10.4三元一次方程组的解法（第1课时) 课件 2025-2026学年人教版七年级数学下册

第十章 二元一次方程组 10.4 三元一次方程组的解法 （第1课时） 素养目标 1．了解三元一次方程组的概念． 2．会用代入法或加减法解简单的三元一次方程组，进一步体会“消元”思想，提升运算能力． 2 新知探究，分析问题 问题 1 在一次足球联赛中，一支球队共参加了 22 场比赛，积 47 分，且胜的场数比负的场数的 4 倍多 2．按照足球联赛的积分规则，胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，那么这支球队胜、平、负各多少场？ 追问1：哪些是已知量？ 总场数：22场 胜的场数=4×负的场数+2 胜一场积分：3分 平一场积分：1分 负一场积分：0分 总积分：47分 追问2：问题最终求什么，怎么设未知数？ 胜多少场？ 平多少场？ 负多少场？ x y z 新知探究，列方程组 问题 1 在一次足球联赛中，一支球队共参加了 22 场比赛，积 47 分，且胜的场数比负的场数的 4 倍多 2．按照足球联赛的积分规则，胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，那么这支球队胜、平、负各多少场？ 追问3：等量关系是什么？怎么列方程？ 设这个球队胜、平、负的场数分别为 x，y，z . ①胜的场数＋平的场数＋负的场数＝22 ②胜场积分＋平场积分＋负场积分＝47 ③胜场数＝4×负场数＋2 x + y+ z=22 3x + y =47 x =4z+ 2 新知探究，学习定义 x + y+ z=22 3x + y =47 x =4z+ 2 这个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是 1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组． 追问3：类比二元一次方程组的定义，你能给这个方程组起个名字吗？ 三元一次方程组 新知探究，分析方法 追问4：如何解这个三元一次方程组呢？ x + y+ z=22 3x + y =47 x =4z+ 2 思路 1：发现③是未知数 x 关于未知数 z 的表达式，可以把③分别代入①②并化简，消去未知数 x，得到两个只含未知数 y，z 的方程 . 三元一次方程组 二元一次方程组 代入法 方法一： ① ② ③ 新知探究，解方程组 x + y+ z=22 3x + y =47 x =4z+ 2 ① ② ③ 解：把③分别代入①②，得 解这个方程组，得 y = 5 z = 3 把y = 5 , z = 3代入①，得 x+ 5 +3=22 因此，这个三元一次方程组的解为 x=14 x=14 y = 5 z = 3 方法一： y + 5z =20 y + 12z =41 新知探究，分析方法 追问4：如何解这个三元一次方程组呢？ x + y+ z=22 3x + y =47 x =4z+ 2 ① ② ③ 思路 2：发现③中只含有未知数 x 和未知数 z，故也可以选择消去未知数y . 三元一次方程组 二元一次方程组 加减法 方法二： 新知探究，解方程组 x + y+ z=22 3x + y =47 x =4z+ 2 ④ ① ② ③ 解：②－①，得 2x－z＝25 ③与④组成方程组 x = 14 z = 3 把x = 14 , z = 3代入①，得 14+ y +3=22 因此，这个三元一次方程组的解为 y=5 x=14 y = 5 z = 3 方法二： 2x－z＝25 x =4z+ 2 解这个方程组，得 新知探究，归纳思想 追问5：通过上面的例子，你能总结解三元一次方程组的基本思路？ 解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．这与解二元一次方程组的思路是一样的． 三元一次方程组 二元一次方程组 消元 消元 一元一次方程组 新知探究，归纳步骤 ③将求出的两个未知数的值代入原方程组中一个系数较简单的方程，得到一个一元一次方程； 追问6：通过上面的例子，你能总结解三元一次方程组的一般步骤吗？ ①通过观察方程组的特征和未知数系数的特点，利用代入法或加减法，消去一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； ④解一元一次方程，求出最后一个未知数的值； ⑤将三个未知数的值用“｛”合写在一起． 典例分析，巩固新知 例1 解三元一次方程组 3x + 4z=7 2x +3y+z =47 5x－9y+7z= 8 ④ ① ② ③ 解：②×3+③，得 11x + 10z＝35 ①与④组成方程组 x = 5 z = ﹣2 把x = 5 , z = ﹣2代入②，得 因此，这个三元一次方程组的解为 x = 5 z = ﹣2 3x + 4z=7 11x + 10z＝35 解这个组成方程组，得 2×5 +3y－2 =9 经典练习，巩固新知 （1） x － 2y=﹣9 y－z =3 2z + x = 47 ④ ① ② ③ 解：②×2+①，得 x－2z＝﹣3 ③与④组成方程组 x = 22 z = 12.5 把z = 12.5 代入②，得 因此，这个三元一次方程组的解为 x=22 z = 12.5 解这个组成方程组，得 y－12.5 =3 练习 解三元一次方程组 x－2z＝﹣3 2z + x = 47 y = 15.5 y = 15.5 经典练习，巩固新知 （2） 4x － 9z=17 3x +y+15z =18 x +2y +3z = 2 ④ ① ② ③ 解：②×2－③，得 5x + 27z＝ 34 ①与④组成方程组 x = 5 把 x=5 , 代入③，得 因此，这个三元一次方程组的解为 解这个组成方程组，得 练习 解三元一次方程组 y = ﹣2 4x － 9z=17 5x + 27z＝ 34 x = 5 y = ﹣2 经典练习，巩固新知 （3） x + y=3 y + z =4 ④ ① ② ③ 解：①－②，得 ③与④组成方程组 x = 2 z = 3 把 x = 2 代入①，得 因此，这个三元一次方程组的解为 z + x = 5 x－z＝﹣1 解这个组成方程组，得 2 + y =3 练习 解三元一次方程组 y = 1 x = 2 z = 3 y = 1 z + x = 5 x－z＝﹣1 经典练习，巩固新知 （4） 3x－y + z = 4 2x +3y－z =12 x + y + z = 6 ④ ① ② ③ 解：① + ② ，得 ④与⑤组成方程组 x = 2 y = 3 把x = 2 , y=3 , 代入③，得 因此，这个三元一次方程组的解为 解这个组成方程组，得 2+3+z =6 练习 解三元一次方程组 z = 1 x = 2 z = 1 y = 3 ② + ③ ，得 3x + 4y＝ 18 ⑤ 5x + 2y＝ 16 5x + 2y＝ 16 3x + 4y＝ 18 16 拓展提升 2x － y + 2z = 27 ① ② ③ 解：方程组整理的 ①与④组成方程组 x = 6 y = 9 把 x = 6 代入②，得 因此，这个三元一次方程组的解为 解这个组成方程组，得 24=2z z = 12 x = 6 z = 12 y = 9 ② + ③ ，得 6x －y＝ 27 ④ 4x = 2z 2x － y + 2z = 27 3x =2y 3x =2y 6x －y＝ 27 解三元一次方程组 方法一： 17 拓展提升 2x － y + 2z = 27 解：由①，得 把 ③代入②中，得 把 k = 3 代入③，得 因此，这个三元一次方程组的解为 解得 x = 6 z = 12 y = 9 则 k＝ 3 解三元一次方程组 ① ② x =2×3=6 y=3k , z=4k ③ 2×2k －3k + 2×4k＝ 27 x =2k , y =3×3=9 z =4×3=12 方法二： 18 课堂小结 回顾本节课所学的主要内容，请回答以下问题： 方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是 1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组． （1）什么是三元一次方程组？ （2）我们是如何研究三元一次方程组的解法的？ 类比探究二元一次方程组的解法，应用转化思想，将“三元”化为“二元”再化为“一元”，充分体现了“消元”思想． 课堂小结 回顾本节课所学的主要内容，请学回答以下问题： （3）如何解三元一次方程组？ （4）运用消元法解三元一次方程组时要注意什么？ 用代入消元法或加减消元法． 消元时要注意先观察三元一次方程组中每个方程所含未知数的个数及系数的特点，然后选择先消哪个元、怎么消元．针对题目的不同特点，选择适当的方法，可以提高运算速度和正确率． 作业 教科书习题 10.4 第 1 题. $