精品解析：陕西西安市某校2025-2026学年高三下学期期中考试数学试题

陕西西安市某校2025-2026学年高三下学期期中考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数 对应的点是，则（    ） A. 5 B. C. 2 D. 3. 已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 4. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 若需要刻画预报变量和解释变量 的相关关系，且从已知数据中知道预报变量随着解释变量 的增大而减小，并且随着解释变量 的增大，预报变量大致趋于一个确定的值，为拟合和 之间的关系，应使用以下回归方程中的（为自然对数的底数）（ ） A. B. C. D. 6. 已知，设函数的零点个数为，则＝（ ） A. 120 B. 210 C. 75 D. 240 7. 设函数，若对于都有成立，则 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 在棱长为4的正方体中，点 为棱的中点，点 在底面内运动，且满足直线平面，将正方体沿平面切割，得到两个多面体，下列说法中错误的是（ ） A. 点 的轨迹是一条线段，且其长度为 B. 过三点的截面面积为18 C. 沿平面切割正方体得到较大的多面体体积为 D. 在棱上不存在点 ，使得平面 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知 ， ，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线 ：的焦点为 ， 的准线 与 轴交于点 ，过 的一条直线与 交于 ， 两点，过 ， 作 的垂线，垂足分别为 ，，则（ ） A. 准线 的方程为 B. C. 直线与的斜率之和为0 D. 与的面积相等 11. 已知正项数列 满足 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 存在 ，使得 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，则_______. 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，O为坐标原点，，，则双曲线C的离心率为______. 14. 现有n（，）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是，则______. 四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，且，. （1）求 的值； （2）在 中，内角的对边分别为. 若，求的取值范围. 16. 为了落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划，现对某高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间（单位：分钟）的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于80分钟的学生称为“运动爱好者”． （1）试求频率分布直方图中的 值； （2）用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于60分钟，求该学生是“运动爱好者”的概率； （3）从样本里的“运动爱好者”学生中随机选取两位同学，用随机变量 表示每天平均运动时间在分钟之间的学生数，求 的分布列及期望． 17. 已知椭圆的左右焦点分别为，，点满足直线，的斜率之积为，点 是 上任意一点，． （1）求 的方程； （2）过点 的直线 与 交于 ， 两点，若以 为直径的圆经过坐标原点，求直线 的方程． 18. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求证：对任意，不等式恒成立． 19. 如图，在四棱锥 中，底面为正方形，平面平面，，，，点 在线段 上（ 与不重合）． （1）若平面平面，证明：平面; （2）当面积最小时，求二面角的正弦值； （3）在（2）的条件下，若，是线段的等分点，分别过在四棱锥上作平行于平面的截面，记相应截面面积为，证明： （参考公式：）， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西西安市某校2025-2026学年高三下学期期中考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以,由， 所以，所以， 解不等式，可得，所以， 所以. 2. 在复平面内，复数 对应的点是，则（    ） A. 5 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，可得，根据运算法则，结合求模公式，即可得答案. 【详解】由题意知，，则， 所以. 3. 已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，求出即可求出向量在上的投影向量. 【详解】因为， 所以， 所以，， 所以向量在上的投影向量为. 故选：D. 4. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析各选项中函数的定义域、零点、奇偶性以及函数值符号，结合题中图象可得答案. 【详解】对于A选项，对于函数，由可得， 即函数的定义域为，与题中图象不符； 对于B选项，令，可得，即函数只有一个零点，与题中图象不符； 对于C选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数，与题中图象不符； 对于D选项，函数的定义域为， ，函数为奇函数， 令得，可得， 当时，，则，与题中图象相符. 5. 若需要刻画预报变量和解释变量 的相关关系，且从已知数据中知道预报变量随着解释变量 的增大而减小，并且随着解释变量 的增大，预报变量大致趋于一个确定的值，为拟合和 之间的关系，应使用以下回归方程中的（为自然对数的底数）（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解析 对于A：因为 在定义域内单调递增且 ，所以随着 的增大而增大，不合题意，故A错误； 对于B：因为在定义域内单调递增且 ，所以随着 的增大而减小，当解释变量，，不合题意，故B错误； 对于C：因为在定义域内单调递增且 ，所以随着 的增大而减小，当解释变量，，不合题意，故C错误； 对于D：因为在定义域内单调递减且 ，所以随着 的增大而减小，当解释变量，，故D正确；故选D. 6. 已知，设函数的零点个数为，则＝（ ） A. 120 B. 210 C. 75 D. 240 【答案】A 【解析】 【分析】先利用图象的交点求出当n＝1时的零点个数，再根据正弦型函数的周期以及得出数列为等差数列即可求出. 【详解】过点， 则可作出的图象. 当n＝1时，作出的图象， 因为，故的图象与图象有3个交点； 注意到的周期为4，， n每增加1个单位，也增加 个单位（一个周期），则交点增加2个， 故数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以. 7. 设函数，若对于都有成立，则 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】思路一：直接求得函数单调区间、表示出最小值，进而可列出不等式组求解； 思路二：分类讨论并分离参数，进一步换元，通过构造函数，求导得函数最值即可求解. 【详解】法一：直接求导法 ，令得， 时，单调递增；时，单调递减； 时，单调递增； 故或，只需， 法二：分离参数法 ， 令， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 时，；时，， 所以． 当 时，恒成立，所以, 综上可知若对于都有成立，则， 故选：C. 【点睛】思路点睛：法一：直接求导法，此法的好处是省去了分类讨论的步骤，法二：分离参数法，此法的好处是可以直接构造新的函数，只需求新的函数最值即可. 8. 在棱长为4的正方体中，点 为棱的中点，点 在底面内运动，且满足直线平面，将正方体沿平面切割，得到两个多面体，下列说法中错误的是（ ） A. 点 的轨迹是一条线段，且其长度为 B. 过三点的截面面积为18 C. 沿平面切割正方体得到较大的多面体体积为 D. 在棱上不存在点 ，使得平面 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，取分别为的中点，连接，可得平面平面，所以，可判断A；由于，所以过三点的截面为等腰梯形，求其面积判断B；先求，间接法判断C；假设存在点，使得平面，则，利用平面向量数量积运算确定点 ，判断D. 【详解】对于A，取分别为的中点，连接， 根据中位线定理得， 又平面，平面，所以平面， 同理平面， 又，平面，所以平面平面， 又易得且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，平面，所以平面平面 所以平面平面， 因为直线平面，所以平面， 所以，又，点 的轨迹是一条线段，且其长度为，故A正确； 对于B，由A可得， 所以过三点的截面为等腰梯形， 又， 所以等腰梯形的高为， 所以截面面积为，故B正确； 对于C，， 所以平面切割正方体得到较大的多面体体积为，C错误； 对于D，假设存在点，使得平面， 因为平面，则， 在正方形中，如图建立平面直角坐标系， 则， 设，则， 所以，得，显然不成立，D正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知 ， ，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ABD选项；利用二次函数的基本性质可判断C选项. 【详解】因为 ， ，满足， 对于A选项，由基本不等式可得，所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，A错； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，B错； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C对； 对于D选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，D对. 故选：CD. 10. 已知抛物线 ：的焦点为 ， 的准线 与 轴交于点 ，过 的一条直线与 交于 ， 两点，过 ， 作 的垂线，垂足分别为 ， ，则（ ） A. 准线 的方程为 B. C. 直线与的斜率之和为0 D. 与的面积相等 【答案】ACD 【解析】 【详解】解：选项A，由抛物线的定义知，，选项A正确； 选项B，因为轴，所以， 若，则， 即，显然该等式不一定成立，故选项B错误； 选项C，设，，且， 由题意知，直线 的斜率一定存在，且不为0， 设其方程为，联立，消去 得，， 因为直线与抛物线有两个交点，所以， 即：，得：或，当时， ， 所以，且， 由韦达定理知：，，所以 ，故选项C正确； 选项D， 的面积 ， 的面积， 所以 与的面积相等，故选项D正确. 11. 已知正项数列 满足 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 存在 ，使得 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得，进而可求判断A; 利用裂项相消法计算可判断B；利用等差数列前和公式计算可判断C；构造函数可得 ，进而可得，令，计算可判断D. 【详解】由，可得，所以， 所以是等差数列，又，所以， 所以等差数列的首项为3，公差为2，所以， 所以，所以，故A正确； ， 所以 ， 令，解得，所以存在，使得，故B正确； 对于，故C错误； 对于D，令， 求导得，所以，解得 ， 当 时，，在上单调递减， 当 时，，在上单调递增， 所以，即，所以 ， 所以，化简得，仅当 时等号成立； 令，得，此时等号不成立 所以， ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】直接代入解析式，结合对数运算求解即可. 【详解】由题可知，， 因为，所以. 故答案为： 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，O为坐标原点，，，则双曲线C的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据双曲线的定义求出 ，然后利用余弦定理分别表示出及，再根据两个角的关系列出方程求出 ，即可求出双曲线的离心率. 【详解】 因为，所以， 所以，即. 因为，，所以 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得. 因为，所以， 即，解得，所以. 所以. 14. 现有n（，）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是，则______. 【答案】9 【解析】 【分析】根据古典概型性质，先计算出某一情况下取球方法数的总数，在列举出第三次取球为白球的情形以及对应的取法数，根据古典概型计算概率，最后逐一将所有情况累加即可得出总概率，最后即可得到答案. 【详解】设选出的是第k个袋，连续四次取球的方法数为， 第四次取出的是白球的取法有如下四种情形： 4白，取法数为：， 1红3白，取法数为：， 2红2白，取法数为：， 3红1白：取法数为：， 所以第四次取出的是白球的总情形数为： ， 则在第k个袋子中取出的是白球的概率为：， 因为选取第k个袋的概率为，故任选袋子取第四个球是白球的概率为： ， 当时，. 故答案为： ． 【点睛】思路点睛：本题为无放回型概率问题，根据题意首先分类讨论不同k值情况下的抽取总数(可直接用k值表示一般情况)，再列出符合题意得情况(此处涉及排列组合中先分类再分组得思想)，最后即可计算得出含k的概率一般式，累加即可，累加过程中注意式中n与k的关系可简化累加步骤. 四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，且，. （1）求 的值； （2）在 中，内角的对边分别为. 若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量点积公式列方程，用辅助角公式化简为单一三角函数，结合 的取值范围求解； （2）结合三角形内角和，用正弦定理将边的比转化为角的正弦比，再用三角恒等变换化简，最后求三角函数值域. 【小问1详解】 根据向量点积公式：， 用辅助角公式化简：，即. 已知，故，则， 解得. 【小问2详解】 已知，故，即 ，. 根据正弦定理，得， 代入，化简得 ， 因此：. 由得，故，代入得. 16. 为了落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划，现对某高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间（单位：分钟）的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于80分钟的学生称为“运动爱好者”． （1）试求频率分布直方图中的 值； （2）用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于60分钟，求该学生是“运动爱好者”的概率； （3）从样本里的“运动爱好者”学生中随机选取两位同学，用随机变量 表示每天平均运动时间在分钟之间的学生数，求 的分布列及期望． 【答案】（1） （2） （3） 0 1 2 ，数学期望为. 【解析】 【分析】（1）应用频率分布直方图频率和为1计算求参； （2）应用条件概率公式计算求解； （3）先写出对应概率，再得出随机变量的分布列，进而计算数学期望即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， ， 解得． 【小问2详解】 设“该学生每天平均运动时间不低于60分钟”为事件A， “该学生是‘运动爱好者’”为事件B， 则， ， 所以在该学生每天平均运动时间不低于60分钟的条件下是“运动爱好者”的概率为 . 【小问3详解】 由题意可知，样本中共有“运动爱好者”学生25人，运动时间在分钟之间的学生有5人， 所以． ，，． 则 的分布列为 0 1 2 则． 17. 已知椭圆的左右焦点分别为，，点满足直线，的斜率之积为，点 是 上任意一点，． （1）求 的方程； （2）过点 的直线 与 交于 ， 两点，若以 为直径的圆经过坐标原点 ，求直线 的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的概念，以及两点之间的斜率公式，求出椭圆的参数，写出标准方程即可； （2）根据直线和椭圆的位置关系，联立方程组，根据韦达定理和向量数量积的坐标表示，求出参数值，进而求出直线方程即可. 【小问1详解】 设椭圆C的半焦距为，则， 所以， 因为直线，的斜率之积为，所以，解得． 因为，利用椭圆定义可得椭圆长轴，解得， 则． 所以C的方程为． 【小问2详解】 由已知得过点且满足题意的直线l的斜率存在，不妨设， 联立消去y得， 令，解得． 设，，则，， 因为以DE为直径的圆经过点O，所以，即 ， 所以，即， 所以， 整理可得即，满足，解得， 所以直线l的方程为． 18. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求证：对任意，不等式恒成立． 【答案】（1）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为． （2）证明：要证，两边取自然对数（因单调递增，不等号方向不变），即证， 由对数运算法则，化简得． 方法一 ， 即证． 由，可知，结合在区间上单调递增， 所以得证，原不等式成立． 方法二 令，因为，所以，即． 由三角恒等式，代入， 得， 令，需证， 求导得，化简得， 因为，所以，即在上单调递增． 接下来只需证明不等式． 因在上单调递增，故， 因此，当时，，即恒成立． 综上，对任意，不等式恒成立． 【解析】 【分析】（1）对求导，结合导数与函数单调性的关系判断函数的单调性； （2）要证明只需证明，再通过构造函数证明结论. 【小问1详解】 函数的定义域为， 求导得， 当 时，，故 ，函数单调递增； 当 时，，故，函数单调递减． 因此，的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 略 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，，点 在线段 上（ 与不重合）． （1）若平面平面，证明：平面; （2）当面积最小时，求二面角的正弦值； （3）在（2）的条件下，若，是线段的等分点，分别过在四棱锥上作平行于平面的截面，记相应截面面积为，证明： （参考公式：）， 【答案】（1）底面为正方形，则 ， 又因为平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 又因为 平面，平面平面 ，所以 ， 又因为 平面，平面，所以平面. （2） （3）由（2）知，， ， 由题意不妨设是距离点P的由近及远的个等分点，第个等分为，截面为， 则，所以， 即， . 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质定理可证明； （2）利用线面垂直的判定先证 平面 ，当 面积取得最小值时，即 最小，计算出 ， 的长度，根据相似比即可确定 值，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角； （3）根据（2）可知，这些截面都是相似直角梯形，利用相似可得到第 个截面的面积，再根据求和公式求和即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，设直线 交于点 ，连接， 底面为正方形， ，平面平面 ， 平面平面，所以 平面 ， 又 平面 ，所以， 在中，，，， 所以，即， 又，所以 ， 又 ，，平面 ，平面 ， 平面 ，，又，所以， 故当 最小时，即时， 面积取得最小值， ，，，时，， ，， 所以，即 的面积最小时， 以 为原点，以为轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，得， 令，得， 设平面的法向量为， 由得， 令，得， ∴， 则二面角的正弦值为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $