精品解析：河南郑州市中牟县第一高级中学2025-2026学年高三下学期4月月考数学试题

2025-2026学年高三下学期4月月考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则求出，进而求出共轭复数，再求解. 【详解】 ，则 . 所以 . 故选：D 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别解不等式得到集合，再求并集即可． 【详解】由，解得或，则， 由，得，，解得，则， 所以． 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到函数在上单调递减，再结合零点存在定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 又，，， ，， 根据零点存在定理，可知函数的零点所在区间为. 故选：C 4. 已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知， 则，解得， 在方向上的投影向量为：． 5. 已知函数，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式合成，再利用三角函数的值域求法可得答案. 【详解】 ， 因为，所以  的值域为 ， 故选：B. 6. 如图，过椭圆（）的左焦点的直线交椭圆于两点，与轴交于点，若，，为坐标原点，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线与椭圆方程联立，找到两根之和，由得到，转化成之间的关系式求得答案. 【详解】由题意设直线，，，将直线的方程代入椭圆方程， 化简得， ，，，故， 即，. 故选：B. 【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，注意韦达定理的运用. 7. 已知a，b，c，d都是常数，，， 若，方程的两根为c，d，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出二次函数的图象即可判断的大小关系﹒ 【详解】， 由解析式知，对称轴为， 因为为函数的零点，且，， 所以可在平面直角坐标系中作出函数的大致图象，    由图可知. 故选：D. 8. 已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不等式可化为，利用导数分析函数的单调性，作函数，的图象，由条件结合图象列不等式求的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 不等式化为：． 令，，， 故函数在上单调递增，在上单调递减． 当时，，当时，， 当时，， 当时，，当，且时，， 画出及的大致图象如下， 因为不等式的解集中恰有两个不同的正整数解， 且在的切线方程为，恰好过,故正整数解为． 故， 即． 故. 故选：C. 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（ ） A. 估计该年级学生成绩的众数为75 B. C. 估计该年级学生成绩的75百分位数约为85 D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中众数的估计方法可判断A；利用各组频率之和为1可判断B；根据百分位数的估计方法可判断C；根据平均数的估计方法可判断D. 【详解】由频率分布直方图可知成绩在70-80分之间的人数最多， 故可估计该年级学生成绩的众数为75，A正确； 由频率分布直方图可知，B错误； 由于前三组的频率之和为，前四组的频率之和为， 故估计该年级学生成绩的75百分位数约为，C正确； 由频率分布直方图可知成绩在80-90分之间和90-100分之间的频率之比为， 故估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为，D正确， 故选：ACD 10. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小正周期是 B. 的最小值是 C. 的对称轴是， D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，计算出，，得到函数的最小正周期；B选项，分和两种情况，求出函数的最小值；C选项，计算出，从而得到函数的对称轴方程；D选项，画出函数图象，数形结合得到函数的单调性. 【详解】因为 且 ， 故的最小正周期是，A正确； B选项，当，即时， ， 当时，取得最小值，最小值为， 当，即时， ， 故的最小值为，B错误； C选项，因为 ， ， 故，的对称轴是，，C正确； D选项，画出函数图象如下： 可以看出函数在上单调递减，D正确. 故选：ACD 11. 已知抛物线C：的焦点为F，经过点F的直线交抛物线C于A，B两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 点F 的坐标为 B. 若点A在第一象限， 且， 则直线AB 的斜率为 C. D. 过点作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N，若点T为C的曲线段上任意一点，则面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出焦点坐标判断A；设出直线方程，与抛物线方程联立，利用，结合抛物线定义及数量积的坐标表示求解判断BC；求出直线的方程，并求出点到直线的最大距离即可判断D. 【详解】对于A，抛物线C：的焦点，A正确； 直线不垂直于轴，设其方程为，由消去得， 设，则，，， 对于B，由，得，即，则， 因此，解得，由，得，而， 则，，因此直线的斜率，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，设点，抛物线在点处的切线方程为， 由消去得，即，则， 因此抛物线在点处的切线方程为，同理抛物线在点处的切线方程为， 而这两条切线的交点为，则，即点的坐标均满足方程， 由消去得，解得，， 依题意，抛物线在点处的切线与直线平行， 设抛物线在点处的切线方程为，由消去得， 则，解得，此时，，即点， 点到直线距离的最大值为， 因此面积的最大值为，D正确. 故选：ABD 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，当时，取得极小值0，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据极值的概念可得和，解出的值即可得结果. 【详解】由题知，， 解得，此时， 当时，，当，时，， 所以在时取极小值，符合题意， 所以，. 又，解得， 所以. 13. 在7和21中插入5个数，使这7个数成等差数列，则第2项与第6项的等差中项为______． 【答案】14 【解析】 【分析】由等差中项定义和等差数列的下标和性质可得. 【详解】设该等差数列为，已知，， 第2项与第6项的等差中项为，而， 所以. 故答案为：14 14. 已知一个圆锥的底面半径为5，表面积为．若在该圆锥内放入三个半径均为的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的表面积公式得到母线，根据圆锥截面的性质、圆的截面性质及相互之间关系求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，则，解得. 则圆锥的轴截面为边长为10的等边三角形. 沿圆锥内三个球的球心的截面如图，则为边长为的等边三角形， 根据圆锥的性质易知截面圆的圆心为的外心，所以. 沿，所在轴截面如图，易知，所以. 所以，解得. 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知的内角的对边分别为，且，且的面积为． （1）求； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用余弦定理和三角形的面积公式，求得和，得到，即可求解. （2）由三角形的面积公式，求得，结合余弦定理，即可求解. 【小问1详解】 解：因为，由余弦定理，可得， 又因为的面积为，可得，可得， 两式相除，可得， 因为，所以. 【小问2详解】 解：由（1）可得，可得， 由余弦定理得， 即，可得，所以. 16. 如图，直四棱柱的底面为直角梯形，，，，三棱锥的体积是四棱柱体积的． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为底面为直角梯形，所以， ，所以， 所以，又， 又因为三棱锥的体积是四棱柱体积的， 所以，解得. 又，， 所以 又，， 所以，所以. 又由直四棱柱，可得平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由已知体积关系可求得，进而可得，结合直棱柱可证结论成立； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量法可求得平面与平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， ，令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）求证：在上单调递增； （3）若在区间上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 由（1）可得， 任取，且， 则， 因为，且指数函数在定义域上单调递增， 所以，即， 又因为，所以， 因此，即， 故根据函数单调性的定义得，函数在上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质求参数即可. （2）根据函数单调性的定义和指数函数的单调性证明即可. （3）根据函数的单调性解不等式即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得， 此时，则，满足题意， 故实数的值为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可得，要使得在区间上有解， 只需， 而当时，，所以， 所以，所以， 故实数的取值范围为． 18. 已知双曲线的离心率为，右焦点到的一条渐近线的距离为2. （1）求的方程； （2）经过点的直线、（斜率都存在）分别与交于点、和、，、分别为、的中点. （i）若点，求直线的方程； （ii）若点，且，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）（i） （ii）证明：设，由于，所以. 设直线，联立方程：，得， 其中且. 则有，，代入直线得， 所以. 同理设， 直线，联立方程：， 得， 其中且 则有，，代入直线得， 得. 所以 ， 则有直线. 令，得. 当直线的斜率不存在时，则，直线； 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据离心率和右焦点到渐近线的距离以及双曲线中关系列等式，即可求得得值，从而得到双曲线的方程. （2）（i）用点差法求得中点弦的斜率，在用点斜式即可写出直线的方程. （ii）利用向量的数量积为得到与垂直，设出两条垂直的直线、分别与双曲线方程联立，写出、的坐标及斜率，再用点斜式写出直线的方程，化简即可得证. 【小问1详解】 设双曲线右焦点为，则有， 由于的一条渐近线的方程为， 由题可得，解得. 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）设，，由题意点是中点， 则，，直线的斜率. 因为、在上，则， 两式相减得， 整理可得，即， 可得直线的方程为，即， 检验：直线与联立方程得， 其，符合题意； 所以直线的方程为. （ii）略 19. 甲、乙两个不透明的袋中各有个材质、大小相同的小球，甲袋中的小球分别编号为，乙袋中的小球分别编号为．从甲袋中任取两个小球，编号记为，从乙袋中任取两个小球，编号记为． （1）若，设，求的分布列和数学期望． （2）设，，事件“”发生的概率记为． （ⅰ）用含的组合数表示； （ⅱ）证明：当时，． 附：． 【答案】（1）的分布列为 1 2 3 4 2 （2）（ⅰ）；（ⅱ）当时， ． 又 ， 所以． 所以， 当时，，所以， 故． 【解析】 【分析】（1）先确定的所有可能取值，然后分别计算每个取值的概率，进而得到分布列和数学期望.（2）（i）要根据的条件，找出满足条件的组合情况，并用组合数表示；（2）（ii）需要通过对的表达式进行分析和推导，结合函数的性质来证明不等式. 【小问1详解】 当时，甲袋中的小球编号分别为． 因为，所以的所有可能取值为， ，，，． 故的分布列为 1 2 3 4 ． 【小问2详解】 （ⅰ）当时，必有，此时． 当时，与的所有可能取值为． 若，则任取，令，即可满足条件，故共有种取法； 若，因为，所以，所以，故共有种取法； 若，因为，所以，所以，故共有种取法． 依次类推，可知满足与满足的取法均有种，其中． 又从两个袋中各任取两个球有种取法，故． 综上，（其他等价结果也对） （ⅱ）当时， ． 又 ， 所以． 所以， 当时，，所以， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期4月月考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，过椭圆（）的左焦点的直线交椭圆于两点，与轴交于点，若，，为坐标原点，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知a，b，c，d都是常数，，， 若，方程的两根为c，d，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（ ） A. 估计该年级学生成绩的众数为75 B. C. 估计该年级学生成绩的75百分位数约为85 D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 10. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小正周期是 B. 的最小值是 C. 的对称轴是， D. 在上单调递减 11. 已知抛物线C：的焦点为F，经过点F的直线交抛物线C于A，B两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 点F 的坐标为 B. 若点A在第一象限， 且， 则直线AB 的斜率为 C. D. 过点作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N，若点T为C的曲线段上任意一点，则面积的最大值为 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，当时，取得极小值0，则______. 13. 在7和21中插入5个数，使这7个数成等差数列，则第2项与第6项的等差中项为______． 14. 已知一个圆锥的底面半径为5，表面积为．若在该圆锥内放入三个半径均为的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则______． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知的内角的对边分别为，且，且的面积为． （1）求； （2）若，求的值． 16. 如图，直四棱柱的底面为直角梯形，，，，三棱锥的体积是四棱柱体积的． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）求证：在上单调递增； （3）若在区间上有解，求实数的取值范围． 18. 已知双曲线的离心率为，右焦点到的一条渐近线的距离为2. （1）求的方程； （2）经过点的直线、（斜率都存在）分别与交于点、和、，、分别为、的中点. （i）若点，求直线的方程； （ii）若点，且，证明：直线过定点. 19. 甲、乙两个不透明的袋中各有个材质、大小相同的小球，甲袋中的小球分别编号为，乙袋中的小球分别编号为．从甲袋中任取两个小球，编号记为，从乙袋中任取两个小球，编号记为． （1）若，设，求的分布列和数学期望． （2）设，，事件“”发生的概率记为． （ⅰ）用含的组合数表示； （ⅱ）证明：当时，． 附：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $