精品解析：广东广州市第六十五中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学

广州市第65中学2025-2026学年第二学期期中考试 高一数学 命题人：苏月萍 校对人：罗诗华 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，为中点，在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 已知的外接圆圆心为O，且则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，若，且，那么一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 7. 如图，在正方体中，M，N分别为AC，的中点，则下列说法中不正确的是（ ） A. 平面 B. C. 直线MN与平面ABCD所成的角为60° D. 异面直线MN与所成的角为45° 8. 中，，，是外接圆圆心，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设复数，则下列命题中正确的是（ ） A. B. 在复平面上对应的点在第一象限 C. 是纯虚数 D. 的虚部为 10. 的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，且，则为等边三角形 D. 若，，则面积的最大值为 11. 如图，为正圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 三棱锥体积最大时，其内切球半径为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为___________． 13. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____. 14. 如图，已知圆台的轴截面为梯形，，，梯形的高为，圆台的体积为________；在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，满足，，且与的夹角为. （1）分别求与的值； （2）若，求的值. 16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角B； （2）若，，求边c和的面积. 17. 已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点. （1）求证： 平面； （2）求证：平面. （3）求三棱锥的体积. 18. 如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点. （1）正四棱锥的表面积； （2）若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点； （3）若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 19. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）证明：； （2）若的平分线交于，，，求的值； （3）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第65中学2025-2026学年第二学期期中考试 高一数学 命题人：苏月萍 校对人：罗诗华 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以复数的共轭复数为. 2. 如图，在中，为中点，在线段上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求得关于、的表达式，利用平面向量的减法法则可得出关于、的表达式. 【详解】为的中点，则， ，， . 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的基底分解，考查了平面向量减法法则的应用，考查计算能力，属于中等题. 3. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【详解】A：因为，，所以，没有交点，因此，可以是平行直线也可以是异面直线，所以本选项说法不正确； B：因为，所以存在一个过直线的平面与平面相交， 设，所以有，因为，， 所以，所以，因此本选项说法正确； C：当，时，还存在的情况，所以本选项说法不正确； D：当时，若，也可以存在， 所以本选项说法不正确； 4. 如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】先根据正弦定理求得，进而在中，利用求解． 【详解】在中，，，， 则， 由正弦定理得， 所以. 在中，， 所以米. 故选：A 5. 已知的外接圆圆心为O，且则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可. 【详解】因为， 所以外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，如图， 又，所以为等边三角形， 则，故， 所以向量在向量上的投影向量为：． 故选：C． 6. 在中，若，且，那么一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式并结合正弦定理可得，即，又由化简可得，得，从而得解. 【详解】因为，则， 因为，则，所以，则， 又因为，，则， 则，即， 即，又因为，则， 所以，即. 即一定是等边三角形，故D正确. 故选：D. 7. 如图，在正方体中，M，N分别为AC，的中点，则下列说法中不正确的是（ ） A. 平面 B. C. 直线MN与平面ABCD所成的角为60° D. 异面直线MN与所成的角为45° 【答案】C 【解析】 【分析】取棱中点，利用线面平行的判定推理判断A；利用线面垂直的性质推理判断B；求出线面角、线线角判断CD作答. 【详解】在正方体中，取棱中点，连接， 因为M，N分别为AC，的中点，则， 因此四边形为平行四边形，则平面， 平面，所以平面，A正确； 因为平面，则，所以，B正确； 显然平面，则是与平面所成的角，又， 有，由于，所以直线MN与平面ABCD所成的角为，C错误； 因为，，则是异面直线MN与所成的角，显然，D正确. 故选：C 8. 中，，，是外接圆圆心，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理求得，将化为，即，即可求出答案. 【详解】设外接圆半径为， 由正弦定理得，所以， 由圆的性质得， ， 所以当，即，即时， 取得最大值，最大值为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设复数，则下列命题中正确的是（ ） A. B. 在复平面上对应的点在第一象限 C. 是纯虚数 D. 的虚部为 【答案】AC 【解析】 【详解】. A：因为，所以A选项正确； B：因为，所以在复平面上对应的点在第四象限，因此B选项不正确； C：因为，所以是纯虚数，因此C选项正确； D：因为的虚部为，所以D选项不正确. 10. 的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，且，则为等边三角形 D. 若，，则面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由正弦定理即可判断，对于B，由正弦定理结合大边对大角可判断，对于C，根据向量线性关系及数量积的几何意义可判断，对于D，由余弦定理结合基本不等式求出最大值，即可判定. 【详解】A选项，在中，由得，即，所以； B选项，由正弦定理得即，解得， 又因为，所以，所以只能是锐角，所以只有一解，B错误； C选项，和分别表示与和同方向的单位向量， 以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形， 又由结合菱形性质知的角平分线与垂直， 所以是等腰三角形且， 又因为，且， 所以，所以是等边三角形，C正确； D选项，因为，，所以由余弦定理得， 当且仅当时取等号，即， 所以，D正确. 11. 如图，为正圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 三棱锥体积最大时，其内切球半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A；当时，的面积最大，计算体积最大值判断B；先用取极限的思想求出的范围，再利用求范围判断C；.先由基本不等式确定B点位置，再结合等体积法即可求得三棱锥的内切球半径，则D可求. 【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径， 对于A，圆锥的侧面积为：，A正确； 对于B，， 当且仅当时等号成立，即时三棱锥的体积取最大值， 对于C，是等腰三角形，，又因为，则， 依题意，，而，因此，C错误； 对于D，结合B选项的解析可知， 当且仅当时等号成立，即时三棱锥的体积取最大值， 此时三棱锥的表面积为：， 设三棱锥的内切球半径为， 由等体积法可得，故D对. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为___________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据斜二测画法，还原成平面图形，计算面积即可. 【详解】根据斜二测画法，还原成平面图形. 得到，，，， 可知四边形是直角梯形，所以四边形的面积． 故答案为：9 13. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据与的夹角为锐角得出，且，不同向共线，根据平面向量数量积的坐标表示及向量共线列出不等式求解即可. 【详解】因为向量，的夹角为锐角， 所以，且，不同向共线. 因为当时，，同向共线， 所以，解得且， 所以实数λ的取值范围是 . 故答案为： . 14. 如图，已知圆台的轴截面为梯形，，，梯形的高为，圆台的体积为________；在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】①由，得圆台的下底面和上底面的半径，结合梯形的高为圆台的高，利用圆台的体积公式即可求解；②由圆台性质，延长，，交于点，由与相似即可计算，设该圆台的侧面展开图的圆心角为，计算出圆心角，在侧面展开图中，连接，，即可计算出的最短距离. 【详解】①由，，得圆台的下底面的半径为，上底面的半径为，圆台的高为， 所以圆台的体积为. ②在梯形中，，即母线长为3， 如图，由圆台性质，延长，，交于点， 由与相似，得，即，解得， 设该圆台的侧面展开图的圆心角为， 则，所以， 在侧面展开图中，连接，，则从点到的最短路径为线段， 又在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 验证知，由，，，得， 此时，恰与扇形弧所在圆相切于点，满足题意. 故答案为：，. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，满足，，且与的夹角为. （1）分别求与的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）1， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积定义和向量模的公式求解即可. （2）根据向量垂直，可得到其数量积为0，从而可列出等式求出的值. 【小问1详解】 . . 【小问2详解】 因为， 所以，解得. 16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角B； （2）若，，求边c和的面积. 【答案】（1） （2），面积 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理代入计算，即可求解； （2）根据题意，由条件可得，再由正弦定理和三角形面积公式代入计算，即可求解. 【小问1详解】 已知，由余弦定理得：， 所以， 化简可得：. 又，故 【小问2详解】 ， 由正弦定理，代入，，： 所以. 因为， 所以. 17. 已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点. （1）求证： 平面； （2）求证：平面. （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1） 如图， 连接，， 四边形为矩形，为的中点， 与交于点，且为的中点， 又点为的中点，， 又平面，且平面， 平面. （2） 直三棱柱满足，， 又点为的中点，且面，面， 所以，， 又，面， 平面. （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，证明，结合线面平行的判定定理即可求证； （2）首先证明面，可得，，结合线面垂直的判定定理即可求证； （3）利用由（2）可知平面，可得点到平面的距离为，根据点为的中点，从而得到点到平面的距离，利用即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由图可知， ，，， 又三棱柱为直三棱柱，且， . ，，点为的中点， 所以. 由（2）可知平面. 所以点到平面的距离为， 又点为的中点， 所以点到平面的距离为， . 18. 如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点. （1）正四棱锥的表面积； （2）若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点； （3）若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】（1） （2）证明：连接,交于，则为中点，连接； 因为直线平面，且平面平面， 所以， 因为为中点，所以P为棱SD的中点. （3）在侧棱SC上存在一点E，使得平面，满足. 理由如下:取SD的中点Q，连接BQ， 因为，所以，又为的中点， 在△中, ,又平面，平面，所以平面， 过Q作，交于，连接， 又平面，平面， 所以平面，又，平面， 所以平面平面，又平面, 所以平面，由，得, 由，Q为SD的中点，得， 所以，即侧棱SC上存在一点E，当满足时, 平面PAC. 【解析】 【分析】（1）利用正棱锥的性质及面积公式可求答案； （2）利用线面平行的性质得到线线平行，利用中位线可证结论； （3）利用面面平行的判定和性质得到平面，结合平行线段性质可得结论. 【小问1详解】 因为，所以底面积为2，由正四棱锥的性质可得侧面为全等的等腰三角形， 因为，所以侧面积为， 所以正四棱锥的表面积为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）证明：； （2）若的平分线交于，，，求的值； （3）求的取值范围. 【答案】（1）证明如下： 因为，由正弦定理得， 因为， 所以， 所以， 所以，或（舍去），所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，由两角和与差的正弦公式可得，从而得到； （2）因为，所以由得，代入数值即可求得的值； （3）由是锐角三角形得，由正弦定理得，设，根据在上单调递增即可求得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以为锐角， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以，即. 【小问3详解】 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以， 由正弦定理得 . 令，则在上单调递增， 而，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $