对圆周角为，得到，根据，可得，再利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 8．小南用大小相同的棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5颗棋子，第②个图案中有9颗棋子，第③个图案中有13颗棋子，第④个图案中有17颗棋子，…，按此规律，则第8个图案中，棋子的数量是（   ） A．33 B．34 C．35 D．36 【答案】A 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图案中，棋子的数量为； 第2个图案中，棋子的数量为； 第3个图案中，棋子的数量为； 所以第个图案中，棋子的数量为个． 当时， （个， 即第8个图案中，棋子的数量为33个． 故选：A． 9．如图，在正方形中，，为中点，连接为上一点，连接，把线段绕着点顺时针旋转后得到线段，连接和，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，过点作于点，先证明求出，再证明，然后用勾股定理求解，即可求解，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵正方形中，，为中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．已知整式，其中为正整数，为自然数，且整式从左到右的奇数项系数的和与偶数项系数的和的乘积为，下列说法： ①满足条件的所有整式中存在单项式； ②当时，满足条件的所有整式中，不存在其中的两个分解因式后含有相同的多项式因式； ③当时，满足条件的整式共有36个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】设奇数项系数和为，偶数项系数和为，由题意得 ，均为正整数，依次判断三个说法的正误，统计正确结论的个数即可． 【详解】解：设从左到右奇数项系数和为，偶数项系数和为， ， ， ，，即均为正整数． 判断①： ，，说明奇数项至少有一个非零系数，偶数项也至少有一个非零系数，因此整式至少有两项，不存在单项式，故①错误． 判断②：当时， ，，其中，，存在两个整式：，，分解后都含有因式，故②错误． 判断③：当时， ，左到右依次为(奇项)， (偶项)，(奇项)，(偶项)，因此，，，为自然数．所有正整数对为，，，分别计算个数： ： ，自然数解共组； ，，解共 组，共个； ： ，解共组； ，，解共组，共个； ： ，解共组； ，，解共组，共个； ： ，解共组；，，解共组，共个； 总个数为 ，故③正确． 综上，只有个说法正确． 11．超市举办某饮料促销活动，在一箱该饮料（12瓶）中有3瓶的瓶盖内印有“奖”字，小明买了一箱这种饮料，他打开一瓶饮料中奖的概率为_____． 【答案】 【分析】本题考查概率的基本计算，解题的关键是掌握概率的定义，概率等于所求情况数与总情况数的比值，根据概率的定义，用中奖瓶数除以总瓶数即可得到中奖概率. 【详解】解：总瓶数为，中奖瓶数为，故打开一瓶饮料中奖的概率为. 12．如图，边长相等的正五边形和正三角形的一边重合，则_____°． 【答案】48 【分析】根据正五边形的性质，等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：边长相等的正五边形和正三角形的一边重合， 则， 故． 13．已知：，且是整数，则______． 【答案】4 【分析】估计的取值范围，进而确定m的值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴m=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查无理数的估算，了解介在哪两个整数之间是正确求解的关键． 14．若实数同时满足，则的值为_____． 【答案】1 【分析】根据已知等式推出 ，可得，由此化简第二个等式得到，代入第一个等式后分和讨论，求出与的值，再代入计算结果． 【详解】解： 实数，同时满足 ， ， ， ， 解得， ，，即，整理得， 将代入 ，得 ， 整理得 ， 当时， ，舍去该情况， 当时， ，解得， 将代入，得 ， ． 15．如图，以为直径的与相切于点，以为边作菱形，点均在上，与交于点，连接，与交于点，连接．若，则的长为_____，的长为_____． 【答案】 4 【分析】根据菱形的性质可得，结合垂径定理可得，再结合特殊角的余弦值即可求解的长；先利用相似三角形可求解，再结合勾股定理以及边长可求解，再结合的正弦值以及余弦值可求解与的值，再结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，记与的交点为点F，如图， ∵四边形为菱形， ∴且， ∵以为直径的与相切于点，即， 则，即， ∴， 在中，，， ∴ ∴，则， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴，即的半径为2， 则的长为4； 连接，记与的交点为点H， 过点G作的延长线于点K，如图， ∵， ∴由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即，可得， ∴， 在中，， ∵在中，， ∵为的直径， ∴， ∴，即， 则有， 在中，， ∴， 在中，，， ∵， ∴在中，，， 解得，， ∴， 在中，． 综上，的长为4，的长为． 16．对于一个四位自然数，如果满足百位与十位数字之和大于千位数字，同时百位与十位数字之和小于个位数字，就称这个数为“合理数”．对于合理数，将其百位与十位的差替换原来的百位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，将的百位与十位的差替换原来的十位数字，其余数位保持不变，所得结果记为，记．例如：当时，．若为最大的合理数，则_____；一个合理数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若为偶数，为整数，且（为整数），则满足条件的合理数为_____． 【答案】 【分析】空1：根据为最大合理数找出值，再根据新定义即可求解；空2：根据题设条件，结合偶数要求、整除条件和平方数条件，筛选得到符合要求的合理数． 【详解】解：空1：设一个合理数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， 要让四位数最大，优先让高位数字尽可能大； 千位最大取；此时要求，且，但个位最大为，矛盾，排除． ：要求且，，则且，无整数解，排除． ：要求且，，则且． 此时要让数最大，百位尽可能大：，，因此． ，，差为． ，． ． 空2：为偶数，则为偶数，条件：为整数， ，，， ，，， ， ， 为整数， 需是13倍数， ， 为整数， ，， 当时，， 由得， 当时，， 为偶数，， ，此时满足要求，符合题意， 尝试，得不符合题意， 时，不符合题意， 当时，，得， 为整数， 为整数， 不是整数，不符合题意， 当时，， ， 为偶数，， 没有符合条件的值，不符合题意， 当时，， ， 为偶数，， 没有符合条件的值，不符合题意， 当时，， ， 为偶数，， 没有符合条件的值，不符合题意， 综上所述，． 【点睛】四位“合理数”的关键是利用定义找出最大数，再结合整除、平方数条件，锁定数字组合求解． 【题组二】 17．下列四个数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 18．下面四个字中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 19．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．调查“神舟二十二号”飞船各零部件的质量情况 B．调查某批次灯泡的使用寿命情况 C．调查某市中学生视力情况 D．调查某水域的水质情况 【答案】A 20．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比是（   ） A．9∶1 B．25∶4 C．9∶4 D．25∶9 【答案】B 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ． ， 设，．若点在、之间，则，与矛盾， 点在、之间，即． 与的相似比为． 与的面积之比为． 21．如图，是的直径，点，在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】为直径， ， ， ． 22．已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估算无理数的大小，即可得到的取值范围． 【详解】解： ， ，，，， 即． 23．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有3个圆点，第②个图中有7个圆点，第③个图中有11个圆点，第④个图中有15个圆点……，按照这一规律，第⑩个图中圆点的个数是（   ） A．39 B．40 C．41 D．35 【答案】A 【详解】解：第①个图中有3个圆点，； 第②个图中有7个圆点，； 第③个图中有11个圆点，； 第④个图中有15个圆点，…… 第个图中有个圆点， ∴第10个图中圆点的个数是． 24．年重庆城市足球超级联赛（渝超）某赛区采用了单循环赛制（每两队之间只比赛场）、该赛区一共进行了45场比赛，若设该赛区共有支球队参赛，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设该赛区共有支球队参赛， ∵每支球队需要和除自身外的支球队各赛场，每场比赛由支球队共同参与，直接计算会对每场比赛重复计算次，∴实际总比赛场数为， ∵总比赛场数为，∴可列方程． 25．如图，在正方形中，点在线段上，，连接，将绕点逆时针旋转90°得，将沿直线翻折到正方形所在的平面内得，连接，连接交于点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形边长为3，利用旋转和翻折的性质确定点G和点F的位置．通过勾股定理建立方程组求出点F到正方形边的距离，进而利用相似三角形求出的长，利用勾股定理求出的长，最后计算比值． 【详解】解：设正方形的边长为3， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， 由旋转性质可知，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， 即G，D，C三点共线， ∴ ， 由翻折性质可知，， ∴ ，， 过点F作于M，作于N， 设F到的距离为x，到的距离为y， 则，， 在Rt中，，，， ∴ ①， 在Rt中，，，， ∴ ②， 由①得， ∴ ， 由②得， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 代入得， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， 即点F到的距离为0.6，到的距离为1.8， ∴ 点F到的距离为， 过点F作于Q， 则， ∵ 点F到距离为0.6，G到距离为4， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ， 即， ∴ ， 在Rt中，，， ∴ ， ∴ ． 26．已知整式，其中n，为正整数，，，…，均为自然数，若，，下列说法中：①满足条件的所有整式M中有且只有4个单项式；②当时，满足条件的所有整式M的和为；③满足条件的整式M共有22个．正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据题目条件确定n的可能取值，再按n枚举符合条件的整式，逐一验证三个说法正确与否即可． 【详解】解：验证①：当时，， ∵，为正整数，为自然数， ∴的解可以为， 其中单项式有：，共4个， 当时，整式M至少有两项，不可能是单项式，故①正确； 验证②：当时，， ∵，， ∴的解可以为， ∴满足条件的所有整式M有：， ∴所有整式M的和为：，故②正确； 验证③：当时，由说法①可知，满足条件的整式M有7个， 当时，由说法②可知，满足条件的整式M有9个， 当时，， ∵，， ∴的解可以为， ∴满足条件的所有整式M共有6个， 当时，， ∵，， ∴的解可以为， ∴满足条件的所有整式M共有1个， 当时，， ∵，， 此时系数之和的最小值为，大于， 此时没有对应的解满足条件，不存在满足条件的整式， ∴满足条件的所有整式M的个数为：（个），并非22个，故③错误， 综上所述，正确的结论为①②，共2个． 27．木星赤道的半径大约是71000千米，将数据71000用科学记数法表示为________． 【答案】 28．一个不透明的袋子中装有三张卡片，上面分别写有，1，2（卡片除了上面的数字外，其他完全相同），从中随机抽取1张卡片，抽取的卡片上的数字为正数的概率为________． 【答案】 【详解】解：由题意可知，所有可能的抽取结果共有种，它们出现的可能性相等， 其中抽取的卡片上数字为正数的结果有种，即数字和， 所以，抽取的卡片上的数字为正数的概率为． 29．若一个多边形的每一个外角都是和它相邻内角的，这个多边形的边数是___________． 【答案】8 【详解】解：设外角是x度，则相邻的内角是3x度． 根据题意得：， 解得：， 则多边形的边数是：． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用是解题关键． 30．已知，则的值是________． 【答案】 【分析】先由已知条件得到，再利用因式分解的方法逐步转化为含有已知条件的形式，利用整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 把代入得 ， 再次把代入得 ． 31．如图，四边形为的内接四边形，为的直径，对角线、相交于点，交于点，、的延长线相交于点．已知，点为中点，，则的长为________． 【答案】 【分析】过点作与点，根据圆周角定理得出和是等腰直角三角形，利用勾股定理，得出，，再证明，利用对应边成比例求解即可． 【详解】解：如图，过点作与点， 四边形为的内接四边形，为的直径， ， ， 和是等腰直角三角形， ，，， 点为中点， ，， 在中，， ， ， ， ，， ，， 在中，， ， ， ， ． 32．对于一个五位自然数，如果它满足万位数字与个位数字之和等于百位数字，且千位数字与十位数字之和等于百位数字的2倍，则称这个五位数为“对称数”．例如：59631，∵，，∴59631是对称数．则最小的“对称数”是________．若是一个“对称数”，记，．若是一个完全平方数且与之差能够被7整除，则的最小值是________． 【答案】 【分析】若“对称数”最小，则万位数取最小数1，千位数取最小数0，再根据“对称数”定义求解即可；根据“对称数”定义可得，，根据是一个完全平方数，推出的可能取值为，根据能够被7整除，得到或或或，再逐一求解比较即可． 【详解】解：若“对称数”最小，则万位数取最小数1，千位数取最小数0， 万位数字与个位数字之和等于百位数字， 要使百位数最小，则个位数最小取0，此时百位数为， 千位数字与十位数字之和等于百位数字的2倍， 十位数为， 最小的“对称数”是； 是一个“对称数”， ，， ， 是一个完全平方数， 是一个完全平方数， ，且为整数， 的可能取值为， 记，，则，， ， 与之差能够被7整除， 是7的倍数， 或或或， 或或或，或或或， ①当时，则， 若，则， 当时，此时，，不符合题意； 当时，此时，，不符合题意； 当时，此时，，不符合题意； 当时，此时，，不符合题意； 若，则， 当时，此时，， ； 当时，此时，，不符合题意； 当时，此时，，不符合题意； 当时，此时，，不符合题意； ②当时，则， 若，时，则， 当时，，； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 若，时，则， 当时，不符合题意； 当时，，； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 若，时，则， 当时，，不符合题意； 当时，，； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； ， 的最小值是． 【题组三】 33．下列各数中，比小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 34．下列四幅图片中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 35．下列与宜宾相关的事件中，属于随机事件的是（    ） A．宜宾境内的金沙江与岷江在三江口汇入长江 B．游览宜宾蜀南竹海时，遇到下雨天气 C．宜宾兴文石海景区的溶洞内会出现阳光直射现象 D．宜宾李庄古镇的“李庄白肉”在制作过程中会使用猪肉 【答案】B 36．如图，内接于，连接，若，则度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵内接于，，， ∴， ∴， ∴． 故选：． 37．估计的值在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】D 【详解】解：； ∵，∴，∴， ∴估计的值在3和4之间， 故选：D． 38．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的周长比为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形， ，． ． ． 与的周长比为， 与的相似比为，即． ∴． 故选：C． 39．用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（　　） A．20 B．21 C．23 D．26 【答案】C 【分析】本题考查了图形类的规律探索，解题的关键是找出规律．利用规律求解．通过观察图形找到相应的规律，进行求解即可． 【详解】解：第①个图案中有个菱形， 第②个图案中有个菱形， 第③个图案中有个菱形， 第④个图案中有个菱形， ∴第个图案中有个菱形， ∴第⑧个图案中菱形的个数为， 故选：C． 40．若点都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴此函数图像在二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴点在第四象限，在第二象限， ∴， ∴的大小关系为． 41．如图，正方形的对角线上有一点E，满足，连接，过点B作于点G，点F为线段上一点，连接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，作辅助线构造相似三角形是解题关键．延长交于点，设，根据正方形的性质和已知条件，求得，分别证明，，，用含的式子表示出和，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 设， 四边形为正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，, ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 由勾股定理：， ， 故选：A． 42．若，为任意正数，已知，，，，进行如下操作：在，，，中任选两个作差后并求其绝对值．例如：选，作差并求其绝对值，即．则下列说法中： 所有的操作结果中存在一个结果与另外一个结果的比值为常数； 若，存在两个整数，使得所有操作结果的和为； 若，，，均为整数，且满足，则的值为或或；正确的个数为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的应用，二元一次方程的正整数解，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据绝对值的应用及二元一次方程的正整数解逐一排除即可． 【详解】解：，， ∴，故正确； 若，为正整数， 则，，，， ， ， ∴所有操作结果的和为， ∵为正整数， ∴， 解得，不符合题意，故错误； 由，， ∵， ∴， ∵为正整数， ∴，整理得：， ∴或或， ∴或或， ∴或或，故正确， 综上可知：正确，共个， 故选：． 43．不透明袋子中装有7个绿球和3个红球，这些球除颜色外其余均相同．从袋子中随机摸出1个球，则恰好摸出绿球的概率为_____ 【答案】 【详解】解：所有可能的结果数为，取到绿球的可能结果数为7， 则取到红球的概率为：； 故答案为：． 44．代数式有意义时，应满足的条件为______． 【答案】且 45．如图，直角三角板的顶点在直尺的一条边上，若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，余角的计算． 根据直角三角形的性质及直尺的两边相互平行解答即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 46．若是关于x的方程的解，则的值为_____ 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的定义及求代数式的值．一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．把代入方程得出，然后将原式化简，整体代入求解即可． 【详解】解：把代入方程得，， ∴， ∴ 故答案为：． 47．如图，四边形内接于圆，为圆直径，、交于点，点是的中点，切圆于，交延长线于．若，点到的距离为，则______，______． 【答案】 【分析】，过点O作于H，连接，证明，求出，则，求出，求出，证明，得到，设则，在中，由勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，过点O作于H，连接， 则，， ∵点是的中点， ∴ ，， ∵为圆直径， ∴ ∴， ∴， ， ， 是的直径， ， 切于D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设则， 在中，由勾股定理得， 解得（含） ， 故答案为：； 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是作出适当的辅助线解决问题． 48．若一个四位正整数，它的千位数字和百位数字之和为7的倍数，十位数字和个位数字之和为8的倍数，则称这个四位数为“七上八下数”．比如：数字1653，因为，，所以1653是“七上八下数”．若数字是“七上八下数”，其中，，，．记，，若为完全平方数，且是3的倍数，则________，满足条件的__________． 【答案】 9 4317 【分析】本题考查了整式加减的应用、因式分解、解二元一次方程组、不等式的性质，理解“七上八下数”的定义是解题的关键．根据“七上八下数”的定义以及为完全平方数，分析得出数字的四位数形式为，则有是8的倍数，结合为完全平方数得出，此时，；根据题意可得是7的倍数，得出或，由是3的倍数，得到或，再利用平方差公式和二元一次方程组的知识，分类讨论求出的值，即可得出数字的值． 【详解】解： ， ①若，即， 则， 由题意得，此时是8的倍数， 又， ， 或， 或， 当，，不是平方数，舍去； 当，，不是平方数，舍去； ②若，即， 则， 由题意得，此时是8的倍数， 又， ， 或， 或， 当，，不是平方数，舍去； 当，，是平方数，此时，； 由题意得，是7的倍数， ，， ， 或， 或， 是3的倍数，即是3的倍数， 或， 或或或， 当，则， 解得，此时，不符合题意，舍去； 当，则， 解得，此时，符合题意，此时； 当，则， 解得，此时，不符合题意，舍去； 当，则， 解得，此时，不符合题意，舍去； 综上所述，，． 故答案为：9；4317． 【题组四】 49．下列四个数中，最小的数是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 50．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，该几何体的左视图是（） A． B． C． D． 【答案】B 51．下列调查，样本具有代表性的是（　　） A．了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查 B．了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查 C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查 D．了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查 【答案】D 52．下表是反比例函数的y与x的几组对应值，其中a的值为（    ） x a 1 y 1 2 4 A． B． C． D． 【答案】A 53．下列式子从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 54．如图，点A，B，P在上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 55．已知，AD和分别是与的角平分线，，，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，和分别是与的角平分线， ∴相似比 ， ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方 ∴ 与的面积比为 ． 56．如图，线段上的一点C把分割为两条线段，当满足时，则称点C是线段的黄金分割点．某校园有一条笔直的林荫道全长110米，园艺队计划在林荫道旁安装一款景观灯，景观灯的位置为线段上的点C，设米，且该景观灯恰好是林荫道的黄金分割点，则x满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设米，则米， 又， ， 整理得：． 57．如图，在正方形中，E、F分别是、上的点，其中，交于点M，交于点N，过E点作于点H，连接交于点G，则的值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】过作,延长交的延长线于，证明即可得，然后根据同角得余弦值以及正切值，即可求得，的长度，证明，可得的长度，证明，根据相似三角形的性质可求得的长度即可． 【详解】解：在正方形中， ∴, 在和中，, ∴, ∵, ∴, ∴, 过作,延长交的延长线于, 设， 则，,, ∵,, ∴, ∴， ∴, 在和中， ∴ ∴,, ∴ ∴， ∵, ∴, ∴, ∴， , ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴． 58．已知整式，其中n，为自然数，，，...，均为正整数，且．下列说法： ①若，则关于x的方程的解为； ②若，且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最大值为12； ③若A为整系数多项式，则所有符合条件的多项式共有19个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】解：① 当时，， ，是自然数，是正整数， ，，， 方程整理得：， 解得：或，命题说解仅为，故①错误； ②若，则， ∵， ∴， 整理得：， ∵方程有两个不等实根， ∴，， ∴，， ∵，为自然数，，，...，均为正整数， ∴， 若，则，不符合题意，舍去； 若，则，不符合题意，舍去； 若，则，符合题意； 若，则，符合题意； 若，则，符合题意； 又， ∴的最大值为6， ∵此时， ∴的最大值为4， ∴的最大值应为，而题干中的结论为的最大值为12，故②错误； ③∵为自然数，，，...，均为正整数，， ∴均从最小的数取起，则，，，，，，，（舍去）， ∴， 当时，，是单项式，不符合题意； 当时，， ∵是多项式， ∴， ∴时，可取2、3、4、5、6，有5个； 时，可取3、4、5、6，有4个； 时，可取4、5、6，有3个； 时，可取5、6，有2个； 时，可取6，有1个； 故：当时，共个； 当时，， ∴时，取1，可取2、4，6有3个；取2，可取4，6有2个；取3，可取4，6有2个；取4，可取6有1个；取5，可取6，有1个；此时共9个； 时，取2，可取4，6有2个；取3，可取4，6有2个；取4，可取6有1个；取5，可取6，有1个；此时共6个； 时，可取3，可取4，6有2个；取4，可取6有1个；取5，可取6，有1个；此时共4个； 时，取4，可取6有1个；取5，可取6，有1个；此时共2个； 时，取5，可取6有1个；此时共1个； 故：当时，共个； 此时已经大于19个，故③错误； 综上，正确的个数为0个． 59．不透明的袋子中装了2个红球，3个黑球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，刚好是红球的概率为______． 【答案】 60．一个正多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则这个正多边形是正_____边形． 【答案】八 【详解】解：设正多边形的边数是， 根据题意得，， 解得， 这个多边形为八边形． 故答案为：八． 61．若n为正整数，且满足，则_________． 【答案】4 【分析】先利用二次根式混合运算法则化简式子，再估算化简后式子的取值范围，进而确定的值． 【详解】解：， 因为，所以，即， ，即， 所以． 62．已知实数x，y满足，，则的值为_________． 【答案】8 【详解】解：∵，， ∴，， 解得， ∴由得， 解得，符合， ∴． 63．如图，以为直径作，点C为上的点，连接，将沿射线方向平移至，连接交于点E，连接并延长交于点F，且．若，连接，则的周长为_________． 【答案】 【分析】连接，由圆周角定理可得，由等边对等角得出，设，则，由平移的性质可得，，则，，证明出，，设，则，求出，，由勾股定理可得，，则的周长，再证明，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵将沿射线方向平移至， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的周长， 由圆周角定理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为． 64．如果一个四位数满足各个数位数字均不为0且互不相等，当时，则称M为“启航数”，M的千位数字与百位数字组成的两位数为A，十位数字与个位数字组成的两位数为B，规定：，．若N为最小的“启航数”，则的值为_________；已知两个“启航数”，，其中为整数，且，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，整式和分式的应用．根据“启航数”定义推出M，得到A和B，代入即可得的值．再根据“启航数”定义推出和的关系，结合，推出和的值，代入中求出，得到和，最后利用求出和求和即可． 【详解】解：要得到最小的四位启航数，需让高位数字尽可能小： 千位最小取 1（不为 0），由得， 剩余十位、个位需满足：不为 0、不与 1和8 重复，且尽可能小， ∴最小取 2，最小取 3； 最小启航数， ，， 代入公式：． ​、​均为启航数，因此千位百位 ， ∴，， 因此． 由平方差公式，， ∴， ， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，∴，∴． 已知​为整数，代入,， ， 要使结果为整数，或或或， ∴（舍去）或（舍去）或或（舍去，此时，数字重复，不符合定义） ∴， ，，，， ∴，，，， ． 故填；． 【题组五】 65．-7的相反数是（  ） A．7 B．-7 C． D． 【答案】A 66．下列四幅图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 67．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 68．如图，与是以点为位似中心的位似图形，且，则与的周长比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵与是以点为位似中心的位似图形，且， ∴，且相似比为， ∴与的周长比为， 故选：A． 69．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（   ） A．对某批节能电灯的使用寿命的调查 B．对重庆市初三学生每天的体育锻炼时间的调查 C．对春节期间市场上某品牌汤圆在我市的销售情况的调查 D．对某校九年级3班学生一周使用手机时间的调查 【答案】D 70．估计的值应在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】C 【分析】先利用二次根式的乘法运算法则化简原式，再通过估算无理数的大小得到原式的范围． 【详解】解：， ∵ ， ∴ ， ， ． 71．如图，四边形内接于，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴． 72．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x、y的二元一次方程组中符合题意的是（　　） A．B．C．D． 【答案】B 73．如图，正方形中，O为对角线的中点，F为正方形外一点，连接、、，将沿翻折，D点恰好落在上的E点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由正方形的性质可得，，由折叠的性质可得，，则，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，证明，得出，求出，再由直角三角形的性质可得，最后结合三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是对角线的中点， ∴， ∴． 74．已知整式，其中n、为正整数，、、为整数，且．下列说法： ①若n为偶数，，则； ②当，时，满足条件的所有M的值的最小值为； ③当，时，满足条件的整式M共有6个． 其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先写出多项式，再归纳系数规律，即可判断①；先确定多项式，然后分三种情况，分别利用二次函数求最值即可判断②；列举出满足条件的所有多项式即可判断③． 【详解】解：①：∵，为偶数 ∴ 令，得 令，得 ∴，故①正确； ②当，时，由得，即， 又∵，为正整数，为整数，可得所有满足条件的组合： ①，此时，最小值为； ②，此时，最小值为； ③，此时，最小值为； ∵ ， ∴满足条件的的最小值为，故②正确； ③当时，由得，即， 又，为正整数，按分类枚举： ①：此时，满足条件的组合为，共2种； ② ：此时，满足条件的组合为，共3种； ③：此时，满足条件的组合为，共2种； ∴总共有种，故③错误． 综上，正确的说法有2个． 75．故宫博物院北院区在建设时使用了混凝土仿生自修复技术，模仿生物组织损伤愈合的机能来提高建筑寿命，当出现不足米的裂缝时，这种混凝土可以“自愈”，将用科学记数法表示为__________． 【答案】 76．学校开展“阳光体育打卡”活动，学生每天参加体育锻炼后可随机抽取一张积分卡，卡片正面完全一样，反面印有积分可能是：5分、10分、15分、20分（每种卡片数量相等，每次抽取后立即补齐）、小明连续打卡两天后都参与了抽奖，则他抽到的积分不低于25分的概率为________． 【答案】 【详解】解：画树状图为： 根据树状图可得，共有16种等可能的结果数， 其中抽到的积分不低于25分的结果数为10， 故小明抽到的积分卡积分不低于25分的概率为． 77．如图，将长方形纸条折叠，若，则的度数为______． 【答案】 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为． 78．若实数x，y同时满足，，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：由可得， ，，， 则第二个等式化为 当时，，原第一个等式化为 联立方程组，解得，与矛盾，舍去； 当时，，原第一个等式化为 联立方程组，解得，符合条件． ． 79．如图，在中，为的直径，弦于点E，连接．直线与相切于点D，于点H，交于点M，交于点N．若，，则________；________． 【答案】 【详解】解：设的半径为r，则，， ∵为的直径，弦，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ∴， 如图，连接，过点D作于点K，设交于点L， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 80．对于一个四位自然数，若它的千位数字是个位数字的2倍还多1，十位数字比百位数字多1，称为“腾跃数”．则最大的“腾跃数”为___________，若一个“腾跃数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，若与均为整数，则符合条件的的值为___________． 【答案】 9894 7893 【详解】解：根据题意，得，，其中，，，所有数位均为整数， ∴，， ∴，，即最大为，最大为， 此时，， ∴最大的“腾跃数”为：； 根据题意得：与均为整数， ∵，，， ∴ ， ∵为整数， ∴为整数，即为5的整数倍， 为整数，即为19的整数倍， ∴当，时，满足条件，此时，， ∴符合条件的为． 【题组六】 81．下列实数中最大的是（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 82．下列图形是轴对称图形但不是中心对称图形的是（   ） A．平行四边形 B．等边三角形 C．矩形 D．圆 【答案】B 83．4月23日是世界读书日，某校为了了解初三1500名学生周末阅读时间，从中随机抽取了100名学生进行调查．下列说法正确的是（   ） A．学校采用的调查方式是全面调查 B．总体是1500名学生 C．样本是100名学生的周末阅读时间 D．样本容量是100名学生 【答案】C 84．如图，与是以O为位似中心的位似图形，，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 85．已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 86．如图，是的外接圆，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据圆周角定理可得，结合，可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 87．小琪同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和黑色正方形按一定规律搭建图形，图①中有2个黑色正方形，图②中有4个黑色正方形，图③中有7个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形……按此规律，图⑩中的黑色正方形的个数为（   ） A．53 B．54 C．55 D．56 【答案】D 【详解】解：当时，黑色正方形的个数为（个）， 当时，黑色正方形的个数为（个）， 当时，黑色正方形的个数为（个）， 当时，黑色正方形的个数为（个）， ∴第个图形，黑色正方形的个数为（个）， ∴当时，黑色正方形的个数为（个）． 88．每年的4月24日是“中国航天日”，学校组织了一场“未来航天工程师”青创赛．本次青创赛共有x名学生参加，每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，已知本次青创赛一共进行了240次评审，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵共有名学生参加，每名学生不需要评审自己的方案，只需要给其他每一位同学评审 ∴每名学生对应产生次评审 ∵已知总评审次数为 ∴可列方程为 89．如图，正方形中，绕点旋转至，旋转角为，连接，的角平分线与的延长线相交于点，连接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，设，则，根据已知得出，，勾股定理求得，证明点在四边形的外接圆上，，进而证明，求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 设，则， ∵， 设则 ∴ ∴ ∴ ∴， 在中， ∵正方形 ∴ ∵是的角平分线 ∴ ∵，， ∴ ∴ 连接交于点， ∴， ∴， ∴点在四边形的外接圆上， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 90．已知整式，其中n为正整数，（，1，2…n，为整数），．若M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，满足．下列说法： ①符合条件的n的最大值为3； ②若时，在满足条件的所有整式M中，则M的最小值为； ③若时，则满足条件的整式M共有7个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据多项式的系数和、次数和的概念，以及根据条件进行分类讨论求解即可． 【详解】解：已知整式各项系数之和， 各项次数之和， 对于①：∵，即， ∴， 其中A是整数，n为正整数，是12的正因数， ∴的可能取值为，对应n为， ∴符合条件的n的最大值为11，故①错误； 对于②：当时，则，系数和， 且，， 整式的最小值为， 枚举所有组合：；；， 当组合为时，最小值为， 当组合为时，最小值为， 当组合为时，最小值为， 最小值为，是所有组合中的最小值，故②正确； 对于③：当时，则，系数和， 且，， 枚举所有有效组合：，，， ，，，，共7个，故③正确 综上，②③正确，正确的个数是2个． 91．一个不透明口袋中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外都相同，若从中随机摸出一个球，则恰好摸到白球的概率为___． 【答案】 92．若一个多边形的内角和与外角和之差为，那么此多边形的边数为_________． 【答案】或六 93．若m为正整数，且满足，则______． 【答案】4 【详解】解：， ， ， ，m为正整数， ． 94．若实数a，b同时满足，，则______． 【答案】 【详解】解：当，时，，， 原方程变为，方程相矛盾，这种情况无解； 当，，，原方程变为，解得， 当，，， 原方程变为，解得， 与矛盾，这种情况无解； 当，，， 原方程变为，得，方程相矛盾，这种情况无解． 95．如图，是的直径，为上一动点，且在直径上方，连接，，点为的中点，连接与相交于点，作于点，，与交于点（点在下方）；与交于点，若，，则的直径为______；的长为______． 【答案】 2 【分析】延长交于点，则 ，由垂径定理得，由圆周角定理得，再证明，得出，最后再由勾股定理计算即可得出的直径；设，则，证明，求出，，过点作于点，设，则，，连接，则，证明，即可得出的长． 【详解】解：如图，延长交于点， 点为的中点， ∴． ，且为直径， ∴，． ∴． ∴． ． 设，则， 为直径，， ， ， ， ． ， ，解得（不符合题意，舍去），， ，． ，， ，． ， ． 过点作于点， 设， , ，， ． ， ． ，，， ，， ． 连接，则， ， ， ， ， ． 96．我们规定，一个四位正整数（各个数位上的数字互不相等），若满足，则称这个四位数为“倍半数”，例如：四位数，因为，所以是“倍半数”．按照这个规定，最大的“倍半数”是______．一个“倍半数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记，，若被除余，且能被整除，则满足条件的“倍半数”为______． 【答案】 【分析】当数为最大的“倍半数”时，千位取最大的，十位取最大的，则，即，然后分别代入即可求解；对于满足条件的，有，，则，， 所以，可得能被整除，又能被整除，可得被整除，由得代入，则能被整除，然后讨论即可求解． 【详解】解：当数为最大的“倍半数”时，千位取最大的，十位取最大的， ∴，即， ∵，，各个数位上的数字互不相等， ∴当时，，此时“倍半数”为； 当时，，此时不存在“倍半数”； 当时，，此时“倍半数”为； 当时，不符合题意； 当时，不符合题意； ∵， ∴按照这个规定，最大的“倍半数”是； 对于满足条件的，有，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵被除余， ∴能被整除， ∵ ， ∴能被整除， ∴或， ∵，各个数位上的数字互不相等， ∴为偶数，即或或或或， ∵能被整除， ∴，即被整除， 由得代入代入，：得， ∴能被整除， （）当时， 当，则， ∴，此时无整数值，使得被整除； 当，则， ∴，此时无整数值，使得被整除； 当，则， ∴，此时无整数值，使得被整除； （）当时， 当，则，不符合题意； 当，则，不符合题意； 当，则， ∴， 当时，使得被整除， ∴，四个数字互不重复，符合所有条件， ∴； 当时，使得被整除， ∴，不符合题意； 当，则，不符合题意； 当，则， ∴， 当时，使得被整除， ∴，不符合题意； 当时，使得被整除， ∴，不符合题意； 当时，使得被整除， ∴，不符合题意； 故满足条件的“倍半数”是． 【题组七】 1．2的相反数是（　　） A． B．2 C． D．0 【答案】C 2．重庆非遗文化底蕴深厚，传统造物中既有“对称和谐”的古典美学，也有“旋转灵动”的匠心设计．下列古典图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 3．下列调查中，适合采用抽样调查的是（    ） A．旅客上飞机前的安检 B．对“长征五号”遥八运载火箭零部件的检查 C．调查我校初一某班的身高情况 D．日光灯管厂要检测一批护眼灯管的使用寿命 【答案】D 4．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得，四边形是的内接四边形，， 则 由于 则 故选：D． 5．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，依次规律，第9个图形圆的个数为（ ） A．94 B．85 C．84 D．76 【答案】A 【详解】第1个图形有6个小圆， 第2个图形有10个小圆， 第3个图形有16个小圆， 第4个图形有24个小圆， 因为6= 4+1×2，10=4+2×3,16=4+3×4，24=4+4×5..., 所以第n 个图形中小圆的个数为4+n (n+1) 所以第9个图形有: 4 +9×10=94个小圆, 故选: A 【点睛】本题是一道找规律题，利用题目中给出的条件观察计算的出关于第n个图形的代数表达式将所求的代入. 6．“一丝一粟，来处不易”是中国民间谚语，一粒粟的重量非常轻，大约为千克，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：科学记数法表示绝对值小于的数的形式为，要求 ，为原数左起第一个非零数字前所有零的个数（包含小数点前的零）， ∵左起第一个非零数字为，其前面共有个零，且满足， ∴． 7．已知反比例函数的图象经过点，那么下列各点在此函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数图象上的点满足， 选项：，不在函数图象上，不符合题意； 选项：，在函数图象上，符合题意； 选项：，不在函数图象上，不符合题意； 选项：，不在函数图象上，不符合题意． 8．某新能源企业第一个月生产钠离子电池成本为605万元，因技术升级，生产成本逐月下降，第三个月生产钠离子电池成本为500万元.设该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵第一个月生产钠离子电池成本为605万元，平均月下降率为x， ∴第二个月成本为万元， 第三个月成本为第二个月成本再下降x，即万元， 又∵题目给出第三个月成本为500万元， ∴可列方程为． 9．如图，正方形边长为4，点是对角线上一点，．过点作于点于点，连接．延长交于点，连接，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接． ∵四边形是正方形，在对角线上， ∴点与点关于对称， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 设，则． 在中，，即． ∵四边形是正方形， ∴, ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴, ∵， ∴;; 联立，解得或． ∵，且，， ∴， ∴，，即，． 以为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 则． 设直线的解析式为，则，解得 ∴直线的解析式为， 同理可求直线的解析式为． 联立，解得，∴． ∴． 10．若整式，其中为正整数，n为自然数，均为整数，且满足：．若，则下列说法： ①存在满足条件的单项式M； ②若，满足条件的整式M恰有13个； ③若M为二次三项式，则满足条件的所有M的最小值都大于． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据题目条件，对24进行分解因数，逐个分析判断三个说法的正误即可． 【详解】∵，为正整数，其余为整数，满足，逐个判断： ①若M为单项式，取，得，，满足所有条件，是单项式，故①正确； ②时，所有都是正整数，是24的正因数，按分类计数： ：共1个；：共3个；：共3个；：共2个；：共2个；：共1个；：共1个；：共1个； 总和为个，故②错误； ③ 若M为二次三项式，则，都不为0，得，即，取，满足，符合所有条件，此时，最小值为，故③错误， 综上，只有1个说法正确． 11．重庆市广益中学校初2026届某班有50名同学，其中共有10名同学参与了文艺汇演节目．从该班随机抽取1名同学，抽到参与文艺汇演的同学的概率是________． 【答案】 12．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 13．已知：，其中为正整数，则的值为_________． 【答案】 【详解】解：， ， ，为正整数， ， 故答案为：． 14．若实数x，y同时满足，则的值为________ 【答案】 【详解】解：∵， ∴，∴，即， 当时，∵， ∴，解得，此时； 当时， ∵， ∴，此时方程组无解，不符合题意； 综上所述，； 故答案为：． 15．如图，平行四边形的顶点A，B，C在上，点A为弧的中点，交于点E，连接并延长交的延长线于点F，连接，若的直径为10，，则______，______． 【答案】 【分析】连接，连接并延长，交于点H，作，垂足为M．证明是垂直平分线，得到，根据勾股定理求出，，再根据勾股定理即可求出．根据圆内接四边形和平行四边形证明，，得到，．设，根据勾股定理得，求出．证明四边形为矩形，得到，．．即可求出． 【详解】解：如图，连接，连接并延长，交于点H，作，垂足为M． ∵点A为弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴点都在垂直平分线上， ∴是垂直平分线， ∴． ∵的直径为10， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，． ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， 设， 在中，根据勾股定理得， 即， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴． ∴在中，． 【点睛】本题为与圆有关综合题，考查了垂径定理，圆内接四边形性质，勾股定理，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，等腰三角形的判定等知识，综合性强，难度较大，根据题意正确添加辅助线是解题关键． 16．一个四位正整数，各个数位上的数字均不为0，当（为正整数）时，称这个四位数为“顺利数”．将的千位数字与十位数字调换，百位数字与个位数字调换后得到的新四位数记为，规定，当最大时，的值为___________；若为整数，且能被13整除，则满足条件的正整数的和为___________． 【答案】 150 8463 【分析】四位正整数，各个数位上的数字均不为0，当（为正整数），要让最大，则千位上的数字要尽可能大，可得最大可取5，此时，最大可取9，最大可取9，得最大的，，可求出；求出，由为整数得为整数，即必为整数，且取1，2，3，4，5，为1，2，⋯，9，为1，2，3，最后根据为1，2，3时分类讨论，得出能被13整除的，再求和即可． 【详解】解：四位正整数，各个数位上的数字均不为0，当（为正整数）， 要让最大，则千位上的数字要尽可能大， 又且， 所以，最大可取5，此时， 又且，，最大可取3， 所以，最大可取9，最大可取9， 所以，最大的， ∴， ∴； ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又为整数， ∴， ∵，即， ∴， ∴必为整数，且取1，2，3，4，5，为1，2，⋯，9，为1，2，3， 又 代入得：， 当时，，为整数，是12的因数，， 当时，即，时，， ，符合条件，的其他值均不满足能被13整除； 当时，，为整数，是18的因数，， 当时，即，时，， ，符合条件，的其他值均不满足能被13整除； 当时，，为整数，无符合条件的, ∴满足条件的为3315和5148，其和为． 【题组八】 17．的绝对值是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 18．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 19．下列问题中，适合抽样调查的是（    ） A．公司招聘员工，对应聘人员进行面试 B．进入高铁站对旅客携带的物品进行安检 C．了解一批笔芯的使用寿命 D．调查你们班同学的视力情况 【答案】C 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，以原点为位似中心，在第三象限内作的位似图形，位似比为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵的顶点，以原点为位似中心，在第三象限内作的位似图形，位似比为， ∴点的坐标为，即． 21．如图，点为反比例函数的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为，．若四边形的面积为4，则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】解：设A点坐标为， ∵轴， ∴ ∴ ， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴． 22．如图，，等腰直角三角板的锐角顶点在直线上，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 23．如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第7个图形中黑色棋子的个数为（    ） A．9 B．22 C．25 D．19 【答案】B 24．如图所示的扇形中，为圆上一点，连接交于点，，若，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 25．如图，在正方形中，为边的中点，连接，将沿翻折到正方形所在平面内，得到，连接，，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由正方形的性质可得，，设，则，由折叠的性质可得，，，，证明点、、、四点共圆，得出，证明，得出，求出，由勾股定理可得，，作于点，由等面积法得出，由勾股定理可得，作于，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，再根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形为正方形， ∴，， 设， ∵为边的中点， ∴， 由折叠的性质可得：，，，， ∵， ∴点、、、四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 由勾股定理可得， ∴， ∴，， 作于点， ∵， ∴， ∴， 作于，则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴与的面积之比是． 26．已知整式，其中，为正整数，，为整数，且，，下列说法： ①当时，满足条件的单项式有3个； ②当时，满足条件的整式有8个； ③满足条件的二次二项式有10个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题根据题目给出的整式系数条件，逐个验证三个说法的正确性，按分类讨论计算各类整式的个数，即可得到结果． 【详解】解：首先整理已知条件：为正整数，为整数，满足即，且对，． 验证说法① 当，为单项式，则，由条件得，又是正整数，故，共3个满足条件的单项式，因此①正确． 验证说法② 等式成立，说明所有同号，又为正，故所有，即，条件变为， ， 当：，，，计算得： 时，，共3个； 时，，共3个； 时，，共1个； 时无符合条件的解， 共个． 当：最小总和为，总和为，其余情况总和均大于6，故仅1个． ：最小总和为，无符合条件的解． 总共有个，因此②正确． 验证说法③ 二次二项式即，，恰好两个系数非零： 情况1：当时， ∵，， ∴，即，显然不成立，无解． 情况2：当时，得，，， 当时，有，， ， ， ∴， 解得此时，只有1个； 当时，由，且为整数， ∴则或或， 由，可知， ∴， ∵ ∴，恒满足， 当时，，则，共3个 当时，，则共3个 当时，，则，共3个 ∴当时，满足条件的二次二项式共有个，③正确． 三个说法都正确，正确个数为3． 27．小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约毫米，用科学记数法表示为__________． 【答案】 28．一只不透明的袋子中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．两次都摸到白球的概率是____． 【答案】 29．若为正整数，且满足，则__________． 【答案】 30．若，，则的值是______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入可得：， ∴． 31．如图，矩形内接于，对角线的长为13，点是上一点，，延长、与所在直线交于点、，，则线段的长为______． 【答案】 【详解】解：连接，作，，垂足分别为，， ∵矩形内接于， ∴， ∴是的直径， ∵，∴， ∴， ∴设，， 由勾股定理得，解得， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，即． 32．我们规定：一个四位自然数，各数位上的数字满足，若满足千位数字与百位数字之差等于十位数字与个位数字之差，则称该自然数为“等差数”．记．例如：自然数2356，因为，，且，所以2356是“等差数”，且；而1347，因为，，，所以1347不是“等差数”．若是“等差数”，且，则的最大值为____；一个“等差数”，将其千位和十位数字调换位置，百位和个位数字调换位置，得到一个新的四位自然数，记．若是一个完全平方数，且满足（，均为正整数），则的最小值为____． 【答案】 【详解】解：设，则，且，，，， ∵是“等差数”，且， ∴， ∴，， ∵， ∴的最大值为，此时， ∵， ∴的最大值为，此时， ∴若是“等差数”，且，则的最大值为； ∵一个“等差数”，将其千位和十位数字调换位置，百位和个位数字调换位置，得到一个新的四位自然数， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ； ∴ ， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵是一个完全平方数， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， 当时，，则，， ∴， ∴， ∵，均为正整数， ∴， ∴， ∴，此时； 当时，，则，， ∴， ∴， ∵，均为正整数， ∴或或， 当时，，此时，， 当时，，此时，； 当时，，此时，； ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了整式的加减的应用、二元一次方程的应用、完全平方数等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确理解“等差数”的定义，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【题组九】 33．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 34．“学习强国”平台上线的某天，全国大约有人在此平台上学习，用科学记数法表示的数的原数为（    ） A．126300000 B．12630000 C．1263000000 D．1263000 【答案】A 35．下列调查中，调查方式选择合理的是（    ） A．为了解某小区居民天然气安全情况，选择全面调查 B．为了解全国初中生每周做家务的时间，选择全面调查 C．为检验神舟十四号载人飞船各设备零件的质量，选择抽样调查 D．为了解一批节能灯的使用寿命，选择全面调查 【答案】A 36．估算的运算结果应在（    ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】B 37．如图，，是上直径两侧的两点，设，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵与都是弧所对的圆周角， ∴． 38．如图， 用相同的圆点按照一定的规律拼出图形． 第一幅图3个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图11个圆点，第四幅图15个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（      ）    A．399 B．420 C．450 D．499 【答案】A 39．某校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是36个，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支，以及1个主干上的主干、支干和小分支的总数是36个，列出一元二次方程即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：1个主干上有x个支干，个支干上共有个小分支， ∴可列方程为：； 故选C． 40．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，首先根据是关于的一元二次方程的根，可得：，再利用整体代入法求代数式的值即可． 【详解】解：是方程 的根， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 41．如图，在正方形中，对角线与相交于点，点为边的中点，于点，，交的延长线于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质和勾股定理，圆内接四边形，求正切值，过点作于点，设，然后根据正方形的性质求出，然后利用勾股定理求出，，，，利用面积法求出，，从而求出，最后求出，从而求出的正弦值，然后证明，，，四点共圆，从而得到，求出答案即可，解题关键是添加辅助线改造直角三角形，熟练掌握利用面积法求线段的长． 【详解】解：如图所示：过点作于点， 设， 为边的中点， ， 四边形是正方形， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 的面积， ， ， ， 的面积， ， ， ， ， 在中，， ， ， ，，，四点共圆， ， ， 故选：B． 42．已知整式，其中n，，，，…，均为自然数，且，下列说法： ①当，时，则； ②若，则存在一个n使得满足条件的整式有6个； ③若时，则满足条件的所有整式有且仅有85个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整式中的探究规律，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． ①当，时，可得  ，，，，，即可求解； ②若，分类讨论：时；当时，当时，当时，当时，分别进行求解，即可判断； ③分类讨论：当时，当时，当时， 当时，当时，当时，同理可求． 【详解】解：①当，时， ，，…，为自然数，且， ，，，，， ， 故①错误． ②若， 当时， ， 有个； 当时，，可以取、、、，有个； 当时，，为，，，，，，有个； 当时，，为，， ，  ，有个； 当时，，为，有个； 存在一个（），使得满足条件的整式有且仅有6个； 故②正确． ③当时， 当时， 整式：， 有1个； 当时， 时， 整式：； 时， 整式：， 此时共有：个； 当时， 时， 整式：， 有个； 时， 整式为，可以取、，有个； 时， 整式为， 为， 有个； 此时共有：个； 当时， 时， 整式：， 有个； 时， 整式为，可以取、、，有个； 时， 整式为， 为，，， 有个； 时， 整式为， 为， 有个； 此时共有：个； 当时，由②得此时共有：个； 若， 当时， ， 有个； 当时， ， 可以取、、、，4，有5个； 当时， ， 为，，，，，，，，，， 有10个； 当时， ， 为，，，，， ， 有6个； 当时， ， 为，，，，， ∴有4个， 当时， ， 为， ∴有1个， 此时共有：个； 综上所述：共有个， 故③错误． 因此正确的结论是②，共1个． 故选：B． 43．________． 【答案】 44．小明准备在暑假到重庆游玩，第一天他想在洪崖洞、解放碑、长江索道、山城步道这四个景点中随机选取两个去游玩，他选取背面完全相同的四张卡片，在正面分别写上景点名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中洪崖洞和长江索道的概率是________． 【答案】 45．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是______． 【答案】15 【详解】解：根据题意，得x-6=0，3-y=0， 解得x=6，y=3． ①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、3，能组成三角形，周长=6+6+3=15； ②6是底边时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形． 所以，三角形的周长为15． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断． 46．一个多边形的内角和与外角和的度数总和为，多边形的边数是________． 【答案】7 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得： 解得：， ∴多边形的边数是． 47．如图，是的外接圆，是的直径，过点的切线交的延长线于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则________． 【答案】 【分析】由切线的性质求得，由圆周角定理求得，利用同角的余角相等求得，得，求得，求得，利用勾股定理求得，证明，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴． 48．设M是各数位上的数字都不相同的四位数，若M的千位数字与十位数字之和、百位数字与个位数字之和都为8，则称这个四位数为“忠发数”．例如：四位数8602，因为，所以8602是“忠发数”．若将“忠发数”M的千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置，得到一个新数，记，则______；若“忠发数”M使分式的值为正数，且能被12整除，则M的最大值为______． 【答案】 198 7315 【分析】本题考查整式的加减，理解题目中的“忠发数”和的定义是解题关键． 第一个空：根据定义计算即可； 第二个空：用字母表示出，由条件，先判断出，再计算，用字母表示，通过计算结果能被12整除，寻找规律即可． 【详解】解：当时，由定义，， ∴； 设，其中a，b，c，d分别表示M对应的千位数字，百位数字，十位数字，个位数字，均为非负整数， 则， ∵的值为正数，， ∴， ∴， 由定义，可知，a，b，c，d四个数字各不相同， ∴， ， 由定义，可知， ∴， ， 由题意，得是整数， 又33的因数中不含4， ∴是4的倍数， ∴或或（不合题意，舍去）， 当时，又， ∴，， ∴，， 由定义可知数字 互不相同， 故该情况不合题意，舍去； 当时，由数的特征可知，当a最大时，的值最大， ∴令，此时，，，符合题意， ∴的最大值为， 故答案为：198，7315． 【题组十】 49．﹣6的相反数是（　　） A．﹣6 B．﹣ C．6 D． 【答案】C 50．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 51．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．调查全国年轻人喜欢的奶茶品牌 B．调查重庆市民对长寿湖元旦烟花的燃放效果是否满意 C．调查某市中学生课外阅读情况 D．调查“长征十二号”火箭各部分零件合格情况 【答案】D 52．如图，和是以点为位似中心的位似图形，，周长为4，则的周长为（   ） A．6 B．10 C．12 D．15 【答案】B 53．估算的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 54．如图，点A，B，C，D在上，弦，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：B 55．用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个五角星，第②个图案中有7个五角星，第③个图案中有12个五角星，第④个图案中有18个五角星，按此规律排列下去，则第⑧个图案中五角星的个数为（　　） A．42 B．52 C．56 D．63 【答案】B 【分析】仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解即可． 【详解】解：第①个图案中有个五角星， 第②个图案中有个五角星， 第③个图案中有个五角星， 第④个图案中有个五角星， ∴第n个图案中有个五角星， 当时，个五角星， 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是找到图形的变化规律． 56．有3人患了流感，经过两轮传染后共有432人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 初始患者为3人，每轮传染中平均一人传染x人， ∴ 第一轮后患者总数为：人， 第二轮传染时，有个患者，每人传染x人， ∴ 第二轮新增患者为：人， ∴ 两轮后总患者为：人， 故方程为：． 故选：C． 57．如图，在正方形中，点是靠近点的四等分点，连接，的角平分线交于点，将沿着所在直线进行翻折，点的对称点记为，连接并延长交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵正方形， ∴，， 设， ∵点是靠近点的四等分点， ∴，， ∴， ∵将沿着所在直线进行翻折，点的对称点记为， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 58．已知整式，其中，，均为绝对值不超过2的整数，为自然数，规定为中所有项的指数和．下列说法中： ①当时，满足条件的共有25个； ②当时，恒成立，满足条件的共有4个； ③当时，，则满足条件的共有14个． 其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】当时，；当时，，；当时，在中，则，即，且；在中，结合题意，分类讨论即可求解． 【详解】解：∵，，均为绝对值不超过2的整数， ∴，，可能的值为， ∵为自然数，为中所有项的指数和， ∴， 当时，即， ∴，， 当时，，共5种情况； 当时，，共5种情况； 当时，，共5种情况； 当时，，共5种情况； ∴，故①错误； 当时，即， ∴，， ∵恒成立， ∴，且， ，，共3种情况； ，，共3种情况； ∴，即共有6种情况，故②错误； 当时，即， ∵， ∴， 当，且时， 则，即， ∴的值可以是或，共有2种情况； 的值可以是或，共有2种情况； 当，且，时， 三个数的值的组合方式有： 和 共有10种情况； ∴种情况，故③正确； 综上所述，正确的个数为1， 故选：B ． 59．计算：________． 【答案】0 60．一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的3个红球和1个黄球，从中随机摸出两个球，恰好都是红球的概率是________． 【答案】 61．从一个多边形的一个顶点出发能引5条对角线，则这个多边形的内角和为______°． 【答案】1080 62．若实数，同时满足，，则的值为______． 【答案】 【详解】解：，， ， ①当时， ，方程组无解； ②当时， ，解得，此时； 综上，． 63．如图，在菱形中，点、、均在圆上，为菱形对角线，与圆交于点，过作圆切线，交于点，交于点．若，，则长为______；长为______． 【答案】 8 【分析】连接交于点H，连接，由菱形的性质可得，，解直角三角形得到，再利用勾股定理建立方程可求出的长，进而可得的长；设，则，由勾股定理得，解方程得到，，则，由切线的性质得到，解直角三角形得到，则． 【详解】解：如图所示，连接交于点H，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，， ∴， 设， 由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∴ ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． 64．若一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等且不为零，其中满足，则称这个四位自然数为“差方数”．例如，故6743是“差方数”，则最大的“差方数”为______；对于“差方数”M，将其千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，所得新数记为N，记，，若为整数，且是一个完全平方数，则满足条件的所有M值的和为______． 【答案】 9814 8994 【分析】第一问：根据“差方数”的定义，要使“差方数”最大，则a取9，b取8，通过枚举求得符合题意的c，d的值，从而得出结果； 第二问：根据题意设，，分别表示出，，的式子，结合为整数，得出的式子能被9整除，并得出该式子为奇数，求出其取值范围并得到可能取得的数，通过枚举的方式，结合是一个完全平方数，分情况讨论a，b，c，d的取值，逐一代入验证，得到符合条件的“差方数”M，并最终求得结果． 【详解】解：由题意知，要使“差方数”最大， 则a取9，b取8， ∴， ∴的解有，， ∵各个数位上的数字互不相等且不为零， 其中符合题意的解为，， ∴最大的“差方数”为9814； 设，， ∴， ， ∵为整数， ∴， ∴能被9整除， ∵，，且a和b互不相等，均不为0， ∴，， ∴， ∵为奇数， ∴的值可以为27，45，63，81，99，117，135，153，171，189，207， ∵是完全平方数， 此时分情况讨论： （1）当时，不存在对应的a，b值，不符题意舍去； （2）当时，的值可能为，， 当，时，，即， 此时，，代入得：，而25是完全平方数，符合题意； 当，时，，即，此时，，与a，b重复，不符合题意舍去； （3）当时，不存在对应的a，b值，不符合题意舍去； （4）当时，的值为， 当，时，，即，此时可能为，， 当，时，代入得：，而27不是完全平方数，不符合题意舍去； 当，时，代入得：，而42不是完全平方数，不符合题意舍去； （5）当时，不存在对应的a，b值，不符合题意舍去； （6）当时，的值可能为，， 当，时，，即，此时可能为，，但均与a或b重复，不符合题意舍去； 当，时，，即，此时可能为，，而当，时，与重复，不符合题意舍去； 当，时，代入得：，而53不是完全平方数，不符合题意舍去； （7）当时，不存在对应的a，b值，不符合题意舍去； （8）当时，的值为，， 当，时，，即， 此时可能为，，，而当，时，与重复，不符合题意舍去； 当，时，代入得：，而70不是完全平方数，不符合题意舍去； 当，时，代入得：，而49是完全平方数，符合题意； 当，时，，即， 此时，，代入得：，而67不是完全平方数，不符合题意舍去； （9）当时，不存在对应的a，b值，不符合题意舍去； （10）当时，的值可能为，， 当，时，，即， 此时，，代入得：，而79不是完全平方数，不符合题意舍去； 当，时，，即，此时可能为，，但均与a或b重 复，不符合题意舍去； （11）当时，不存在对应的a，b值，不符合题意舍去， 综上所述，符合条件的“差方数”M有1632，7362， ∴满足条件的所有M值的和为． 【题组十一】 65．在有理数，，，中，最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ∵，，，，， ∴最大的数是，即选项D符合题意． 66．当前，科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革，以下科技公司的图标中是轴对称图形的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A，B，C选项中的图标都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D项中的图标能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 67．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（    ） A．调查全市居民的防诈意识 B．调查全市中学生的睡眠时间 C．调查某批节能灯管的使用寿命 D．调查某班学生周末电子产品的使用情况 【答案】D 68．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，位似比为，已知点，，则点在第一象限的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵与关于原点位似，位似比为，且在第一象限， ∴点的对应点的坐标为原坐标乘以​， ∵， ∴的横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标为． 69．将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形如此下去，则第10个图中共有正方形的个数为（   ） A．26 B．28 C．30 D．33 【答案】B 【详解】解：图①中有1个正方形，即， 图②中共有4个正方形，即， 图③中共有7个正方形，即， 图④中共有10个正方形，即， …… 第个图中共有个正方形， 第10个图中共有正方形的个数为． 70．《九章算术》中“盈不足术”问题的原文为：“今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数，物价各几何？”译文为：“现有一些人共同购买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？”设共同购买该物品的有x人，该物品的价格是y元，则根据题意，列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 71．已知点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴反比例函数图像分布在一、三象限，在每一个象限y随x的增大而减小， ∵，，∴，，∴． 故选：D． 72．设实数的整数部分为，小数部分为．则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【详解】解：，即， ，， ， 故选：D 73．如图所示，将正方形的边绕点顺时针旋转至，连接，的平分线交于点，连接，与边交于点，与对角线交于点．则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作正方形的外接圆，圆心为点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵边绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴点在圆上， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 74．已知整式，其中n，是正整数，，……，，为非负整数，且满足，或3（，2，3，……，n）．下列说法正确的个数有（   ） ①在所有满足条件的整式M中，单项式共有2个． ②当且时，满足条件的整式M有7个． ③当时，若是5的整数倍，满足条件的所有整式M的和的最小值为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】解：设，根据题意可知是非负整数，，是正整数，且相邻系数差或3， ① 若是单项式，因为是正整数，即， 故仅当且时满足单项式条件， 此时，可取2或3，得两个单项式和，故①正确； ② 当时，，， 由得：， 整理得，且， ∴， ∵或3， ∴， ∴ 当时，仅一种情况，且仅满足， 即仅一种情况，所以满足条件的整式共1个； 当时，或，共2种情况， 此时4或5，有1种情况，有2种情况， 故满足条件的整式共个， 所以，总共有个满足条件的整式，故②正确； ③ 当时，若是5的整数倍， 可设，，， 则， 且为5的整数倍，， 若，则为5的整数倍，且，， ∴， 此时符合题意，故，，所对应的整式为， 若，则为5的整数倍，且，， ∴， 此时符合题意，故，，所对应的整式为， 若，则为5的整数倍，且，， ∴， 此时符合题意，故，，所对应的整式为， 若，则为5的整数倍，且，， ∴， 此时符合题意，故，，所对应的整式为， 设满足条件的所有整式M的和为， ∴， 又∵， ∴， 即满足条件的所有整式M的和的最小值为， 故③正确． 综上，正确的说法有3个． 75．某芯片制造工艺中，一个晶体管的核心尺寸约为0.000000003米．将0.000000003用科学记数法表示为______． 【答案】 76．初三体育锻炼有跳绳、立定跳远、跑步、铅球4个项目需要继续强化练习．甲、乙两名同学分别从这4个项目中随机选择一个项目进行初测．甲、乙两人中有一个人选择铅球、一个人选择跳绳的概率为______． 【答案】 77．等腰的一个外角的大小为，则这个三角形的底角的大小为________． 【答案】或 【详解】解：等腰的一个外角为，则相邻的内角为， ①若的内角为顶角，则底角为， ②若的内角为底角，则底角为． 综上所述，这个三角形的底角为或． 故答案为：或 78．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴，即， 由根与系数的关系可得：， ∵， ∴，解得， 经检验，是分式方程的解，且满足，符合题意， 将代入原方程，得 ， ∵是原方程的根， ∴，即， 由根与系数的关系可得， ∴． 79．如图，为的直径，为的一条弦，连接，交于点E，，的延长线与交于点F，过点F作的切线分别交的延长线于点G和点H，已知，则的半径______，连接，则______． 【答案】 10 【分析】设的半径为r，则，，如图：连接，易得是的中位线，即，再根据圆周角定理、勾股定理以及垂径定理可得、；然后证明，利用相似三角形的性质列方程可求得；易得、、、、、，如图：过F作于M，连接，则四边形是矩形，易得、、；利用切线的性质以及勾股定理可得；易证，利用相似三角形的性质列方程可求得；如图：过E作于I，则，即利用相似三角形的性质列方程可求得，进而得到，最后运用勾股定理求解即可． 【详解】解：设的半径为r，则， 如图：连接， ∵交于点E， ∴， ∵的延长线与交于点F，即为的直径， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵的延长线与交于点F，即为的直径， ∴，， ∴，即， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴的半径； ∴，，，，， ∴ 如图：过F作于M，连接，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， 如图：过E作于I，则， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 80．一个四位正整数的各个数位上的数字均不为，且，，则称这个四位数为“两全其美数”．例如：四位数，因为，，且均不为，所以是“两全其美数”．则最小的“两全其美数”是______；若将的千位数字与百位数字互换，十位数字与个位数字互换，得到的新数记为，记，，若被除余，且，则所有满足条件的之和是______． 【答案】 【详解】解：由题意可知， ， ， ， ∵，， ∴当时，取得最小值，即最小的“两全其美数”是； ， ， ， ， ∴， ， ， 同理， ∴， ∵被除余， ∴被除余， ∴被除余， ∵，，，， 又∵，， ∴，， ∴，其中被除余的数为，，，，， ∵， ， ， ∴， 化简，得， 变形，得， ∵、都是正整数， ∴、都是的因数， 又∵，， ∴，， ∴或或或 ∴或或或， 又∵或或或或， ∴或， 当，时，； 当，时，； ∴所有满足条件的之和为． 【题组十二】 81．以下各数是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 82．下列国产软件图标属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 83．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 84．如图，，直线与射线相交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 85．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 86．下列命题是假命题的是（   ） A．对角线相等的菱形是正方形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【详解】A．对角线相等的菱形是正方形，此选项是真命题，不符合题意； B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，此选项是真命题，不符合题意； C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，此选项是真命题，不符合题意； D．有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，此选项是假命题，符合题意， 反例：如下图所示：三角形，则对边与相等，对角与相等，但四边形不是平行四边形． 故选D． 87．下列图形都是由同样大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个，第②个图形中一共有12个，第③个图形中一共有21个，，按此规律排列，则第⑥个图形中的个数为（    ） A．60 B．45 C．77 D．50 【答案】A 88．如图，四边形内接于，它的一个外角，分别连接，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴， ∵， ∴， ∴， 由圆周角定理得，， 故选：A． 89．如图，在矩形中，为对角线，平分交于点F，点E是上一点，连接、，若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 作于点， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，∴， 故选：A． 90．已知关于的整式，其中为正整数，为自然数，为正整数，且满足．下列说法：（   ） ①当时，所有满足条件的整式的值的总和为16； ②若规定均为正整数，则的可能取值有3种； ③若，则的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：由题知，为正整数，为自然数，为正整数，满足．验证①： 当时，， ， 是正整数， ， 又，或， 当，仅， 此时，， 当， 正整数解共3种：， 此时，每个． 所有的值总和为，①正确； 验证②： 若所有均为正整数，共有个系数，每个系数至少为1， ． ， ，解得． 是正整数， ，共3种可能，②正确． 验证③ ∵， ∴的所有奇次项系数之和为， 令，∴， 即（1）， 令，∴， 即（2）， 得， ∴的所有奇次项系数之和为，∴③正确； 综上，正确的说法共3个． 91．马拉松(Marathon)国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离26英里385码，折合约为42000米，用科学记数法表示42000为 ______． 【答案】4.2×104 92．一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数是________． 【答案】7 93．2026年3月14日是全球的第七个“国际数学日”，其主题为“数学与希望”．为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校在活动日策划了“数阵寻宝”“方程追击”“连数成画”三个挑战游戏．每人随机选择参与其中一个游戏，则小陈和小赵选择的游戏相同的概率为___________． 【答案】 94．已知是方程的一个根，则的值是_____． 【答案】 【详解】解： 由是方程的根， 可得，得，所以原式， 故答案为：． 95．如图，点A，B是上两点，连接，直径与垂直于点E，点F在上，连接，，过点A作的垂线交于点G，交于点H，若，，，则的长度为__________，的长度为__________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，，， ，且是的直径， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 令，则，， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， 故答案为：，． 96．一个四位数，各数位上的数字互不相等且均不为0，若将的千位数字和百位数字组成的两位数与的十位数字和个位数字组成的两位数相加，和为完全平方数，则称这个四位数为“方数”．例如：四位数4816，，是“方数”，则最大的“方数”是__________，若是一个“方数”，且是整数，则满足条件的的最大值与最小值的差是________． 【答案】 【详解】解：∵是一个“方数”， ∴是一个完全平方数， 又∵各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴，， ∴， ∴的取值可能是169，144，121，100，81，64，49， ①寻找最大方数： 当时，则，， 当时，取最大值，，，， ， ∴是最大的“方数”； ②∵是整数， ∴ 是的倍数， ∴是的倍数， I.当时，,， 此时，，，不是的倍数， ∴当时，没有满足条件的值； II.当时，，或， 当，时，取最大值，取最大值时，，，此时是的倍数，则为， 当，时，取最大值，，此时不是的倍数，没有满足条件的值， III. 当时，，， 当取最大值时，，，此时不是的倍数，没有满足条件的值， 当取最小值2时，，此时也没有满足条件的值， IV.当时，，，当最大值不能为，此时符合条件数不可能是最大值，以后几种情况同理， 当取最小值1时，，此时不是的倍数，没有满足条件的值， 当取最小值2时，，此时不是的倍数，没有满足条件的值， 当取最小值3时，，此时是的倍数，取最小值时，，则为， V.当时，，， 当取最小值1时，，此时不是的倍数，没有满足条件的值， 当取最小值2时，，此时是的倍数，取最小值时，，则为， VI.当时，，或，， 当取最小值1时，，此时没有满足条件、，即没有满足条件的值， 当取最小值1时，，此时不是的倍数，即没有满足条件的值， 当取最小值2时，，此时不是的倍数，即没有满足条件的值， 当取最小值2时，，此时是的倍数，取最小值时，，则为， VII.当时，，， 则当取最小值1时，，此时不是的倍数，即没有满足条件的值， 综上所述：满足条件的最大值与最小值分别为、， ∴满足条件的最大值与最小值的差是， 故答案为：，． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $